第8章 計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論

1、第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論第第8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.1 與曲線(xiàn)、曲面有關(guān)的基本概念與曲線(xiàn)、曲面有關(guān)的基本概念8.2 折線(xiàn)段曲線(xiàn)折線(xiàn)段曲線(xiàn)8.3 參數(shù)三次曲線(xiàn)參數(shù)三次曲線(xiàn)8.4 參數(shù)曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)參數(shù)曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)8.5 Bzier曲線(xiàn)曲線(xiàn)8.6 B-樣條曲線(xiàn)樣條曲線(xiàn)8.7 非均勻有理非均勻有理B-樣條曲線(xiàn)樣條曲線(xiàn)習(xí)題習(xí)題第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.1 與曲線(xiàn)、曲面有關(guān)的基本概念與曲線(xiàn)、曲面有關(guān)的基本概念8.1.1曲線(xiàn)、曲面的表示方法1.曲線(xiàn)、曲面的非參數(shù)表示曲線(xiàn)、曲面的非參

2、數(shù)表示方法也就是其函數(shù)表示法，可細(xì)分為顯函數(shù)和隱函數(shù)兩種表示法。Oxy平面內(nèi)一曲線(xiàn)的顯式函數(shù)與隱式函數(shù)表示形式分別為y=f(x),F(x,y)=0(8.1.1)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論Oxyz空間內(nèi)一曲面的顯函數(shù)與隱函數(shù)表示形式分別為z=f(x,y),F(x,y,z)=0(8.1.2)而Oxyz空間內(nèi)一曲線(xiàn)通常表示為兩個(gè)曲面的交線(xiàn)，就像直線(xiàn)作為兩個(gè)平面的交線(xiàn)用兩個(gè)平面的方程組表示一樣。以曲線(xiàn)為例，在進(jìn)行幾何形狀的數(shù)學(xué)描述時(shí)，非參數(shù)形式存在以下問(wèn)題:(1)在曲線(xiàn)上點(diǎn)的切線(xiàn)垂直于x軸時(shí)，斜率為無(wú)窮大，這將導(dǎo)致計(jì)算機(jī)處理時(shí)出現(xiàn)溢出問(wèn)題。作為幾何曲線(xiàn)，這樣的垂

3、直切線(xiàn)是正常的，僅僅是x軸的選擇問(wèn)題。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論(2)不具有幾何不變性，即幾何形狀的描述與選擇的坐標(biāo)系有關(guān)。曲線(xiàn)、曲面可以在沒(méi)有坐標(biāo)系的情況下存在，但其函數(shù)描述卻依賴(lài)于指定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(x,y,z)的確定，以及特定的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系的建立。(3)平面內(nèi)和空間內(nèi)曲線(xiàn)的描述形式不統(tǒng)一，不便于計(jì)算與編程等處理。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論2.曲線(xiàn)、曲面的參數(shù)表示曲線(xiàn)的參數(shù)表示可不依賴(lài)于坐標(biāo)系的描述：特定的參數(shù)值t對(duì)應(yīng)了一個(gè)幾何的點(diǎn)P(t)，所有參數(shù)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成了曲線(xiàn)。因此，曲線(xiàn)的參數(shù)形式為P=P

4、(t)。在特定的坐標(biāo)系下，P(t)為從原點(diǎn)到該點(diǎn)的矢(向)量，因此P=P(t)稱(chēng)為曲線(xiàn)的向量方程。當(dāng)我們需要在特定的坐標(biāo)系下表示曲線(xiàn)上的點(diǎn)時(shí)，就求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)以及各個(gè)坐標(biāo)值對(duì)參數(shù)的表達(dá)式。因此，Oxyz空間內(nèi)一曲線(xiàn)的參數(shù)方程為x,y,z=x(t),y(t),z(t)或?qū)憺榉匠探M的形式：x=x(t)y=y(t)z=y(t)(8.1.3)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論其每個(gè)坐標(biāo)分量都是以參數(shù)t為變量的標(biāo)量函數(shù)。通常只需要對(duì)某一段曲線(xiàn)進(jìn)行研究，即參數(shù)t限定在一段區(qū)間ta,b內(nèi)變化時(shí)的曲線(xiàn)段。為了方便起見(jiàn)，大多數(shù)情況下可以把區(qū)間a,b標(biāo)準(zhǔn)化為0,1。習(xí)慣上，除了上

5、面的兩種表示形式外，參數(shù)曲線(xiàn)方程還可表示為P(t)=x(t)，y(t)，z(t)t0,1(8.1.4)參數(shù)曲線(xiàn)的切向量或?qū)Ш瘮?shù)等于對(duì)各分量分別求導(dǎo)，即P(t)=x(t),y(t),z(t)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論相對(duì)于Oxyz空間內(nèi)曲線(xiàn)的參數(shù)方程，Oxy平面內(nèi)一曲線(xiàn)的參數(shù)方程只是少了一個(gè)分量而已，其它完全相同。在不需要指明時(shí)，只說(shuō)曲線(xiàn)P=P(t)即可。類(lèi)似地，曲面可用雙參數(shù)(u，v)的向量函數(shù)表示為P(u，v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)(u,v)0,1;0,1(8.1.5)并可以簡(jiǎn)記為P=P(u,v)。與非參數(shù)形式相比，參數(shù)形式具有以下

6、優(yōu)點(diǎn):(1)能滿(mǎn)足幾何不變性的要求。(2)便于進(jìn)行幾何變換。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論(3)便于處理多值問(wèn)題和垂直切線(xiàn)等無(wú)限大斜率問(wèn)題。(4)規(guī)格化的參數(shù)變量t0,1，使其相應(yīng)的幾何形體是有邊界的，而不必用另外的參數(shù)去定義其邊界。(5)便于曲線(xiàn)、曲面的分段、分片描述。(6)提供了更大的自由度來(lái)控制曲線(xiàn)、曲面的形狀。(7)易于用向量和矩陣的表示來(lái)簡(jiǎn)化方程，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論3.基函數(shù)及其表示的曲線(xiàn)、曲面就參數(shù)表示的曲線(xiàn)、曲面而言，計(jì)算機(jī)圖形設(shè)計(jì)中大多數(shù)曲線(xiàn)方程可以表示為某一組基函數(shù)及相應(yīng)的

7、系數(shù)向量的線(xiàn)性和：式中:Bi(t)是以參數(shù)t為變量的基函數(shù)，Pi為代表空間點(diǎn)的常向量系數(shù)。在曲線(xiàn)設(shè)計(jì)時(shí)常把一列點(diǎn)Pi解釋成順序連接各點(diǎn)而形成的多邊形，并稱(chēng)為控制多邊形。,)()(100ttttBPtPniii(8.1.7)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論4.樣條的概念在利用計(jì)算機(jī)自動(dòng)繪圖之前，航空、汽車(chē)和船舶制造業(yè)中常借助于稱(chēng)為樣條(spline)的工具手工繪制自由曲線(xiàn)。繪圖用的樣條工具是一根富有彈性的勻質(zhì)細(xì)木條、金屬或有機(jī)玻璃條，可讓它按要求通過(guò)一組指定點(diǎn)來(lái)生成平滑曲線(xiàn)。繪圖時(shí)，繪圖員用壓鐵強(qiáng)迫彈性條通過(guò)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章

8、計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.1.2插值與逼近1.插值插值是函數(shù)逼近的重要方法。設(shè)給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi,i=0,1,n。經(jīng)過(guò)兩已知數(shù)據(jù)點(diǎn)P0(x0,y0)和P1(x1,y1)的最簡(jiǎn)單的幾何圖形是直線(xiàn)段，可用參數(shù)方程表示為P(t)=P0+t(P1-P0)t0，1(8.1.8)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論用非參數(shù)的函數(shù)表示，就是要求解一線(xiàn)性函數(shù)y=f(x)=ax+b，滿(mǎn)足：f(x0)=y0,f(x1)=y1(8.1.9)這個(gè)線(xiàn)性插值函數(shù)可表示為(8.1.10)它在x1-x00時(shí)是存在的。如果給定三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)P0(x0，y0)、P1(x1，y1)和P2(x2，

9、y2)，一般不存在過(guò)三點(diǎn)的直線(xiàn)段。由函數(shù)形式構(gòu)造曲線(xiàn)，最簡(jiǎn)單的函數(shù)形式應(yīng)該是y=f(x)=ax2+bx+c (8.1.11)()(001010 xxxxyyyxfy第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論這個(gè)拋物型函數(shù)曲線(xiàn)應(yīng)該通過(guò)這三個(gè)指定點(diǎn)，即滿(mǎn)足f(x0)=y0，f(x1)=y1，f(x2)=y2(8.1.12)通過(guò)求解這個(gè)線(xiàn)性方程組可求出系數(shù)a，b，c。2.逼近在某些情況下，給出的點(diǎn)本身就是用來(lái)大體刻畫(huà)曲線(xiàn)、曲面的大致輪廓，并沒(méi)有一個(gè)非常精確的計(jì)算要求曲線(xiàn)、曲面嚴(yán)格地通過(guò)指定點(diǎn)。8.1.3曲線(xiàn)、曲面描述方法的發(fā)展現(xiàn)代化工業(yè)產(chǎn)品的外形大致可由兩類(lèi)曲線(xiàn)、曲面描述。一

10、類(lèi)是一次、二次的解析曲面，例如平面、圓柱面、圓錐面、球面、圓環(huán)面等。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論自由曲線(xiàn)、曲面因其復(fù)雜性不易由畫(huà)法幾何與機(jī)械制圖等簡(jiǎn)單方式表達(dá)清楚。表達(dá)清楚這些曲線(xiàn)、曲面成為擺在工程師面前首要解決的問(wèn)題。上述方法，尤其是B-樣條方法成功地解決了自由曲線(xiàn)、曲面的數(shù)學(xué)描述問(wèn)題，但作為一種多項(xiàng)式形式的參數(shù)函數(shù)，它們不能精確表達(dá)包含（橢）圓弧的二次曲線(xiàn)和、曲面，因此不能適應(yīng)大多數(shù)工業(yè)產(chǎn)品形狀設(shè)計(jì)的要求。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.2 折線(xiàn)段曲線(xiàn)折線(xiàn)段曲線(xiàn)對(duì)于給定的控制點(diǎn)，通過(guò)控制點(diǎn)的折線(xiàn)段連接出的曲線(xiàn)是非常

11、自然的一條曲線(xiàn)，如圖8.1所示它有許多優(yōu)點(diǎn)，這是我們進(jìn)一步發(fā)展曲線(xiàn)設(shè)計(jì)技術(shù)的基礎(chǔ)。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.1折線(xiàn)段連接出的曲線(xiàn)PiPi 1PnP0第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論這一曲線(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)有如下幾點(diǎn):(1)它是一條純粹的幾何圖形的曲線(xiàn)，不依賴(lài)于任何我們?cè)谔幚磉@條曲線(xiàn)時(shí)必須額外附加給它的幾何圖形以外的性質(zhì)。(2)折線(xiàn)段曲線(xiàn)的每個(gè)直線(xiàn)段僅存在于兩點(diǎn)之間的有限范圍內(nèi)，這保證了我們?cè)谔幚硭鼤r(shí)總能得到結(jié)果。(3)折線(xiàn)段曲線(xiàn)的工作效率是有保障的。(4)其表達(dá)式非常簡(jiǎn)單，幾何意義非常明確。對(duì)于直線(xiàn)段PiPi+1，我們可以寫(xiě)

12、出其方程為P(t)=(1-t)Pi+tPi+1t0,1(8.2.1)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論點(diǎn)P(t)在直線(xiàn)段上，并把直線(xiàn)段分成兩段，其長(zhǎng)度之比為改進(jìn)折線(xiàn)段曲線(xiàn)的光滑程度的方法也很直觀:切磨各個(gè)角點(diǎn)，具體過(guò)程如圖8.2所示。)1 ( :)(:)(1ttPtPtPPii第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.2磨角法平滑折線(xiàn)段曲線(xiàn)過(guò)程示意圖PiBEFDCAPi1Pi1第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論我們首先用AB取代APi和PiB。這里A，B分別在直線(xiàn)段Pi-1Pi和PiPi+1上,并且有

13、1:1:11iiiiiiiiPPBPPPAP(8.2.2)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.3 參數(shù)三次曲線(xiàn)參數(shù)三次曲線(xiàn)8.3.1參數(shù)三次曲線(xiàn)的表示如圖8.3所示，設(shè)每點(diǎn)處有一個(gè)切線(xiàn)向量Ti，點(diǎn)Pi與Pi+1之間的一段曲線(xiàn)Pi(t)，t0，1就應(yīng)該滿(mǎn)足如下條件:Pi(0)=PiPi(1)=Pi+1Pi(0)=TiPi(1)=Ti+1(8.3.1)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.3由位置、切向量產(chǎn)生的曲線(xiàn)P1T1T0P0第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論向量函數(shù)Pi(t)當(dāng)然可以為任意類(lèi)型

14、的函數(shù)?？紤]到作為前面直線(xiàn)段函數(shù)的推廣以及計(jì)算的方便性，我們要求Pi(t)可表示為Pi(t)=F0(t)Pi+F1(t)Pi+1+F2(t)Ti+F3(t)Ti+1(8.3.2)并且Fi(t),i=0,1,2,3都是參數(shù)t的多項(xiàng)式。結(jié)合式(8.3.1)則有 F0(0)Pi+F1(0)Pi+1+F2(0)Ti+F3(0)Ti+1=Pi F0(1)Pi+F1(1)Pi+1+F2(1)Ti+F3(1)Ti+1=Pi+1F0(0)Pi+F1(0)Pi+1+F2(0)Ti+F3(0)Ti+1=TiF0(1)Pi +F1(1)Pi+1+F2(1)Ti+F3(1)Ti+1=Ti+1(8.3.3)第第8 8章

15、計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論注意到式(8.3.3)對(duì)任意的Pi，Pi+1，Ti和Ti+1都成立，我們由此得到F0(0)=1，F(xiàn)1(0)=0，F(xiàn)2(0)=0，F(xiàn)3(0)=0F0(1)=0，F(xiàn)1(1)=1，F(xiàn)2(1)=0，F(xiàn)3(1)=0F0(0)=0,F1(0)=0,F2(0)=1,F3(0)=0 F0(1)=0,F1(1)=0,F2(1)=0,F3(1)=1(8.3.4)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論由式(8.3.4)可知，每個(gè)函數(shù)Fi(t)應(yīng)滿(mǎn)足四個(gè)等式。因此，作為參數(shù)t的多項(xiàng)式函數(shù)，F(xiàn)i(t)的次數(shù)最低應(yīng)為3。作為三次多項(xiàng)式的Fi

16、(t)根據(jù)式(8.3.4)不難得到其表達(dá)式為F0(t)=2t3-3t2+1F1(t)=-2t3+3t2F2(t)=t3-2t2+tF3(t)=t3-t2(8.3.5)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論由式(8.3.2)、式(8.3.1)和式(8.3.4)可得Pi(t)=Pi+tT1+t2(-3Pi+3Pi+1-2Ti-Ti+1)+t3(2Pi-2Pi+1+Ti+Ti+1)(8.3.6)如果定義Ai0=PiAi1=TiAi2=-3Pi+3Pi+1-2Ti-Ti+1Ai3=2Pi-2Pi+1+Ti+Ti+1(8.3.7)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)

17、圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論則有Pi(t)=Ai0+tAi1+t2Ai2+t3Ai3(8.3.8)由此式可明顯看出Pi(t)是參數(shù)t的三次多項(xiàng)式，因此該曲線(xiàn)是一個(gè)三次多項(xiàng)式曲線(xiàn)。參數(shù)三次曲線(xiàn)段簡(jiǎn)稱(chēng)PC曲線(xiàn)。這也是弗格森曲線(xiàn)的代數(shù)形式。對(duì)參數(shù)t0，1，P(t)表示曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的位置向量，它有三個(gè)分量，即Pi(t)=x(t)y(t)z(t)(8.3.9)而Ai3、Ai2、Ai1、Ai0都有三個(gè)分量，設(shè)為 Aij=aj1aj2aj3j=0,1,2,3(8.3.10)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論于是式(8.3.8)可更清楚地表示為下面的三個(gè)三次多項(xiàng)式等式:x(t)=a01

18、+a11t+a21t2+a31t3y(t)=a02+a12t+a22t2+a32t3z(t)=a03+a13t+a23t2+a33t3三個(gè)多項(xiàng)式中的12個(gè)常系數(shù)稱(chēng)為代數(shù)系數(shù)，這組系數(shù)惟一地確定了一條參數(shù)三次曲線(xiàn)的形狀、長(zhǎng)短及在空間中的位置。進(jìn)一步假設(shè):T=1t t2t3(8.3.12)(8.3.11)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論和一個(gè)43矩陣Ai=ATi0ATi1ATi2ATi3Ti=1,2,3(8.3.13)其中的上標(biāo)T是指轉(zhuǎn)置矩陣，則式(8.3.8)又可以寫(xiě)為更簡(jiǎn)潔的矩陣表示形式：Pi(t)=TAi(8.3.14)但是，由參數(shù)三次曲線(xiàn)的幾何形式即式(8

19、.3.2)可以解決這個(gè)問(wèn)題。同代數(shù)形式一樣，如果我們定義F(t)=F0(t)F1(t)F2(t)F3(t)Si=PTiPTi+1TTiTTi+1T(8.3.15)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論則式(8.3.2)又可寫(xiě)成Pi(t)=F(t)Si(8.3.16)圖8.4中我們會(huì)看到，改變端點(diǎn)切向量的大小是如何影響曲線(xiàn)的形狀的。進(jìn)一步地，下面我們討論參數(shù)三次曲線(xiàn)的代數(shù)系數(shù)矩陣Ai和幾何系數(shù)矩陣Si之間的關(guān)系。實(shí)際上，F(xiàn)(t)可以通過(guò)T表示為第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論F(t)=2t3-3t2+1-2t3+3t2t3-2t2+t

20、t3-t2=1t t2t3用M代表式(8.3.17)中的44矩陣，則F(t)可寫(xiě)成F(t)=TM(8.3.18)代人式(8.3.16)有Pi(t)=TMSi (8.3.19)對(duì)照式(8.3.14)就有Ai=Msi (8.3.20)1122123301000001(8.3.17)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論或Si=M-1Ai(8.3.21)其中:32100010111100011M(8.3.22)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.3.2參數(shù)三次曲線(xiàn)的其它表示形式任一段參數(shù)三次曲線(xiàn)總有邊界端點(diǎn)及端點(diǎn)處的切向量，亦即任一參數(shù)三

21、次曲線(xiàn)均可表示成式(8.3.16)和式(8.3.19)的形狀，差別僅僅是幾何系數(shù)矩陣Si不相同。依此觀點(diǎn)還有其它很多的方法，如:（1)給出空間四個(gè)點(diǎn)P0、P1、P2和P3，要求找出一段參數(shù)三次曲線(xiàn)P(t)，使得當(dāng)t=t0=0t1t2t3=1時(shí)，P(tj)=Pj，j=0,1,2,3。（2)給出曲線(xiàn)兩點(diǎn)P0和P1，兩個(gè)單位向量T0和T1及一點(diǎn)C。要求找出一段參數(shù)三次曲線(xiàn)P(t)，使得P(0)=P0，P(1)=P1。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論如果我們希望求得一個(gè)44的矩陣K，使得當(dāng)從右邊乘上四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)矩陣時(shí)，產(chǎn)生該待構(gòu)造曲線(xiàn)的幾何系數(shù)矩陣S,即則我們可求解如

22、下。因?yàn)镻(t)=TMS(8.3.24)STTPPPPPPKTTTT30303210(8.3.23)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論所以Pj=P(tj)=1tjt2jt3jMSj=0,1,2,3(8.3.25)也就是說(shuō)MSttttttttttttPPPP3323332222312112020032101111(8.3.26)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論于是有將式(8.3.27)代入式(8.3.23)，并結(jié)合t0=0，t3=1，即可得到所要求的矩陣K為321013323333232312213020011111PPPPttt

23、tttttttttMS(8.3.27)13222231211302001133233322223121130200111111111111tttttttttMttttttttttttMK(8.3.28)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.3.3參數(shù)三次曲線(xiàn)參數(shù)值域的變換假定對(duì)前面定義的參數(shù)三次曲線(xiàn)另有參數(shù)u，其值域是uui,ui+1，參數(shù)u和t存在著函數(shù)關(guān)系t=t(u)(8.3.29)并且應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足方程t(ui)=0t(ui+1)=1(8.3.30)因此,參數(shù)三次曲線(xiàn)Pi(t)用參數(shù)u可表示為Pi(t)=Pi(t(u)uui,ui+1(8.3.31)第第8 8

24、章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論如果要求Pi(t(u)仍然是參數(shù)u的三次多項(xiàng)式，則函數(shù)t(u)應(yīng)該是參數(shù)u的一次多項(xiàng)式，即參數(shù)u和t存在著線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系，這個(gè)表示關(guān)系是惟一的，可表示如下: ,ui=ui+1-ui(8.3.32)分別用u=ui和u=ui+1代入式(8.3.31)可得Pi(t(ui)=Pi(0)=PiPi(t(ui+1)=Pi(1)=Pi+1(8.3.33)iiuuuut)(第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論這也就是說(shuō)，參數(shù)三次曲線(xiàn)Pi(t)的兩個(gè)端點(diǎn)保持不變。再來(lái)考察切向量，對(duì)參數(shù)u求導(dǎo)可得dttdPududtdttdPdu

25、utdPiiiii)(1)()(8.3.34)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.3.4二階連續(xù)的參數(shù)三次樣條插值曲線(xiàn)1.二階連續(xù)的條件假設(shè)對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi,i=0,1,n實(shí)行參數(shù)化，曲線(xiàn)P(u)對(duì)應(yīng)著參數(shù)分割u0u1un。若樣條曲線(xiàn)在數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi處具有待定的導(dǎo)向量Ti，則可以通過(guò)式(8.3.31)中表示出的分段三次參數(shù)插值曲線(xiàn)Pi(t)=Pi(t(u)，uui-1,ui構(gòu)造出一階連續(xù)的曲線(xiàn)。求Pi(t(u)對(duì)u的導(dǎo)數(shù)可得iiiiTTiTiTiTiiiuutSttttTTPPtFtFtFtFutP1-32336361)()()()(1)(21132102(8.3.3

26、5)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論將此式中的下標(biāo)i換成i+1，得相鄰的下一段uui+1,ui+2上的曲線(xiàn)Pi+1(t(u)對(duì)u的二階導(dǎo)數(shù)1112121213210211-32336361)()()()(1)(iiiiTTiTiTiTiiiuutSttttTTPPtFtFtFtFutP(8.3.36)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論如果要求整段曲線(xiàn)C2連續(xù)，則在相鄰的兩段曲線(xiàn)的公共端點(diǎn)u=ui+1處有Pi(ui+1)=Pi+1(ui+1)(8.3.37)也就是3-312Si=-33-2-1S(8.3.38)簡(jiǎn)單整理后可得i+1

27、Ti+2(i+i+1)Ti+1+iTi+2=3i=0,1,n-2(8.3.39)22i212i111iiiiPiPi第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論2.二階連續(xù)的閉曲線(xiàn)首尾相連的閉曲線(xiàn)這時(shí)要分段為三次參數(shù)插值曲線(xiàn)，它也是首尾相連閉曲線(xiàn)，并且處處二階連續(xù)。一般認(rèn)為數(shù)據(jù)點(diǎn)連出的折線(xiàn)段也是閉的折線(xiàn)段，因此有Pn=P0，但應(yīng)注意：Pn對(duì)應(yīng)參數(shù)un，P0對(duì)應(yīng)參數(shù)u0。由首尾相連處一階連續(xù)知Tn=T0，實(shí)際只有n個(gè)待定切向量。由首尾相連處二階連續(xù)知方程組(8.3.39)可以再增加一個(gè)方程，因此有n個(gè)方程。于是n個(gè)待定切向量就可以從方程組(8.3.39)的n個(gè)方程中解出。這

28、個(gè)方程組的矩陣表示為第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論其中，對(duì)i=1,2,n有ai=i+1,bi=2(i-1+i),ci=i-1nnnnnnnnDDDDTTTTTbaaccbacbacb12154321111122211)( 3111iiiiiiiPPD(8.3.40)(8.3.41)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論3.二階連續(xù)的開(kāi)曲線(xiàn)端點(diǎn)條件的一般形式可表示為b0T0+c0T1=D0,anTn-1+bnTn=Dn(8.3.42)因此由n+1個(gè)方程組成的求解n+1個(gè)待定切向量的方程組的矩陣為nnnnnnnDDDDTTTTTbac

29、bacbacbacb1215432111122211100(8.3.43)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論這個(gè)線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣為標(biāo)準(zhǔn)的三對(duì)角方陣，因主對(duì)角元素占優(yōu)，系數(shù)矩陣是非奇異的，故存在惟一解。標(biāo)準(zhǔn)三對(duì)角方程組可以采用所謂“追趕法”的高斯消元法求解。系數(shù)矩陣中的零元素不占內(nèi)存。具體過(guò)程是先自上而下把對(duì)角元素下的所有ai都消為零，稱(chēng)為“追”。追求出Tn后，再回代求出其余全部未知切向量，即所謂“趕”。下面給出這一算法程序的偽代碼描述。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論P(yáng)rocedureTRIDIA(DIA，T，n，k，IFLA

30、G)BEGINIF(IFLAG=0)THENFORi=1TOnDIA(1，i)=-DIA(1，I)/DIA(2，i-1)DIA(2，i)=DIA(3，i-1)*DIA(1，i)+DIA(2，i)NEXTiENDIFFORi=1TOnFORj=1TOk第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論T(j，i)=T(j，i)+T(j，i-1)*DIA(i，1)NEXTjNEXTiFORj=1TOkT(j，n)=T(j，n)/DIA(2，n)NEXTjFORi=n-1TO0，STEP-1FORj=1TOkT(j，i)=(T(j，i)-DIA(3，i)*T(j，i+1)/DIA(2

31、，i)NEXTjNEXTiEND第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論4.二階連續(xù)的開(kāi)曲線(xiàn)的邊界條件常用二階連續(xù)的開(kāi)曲線(xiàn)的邊界條件有如下幾種類(lèi)型:(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題直接給出端點(diǎn)處的切向量T0,Tn。這相當(dāng)于在式(8.3.43)中設(shè)定條件：D0=T0,b0=1,c0=0；Dn=Tn,a0=0,b0=1(8.3.44)(2)設(shè)定第一段和最后一段三次參數(shù)曲線(xiàn)的二階導(dǎo)向量為常向量。這就設(shè)定了這兩段曲線(xiàn)為二次參數(shù)曲線(xiàn)，即為通常的拋物線(xiàn)。根據(jù)式(8.3.35)不難推得11100102,2nnnnPTTPTT(8.3.45)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)

32、的設(shè)計(jì)理論這相當(dāng)于要求在式(8.3.43)中設(shè)定條件：(3)設(shè)定端點(diǎn)處二階導(dǎo)向量為0。這時(shí)根據(jù)式(8.3.35)不難推得這相當(dāng)于要求在式(8.3.43)中設(shè)定條件：1, 1,2; 1, 1,2001100000baPDcbPDnnn(8.3.46)111001032,32nnnnPTTPTT(8.3.47)2, 1,3; 1, 2,30011000000baPDcbPDnn(8.3.48)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.4 參數(shù)曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)參數(shù)曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)8.4.1參數(shù)三次曲線(xiàn)的幾何形狀定義與Ti同向的單位向量為Ui，則有于是由式(8.3.16)可得i

33、iiiiiUTTTTU,(8.4.1)11111)()(iiiiiiiiiiiiUTUTPPFTTPPFStFtP(8.4.2)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論如圖8.4所示，設(shè)點(diǎn)M是Pi點(diǎn)切線(xiàn)的正方向和Pi+1點(diǎn)切線(xiàn)的反方向的交點(diǎn).第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.4兩端點(diǎn)處切向量長(zhǎng)度同時(shí)增加對(duì)曲線(xiàn)形狀的影響PiUiMPi 1Ui 1第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.4.2參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性1.曲線(xiàn)段拼接點(diǎn)的連續(xù)性現(xiàn)在我們?cè)倏紤]對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi,i=0,1,n實(shí)行參數(shù)化，用曲線(xiàn)P(u)

34、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分割u0u1un求解光滑曲線(xiàn)的問(wèn)題。設(shè)樣條曲線(xiàn)在數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi處具有給定的導(dǎo)向量Ti，則可以通過(guò)式(8.3.31)中給出的分段三次參數(shù)插值曲線(xiàn)Pi(t)=Pi(t(u)，uui-1,ui構(gòu)造出一階連續(xù)的曲線(xiàn)。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論2.參數(shù)連續(xù)性把參數(shù)曲線(xiàn)看作參數(shù)的函數(shù)，則曲線(xiàn)的參數(shù)連續(xù)性就是曲線(xiàn)的參數(shù)函數(shù)對(duì)參數(shù)的連續(xù)性。就前面介紹的分段參數(shù)曲線(xiàn)而言，每一段參數(shù)曲線(xiàn)內(nèi)部為參數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)，因此必然是連續(xù)的，其任意階導(dǎo)函數(shù)也是連續(xù)的，因此也是光滑的。這是毋庸置疑的。需要注意的是組成完整曲線(xiàn)的相鄰段的公共端點(diǎn)處的連續(xù)性。3.幾何連續(xù)性參數(shù)曲線(xiàn)的參數(shù)連

35、續(xù)性實(shí)際上是借用函數(shù)曲線(xiàn)的可微性，它與參數(shù)的選取有關(guān)。對(duì)于函數(shù)曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，曲線(xiàn)的可微性與光滑性是一致的，函數(shù)的連續(xù)性越高，曲線(xiàn)就越光滑。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論如對(duì)于前面的P(s)和Q(t),假設(shè)在連接點(diǎn)處G2連續(xù)，就是說(shuō)可以在把t看成s的函數(shù)后C2連續(xù)，因此可推得0000222222211)()()()()()()()()()( ttttttttdsstddttdQdssdtdttQddsstQdsPdssdtdttdQdsstdQsP(8.4.3)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論注意到這個(gè)表達(dá)式中的向量和數(shù)量值，我們

36、可以說(shuō)式(8.4.3)成立等價(jià)于存在數(shù)量值10、2,使得P(s1)=1Q(t0)P(s1)=2Q(t0)+21Q(t0)(8.4.4)反之，此式成立也不難驗(yàn)證前面的二階幾何連續(xù)性G2即曲率連續(xù)要求。根據(jù)參數(shù)曲線(xiàn)的曲率表達(dá)式有311131102101113111)( )()( )( )()( )( )( )()( sQsQsQsQtQtQsQsPsPsP(8.4.5)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.5 Bzier曲線(xiàn)曲線(xiàn)8.5.1Bzier曲線(xiàn)的deCastljau定義借助于折線(xiàn)段求點(diǎn)的方法，我們將得到兩組相鄰的控制點(diǎn)，產(chǎn)生出參數(shù)指定的兩個(gè)直線(xiàn)段上的比例分位

37、點(diǎn)。為了產(chǎn)生出參數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)，我們不妨再利用一次這個(gè)方法，借助的直線(xiàn)段就是剛剛得到的兩個(gè)分位點(diǎn)產(chǎn)生的直線(xiàn)段。這一過(guò)程如圖8.5所示，可用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述如下。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.5三個(gè)控制點(diǎn)給出的Bzier曲線(xiàn)上點(diǎn)的生成方法P110PP011PP2P(t)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論我們首先按順序給出圖8.5所示的三個(gè)控制點(diǎn)P0，P1，P2。對(duì)于參數(shù)t0，1，要生成的曲線(xiàn)上的一點(diǎn)P(t)由如下公式給出:P10=(1-t)P0+tP1,P11=(1-t)P1+tP2(8.5.1)P(t)=P20=(

38、1-t)P10+tP11=(1-t)2P0+2(1-t)tP1+t2P2(8.5.2)要生成的曲線(xiàn)上的一點(diǎn)P(t)由如下公式給出:P20=(1-t)P10+tP11=(1-t)2P0+2(1-t)tP1+t2P2(8.5.3)P21=(1-t)P11+tP12=(1-t)2P1+2(1-t)tP2+t2P3(8.5.4)P(t)=P30=(1-t)P20+tP21=(1-t)3P0+3(1-t)2tP1+3(1-t)t2P2+t3P3(8.5.5)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.6四個(gè)控制點(diǎn)給出的Bzier曲線(xiàn)上點(diǎn)的生成方法示意圖(a)點(diǎn)的生成方法示意圖

39、;(b)遞推計(jì)算方法示意圖P110P11PP212PP321P20PP(t)P3P2P1P012P11P10P21P20P)(30tPP (a)(b)P0第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論反復(fù)重復(fù)上述方法，對(duì)于順序給出的n+1個(gè)控制點(diǎn)P0，P1，P2,，Pn和參數(shù)t0,1，生成的n次Bzier曲線(xiàn)上的點(diǎn)P(t)由如下公式直接給出:其中:(8.5.6)ininiPtBtP)()(0,iinnittiinntB)1 (!)!(!)(,i=0,1,n(8.5.7)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論其遞推計(jì)算過(guò)程如圖8.7所示。遞推過(guò)程的

40、表達(dá)式為而knink tPPtkPPkikiiki,.1 , 0;,.2 , 1)1 (0111(8.5.8)nknikikniPPtBtP00,)()(8.5.9)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.7n+1個(gè)控制點(diǎn)給出的Bzier曲線(xiàn)上點(diǎn)的遞推計(jì)算過(guò)程PnPn111nP12nP22nP23nP33nPPn2Pn313nPP3P2P1P012P11P10P21P20P30P)(0tnPP 第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.5.2Bzier曲線(xiàn)的性質(zhì)1.端點(diǎn)插值性質(zhì)Bzier曲線(xiàn)首末端點(diǎn)正好是控制多邊形的首末頂點(diǎn)，即P(0

41、)=P0、P(1)=Pn。這使我們能簡(jiǎn)單地控制Bzier曲線(xiàn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)。2.端點(diǎn)導(dǎo)向量性質(zhì)Bzier曲線(xiàn)在首末端點(diǎn)的k階導(dǎo)向量分別與Bzier多邊形的首末k條邊有關(guān)，與其它邊無(wú)關(guān)。根據(jù)Bzier曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)公式)()()( 1, 11, 10tBtBPntPnininii(8.5.10)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論可知，在起點(diǎn)t=0和終點(diǎn)t=1處：P(0)=n(P1-P0),P(1)=n(Pn-Pn-1)(8.5.11)亦即Bzier曲線(xiàn)在首末端點(diǎn)處分別與控制多邊形的首末條邊相切，這使我們能直接控制Bzier曲線(xiàn)在首末端點(diǎn)處的切線(xiàn)。同樣，因?yàn)镻(t)=n(

42、n-1)(Pi+2-2Pi+1+Pi)Bi,n-2(t)(8.5.12)所以，在起點(diǎn)t=0和終點(diǎn)t=1處：P(0)=n(n-1)(P2-2P1+P0) P(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn-2)(8.5.13)20ni第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論3.整條Bzier曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性根據(jù)Bzier曲線(xiàn)的生成方法，反向排列控制點(diǎn)的順序后得到的是同一條Bzier曲線(xiàn)，僅曲線(xiàn)方向相反。反映在Bzier曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)表示式中，就應(yīng)該是用(1-t)代替t，重新參數(shù)化得到的Bzier曲線(xiàn)。這時(shí)我們可以看到有下式成立：)1 ()1 (1 ()1 (!)!(!)1 ()!(

43、 !)(,tBttiinnttinintBniniininini(8.5.14)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論4.幾何不變性根據(jù)Bzier曲線(xiàn)的生成方法，Bzier曲線(xiàn)的生成不需要借助任何坐標(biāo)系的選擇，Bzier曲線(xiàn)的形狀僅與控制多邊形的頂點(diǎn)有關(guān)，而與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)?？刂泣c(diǎn)的坐標(biāo)只有在我們需要給出Bzier曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)表示時(shí)才是必須引入的。要知道實(shí)際的曲線(xiàn)是沒(méi)有坐標(biāo)的，引入坐標(biāo)(這卻是完全因人而異的)只是為了處理的方便。Bzier曲線(xiàn)幾何不變性保證在控制點(diǎn)不變時(shí)，生成的Bzier曲線(xiàn)不會(huì)因坐標(biāo)選擇的不同而不同。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖

44、形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論5.凸包(convexhull)性Bzier曲線(xiàn)一定落在由其控制頂點(diǎn)組成的凸包內(nèi)，如圖8.8所示。凸包是指包圍一組點(diǎn)集的最小凸多邊形或凸多面體?？梢赃@樣來(lái)想像確定平面上點(diǎn)集的凸包：在點(diǎn)集的每個(gè)點(diǎn)上打上釘子，然后用一根封閉的彈性橡皮繩套在所有釘子的外面，橡皮繩因彈性自然收縮形成封閉的多邊形區(qū)域，這個(gè)多邊形區(qū)域就是該點(diǎn)集張成的凸包。對(duì)于空間中的一組點(diǎn)集，也可以想像用一封閉的彈性橡皮薄膜包住這些點(diǎn)，因彈性收縮所形成的空間區(qū)域即為其凸包。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.8Bzier曲線(xiàn)位于控制頂點(diǎn)的凸包內(nèi)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章

45、計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論6.變差縮減性質(zhì)任意平面與Bzier曲線(xiàn)的交點(diǎn)數(shù)目不會(huì)超過(guò)平面與Bzier曲線(xiàn)的由n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形的交點(diǎn)數(shù)目，如圖8.9所示。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.9Bzier曲線(xiàn)與平面交點(diǎn)數(shù)不會(huì)超過(guò)其與控制多邊形交點(diǎn)數(shù)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論7.Bzier曲線(xiàn)的保凸性若平面Bzier曲線(xiàn)的由n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形為凸多邊形，則對(duì)應(yīng)的n次Bzier曲線(xiàn)也是凸的。這也就是說(shuō)，相應(yīng)的Bzier曲線(xiàn)上沒(méi)有拐點(diǎn)和奇點(diǎn)。8.控制頂點(diǎn)對(duì)Bzier曲線(xiàn)的影響如果在交互設(shè)計(jì)曲線(xiàn)時(shí)，移動(dòng)n次B

46、zier曲線(xiàn)的第i個(gè)控制頂點(diǎn)Pi，產(chǎn)生一個(gè)位移向量Pi,則此時(shí)新的Bzier曲線(xiàn)P*(t)應(yīng)是P*(t)=P(t)+PiBi,n(t)(8.5.15)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論因此有則可使頂點(diǎn)Pi偏移一個(gè)向量:9.Bzier曲線(xiàn)的幾何形狀Bzier曲線(xiàn)及其控制多邊形的幾何形狀如圖8.10所示。| )(,| )(,|max| )(,|max| )()(|max101010niBPtBPtBPtPtPniinitiniitt(8.5.16)(,niBPPnii(8.5.17)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.10Bzie

47、r曲線(xiàn)及其控制多邊形的幾何形狀第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.5.3三次Bzier曲線(xiàn)1.三次Bzier曲線(xiàn)的矩陣表示三次Bzier曲線(xiàn)用4個(gè)控制頂點(diǎn)給出的曲線(xiàn)的表達(dá)式為P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3(8.5.18)由B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)=1t t2t3iiiPtB)(303 ,1331036300330001(8.5.19)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論不難得到其類(lèi)似于參數(shù)三次樣條曲線(xiàn)的矩陣表示形式為上面的表達(dá)式可簡(jiǎn)寫(xiě)為P(t)=1t

48、t2t3MS(8.5.21)這兩種曲線(xiàn)實(shí)際上只是表示形式不同，它們可以互相表示出來(lái)：32103213310363003300011 )(PPPPttttP(8.5.20)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論) 1 ( )0( ) 1 ()0(0010310100310100013300003310000001) 1 ( )0( ) 1 ()0(32103210PPPPPPPPPPPPPPPP(8.5.22)(8.5.23)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論用冪基形式即式(8.3.1)表示的參數(shù)的三次多項(xiàng)式曲線(xiàn)也可用三次Bzier曲線(xiàn)

49、的形式表示出來(lái)，這只需有1tt2t3=B0，3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)001031010031010001(8.5.24)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論2.三次Bzier曲線(xiàn)的凸性性質(zhì)若由平面Bzier曲線(xiàn)的n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形為凸多邊形，則對(duì)應(yīng)的n次Bzier曲線(xiàn)也是凸的。但反過(guò)來(lái)，則不一定成立。當(dāng)n=1，2時(shí)，控制多邊形總是凸的，相應(yīng)的Bzier曲線(xiàn)也總是凸的(n=1時(shí)為直線(xiàn)段，n=2時(shí)為拋物線(xiàn))。當(dāng)n3時(shí)才可能有非凸的Bzier曲線(xiàn)。我們有如下結(jié)論:三次Bzier曲線(xiàn)凸的充分必要條件是它的控制多邊形為凸多邊形。對(duì)于n=4

50、，圖8.11所示的凸的Bzier曲線(xiàn)由非凸的控制多邊形生成。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.11由非凸的控制多邊形生成凸的Bzier曲線(xiàn)yxO第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論3.三次Bzier曲線(xiàn)的光滑拼接下面來(lái)分析三次Bzier曲線(xiàn)在各端點(diǎn)處的光滑連續(xù)性連接條件。光滑連接時(shí)，切向量應(yīng)方向一致。參看圖8.12，設(shè)給定了兩個(gè)控制多邊形P0P1P2P3和Q0Q1Q2Q3，要求由它們所定義的Bzier曲線(xiàn)段在連接點(diǎn)P3和Q0處連續(xù)或光滑拼接。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.12兩段Bzi

51、er曲線(xiàn)段的光滑拼接P0P1P2Q1Q2Q3P3 Q0第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論如果只是要求兩條曲線(xiàn)的端點(diǎn)重合，則只需下式成立即可：P3=Q0(8.5.25)要求兩條曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處不僅重合，且要沒(méi)有形成尖角，則可要求導(dǎo)向量相等，即有3(P3-P2)=3(Q1-Q0)(8.5.26)如果要求沒(méi)有尖角，只需在連接點(diǎn)處有共同的切線(xiàn)和導(dǎo)向量同向即可，則只需有下式成立:P3-P2=(Q1-Q0)0(8.5.27)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論要達(dá)到C2連續(xù)性，必須要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即下式成立：6(P3-2P2+P1)=6(Q2-

52、2Q1+Q0)(8.5.28)結(jié)合式(8.5.25)，化簡(jiǎn)式(8.5.28)可得Q2-P1=2(Q1-P2)(8.5.29)結(jié)合式(8.5.27)，可得Q2-P2=P1-P2+(P3-P2)(8.5.30)如果=1，進(jìn)一步有Q2=P1+3(P3-P2)(8.5.31) 1(2第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論8.6 B-樣條曲線(xiàn)樣條曲線(xiàn)8.6.1B-樣條曲線(xiàn)的定義B-樣條曲線(xiàn)的出發(fā)點(diǎn)仍是利用控制點(diǎn)給出的控制多邊形產(chǎn)生曲線(xiàn)，以其獲得的曲線(xiàn)的幾何形狀可以通過(guò)控制多邊形的形狀直觀地得以控制。但與定義Bzier曲線(xiàn)不同的是：(1)我們假設(shè)有由無(wú)限多個(gè)控制點(diǎn)組成的控制點(diǎn)序

53、列：Pi：i=,-2,-1,0,1,2,(8.6.1)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論(2)為了克服參數(shù)取值范圍對(duì)曲線(xiàn)的影響，我們主動(dòng)把參數(shù)取值的因素引入到曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)中來(lái)，以便考察這種影響，設(shè)計(jì)出更合理的曲線(xiàn)。具體的做法是對(duì)每一個(gè)控制點(diǎn)Pi引入一個(gè)參數(shù)值ui，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)值，于是有節(jié)點(diǎn)值序列:ui：i=,-2,-1,0,1,2,(8.6.2)1.一階B-樣條曲線(xiàn)現(xiàn)在考察在參數(shù)區(qū)間tuj,uj+1上曲線(xiàn)段的生成。如果只是借助于相鄰的兩個(gè)制點(diǎn)Pj和Pj+1產(chǎn)生曲線(xiàn)段，則只要生成折線(xiàn)段曲線(xiàn)即可。曲線(xiàn)段上某一點(diǎn)，具體由參數(shù)指定的直線(xiàn)上的比例分位點(diǎn)給出。這時(shí)我們把相鄰的兩個(gè)

54、控制點(diǎn)作為一組，產(chǎn)生一段特殊形式的曲線(xiàn)直線(xiàn)段。此時(shí)兩個(gè)控制點(diǎn)產(chǎn)生的直線(xiàn)段公式為第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論2.二階B-樣條曲線(xiàn)利用Pj-1，Pj產(chǎn)生出的點(diǎn)為在參數(shù)區(qū)間uj，uj+2內(nèi)考慮tuj，uj+1對(duì)應(yīng)的比例分位點(diǎn)為,)(111111jjjjjjjjjjuutPuuutPuututP(8.6.3),)(11111111)1(jjjjjjjjjjjuutPuuutPuututP(8.6.4),)(112222)1(1jjjjjjjjjjjuutPuutuPuututP(8.6.5)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論為了產(chǎn)生

55、出參數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)，我們不妨再利用一次這個(gè)方法，借助的直線(xiàn)段就是剛剛得到的兩點(diǎn)產(chǎn)生的直線(xiàn)段，只是此時(shí)參數(shù)的取值范圍為前一步涉及到的兩個(gè)參數(shù)區(qū)間uj-1,uj+1和uj，uj+2的交集，即共同部分uj，uj+1，得到的tuj，uj+1對(duì)應(yīng)的比例分位點(diǎn)為,)()()()(1)1(11)1(11)2(jjjjjjjjjjjuuttPuuuttPuututPtP(8.6.6)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論3.三階B-樣條曲線(xiàn)于是利用Pj-2，Pj-1產(chǎn)生出的點(diǎn)為于是又利用Pj-1，Pj產(chǎn)生出的點(diǎn)為于是利用Pj,Pj+1產(chǎn)生出的點(diǎn)為,)(112122211)1

56、(1jjjjjjjjjjjuutPuuutPuututP(8.6.7),)(11211122)1(jjjjjjjjjjjuutPuuutPuututP(8.6.8), )()(11333)1(1jjjjjjjjjjjuuttPuuutPuututP(8.6.9)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論得到的tuj,uj+1對(duì)應(yīng)的比例分位點(diǎn)為得到的tuj,uj+1對(duì)應(yīng)的比例分位點(diǎn)為得到的tuj,uj+1對(duì)應(yīng)的比例分位點(diǎn)為, )()()(1(1)111)1(1111)2(1jjjjjjjjjjjuuttPuuuttPuututP(8.6.10), )()()(1(1)12

57、)1(22)2(1jjjjjjjjjjjuuttPuuuttPuututP(8.6.11), )()()()(1(2)12)2(11)3(jjjjjjjjjjjuuttPuuuttPuututPtP(8.6.12)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論四個(gè)控制點(diǎn)給出的B-樣條曲線(xiàn)上的生成方法示意圖如圖8.13所示。第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.13uj2四個(gè)控制點(diǎn)給出的B-樣條曲線(xiàn)上點(diǎn)的生成方法示意圖Pj 2Pj 1PjPj 111jP2jP21jP11jP1jPP(t)tuj 1uj 2uj 3ujuj 1uj 2第第8

58、8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論4.一般的k階B-樣條曲線(xiàn)一般地，我們可以通過(guò)k+1個(gè)控制點(diǎn)Pj-k+1，Pj-k+2，Pj和Pj+1定義一段曲線(xiàn)P(t)，tuj,uj+1，其定義公式為1,.1,.2 , 1)1 (,111)()1()()1(1)()()0(jkjikluuutPPPPPikiililililililiii(8.6.13)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論而P(t)=Pkjtuj,uj+1(8.6.14)即有u-2u-1u0u1u2(8.6.15)如果我們把所有控制點(diǎn)的下標(biāo)減去1，同時(shí)保持所有節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)不變，則有由k+

59、1個(gè)控制點(diǎn)Pj-k，Pj-k+1，Pj-1和Pj定義一段曲線(xiàn)P(t)，tuj,uj+1，其定義公式為jlkjikluuuitPPPPPilkililililililiii,.,.,2 , 1)1 (,1)()1()()1(1)()()0(8.6.16)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論而P(t)=Pkjtuj,uj+1(8.6.17)這就是通常的B-樣條曲線(xiàn)的deBool公式。圖8.14給出了一段三次B-樣條曲線(xiàn)的遞推計(jì)算過(guò)程。根據(jù)B-樣條曲線(xiàn)公式，B-樣條曲線(xiàn)可有如下形式的表示:jjkjPtNtP)()(,(8.6.18)第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論

60、章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論圖8.14deBool公式的B-樣條曲線(xiàn)上點(diǎn)的生成方法示意圖Pj 312jPPj 211jPPj 11jPjP21jPP(t)2jPuj 2uj 1ujuj 1uj 2uj 3l3l2l1t第第8 8章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論章計(jì)算機(jī)圖形中曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)理論注解:（1）依據(jù)B-樣條曲線(xiàn)的遞推公式，如果所有節(jié)點(diǎn)值擴(kuò)大或縮小倍數(shù)a，并增加一個(gè)常數(shù)b，則對(duì)tuj，uj+1，有at+bauj+b,auj+1+b，并且（2）依據(jù)B-樣條曲線(xiàn)的遞推公式，如果在遞推過(guò)程中始終有)()()()(12)(baubaubaubatuuutilkiiilkiili(8.6.19)tuuut