西南交通大學(xué)大學(xué)物理CH05-2

1、12 5.2 角動(dòng)量的時(shí)間變化率角動(dòng)量的時(shí)間變化率 力矩力矩1、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的時(shí)間變化率tprptrprttLdddd)(ddddprLFrtprtLvmvpvptrdddd0dd質(zhì)點(diǎn)位矢質(zhì)點(diǎn)位矢合力合力rmFMr3FrM服從右手螺旋法則組成的平面和垂直于方向：大?。篎rFrFdsin定義：定義：2 2、力矩、力矩1) 1) 對參考點(diǎn)的力矩對參考點(diǎn)的力矩大?。捍笮。篎rtLddFdrFFrsin方向：服從右手螺旋法則方向：服從右手螺旋法則rFodm42) 2) 對軸的力矩對軸的力矩FrM第一項(xiàng)第一項(xiàng)/1FrM方向垂直于軸，其效果是改方向垂直于軸，其效果是改變軸的方位，在定軸

2、問題中，變軸的方位，在定軸問題中，與軸承約束力矩平衡。與軸承約束力矩平衡。第二項(xiàng)第二項(xiàng)FrMz方向平行于軸，其效果是改變繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，方向平行于軸，其效果是改變繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，稱為力對軸的矩，表為代數(shù)量：稱為力對軸的矩，表為代數(shù)量：FrMzFromzFrFrFFr/)(/FFzMd5FrM 合外力矩：合外力矩：prL ，角動(dòng)量：，角動(dòng)量：M 和和L都是相對都是相對慣性系中同一定點(diǎn)慣性系中同一定點(diǎn)定義的。定義的。 21tttMd d沖量矩，力矩的時(shí)間積累。沖量矩，力矩的時(shí)間積累。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理： 質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩，等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對時(shí)間的質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩，等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對時(shí)間

3、的變化率變化率tLMd dd d 積分形式：積分形式：1221LLtMtt d d63、質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的時(shí)間變化率對對 個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn) 組成的質(zhì)點(diǎn)系，由組成的質(zhì)點(diǎn)系，由NNmmm,21tLFrMdd可得可得內(nèi)外內(nèi)外內(nèi)外NNNMMtLMMtLMMtLdddddd222111兩邊求和得兩邊求和得iiiiiiMMtLLt內(nèi)外dddd70 iiM內(nèi)內(nèi)外外外外iiFrMtL idd外外外外iiFrMtL idd質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力矩的矢量質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力矩的矢量和和 ( (合外力矩合外力矩 ) )注意：注意： 1.1.合外力矩合外力

4、矩 是質(zhì)點(diǎn)系所受各外力矩的矢量和，是質(zhì)點(diǎn)系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。而非合力的力矩。外外M2.2.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力矩的作用：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力矩的作用：不能改變質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量，但是影響總角動(dòng)量在不能改變質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量，但是影響總角動(dòng)量在系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的分配。系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的分配。83.3.定軸剛體定軸剛體比較比較JMamFz由由外MtLddJtJJttLMzzdd)(ddddJmrLiiiz2得得J是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。m是物體平動(dòng)慣性的量度。是物體平動(dòng)慣性的量度。改變物體平動(dòng)狀態(tài)的原因改變物體平動(dòng)狀態(tài)的原因zMF改變物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因改變物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因JMz剛體定

5、軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律9一、角動(dòng)量守恒定律一、角動(dòng)量守恒定律恒量時(shí)恒量時(shí)恒量時(shí)zzyyxxLMLMLM000分量式：分量式：對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，當(dāng)對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，當(dāng)0軸M時(shí)，時(shí)，恒量軸L由角動(dòng)量定理：由角動(dòng)量定理：當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，0外ML恒矢量恒矢量研究對象：質(zhì)點(diǎn)系研究對象：質(zhì)點(diǎn)系0ddtLM外10角動(dòng)量守恒定律：角動(dòng)量守恒定律： 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系相對于慣性系中某定點(diǎn)所受的合外力矩當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系相對于慣性系中某定點(diǎn)所受的合外力矩為零時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)系相對于該定點(diǎn)的角動(dòng)量將不隨時(shí)為零時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)系相對于該定點(diǎn)的角動(dòng)量將不隨時(shí)間改變間改變 內(nèi)力矩可影響質(zhì)點(diǎn)系中某質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量，但合內(nèi)內(nèi)力矩可影響質(zhì)點(diǎn)系中某質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量，但合內(nèi)

6、力矩等于零，對總角動(dòng)量無影響。力矩等于零，對總角動(dòng)量無影響。質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 若對慣性系某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為若對慣性系某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變，零，則此質(zhì)點(diǎn)對該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變，即角動(dòng)量的大小和方向都保持不變。即角動(dòng)量的大小和方向都保持不變。11例例: : 一定滑輪的質(zhì)量為一定滑輪的質(zhì)量為 ，半徑為，半徑為 ，一輕繩，一輕繩兩邊分別系兩邊分別系 和和 兩物體掛于滑輪上，繩不伸兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動(dòng)。不計(jì)軸的摩擦，初角長，繩與滑輪間無相對滑動(dòng)。不計(jì)軸的摩擦，初角速度為零，

7、求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。速度為零，求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。m1m2mr2m1mrm已知已知0,021rmmm求：求： ?t思路：思路：先求角加速度先求角加速度12解：解：在地面參考系中，分別以在地面參考系中，分別以 為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律 和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立方程。和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立方程。mmm,211T1agm1以向下為正方向以向下為正方向2a2Tgm2以向上為正方向以向上為正方向思考：思考：?2121TTaa ) 1 (:11111amTgmm)2(:22222amgmTm13r+1T2TNmg以順時(shí)針方向

8、為正方向以順時(shí)針方向?yàn)檎较蛩膫€(gè)未知數(shù)：四個(gè)未知數(shù)：三個(gè)方程三個(gè)方程 ？,2121TTaaa繩與滑輪間無相對滑動(dòng)，由角量和線量的關(guān)系：繩與滑輪間無相對滑動(dòng)，由角量和線量的關(guān)系：)4(ra 解得解得rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210) 3(21221mrJrTrTm：滑輪14 如圖示，兩物體質(zhì)量分別為如圖示，兩物體質(zhì)量分別為 和和 ，滑輪質(zhì)量，滑輪質(zhì)量為為 ，半徑為，半徑為 。已知。已知 與桌面間的滑動(dòng)摩擦系與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為數(shù)為 ，求，求 下落的加速度和兩段繩中的張力。下落的加速度和兩段繩中的張力。 1mm2mr2m1m2m1momr解：解：在地面參考系中，選取在

9、地面參考系中，選取 、 和滑輪為研究對和滑輪為研究對象，分別運(yùn)用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：象，分別運(yùn)用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得： 1m2m練習(xí)練習(xí)152m2Tagm2gm2N1m1Tagm1o1T2TxNyN向里向里+列方程如下：列方程如下：ramrrTTamgmTamTgm22122211121)(可求解可求解16例例.已知：兩平行圓柱在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知：兩平行圓柱在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，求：接觸且無相對滑動(dòng)時(shí)求：接觸且無相對滑動(dòng)時(shí)202,2101,1,;,RmRm?21.o1m1R1.o2R2m21020o1.o2.1217解一：解一：因摩擦力為內(nèi)力，外力過軸因摩擦力為內(nèi)力，外力過軸 ，

10、外力矩為零，則：，外力矩為零，則：J1 + J2 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 ，以順時(shí)針方向?yàn)檎?，以順時(shí)針方向?yàn)檎?12211202101JJJJ接觸點(diǎn)無相對滑動(dòng)：接觸點(diǎn)無相對滑動(dòng)： 22211RR又：又： 3212111RmJ 4212222RmJ 聯(lián)立聯(lián)立1、2、3、4式求解，對不對？式求解，對不對？ o1.o2.12問題：問題：(1) 式中各角量是否對同軸而言？式中各角量是否對同軸而言？ (2) J1 +J2 系統(tǒng)角動(dòng)量是否守恒？系統(tǒng)角動(dòng)量是否守恒？18問題：問題： (1) 式中各角量是否對同軸而言？式中各角量是否對同軸而言？ (2) J1 +J2 系統(tǒng)角動(dòng)量是否守恒？系統(tǒng)角動(dòng)量是

11、否守恒？分別以分別以m1 , m2 為研究對象，受力如圖：為研究對象，受力如圖：o2F2o1.F1f1f20 )2(0 ) 1 (1221FFMoMo為軸為軸系統(tǒng)角動(dòng)量不守恒！系統(tǒng)角動(dòng)量不守恒！19解二：解二：分別對分別對m1 , m2 用角動(dòng)量定理列方程用角動(dòng)量定理列方程設(shè)：設(shè)：f1 = f2 = f ， 以順時(shí)針方向?yàn)檎皂槙r(shí)針方向?yàn)檎齧1對對o1 軸：軸：211211101111,dRmJJJtfRm2對對o2 軸：軸：222212202222,dRmJJJtfR接觸點(diǎn)：接觸點(diǎn)：2211RRo2F2o1.F1f1f21220聯(lián)立各式解得：聯(lián)立各式解得：221202210112121202

12、210111RmmRmRmRmmRmRm21解一解一：m 和和 m 2 系統(tǒng)動(dòng)量守恒系統(tǒng)動(dòng)量守恒 m v 0 = (m + m 2 ) v解二解二： m 和和 (m + m 2 )系統(tǒng)動(dòng)量守恒系統(tǒng)動(dòng)量守恒m v 0 = (m + m 1 + m 2 ) v解三解三：m v 0 = (m + m 2 ) v + m 1 2v以上解法對不對？以上解法對不對？m2m1m0v2L2LA例例. 已知：已知：輕桿，輕桿，m 1 = m , m 2 = 4m , 油灰球油灰球 m， m 以速度以速度v 0 撞擊撞擊 m 2 ，發(fā)生完全非彈性碰撞，發(fā)生完全非彈性碰撞 求：求：撞后撞后m 2的速率的速率 v ?

13、22因?yàn)橄嘧矔r(shí)軸因?yàn)橄嘧矔r(shí)軸A作用力不能忽略作用力不能忽略不計(jì)，故不計(jì)，故系統(tǒng)動(dòng)量不守恒系統(tǒng)動(dòng)量不守恒。因?yàn)橹亓?、軸作用力過軸，對軸因?yàn)橹亓Α⑤S作用力過軸，對軸力矩為零，故力矩為零，故系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。由此列出以下方程：由此列出以下方程：LvmvmmmvLL212220或：或： vvLmmmmLLLL202021222022;得：得：90vv m2m1m2L2LNyNxA23注意：區(qū)分兩類沖擊擺注意：區(qū)分兩類沖擊擺 水平方向：水平方向： Fx =0 ， px 守恒守恒 m v 0 = ( m + M ) v 對對 o 點(diǎn)：點(diǎn)： ， 守恒守恒m v 0 l = ( m + M ) v

14、 l0ML質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 定軸剛體定軸剛體（不能簡化為質(zhì)點(diǎn)）（不能簡化為質(zhì)點(diǎn)）0volmMFyFx(2)軸作用力不能忽略，動(dòng)量不守恒，軸作用力不能忽略，動(dòng)量不守恒，但對但對 o 軸合力矩為零，角動(dòng)量守恒軸合力矩為零，角動(dòng)量守恒lvMlmllmv23120(1)olmM0v質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)柔繩無切向力柔繩無切向力24回顧作業(yè)回顧作業(yè)P.85 4 -8vRMmRghmOM mMpMmF2 0;0點(diǎn)角動(dòng)量守恒對系統(tǒng)不守恒系統(tǒng)軸軸mMFO250軸FA、B、C系統(tǒng)系統(tǒng) 不守恒；不守恒；p0軸MA、B、C系統(tǒng)對系統(tǒng)對 o 軸角動(dòng)量守恒軸角動(dòng)量守恒vRmmmRvmmcBABA1回顧作業(yè)回顧作業(yè)P85 4 -9C

15、BNxNyAo26練習(xí)：練習(xí)：已知已知 m = 20 克，克，M = 980 克克 ,v 0 =400米米/秒，繩秒，繩不可伸長。求不可伸長。求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v =?哪些物理量守恒？請列方程。哪些物理量守恒？請列方程。解解：m、M系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒（系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒（F x =0)豎直方向動(dòng)量不守恒（繩沖力不能忽略）豎直方向動(dòng)量不守恒（繩沖力不能忽略）對對o 點(diǎn)軸角動(dòng)量守恒（外力矩和為零）點(diǎn)軸角動(dòng)量守恒（外力矩和為零）omMv300vvMmmv0030sin或：或：00090sin30sinlMmvlmvv = 4 ms-1得：得：27解：解：碰撞前后碰撞前后AB棒

16、對棒對O的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒思考：思考：碰撞前棒對碰撞前棒對O角動(dòng)量角動(dòng)量 L=? 碰撞后棒對碰撞后棒對O角動(dòng)量角動(dòng)量 =？L?例例 . 已知：已知：勻質(zhì)細(xì)棒勻質(zhì)細(xì)棒 m , 長長 2l ；在光滑水平面內(nèi)；在光滑水平面內(nèi)以以 v 0 平動(dòng)，與支點(diǎn)平動(dòng)，與支點(diǎn) O 完全非彈性碰撞。完全非彈性碰撞。 求：求：碰后瞬間棒繞碰后瞬間棒繞 O 的的v0clBAl / 2l / 2 Om撞前：撞前：自旋軌LLL020lmvL(1)28(2) 各微元運(yùn)動(dòng)速度相同，但到各微元運(yùn)動(dòng)速度相同，但到O距離不等，距離不等，棒上段、下段對軸棒上段、下段對軸O角動(dòng)量方向相反角動(dòng)量方向相反設(shè)垂直向外為正方向，總角動(dòng)量：

17、設(shè)垂直向外為正方向，總角動(dòng)量：lmvxxxxLllmvllmv0210222302dd00lm2lxmxm2dddxxxvmLlmvddd200質(zhì)元角動(dòng)量：質(zhì)元角動(dòng)量：線密度：線密度：取質(zhì)元：取質(zhì)元：xdm-l/23l/20vO29撞后：撞后： 21272221212mlmlmJLl令令2012721mllmvLL得：得：lv76030剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)習(xí)題課習(xí)題課一、基本要求一、基本要求1、掌握角位移、角速度和角加速度等物理量以及角量與線量的關(guān)系。2、理解力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、角動(dòng)量等物理概念，了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算的基本思路。3、掌握轉(zhuǎn)動(dòng)定律、功能原理、角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律并能正確應(yīng)用。二、基

18、本內(nèi)容二、基本內(nèi)容1 1、描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量、描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量2 2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律角位移d角速度dtd與線量的關(guān)系rv r2rn角加速度dtd)dtvdmamF(dtdJJMsinrFM FrM力矩方向：右手法則dmrJ2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：3 3、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理21222121JJdMW)mvmvrdFW(212221212iirmJ當(dāng) 時(shí)0M常量JL4 4、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量原理、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量原理力矩的功dMW剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221J1212JJLLMdt)PPdtF(12dtdLM )dtPdF(或)P,F(常矢量0三、討論三、討論方法1、

19、質(zhì)量為 ，長為 的細(xì)棒可繞 轉(zhuǎn)動(dòng)。由水平位置自由下落。求下落到豎直位置時(shí)的角速度。mlo由dtdJJMdddtdJcoslmg20202dJdcoslmg求出logm方法方法分別判斷三種方法的正誤分別判斷三種方法的正誤2212Jlmg求出2212cmvlmg求出cv又2lvc求出2 2、判斷角動(dòng)量是否守恒、判斷角動(dòng)量是否守恒（2）對定滑輪軸的角動(dòng)量兩半徑不同圓輪，1輪轉(zhuǎn)動(dòng)，2輪靜止今將兩輪子靠攏，輪被帶動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)（1）圓錐擺（對 軸）小球質(zhì)量為oo m重物、人質(zhì)量均為 ，定滑輪質(zhì)量不計(jì)，人向上爬行m（3）對軸 ，(或 )的角動(dòng)量1o2ooovm1o2o X X 小結(jié)：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中幾個(gè)小結(jié)：剛體

20、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中幾個(gè)應(yīng)注意的問題。應(yīng)注意的問題。（1）剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律區(qū)別于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，切莫混為一談?。?）注意“轉(zhuǎn)軸”（3）系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)、剛體同時(shí)存在，應(yīng)分別討論四：計(jì)算四：計(jì)算解：分析受力：圖示質(zhì)點(diǎn)1m11111amcosgmsingmT質(zhì)點(diǎn)2m2222amTgm1m2mr ,J1mNF1Tgm1rFRF2TP1T2m2Tgm21、斜面傾角為 ，質(zhì)量分別為 和 物體經(jīng)細(xì)繩聯(lián)接繞過一定滑輪。定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，半徑為 。求 下落的加速度（設(shè) 與斜面的摩擦因數(shù)為 ）1m2mJr1m2m滑輪（剛體）解得討論：是否有其它計(jì)算方法？JrTrT22)TT ,TT(1122聯(lián)系量raa2122121221rJmm

21、cosgmsingmgmaa1mNF1Tgm1rFRF2TP1T2m2Tgm2功能關(guān)系！功能關(guān)系！解：分析系統(tǒng)機(jī)械能守恒( (為什么？為什么？) )2、光滑斜面傾角 ，一彈簧 (k)一端固定，另一端系一繩 繞過一定滑輪與物體 相連。 滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，半徑為 。設(shè)開始時(shí)彈簧處于原長，物體由靜止沿斜面下滑，求 下滑 時(shí)物體的速度為多大。mJRml222212121mvJklsinmgl則有Rv 且有mmlR,Jk解得22212121RJmklsinmglv3、一行星質(zhì)量為 ，半徑為 ，今有一飛船在相距行星為 時(shí)，飛船相對行星靜止，同時(shí)發(fā)射一速度為 質(zhì)量為 的儀器，發(fā)射角為 ，使儀器恰好略著行星表面著陸。求角 應(yīng)為多大？著陸滑行的初速多大？（設(shè) 飛船質(zhì)量）1mRRr400v2m2m2m0r0vvR1m解：分析解：分析（1）不計(jì)其它作用力，儀器 只處在行星的中心力場中， 則由儀器和行星組成的系統(tǒng)對行星中心的角動(dòng)量守恒。所以得恒矢量 vmrvRm