第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析

1、第第3章章 連續(xù)時間信號與連續(xù)時間信號與LTI連續(xù)時間系統(tǒng)系連續(xù)時間系統(tǒng)系統(tǒng)的頻域分析統(tǒng)的頻域分析n3.1 周期信號的傅里葉級數(shù)周期信號的傅里葉級數(shù)(FS)n3.2 傅里葉變換傅里葉變換(FT)n3.3 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域(FT)分析分析3.1 周期信號的傅里葉級數(shù)周期信號的傅里葉級數(shù)(FS)3.1.1三角函數(shù)形式的三角函數(shù)形式的FS p48)sin()cos()(可以展開的周期信號2 為 角頻頻 01000tkctkbatfTkkkTn其系數(shù)公式為其系數(shù)公式為)()3 , 2 , 1( ,sin)(2), 3 , 2 , 1( ,cos)(2)(10000000000

2、為任意實數(shù)tkdttktfTcktdtktfTbdttfTaTttTkTttTkTttTn也可以寫成另外一種形式的三角函數(shù)形式也可以寫成另外一種形式的三角函數(shù)形式FSn展開式：展開式：)arctan()3 , 2 , 1( ,)cos()(2200100kkkkkkkkkTbckcbAaAtkAAtf式中：, 2 , 1, 0),()(, 2 , 1 , 0, 0),()(kbtftfkctftfkTTkTT則若則若n注注 狄里赫利（狄里赫利（Dirichlet）條件是：條件是：n（1）在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間）在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應是有限個；斷點的數(shù)目應是有

3、限個；n（2）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應是有限個；是有限個；n（3）在一周期內(nèi)，信號滿足絕對可積。）在一周期內(nèi)，信號滿足絕對可積。3.1.2指數(shù)函數(shù)形式的指數(shù)函數(shù)形式的FS p49tjkkkTjktjkTttTkeatftkeadtetfTak0000)()(, 3 , 2 , 1(,|)(10為任意實數(shù) 兩種形式兩種形式FS系數(shù)的關系系數(shù)的關系)0(),(21)(2)0(100kjcbaaajcaabbctgaAFaAkkkkkkkkkkkkkkk3.1.3周期信號的頻譜周期信號的頻譜 p511.單邊頻譜單邊頻譜:將周期信號展開成三角函將周期信號展

4、開成三角函數(shù)形式數(shù)形式FS關系和:相位 譜關系和A:振幅 譜)cos()(k.k100kkkTtkAAtf （a）單邊幅度頻譜 （b）單邊相位頻譜圖3-1 周期信號的單邊頻譜kA0050100t2t400501020kn2、雙邊頻譜、雙邊頻譜 p51n若周期信號若周期信號fT(t)的指數(shù)形式傅里葉展開式為：的指數(shù)形式傅里葉展開式為：稱：稱：kjkTtttjkkktjkkTeadtetfTaeatf|)(1)(0000的關系為相位頻譜。與的關系為振幅頻譜；與)()(00kkakk005010050100（a）雙邊振幅頻譜t2t4t4t2)(0kFk00501022005010（b）雙邊相位頻譜圖

5、3-2 周期信號的雙邊頻譜n3、周期信號頻譜的特點、周期信號頻譜的特點 p51n（1）頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜）頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，即頻譜具有線代表一個正弦分量，即頻譜具有離散性離散性。n（2）頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在基波頻）頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在基波頻率率 的整數(shù)倍的頻率上，即頻譜具有的整數(shù)倍的頻率上，即頻譜具有諧波性諧波性。n（3）幅頻特性的變化趨勢是隨著諧波次數(shù)）幅頻特性的變化趨勢是隨著諧波次數(shù)的增大而逐漸減?。划斨C波次數(shù)無限增大時，的增大而逐漸減小；當諧波次數(shù)無限增大時，諧波分量的振幅也就無限趨小，即諧波分量的振幅也就無限趨小，即幅度頻譜幅

6、度頻譜具有收斂性具有收斂性。n簡記為簡記為:離散性離散性.諧波性和幅頻特性收斂性諧波性和幅頻特性收斂性。3.1.5 周期信號的頻帶寬度周期信號的頻帶寬度 p51圖3-3 周期矩形脈沖信號的波形 02t2tTT)(tftEn若將周期矩形脈沖信號展開為指數(shù)形式的傅若將周期矩形脈沖信號展開為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，則可得：里葉級數(shù)，則可得： 210220ttttkSaTEdtEeTatjkk00t2t4t2akTEt圖3-4 周期矩形脈沖信號的頻譜52E0t2t41t)(tftET2TkAt)(tftETkA5Et2t40圖3-5 不同值下周期矩形脈沖信號的頻譜(b)T=10 t)(tftETTt2t

7、452EkA01(a)5Ttt)(tftET2TkAt25E01(b)圖3-6 不同值下周期矩形脈沖信號的頻譜10Tt3.2 傅里葉變換傅里葉變換(FT) p513.2.1 FT的引入的引入p51dtetfTaeatfFSTTtfTTtjkTkktjkkTT22000)(1)(,2角式中則可展開成頻率基波）的周期為（設周期信號,求和變成積分，時，當可以改寫為：的任意一個周期，即是設,1)()(11)()(1)()()()(02200kdffTtftfTTeTatfdtetfTakTtftftftfTntjkkTTTtjkTkkTTdeFdfeFdfeTatftfFdtetfTatjtjtjkT

8、TTtjkT)(21)(1lim)()(lim)()(1lim于是得到3.2.2 FT的定義的定義 p53)()()()(21)()()()(1FtftfdeFFFdtetftftjtj記為：反變換正變換FF 傅里葉變換存在的條件傅里葉變換存在的條件n傅里葉變換存在的充分條件是：傅里葉變換存在的充分條件是：dttf)(信號的頻譜信號的頻譜的關系與相位頻譜的關系與振幅頻譜若）（)()()()()(FeFFtfj典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換n1門函數(shù)（矩形脈沖）門函數(shù)（矩形脈沖）)2(22sin2sin2)()()(2222ttttttttttttSajeedtedtetgFtgjjt

9、jtj （a）門函數(shù) （b）門函數(shù)的頻譜圖3-7 門函數(shù)及其頻譜1t02t2tt4t0t2t2)(F)(tptn2、單邊指數(shù)函數(shù)、單邊指數(shù)函數(shù)設單邊指數(shù)函數(shù)的表達式為：設單邊指數(shù)函數(shù)的表達式為：)0( ,1)()0(),()(0)(0jdtedteeFtuetfttjtjttn即：即：n其振幅頻譜和相位頻譜分別為：其振幅頻譜和相位頻譜分別為：arctan)(1)(22F0,1)(jtuet（a）單邊指數(shù)函數(shù) )(FA)(022（b）單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜圖3-8 單邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜A)(tf0t)(tAetn3、單位沖激函數(shù)、單位沖激函數(shù)n根據(jù)傅里葉變換的定義，根據(jù)傅里葉變換的定義，下圖給出了單

10、位沖激函數(shù)及其頻譜下圖給出了單位沖激函數(shù)及其頻譜1)()(dtettFtj （a）單位沖激函數(shù) （b）單位沖激函數(shù)的頻譜圖3-9 單位沖激函數(shù)及其頻譜0)(t)1(t01)(Fn4、直流信號、直流信號設直流信號：設直流信號：它不滿足絕對可積條件，因此不能用傅里葉積它不滿足絕對可積條件，因此不能用傅里葉積分式求傅里葉變換。分式求傅里葉變換。根據(jù)對稱性，可得：根據(jù)對稱性，可得：)( ,)(tAtf)2（AA0A)(tft0()F)2(A （a）直流信號 （b）直流信號的頻譜圖3-10 直流信號及其頻譜3.2.3 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質 p551、線性特性、線性特性 p55),()

11、()()()()()(),()(21221122112211為常數(shù)則：若aaFaFatfatfaFtfFtf2、時移特性、時移特性 p56)()()()()(000為常數(shù)則：若teFttfFtftj3.頻移特性頻移特性 p57)()( 若Ftf)()( 則00Fetftjn推論：調(diào)制定理推論：調(diào)制定理)()(2sin)()()(21cos)()()(000000FFjttfFFttfFtf則：若Ap(t) 2t02ttAtAFp(t) 0t2t2（a）門函數(shù)及其頻譜（b）高頻脈沖信號及其頻譜 圖3-11 高頻脈沖信號的頻譜y(t)=Ap(t)cost0t 2t2tAt2tA(j )Y0t200

12、0t204、尺度變換特性、尺度變換特性 p59)()()(1)()()(FtfaaFaatfFtf推論：為非零的實常數(shù)）（則：若1t)(tf02tt)(F0t2t22t（a）t)21(tf0t1tt2)2(2F0tt（b）1t)2( tf04t4t2t)2(21F0t4t4（c）圖3-12 尺度變換性質的說明5、對偶性、對偶性 p60)(2)()()(ftFFtf則：若21t)(212tp0111)(Sa0（a）門函數(shù)及其頻譜t1)(tSa0)(2tp011（b）抽樣函數(shù)及其頻譜 圖3-136、FT的卷積特性的卷積特性 p62n（1）時域卷積定理）時域卷積定理)()()()()()()()(2

13、1212211FFtftfFtfFtf則：，若n證明：證明：n交換積分次序交換積分次序n證畢證畢)()()()()()()()()()()()(211221212121ttttttttttttFFdefFdeFfddtetffdtedtfftftfFjjtjtj 2t2t1tf1(t)=p (t)02t2t1tf2(t)=p (t)00ttttf(t)= f1(t)*f2(t)（a）時域卷積運算tt（b）頻域相乘運算圖3-14 FT時域卷積特性t0t2t2t0t2t22t022磢)2()(1SaF)2()(2SaF)()()(21FFFn（2）頻域卷積特性）頻域卷積特性)()(21)()(21

14、21FFtftf（a）時域相乘運算0000（b）頻域卷積運算圖3-15 FT頻域卷積特性 12t02tt1t0cost1tty0cos)(2t2t1t1)(tpt)(tptt0t2t2t0cosF2t00)()()(tpFt)(Y7、時域微分和時域積分、時域微分和時域積分 p64n（1）時域微分特性）時域微分特性)()()()()()()()()()()()()(ffjFFFFjtfFtfNNNNN而：則：若 n證明：證明：)()()()()()(:)(21)(21)()(21)()(證畢依此類推可得：所以求導數(shù)，得：等式兩邊對FjFtfFjtfdeFjedtdFtfdtddeFtfNNNtj

15、tjtjtn（2）時域積分）時域積分)()0()()(),()()1(FjFtfFtf則：若：n證明：證明： )() 0()()(1)()(F)(F)()()()()()() 1() 1() 1(證畢：FjFjFtutftftutfttftfF （a）門函數(shù) （b）門函數(shù)的積分 圖3-16 FT時域積分特性2t02ttt12t02tt1)(tpt)()()1(tptft9、頻域微分特性、頻域微分特性 p72)()( ),()( FddjttfFtf則：若8.周期函數(shù)的周期函數(shù)的FT p67kkTTkkkaFtfTFFtfkTtftf)(2)()(|)(則a)()(且 )()(0k0 T若n證明

16、：證明：)()(1)(1)(1)(2)()()(2)()(000000222200證畢而求傅里葉變換，對周期信號ktjkTTtjktjkTTTkkkTTtjkTktjkkTTFdtetfTdtetfTdtetfTakaFtfketfeatf) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (0)(tTTT2T3T2T3Tt)(0000)(tTF)(0)(0)(0)(00202 （a）周期單位沖激序列 （b）周期單位沖激序列的頻譜 圖3-17 均勻沖激串 的FT)(tT1t)(tfT02t2t1T1T)(tfTF000t0 （a）周期矩形脈沖 （b）周期矩形脈沖的頻譜 圖3-1

17、8 方波串的頻譜*10、實虛奇偶性、實虛奇偶性)()( )(- F -) ( )()( )()()()( )()( )()()( 1)(XXFRRFFF FjXReFFtfFj則）若實信號（n（2）的純虛奇函數(shù)。是時，當?shù)呐紝嵑瘮?shù)；是，時當為實函數(shù)，若)()()( )( )()( )()()( FtftfFtftftfFtf*11、能量定理、能量定理dFdttfFtf22)(21)()()(則：若n3.2.4有理真分式的部分分式展開有理真分式的部分分式展開p723.3 LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.3.1 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應p76n2、 、h(t

18、)的關系的關系 p77)(H)()(HthFT3.3.2 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析p781.用用FT法求法求LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應)(txR1C)(ty1t)(tx02t2t1F （a）矩形脈沖信號 （b）RC電路 圖3-19 （a）矩形脈沖信號及其幅頻特性曲線t0t2t22t2t1t)(tx0)(X（b）RC低通電路的沖激響應及其幅頻特性曲線 0te1t)(th01)(H（c）RC低通電路的響應及其幅頻特性曲線 圖3-20 矩形脈沖信號通過RC低通電路t0t2t22t2t1t)(ty0)(Yn2、LTI連續(xù)時間系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應連

19、續(xù)時間系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應n設設LTI系統(tǒng)單位沖激響應為系統(tǒng)單位沖激響應為h(t)n則根據(jù)時域分析可知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：則根據(jù)時域分析可知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：時輸入)( ,)(0tetftjtjjtjtjtjtjfeHdehedeheththety000000)()()()()()(0)(ttttttn3.3.3周期信號通過周期信號通過LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的響應連續(xù)時間系統(tǒng)的響應p79n1.將周期為將周期為T的周期信號的周期信號fT(t)展開為：展開為：n設系統(tǒng)頻率響應為設系統(tǒng)頻率響應為H(),n則輸出則輸出ktjkkTeatf0)(ktjkkekHaty0)()(02.周期信號展開成三

20、角函數(shù)形式時求響應周期信號展開成三角函數(shù)形式時求響應)(tv0222t)(tvR1CF1)(tvc （a）周期方波信號 （b）RC電路 圖3-21 3.3.4 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) p81n1無失真?zhèn)鬏數(shù)臄?shù)學模型無失真?zhèn)鬏數(shù)臄?shù)學模型n無失真?zhèn)鬏斒侵妇€性系統(tǒng)輸出響應無失真?zhèn)鬏斒侵妇€性系統(tǒng)輸出響應y(t)的波形與輸入的波形與輸入激勵激勵f(t)的波形完全相同，其幅度大小可以不同，時的波形完全相同，其幅度大小可以不同，時間前后有所差異，因此，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的數(shù)學模間前后有所差異，因此，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的數(shù)學模型為型為:)()(0ttKftyLTI系統(tǒng)1122)(tf)()(0ttKftytt0

21、t00)(tf)(ty圖3-22 LTI系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏?、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應n對數(shù)學模型對數(shù)學模型取傅里葉變換，可得：取傅里葉變換，可得：所以無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應為：所以無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應為：)()(0ttKfty0)(tjKeH)()()()(0FHeKFYtjn由此可得，系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為：由此可得，系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為：0)()(tHKH圖3-23 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻譜特性0K00t)(H)(H3.3.5調(diào)制調(diào)制.解調(diào)的概念解調(diào)的概念3.3.6理想濾波器的概念理想濾波器的概念p82n理想低通濾波器理想低通濾波器p83n頻率響應頻率響應n因

22、為：因為：n所以所以0)()(2tjeKpHc)()(sin)(00ttttKthcttpccsin)(21Ft)(th00tc2t)(t0) 1 (c圖3-24 理想低通濾波器的沖激響應3.3.7 時域?。〞r域?。ǔ椋映椋觩87返回首頁連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號f(t)抽樣的工作原理如圖所示。抽樣的工作原理如圖所示。抽樣器相當于一個定時開關，它每隔一個周期抽樣器相當于一個定時開關，它每隔一個周期T閉合一次，每次閉合時間為閉合一次，每次閉合時間為 ，從而得到樣從而得到樣值信號值信號fs(t)。)(tf0tS)(tf)(tfs抽樣器)(tfs0tTT圖3-25 信號的抽樣 圖3-26 抽樣開關

23、信號 )(ts0tTT1T2t 圖3-27 抽樣模型理想時域取樣的數(shù)學模型為理想時域取樣的數(shù)學模型為)(tf)(tT)()(T(t)tftfs1、理想時域取樣的數(shù)學模型、理想時域取樣的數(shù)學模型p87fs(t)稱為原信號稱為原信號f(t)的時域取樣信號，的時域取樣信號，T稱為取樣周稱為取樣周期，期， 稱為取樣角頻率。稱為取樣角頻率。T202、理想時域取樣的時域關系理想時域取樣的時域關系p87)()()()()(kTtktfttftfkTs)(tf0t)(tT0t)(tfstTT0TT) 1 (t圖3-28 時域抽樣的時域關系（a）原信號波形圖及頻譜圖3、理想時域取樣的頻域關系 p87)2(1)(00TkFTFks0)(tft0)(Fmm1（b）均勻沖激串信號波形圖及頻譜圖) 1 (0TTT2T2t)(00000202)(tT)(00（c）抽樣信號及其頻譜圖3-29 時域抽樣與頻譜分析0)(tfst0TTT2T200T1mm)(sF4. 奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔p88若信號帶限則稱 為信號f(t)的奈奎斯特間隔； 為信號f(t)的奈奎斯特頻率； 為信號f(t)的奈奎斯特角頻率。mFFtf, 0)(),()()(sTm