平行四邊形折疊問題(齊福德)

1、平行四邊形中的折疊問題天津市第八十中學(xué)天津市第八十中學(xué) 齊福德齊福德 幾何定義：研究圖形的形狀、大小、位置關(guān)幾何定義：研究圖形的形狀、大小、位置關(guān)系；系； 涉及幾何知識(shí)（章節(jié)為主）：涉及幾何知識(shí)（章節(jié)為主）： ABCDFE1如圖，將一平行四邊形紙片沿如圖，將一平行四邊形紙片沿AE折疊，折疊，再沿再沿EF折疊，使點(diǎn)折疊，使點(diǎn)E,C,B在同一直線上，在同一直線上，則則 AEF如圖，折疊如圖，折疊折疊矩形折疊矩形ABCD的一邊的一邊ADAD，點(diǎn)，點(diǎn)D D落落在在BCBC邊的點(diǎn)邊的點(diǎn)F F處，已知處，已知AB=8cmAB=8cm，AD=10cmAD=10cm，求，求ECEC的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。ABCDFE例題

2、：例題：810106x48-x方法：方法：先標(biāo)等量，再構(gòu)造方程。先標(biāo)等量，再構(gòu)造方程。折疊問題中構(gòu)造方程的方法：折疊問題中構(gòu)造方程的方法：把條件集中到一個(gè)把條件集中到一個(gè)RtRt中，根中，根據(jù)勾股定理得方程。據(jù)勾股定理得方程。解解 設(shè)設(shè)EC=x，則，則DE=8-x，由軸對(duì)稱可知：，由軸對(duì)稱可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因又因AB=8，故，故BF=6，故，故FC=BC-BF=4。在。在RtFCE中，中，42+x2=(8-x)2，解，解之得之得x=3鞏固測(cè)試：鞏固測(cè)試：1. 如圖，矩如圖，矩形形ABCD沿沿BE折疊，使折疊，使點(diǎn)點(diǎn)C落在落在AD邊上的邊上的F點(diǎn)點(diǎn)處，如果處，如果 A

3、BF=60，則則 CBE等于（等于（ ）。）。 (A)15 (B)30 (C )45 (D)60ABCDEF2、如圖，矩形紙片、如圖，矩形紙片ABCD中，中，AB=8cm，把，把矩形紙片沿直線矩形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)落在點(diǎn)E處，處，AE交交DC于點(diǎn)于點(diǎn)F，若，若 ，則，則AD的的長(zhǎng)為（長(zhǎng)為（ ） A4cm B5cm C6cm D7cmABCEFD25cm4AF 3.3.如圖，矩形如圖，矩形ABCDABCD沿沿AEAE折疊，使折疊，使D D落在落在邊邊BCBC上的上的F F點(diǎn)處，如果點(diǎn)處，如果BAF=60BAF=60，AD= 4 AD= 4 ，則則DAE=_DAE=_，EF=_

4、EF=_1538-4思考探究題目：思考探究題目：如圖，矩形紙片如圖，矩形紙片ABCD中，現(xiàn)將中，現(xiàn)將A、C重合，使紙片重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為折疊壓平，設(shè)折痕為EF。（1）連結(jié)）連結(jié)CF，四邊形，四邊形AECF是什么特殊的四邊形？是什么特殊的四邊形？為什么？為什么？（2）若）若AB4cm，AD8cm，你能求出線段，你能求出線段BE及折痕及折痕EF的長(zhǎng)嗎？的長(zhǎng)嗎？ABECDFG練習(xí)：如圖，矩形紙片練習(xí)：如圖，矩形紙片ABCD中，中，AD=9，AB=3，將其折疊，使點(diǎn)，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，折痕重合，折痕為為EF，那么折痕，那么折痕EF的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為_ CADCBEF（08湖北荊門）

5、湖北荊門）例例2如圖，矩形紙片如圖，矩形紙片ABCD中，中，AD=9，AB=3，將其折疊，使點(diǎn)，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，折痕重合，折痕為為EF，那么折痕，那么折痕EF的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為_ 10CADCBEFGHABCDFE透過現(xiàn)象看本質(zhì)透過現(xiàn)象看本質(zhì): :折折疊疊軸軸對(duì)對(duì)稱稱實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)軸對(duì)稱性質(zhì)：軸對(duì)稱性質(zhì)：ADEF1.圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對(duì)應(yīng)邊角相等圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對(duì)應(yīng)邊角相等.2.點(diǎn)的對(duì)稱性：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸（折痕）垂直平分點(diǎn)的對(duì)稱性：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸（折痕）垂直平分.由折疊可得：由折疊可得：1.AFEAFE ADEADE2.AEAE是是DFDF的垂直的

6、垂直平分線平分線重結(jié)果重結(jié)果折疊問題折疊問題折折疊疊重過程重過程利用利用RtRt利用利用方程思想方程思想軸對(duì)稱軸對(duì)稱全等性全等性對(duì)稱性對(duì)稱性本本質(zhì)質(zhì)精髓精髓3 3、關(guān)鍵：根據(jù)折疊實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)化、關(guān)鍵：根據(jù)折疊實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)化（2 2）根據(jù)勾股定理列方程。）根據(jù)勾股定理列方程。4 4、基本方法：（、基本方法：（1 1）找出直角三角形構(gòu)造方程）找出直角三角形構(gòu)造方程折疊問題折疊問題1 1、兩手都要抓：重視、兩手都要抓：重視“折折”，關(guān)注，關(guān)注“疊疊”2 2、本質(zhì)：軸對(duì)稱（全等性，對(duì)稱性）、本質(zhì)：軸對(duì)稱（全等性，對(duì)稱性）4.4.在一張長(zhǎng)方形在一張長(zhǎng)方形ABCDABCD紙片中，紙片中，ADAD25cm, A

7、B25cm, AB20cm20cm現(xiàn)將這張紙現(xiàn)將這張紙片按如圖所示方式折疊，片按如圖所示方式折疊，P P，Q Q分分別為別為ABAB，CDCD的中點(diǎn)，折痕為的中點(diǎn)，折痕為AEAE，求折痕求折痕AEAE的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。在一張長(zhǎng)方形在一張長(zhǎng)方形ABCDABCD紙片中，紙片中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm 現(xiàn)將這張紙片按如下列圖示方式折疊，分別求折痕的長(zhǎng)現(xiàn)將這張紙片按如下列圖示方式折疊，分別求折痕的長(zhǎng)(1) (1) 如圖如圖1, 1, 折痕為折痕為AE;AE;(2) (2) 如圖如圖2, P2, P，Q Q分別為分別為ABAB，CDCD的中點(diǎn)，折痕為的中點(diǎn)，折痕為AE;AE;(3) (3) 如圖如圖3, 3, 折痕為折痕為EFEF在一張長(zhǎng)方形在一張長(zhǎng)方形ABCDABCD紙片中，紙片中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm現(xiàn)將這張現(xiàn)將這張紙片按如圖示方式折疊，求折紙片按如圖示方式折疊，求折痕的長(zhǎng)痕的長(zhǎng)20 x25-x過過F F作作BCBC的垂線的垂線FHFHH H？在一張長(zhǎng)方形在一張長(zhǎng)方形ABCDABCD紙片中，紙片中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm現(xiàn)將這張現(xiàn)將這張紙片按如圖示方式折疊，求折紙片按如圖示方式折疊，求折痕的長(zhǎng)痕的長(zhǎng)20 x