第2章邏輯代數(shù)及其化簡(jiǎn)(5)

1、第第2章邏輯代數(shù)及其化簡(jiǎn)章邏輯代數(shù)及其化簡(jiǎn)作業(yè)：作業(yè)：2- -5（2） 2- -6（2）2- -7 2- -11（5） 2- -12（4）2- -13（4） 2- -14（2）2目目 錄錄2.1 計(jì)數(shù)制與編碼計(jì)數(shù)制與編碼2.2 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.3 邏輯函數(shù)常用的描述方法邏輯函數(shù)常用的描述方法2.4 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)2.5 具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)2.6 用用Multisim 2001進(jìn)行邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)與變換進(jìn)行邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)與變換 32.1 計(jì)數(shù)制與編碼計(jì)數(shù)制與編碼任何數(shù)通常都可以用兩種不同的方法來(lái)表示：一種任何數(shù)通常都可以用兩種不同的方法來(lái)表示

2、：一種是按其是按其“值值”表示，另一種是按表示，另一種是按“形形”表示。表示。按按“值值”表示，即選定某種進(jìn)位的計(jì)數(shù)制來(lái)表示某表示，即選定某種進(jìn)位的計(jì)數(shù)制來(lái)表示某個(gè)數(shù)的值，這就是所謂的進(jìn)位計(jì)數(shù)制，簡(jiǎn)稱個(gè)數(shù)的值，這就是所謂的進(jìn)位計(jì)數(shù)制，簡(jiǎn)稱數(shù)制數(shù)制（Number System）。）。4 2.1.1 常用計(jì)數(shù)制及其轉(zhuǎn)換（自學(xué)）常用計(jì)數(shù)制及其轉(zhuǎn)換（自學(xué)）143.75=1143.75=1* *10102 2+4+4* *10101 1+3+3* *10100 0+7+7* *1010-1-1+5+5* *1010-2-2(101.11)(101.11)2 2=1=1* *2 22 2+0+0* *2

3、21 1+1+1* *2 20 0+1+1* *2 2-1-1+1+1* *2 2-2-2=(5.75)=(5.75)1010 101.11 101.11B= 5.75DB= 5.75D(2(2A.7F)A.7F)1616=2=2* *16161 1+10+10* *16160 0+7+7* *1616-1-1+15+15* *1616-2-2=(42.5)=(42.5)1010 2 2A.7FH= 42.5DA.7FH= 42.5D5 2.1.1 常用計(jì)數(shù)制及其轉(zhuǎn)換（自學(xué)）常用計(jì)數(shù)制及其轉(zhuǎn)換（自學(xué)）(101.11)(101.11)2 2=1=1* *2 22 2+0+0* *2 21 1+1

4、+1* *2 20 0+1+1* *2 2-1-1+1+1* *2 2-2-2=(5.75)=(5.75)1010(101,1110.1011,0010)(101,1110.1011,0010)2 2 =(5 =(5 E . B 2)E . B 2)1616( 8 ( 8 F A. C 6)F A. C 6)1616 =(1000 1111 1010.1100 0110)=(1000 1111 1010.1100 0110)2 26按按“形形”表示，就是用代碼來(lái)表示某些數(shù)的表示，就是用代碼來(lái)表示某些數(shù)的“值值”。按按“形形”表示一個(gè)數(shù)時(shí)，先要確定編碼規(guī)則，然表示一個(gè)數(shù)時(shí)，先要確定編碼規(guī)則，然后

5、按此編碼規(guī)則編出代碼，并給代碼賦以一定的后按此編碼規(guī)則編出代碼，并給代碼賦以一定的含義，這就是所謂的含義，這就是所謂的編碼編碼。7計(jì)算機(jī)等數(shù)字系統(tǒng)所處理的信息多為數(shù)值、文字、計(jì)算機(jī)等數(shù)字系統(tǒng)所處理的信息多為數(shù)值、文字、符號(hào)、圖形、聲音和圖像等，它們都可以用多位符號(hào)、圖形、聲音和圖像等，它們都可以用多位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示，這種多位二進(jìn)制數(shù)叫做代碼。二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示，這種多位二進(jìn)制數(shù)叫做代碼。如果用一組代碼并給每個(gè)代碼賦以一定的含義則如果用一組代碼并給每個(gè)代碼賦以一定的含義則稱稱編碼編碼（Encode）。）。2.1.2 編碼編碼 8在數(shù)字電路中，常用在數(shù)字電路中，常用二二-十進(jìn)制碼十進(jìn)制碼，也叫做，也叫

6、做BCD（Binary-Coded Decimal）碼碼。所謂二所謂二-十進(jìn)制碼，就是用十進(jìn)制碼，就是用4位二進(jìn)制數(shù)組成的代碼位二進(jìn)制數(shù)組成的代碼來(lái)表示來(lái)表示1位十進(jìn)制數(shù)。位十進(jìn)制數(shù)。4位二進(jìn)制數(shù)具有位二進(jìn)制數(shù)具有16種組合，二種組合，二-十進(jìn)制數(shù)的十進(jìn)制數(shù)的10個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)字符號(hào)只需選用其中的字符號(hào)只需選用其中的10種組合來(lái)表示常用的幾種種組合來(lái)表示常用的幾種二二-十進(jìn)制編碼如表十進(jìn)制編碼如表2-1所示。所示。9表表2-1 常用的幾種二常用的幾種二-十進(jìn)制編碼十進(jìn)制編碼有權(quán)碼有權(quán)碼無(wú)權(quán)碼無(wú)權(quán)碼10英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治布爾（布爾（George Boole）于于1847年年在他的著作中首先對(duì)

7、在他的著作中首先對(duì)邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)的論述，進(jìn)行了系統(tǒng)的論述，故邏輯代數(shù)始稱為故邏輯代數(shù)始稱為布爾代數(shù)布爾代數(shù)，因?yàn)檫壿嫶鷶?shù)用于，因?yàn)檫壿嫶鷶?shù)用于研究二值變量的運(yùn)算規(guī)律，所以也稱為研究二值變量的運(yùn)算規(guī)律，所以也稱為二值代數(shù)二值代數(shù)。 2.2 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 112.2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算包括邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算包括與、或、非與、或、非三種運(yùn)算。三種運(yùn)算。下面用三個(gè)指示燈的控制電路來(lái)分別說(shuō)明三種基下面用三個(gè)指示燈的控制電路來(lái)分別說(shuō)明三種基本邏輯運(yùn)算的物理意義。本邏輯運(yùn)算的物理意義。設(shè)設(shè)開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)A、B為邏輯變量，約定開(kāi)關(guān)閉

8、合為邏輯為邏輯變量，約定開(kāi)關(guān)閉合為邏輯1、開(kāi)關(guān)斷開(kāi)為邏輯開(kāi)關(guān)斷開(kāi)為邏輯0；設(shè)；設(shè)燈燈為邏輯函數(shù)為邏輯函數(shù)F，約定燈亮約定燈亮為邏輯為邏輯1，燈滅為邏輯，燈滅為邏輯0。 12邏輯與（也叫邏輯乘）定義如下：邏輯與（也叫邏輯乘）定義如下：“一個(gè)事件要發(fā)一個(gè)事件要發(fā)生需要多個(gè)條件，只有當(dāng)所有的條件都具備之后，生需要多個(gè)條件，只有當(dāng)所有的條件都具備之后，此事件才發(fā)生此事件才發(fā)生”。EABF？怎么表示與運(yùn)算呢怎么表示與運(yùn)算呢1. 與運(yùn)算與運(yùn)算 131）真值表真值表: 將邏輯變量所有可能取值的組合與其將邏輯變量所有可能取值的組合與其一一對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值之間的關(guān)系以表格的形一一對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值之間的關(guān)系以表格

9、的形式表示出來(lái)，叫做式表示出來(lái)，叫做邏輯函數(shù)的真值表邏輯函數(shù)的真值表。與邏輯運(yùn)算真值表與邏輯運(yùn)算真值表ABF0011010100011. 與運(yùn)算與運(yùn)算 輸入輸入輸出輸出142）邏輯表達(dá)式：邏輯表達(dá)式：表示邏輯與運(yùn)算的邏輯函數(shù)表達(dá)表示邏輯與運(yùn)算的邏輯函數(shù)表達(dá)式為式為FAB，式中式中“”為與運(yùn)算符號(hào)，有時(shí)也為與運(yùn)算符號(hào)，有時(shí)也可以省略?？梢允÷浴?與運(yùn)算的規(guī)則為：與運(yùn)算的規(guī)則為： 000，010，100，11=1。 與運(yùn)算可以推廣到多個(gè)邏輯變量，即與運(yùn)算可以推廣到多個(gè)邏輯變量，即 FABC。1. 與運(yùn)算與運(yùn)算 153）邏輯符號(hào)（電路圖）：邏輯符號(hào)（電路圖）：在數(shù)字電路中，實(shí)現(xiàn)在數(shù)字電路中，實(shí)現(xiàn)邏輯

10、與運(yùn)算的單元電路叫邏輯與運(yùn)算的單元電路叫與門與門，與門的邏輯符與門的邏輯符號(hào)號(hào)如圖所示。如圖所示。本教材采用的本教材采用的符號(hào)符號(hào)1. 與運(yùn)算與運(yùn)算 162. 或運(yùn)算或運(yùn)算 在決定一事件發(fā)生的多個(gè)條件中，只要有一個(gè)在決定一事件發(fā)生的多個(gè)條件中，只要有一個(gè)條件滿足，此事件就會(huì)發(fā)生。條件滿足，此事件就會(huì)發(fā)生。A AE EB BF F ABY001101010111邏輯或運(yùn)算的真值表邏輯或運(yùn)算的真值表17n或運(yùn)算或運(yùn)算邏輯函數(shù)表達(dá)式邏輯函數(shù)表達(dá)式為為FAB，式中式中“”為或運(yùn)算符號(hào)。為或運(yùn)算符號(hào)。n或運(yùn)算的規(guī)則為：或運(yùn)算的規(guī)則為： 0+00，0+11，1+01，1+1=1。n邏輯或運(yùn)算也可推廣到多個(gè)

11、邏輯變量，即邏輯或運(yùn)算也可推廣到多個(gè)邏輯變量，即 F=A+B+C+。2. 或運(yùn)算或運(yùn)算 182. 或運(yùn)算或運(yùn)算實(shí)現(xiàn)邏輯或運(yùn)算的單元電路叫實(shí)現(xiàn)邏輯或運(yùn)算的單元電路叫或門或門，或門的邏，或門的邏輯符號(hào)如圖所示。輯符號(hào)如圖所示。193. 非運(yùn)算非運(yùn)算 當(dāng)條件不具備時(shí)，事件才會(huì)發(fā)生。當(dāng)條件不具備時(shí)，事件才會(huì)發(fā)生。E EY YA AR R邏輯非運(yùn)算的真值表邏輯非運(yùn)算的真值表203. 非運(yùn)算非運(yùn)算非運(yùn)算的邏輯表達(dá)式為非運(yùn)算的邏輯表達(dá)式為 ，式中，式中A上的上的“”為非運(yùn)算符號(hào)，為非運(yùn)算符號(hào)，EDA中表示為中表示為 。非運(yùn)算的規(guī)則為：非運(yùn)算的規(guī)則為：實(shí)現(xiàn)非運(yùn)算的單元電路叫實(shí)現(xiàn)非運(yùn)算的單元電路叫非門非門(或反

12、相器）或反相器），非門，非門的邏輯符號(hào)如圖所示。的邏輯符號(hào)如圖所示。FA01,10FA214. 幾種常用的邏輯運(yùn)算幾種常用的邏輯運(yùn)算由與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算可以組合成多種由與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算可以組合成多種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算。常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算。 1）與非運(yùn)算與非運(yùn)算FABABF00110101111022 2）或非運(yùn)算）或非運(yùn)算ABF0011010110004. 幾種常用的邏輯運(yùn)算幾種常用的邏輯運(yùn)算233）與或非運(yùn)算）與或非運(yùn)算4. 幾種常用的邏輯運(yùn)算幾種常用的邏輯運(yùn)算24 4）異或邏輯運(yùn)算）異或邏輯運(yùn)算 對(duì)于兩變量的異或運(yùn)算，當(dāng)輸入相異時(shí)輸對(duì)于兩變量的異或運(yùn)算，當(dāng)輸入相異時(shí)輸出為

13、出為1，輸入相同時(shí)輸出為，輸入相同時(shí)輸出為0。25 5）同或邏輯運(yùn)算）同或邏輯運(yùn)算 對(duì)于兩變量的同或運(yùn)算，當(dāng)輸入相同時(shí)輸出為對(duì)于兩變量的同或運(yùn)算，當(dāng)輸入相同時(shí)輸出為1，輸入相異時(shí)輸出為輸入相異時(shí)輸出為0。262.2.2邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式 1. 基本公式基本公式 0101定律：定律：重疊律：重疊律：00,10, 11AAAAAA,A A AA A A 270,1A AAA互補(bǔ)律：,ABBA ABBA交換律：,()()ABCABCAB CA BC結(jié)合律：（）（）()A BCABAC分配律：()()ABCAB AC2.2.2邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的

14、基本公式和常用公式 28,ABA B ABAB反演律：AA還原律：同理可證明：同理可證明： ABCABCABCABC2.2.2邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式 292.2.2邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式 證明證明: :1.1.窮舉法窮舉法 2.2.公式法公式法302.常用公式常用公式 ()YABC ABDADAD例:ABAABAABA)1 (11. AABAYABBABABABAB例:BABAAABAA)(2. AABAB31:YABCDABCDA例ABBABAAB)(3. ABABA4. 1 AAAAA2.常用公式常用公式 32YACABB

15、CACABBCACBC例:CAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAAB)(5. ABACBCABAC DEFABACBCABAC推論：（）2.常用公式常用公式 33*異或公式異或公式（補(bǔ)充補(bǔ)充）1AA0AAA1AA0A342.2.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 1. 代入規(guī)則代入規(guī)則 對(duì)任意邏輯等式，如果將式中的某一變量用其對(duì)任意邏輯等式，如果將式中的某一變量用其他變量或邏輯函數(shù)替換，則此等式仍然成立。他變量或邏輯函數(shù)替換，則此等式仍然成立。 例如例如,等式等式 ，若函數(shù)，若函數(shù)FBC去置換等去置換等式中地變量式中地變量B，則等式左邊，而等式右邊，顯則等式左邊，而等式右邊

16、，顯然，等式仍然成立。然，等式仍然成立。 ABAB352. 反演規(guī)則反演規(guī)則 對(duì)于一個(gè)邏輯函數(shù)式對(duì)于一個(gè)邏輯函數(shù)式F, ,若將其中所有的若將其中所有的則得到的結(jié)果就是則得到的結(jié)果就是F F的的反函數(shù)反函數(shù)。01,10,AAAA FF36注意：注意：優(yōu)先順序不能變，優(yōu)先順序不能變，不是單個(gè)變量上的反號(hào)不不是單個(gè)變量上的反號(hào)不能變能變。FD ADBC例 ()FDA DBC373. 對(duì)偶規(guī)則對(duì)偶規(guī)則()FA BCFABC 對(duì)于一個(gè)邏輯函數(shù)式對(duì)于一個(gè)邏輯函數(shù)式F, ,若將其中的若將其中的則得到的結(jié)果就是則得到的結(jié)果就是F F的對(duì)偶式。的對(duì)偶式。若兩邏輯式相等若兩邏輯式相等, ,則它們的對(duì)偶式也相等。則

17、它們的對(duì)偶式也相等。01,10, 382.3.1 邏輯函數(shù)常用的描述方法邏輯函數(shù)常用的描述方法 2.3 邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互間的轉(zhuǎn)換間的轉(zhuǎn)換邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式真值表真值表邏輯電路圖邏輯電路圖卡諾圖卡諾圖邏輯函數(shù)常用的描述方法邏輯函數(shù)常用的描述方法39 由由邏輯變量和邏輯運(yùn)算符號(hào)邏輯變量和邏輯運(yùn)算符號(hào)組成，用于表示變量之組成，用于表示變量之間邏輯關(guān)系的式子，稱為邏輯表達(dá)式。間邏輯關(guān)系的式子，稱為邏輯表達(dá)式。1.邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式 40與或表達(dá)式：與或表達(dá)式：標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式：標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式：或與表達(dá)式：或與表達(dá)式： 標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式:與非與非表達(dá)

18、式與非與非表達(dá)式:或非或非表達(dá)式或非或非表達(dá)式: 與或非表達(dá)式：與或非表達(dá)式： FABACDFABCDABCDABCD()()FABACD()()()FABCD ABCD ABCDFABCDFABCDFABCD41 用來(lái)反映變量所有取值組合及對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格，用來(lái)反映變量所有取值組合及對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格，稱為真值表。稱為真值表。 例如，例如，對(duì)于三變量的判斷奇數(shù)的電路中，當(dāng)對(duì)于三變量的判斷奇數(shù)的電路中，當(dāng)A、B、C三個(gè)變量中有奇數(shù)個(gè)三個(gè)變量中有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，輸出時(shí)，輸出F為為1；否則，；否則，輸出輸出F為為0。2.真值表真值表 42表表2-12 三變量判斷奇數(shù)電路的真值表三變量判斷奇數(shù)電路的真值表

19、 A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 143由由邏輯門電路符號(hào)邏輯門電路符號(hào)構(gòu)成的，用來(lái)表示邏輯變量之間構(gòu)成的，用來(lái)表示邏輯變量之間關(guān)系的圖形稱為邏輯電路圖，簡(jiǎn)稱邏輯圖。關(guān)系的圖形稱為邏輯電路圖，簡(jiǎn)稱邏輯圖。 3.邏輯圖邏輯圖 444. 卡諾圖卡諾圖將邏輯變量分成兩組，分別在將邏輯變量分成兩組，分別在橫豎兩個(gè)方向橫豎兩個(gè)方向排排列出各組變量的列出各組變量的所有取值組合所有取值組合，構(gòu)成一個(gè)有個(gè)，構(gòu)成一個(gè)有個(gè)方格的圖形，其中，每一個(gè)方格對(duì)應(yīng)變量的一方格的圖形，其中，每一個(gè)方格對(duì)應(yīng)變量的一個(gè)取值

20、組合，這種圖形叫做卡諾圖。個(gè)取值組合，這種圖形叫做卡諾圖。 452.3.2不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換 1.表達(dá)式表達(dá)式真值表真值表 由表達(dá)式列函數(shù)的真值表時(shí)，一般首先按自然二由表達(dá)式列函數(shù)的真值表時(shí)，一般首先按自然二進(jìn)制碼的順序列出函數(shù)所含邏輯變量的所有不同進(jìn)制碼的順序列出函數(shù)所含邏輯變量的所有不同取值組合，再確定其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。取值組合，再確定其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。 46例例2-1 列出邏輯函數(shù)列出邏輯函數(shù) 的真值表的真值表 解：逐個(gè)將變量解：逐個(gè)將變量A、B、C的各個(gè)取值組合代入的各個(gè)取值組合代入邏輯函數(shù)中，求出相應(yīng)的函數(shù)值。邏輯函數(shù)中，求出相應(yīng)的函數(shù)值。ABC取取000時(shí)，時(shí)

21、，F(xiàn)為為0；ABC取取001時(shí)，時(shí)，F(xiàn)為為1； ；ABC取取110時(shí)，時(shí)，F(xiàn)為為1；ABC取取111時(shí)，時(shí)，F(xiàn)為為0。按按自然二進(jìn)制碼的順序自然二進(jìn)制碼的順序列出變量列出變量A、B、C的所的所有不同取值組合，再根據(jù)以上的分析結(jié)果，有不同取值組合，再根據(jù)以上的分析結(jié)果，F(xiàn)ABBCCA47表表2-13 邏輯函數(shù)邏輯函數(shù) 的真值表的真值表 A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0FABBCCA48FA B C0 0 0 00 1 0 01 0 0 01 1 0 00 0 1 00 1 1 11 0

22、1 11 1 1 1 將所有已寫出的組合進(jìn)行將所有已寫出的組合進(jìn)行“或或” 真值表真值表FABCABCABC2.真值表真值表表達(dá)式表達(dá)式 找出輸出找出輸出 “1”的組合的組合 用用“與與”寫出使輸出為寫出使輸出為1的組的組合。合。49()()FABA BC CD3. 表達(dá)式表達(dá)式邏輯圖邏輯圖502.3.3邏輯函數(shù)的建立及其描述方法邏輯函數(shù)的建立及其描述方法 為了解決某個(gè)實(shí)際問(wèn)題，必須研究其因變量及其相為了解決某個(gè)實(shí)際問(wèn)題，必須研究其因變量及其相互之間的邏輯關(guān)系，從而得出相應(yīng)的邏輯函數(shù)?；ブg的邏輯關(guān)系，從而得出相應(yīng)的邏輯函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，首先應(yīng)根據(jù)提出的實(shí)際邏輯命題，確定一般來(lái)說(shuō)，首先應(yīng)根據(jù)提出

23、的實(shí)際邏輯命題，確定輸入邏輯變量、輸出邏輯變量。輸入邏輯變量、輸出邏輯變量。研究它們之間的因果關(guān)系，列出其真值表。研究它們之間的因果關(guān)系，列出其真值表。再根據(jù)真值表寫邏輯函數(shù)表達(dá)式。再根據(jù)真值表寫邏輯函數(shù)表達(dá)式。根據(jù)表達(dá)式畫出電路圖。根據(jù)表達(dá)式畫出電路圖。51例例2-13：有一水塔，用一大一小的兩臺(tái)電動(dòng)機(jī)：有一水塔，用一大一小的兩臺(tái)電動(dòng)機(jī)MS和和ML分別驅(qū)動(dòng)兩個(gè)水泵向水塔注水，當(dāng)水塔的水位降分別驅(qū)動(dòng)兩個(gè)水泵向水塔注水，當(dāng)水塔的水位降到到C點(diǎn)時(shí)，小電動(dòng)機(jī)點(diǎn)時(shí)，小電動(dòng)機(jī)MS單獨(dú)驅(qū)動(dòng)小水泵注水，當(dāng)水單獨(dú)驅(qū)動(dòng)小水泵注水，當(dāng)水位降到位降到B點(diǎn)時(shí)，大電動(dòng)機(jī)點(diǎn)時(shí)，大電動(dòng)機(jī)ML單獨(dú)驅(qū)動(dòng)大水泵注水，單獨(dú)驅(qū)動(dòng)大水

24、泵注水，當(dāng)水位降到當(dāng)水位降到A點(diǎn)時(shí)由兩臺(tái)電動(dòng)機(jī)同時(shí)驅(qū)動(dòng)水泵注水。點(diǎn)時(shí)由兩臺(tái)電動(dòng)機(jī)同時(shí)驅(qū)動(dòng)水泵注水。試設(shè)計(jì)一個(gè)控制電動(dòng)機(jī)工作的邏輯電路。試設(shè)計(jì)一個(gè)控制電動(dòng)機(jī)工作的邏輯電路。52 解解 1）設(shè)水位）設(shè)水位C、B、A為輸入變量，當(dāng)水位降到為輸入變量，當(dāng)水位降到C、B、A的某點(diǎn)時(shí)，取值為邏輯的某點(diǎn)時(shí)，取值為邏輯“1”，否則取值，否則取值為邏輯為邏輯“0”；電動(dòng)機(jī)；電動(dòng)機(jī)MS和和ML為輸出變量，工作為輸出變量，工作時(shí)取值為時(shí)取值為 “1”，不工作時(shí)為，不工作時(shí)為 “0”。 2）分析邏輯變量之間的）分析邏輯變量之間的 因果關(guān)系，列出此邏輯因果關(guān)系，列出此邏輯 函數(shù)的真值表。函數(shù)的真值表。533）根據(jù)真值表

25、可寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式。）根據(jù)真值表可寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式。 CBABACBACBAMS）（BCABCBCAML544）根據(jù)邏輯函數(shù)表達(dá)式畫出邏輯電路圖。）根據(jù)邏輯函數(shù)表達(dá)式畫出邏輯電路圖。CBABACBACBAMS）（BCABCBCAML552.4 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)2.4.1邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式 同一邏輯函數(shù)可以采用不同的邏輯電路圖來(lái)實(shí)現(xiàn)，同一邏輯函數(shù)可以采用不同的邏輯電路圖來(lái)實(shí)現(xiàn)，而這些邏輯電路圖所采用的器件的種類或數(shù)量可能而這些邏輯電路圖所采用的器件的種類或數(shù)量可能會(huì)有所不同，因此化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)可以簡(jiǎn)化電路、節(jié)會(huì)有所不同，因此化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)可以簡(jiǎn)化電路、節(jié)省器材、降低

26、成本、提高系統(tǒng)的可靠性。因此，化省器材、降低成本、提高系統(tǒng)的可靠性。因此，化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)對(duì)工程設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)具有重要意義簡(jiǎn)邏輯函數(shù)對(duì)工程設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)具有重要意義 。邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式有很多種，常用的有邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式有很多種，常用的有最簡(jiǎn)與最簡(jiǎn)與或式或式和最簡(jiǎn)或與式和最簡(jiǎn)或與式。56與或式與或式F1=AB+BC 與或式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)是：含的與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；與或式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)是：含的與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；各與項(xiàng)中含的變量個(gè)數(shù)最少。各與項(xiàng)中含的變量個(gè)數(shù)最少?；蚺c式或與式F2=(A+B)(B+C) 或與式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)是：含的或項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；或與式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)是：含的或項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；各或項(xiàng)中含的變量個(gè)數(shù)最少。各或項(xiàng)中含的變量個(gè)數(shù)最

27、少。常用的化簡(jiǎn)方法有常用的化簡(jiǎn)方法有公式法和卡諾圖法公式法和卡諾圖法兩種。兩種。57 公式化簡(jiǎn)法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公公式化簡(jiǎn)法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式，得到最簡(jiǎn)形式。式，得到最簡(jiǎn)形式。2.4.2邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn) 58利用結(jié)合律利用結(jié)合律 ，將兩個(gè)與項(xiàng)合并為一，將兩個(gè)與項(xiàng)合并為一個(gè)，消去其中的一個(gè)變量。個(gè)，消去其中的一個(gè)變量。ABABA1. 并項(xiàng)法并項(xiàng)法1()FABCABCBC AABC例如例如 CBABACBABAF2）（）（CBABACBABA）（C592.吸收法吸收法 利用吸收律利用吸收律A+AB=A，吸收多余的與項(xiàng)。吸收多余的與項(xiàng)。例如：例如

28、： 1()1()FACABCD EFACBD EFAC()()()ABCABC BACDABCBCDACBBCAAF2603.消因子法消因子法 利用利用 吸收律消去某些與項(xiàng)中的變量。吸收律消去某些與項(xiàng)中的變量。 例如例如 ：1FABABCBABCAABAB2()FABACBCABAB CABABCABC61利用吸收律利用吸收律 ，將某些與，將某些與項(xiàng)消去。項(xiàng)消去。 例如：例如： ABACBCABAC1FACABBCACABBCACBC2FABCDABECDEABCDABEABCDAEBE4.消項(xiàng)法消項(xiàng)法 625.配項(xiàng)法配項(xiàng)法 利用利用 等等基本公式給某些邏輯函數(shù)配上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，進(jìn)而可基本公式給某

29、些邏輯函數(shù)配上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，進(jìn)而可消去原函數(shù)中的某些項(xiàng)或變量。消去原函數(shù)中的某些項(xiàng)或變量。例如例如1,11AAAAA A AAA1FABABABABABABAB()()AA BBB ABA2()FAABA BBABABABABAB63實(shí)際上，在化簡(jiǎn)一個(gè)較復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)，總是根實(shí)際上，在化簡(jiǎn)一個(gè)較復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)，總是根據(jù)邏輯函數(shù)的不同構(gòu)成，綜合應(yīng)用上述幾種方法。據(jù)邏輯函數(shù)的不同構(gòu)成，綜合應(yīng)用上述幾種方法。例例CBAABBCBACBAACBCAFCBABCACABBABACBABCACBACBABACBA64FACBCBDCDA BCABCDABDE（）ABCBDCDABCBD例題例題65不同形式

30、表達(dá)式之間的變換不同形式表達(dá)式之間的變換:利用基本公式對(duì)邏輯函數(shù)作形式上的變換，以便選利用基本公式對(duì)邏輯函數(shù)作形式上的變換，以便選用適合的器件來(lái)實(shí)現(xiàn)其邏輯功能。如將與或式變換用適合的器件來(lái)實(shí)現(xiàn)其邏輯功能。如將與或式變換成與非與非表達(dá)式，以便用與非門來(lái)實(shí)現(xiàn)。成與非與非表達(dá)式，以便用與非門來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如例如BAABFBAABBAAB66將或與式變換成或非或非表達(dá)式，以便用或非門將或與式變換成或非或非表達(dá)式，以便用或非門來(lái)實(shí)現(xiàn)。來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如例如 ()()FAB AB()()ABAB()()AB AB不同形式表達(dá)式之間的變換不同形式表達(dá)式之間的變換:672.4.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)

31、 用公式法簡(jiǎn)化邏輯函數(shù)時(shí)，一方面，不僅要用公式法簡(jiǎn)化邏輯函數(shù)時(shí)，一方面，不僅要熟記邏輯熟記邏輯代數(shù)的基本公式，代數(shù)的基本公式，而且還需要有而且還需要有熟練的運(yùn)算技巧熟練的運(yùn)算技巧；另；另一方面，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后的邏輯函數(shù)一方面，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后的邏輯函數(shù)是否是最簡(jiǎn)是否是最簡(jiǎn)或最佳時(shí)或最佳時(shí)有時(shí)也難以確定。與之相比，應(yīng)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函有時(shí)也難以確定。與之相比，應(yīng)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，則簡(jiǎn)捷直觀、靈活方便、且容易確定是否已得到數(shù)，則簡(jiǎn)捷直觀、靈活方便、且容易確定是否已得到最簡(jiǎn)結(jié)果。最簡(jiǎn)結(jié)果。68（1）定義）定義 標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式是一種特殊的與或表達(dá)式，其中的是一種特殊的與或表達(dá)式，其中的每個(gè)與項(xiàng)

32、都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個(gè)變量每個(gè)與項(xiàng)都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個(gè)變量以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，這樣的以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，這樣的與項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)，又稱與項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)，又稱最小項(xiàng)最小項(xiàng)。 如如 F=F(A, B)F=F(A, B)，共有最小項(xiàng)，共有最小項(xiàng)4 4項(xiàng)：項(xiàng)：,AB AB AB AB1. 標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式 最小項(xiàng)最小項(xiàng)69CBACBAm m0 0m m1 10000000010010 01 1最小項(xiàng)最小項(xiàng)二進(jìn)制代碼二進(jìn)制代碼十進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)m mi iCBABCACBACBACABABC m m2 2m m3 3m m4 4m m5

33、5m m6 6m m7 70100100110111001001011011101101111112 23 34 45 56 67 7（2 2） 最小項(xiàng)編號(hào)最小項(xiàng)編號(hào)70（3）最小項(xiàng)的主要性質(zhì)）最小項(xiàng)的主要性質(zhì) 每個(gè)最小項(xiàng)都與變量的惟一的一個(gè)取值組合相對(duì)每個(gè)最小項(xiàng)都與變量的惟一的一個(gè)取值組合相對(duì)應(yīng)，只有該取值組合使這個(gè)最小項(xiàng)取值為應(yīng)，只有該取值組合使這個(gè)最小項(xiàng)取值為1，其，其余任何組合均使該最小項(xiàng)為余任何組合均使該最小項(xiàng)為0。所有最小項(xiàng)相或，結(jié)果為所有最小項(xiàng)相或，結(jié)果為1。任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)相與，結(jié)果為任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)相與，結(jié)果為0 71例例2-4寫出函數(shù)寫出函數(shù) 的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。的標(biāo)

34、準(zhǔn)與或表達(dá)式。FABCABCFABCABC1AA()()()A BB CCAA BCABCABCABCABCABCABCABC124567( , ,)F A B Cmmmmmm( , ,)1,2,4,5,6,7F A B Cm72（4）標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式）標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式是一種特殊的或與表達(dá)式，其中的是一種特殊的或與表達(dá)式，其中的每個(gè)或項(xiàng)都包含了所有的邏輯變量，每個(gè)變量以原每個(gè)或項(xiàng)都包含了所有的邏輯變量，每個(gè)變量以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。這樣的或項(xiàng)變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。這樣的或項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)，又稱稱為標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)，又稱最大項(xiàng)最大項(xiàng)。例如：例如：A、B、

35、C的最大項(xiàng)的最大項(xiàng) 對(duì)應(yīng)的變量取對(duì)應(yīng)的變量取值組合為值組合為010，其大小為，其大小為2，因而，記為，因而，記為M2。如果一個(gè)或項(xiàng)缺少某變量，則或上該變量和其反變?nèi)绻粋€(gè)或項(xiàng)缺少某變量，則或上該變量和其反變量的邏輯與，直至每一個(gè)或項(xiàng)都為最大項(xiàng)為止。量的邏輯與，直至每一個(gè)或項(xiàng)都為最大項(xiàng)為止。 ()ABC73將邏輯變量分成兩組，分別在將邏輯變量分成兩組，分別在橫豎兩個(gè)方向橫豎兩個(gè)方向排列出排列出各組變量的所有取值組合，構(gòu)成一個(gè)有各組變量的所有取值組合，構(gòu)成一個(gè)有2n個(gè)方格的個(gè)方格的圖形，其中，圖形，其中，每一個(gè)方格對(duì)應(yīng)變量的一個(gè)取值組合每一個(gè)方格對(duì)應(yīng)變量的一個(gè)取值組合，這種圖形叫做卡諾圖。這種圖形

36、叫做卡諾圖。1）每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)于）每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)于n變量來(lái)說(shuō)，共變量來(lái)說(shuō)，共有有2n個(gè)小方格。個(gè)小方格。2）幾何上相鄰的最小項(xiàng)，邏輯上具有相鄰性幾何上相鄰的最小項(xiàng)，邏輯上具有相鄰性。2.卡諾圖構(gòu)成的原則卡諾圖構(gòu)成的原則74AB0 1 0 10132AB AB AB AB二變量卡諾圖二變量卡諾圖最小項(xiàng)編號(hào)最小項(xiàng)編號(hào)ABC00 01 11 100 10 1 3 24 5 7 6ABCABC ABC ABCABC ABC ABC ABC三變量卡諾圖三變量卡諾圖2.卡諾圖構(gòu)成的原則卡諾圖構(gòu)成的原則750 1 3 24 5 7 612 13 15 148 9 11 10ABC

37、D00 01 11 1000 01 11 10ABCD ABCD ABCD ABCDABCD ABCD ABCD ABCDABCD ABCD ABCD ABCDABCD ABCD ABCD ABCD四變量卡諾圖四變量卡諾圖重要特性：重要特性：幾何相鄰具有邏輯相鄰幾何相鄰具有邏輯相鄰763.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 在卡諾圖中，由行和列兩組變量構(gòu)成的每一個(gè)小方在卡諾圖中，由行和列兩組變量構(gòu)成的每一個(gè)小方格，都代表了邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，變量取值為格，都代表了邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，變量取值為1的代表原變量，為的代表原變量，為0的代表反變量。的代表反變量。11111）由變量數(shù)選定卡諾

38、圖）由變量數(shù)選定卡諾圖2）所含最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)格填）所含最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)格填1ABCDDCBADCBADCBAF77若邏輯函數(shù)為一般的與或表達(dá)式，無(wú)需先變換成最小若邏輯函數(shù)為一般的與或表達(dá)式，無(wú)需先變換成最小項(xiàng)表達(dá)式，可直接將其填寫在卡諾圖中。項(xiàng)表達(dá)式，可直接將其填寫在卡諾圖中。FABACDADBCD1 1 1 111 1 1 1784.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) （1）相鄰小方格的合并規(guī)則）相鄰小方格的合并規(guī)則卡諾圖中，凡相鄰的兩個(gè)小方格（此稱幾何相鄰）卡諾圖中，凡相鄰的兩個(gè)小方格（此稱幾何相鄰）都具有邏輯相鄰性，也就是它們只有一個(gè)變量取都具有邏輯相鄰性，也就是它們只有一個(gè)變量取值不同，其

39、他變量取值相同。值不同，其他變量取值相同。邏輯相鄰的最小項(xiàng)相或時(shí)，可利用公式邏輯相鄰的最小項(xiàng)相或時(shí)，可利用公式 進(jìn)行合并，合并時(shí)應(yīng)注意以下規(guī)則：進(jìn)行合并，合并時(shí)應(yīng)注意以下規(guī)則：ABABA79 1）兩個(gè)相鄰小方格可以合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，且）兩個(gè)相鄰小方格可以合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，且消去一個(gè)變量。消去一個(gè)變量。ABC00 01 11 100 11 1 =BC(A+A) =BCY=ABC+ABC利用利用A+A=1A+A=1的關(guān)系的關(guān)系1 1ABAB802）4（22）個(gè)相鄰的小方格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，）個(gè)相鄰的小方格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，且消去兩個(gè)變量。且消去兩個(gè)變量。ABC00 01 11 100 1 1

40、1 1 1Y= ABC+ABC+ABC+ABC =AC(B+B)+AC(B+B)=AC+AC=CABC00 01 11 100 1 1 1 1 1Y=AY=ABC+ABC+ABC+ABC81ABCD00 01 11 1000 01 11 101111Y= BDABCD00 01 11 1000 01 11 10Y= C1 11 11 11 11 11 11 11 1 3 3）如果是八個(gè)相鄰單元取值同為）如果是八個(gè)相鄰單元取值同為1 1，則可以合并，則可以合并， 并消去三個(gè)變量。并消去三個(gè)變量。82ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y=AABCD00 01 11 1000 01

41、 11 101 1 1 11 1 1 1Y= D4 4）如果是）如果是2 2n n個(gè)相鄰單元取值同為個(gè)相鄰單元取值同為1 1，則可以合并，則可以合并， 并消去并消去n n個(gè)變量。個(gè)變量。83（2）用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟）用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟 1）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。 將邏輯函數(shù)將邏輯函數(shù)F變換成與或式，凡在變換成與或式，凡在F中包含有的最小中包含有的最小項(xiàng)，在其卡諾圖相應(yīng)的小方格中填項(xiàng)，在其卡諾圖相應(yīng)的小方格中填1，其余的小方格，其余的小方格空著或填空著或填0。842）合并最小項(xiàng)）合并最小項(xiàng)將相鄰的為將相鄰的為1的小方格圈在一起，畫圖時(shí)要將的小方格圈在一起，

42、畫圖時(shí)要將盡可盡可能多能多的小方格圈在一起，圈畫得越大，消去的變量的小方格圈在一起，圈畫得越大，消去的變量就越多。就越多。所畫的圈內(nèi)都必須所畫的圈內(nèi)都必須至少包含一個(gè)未被圈過(guò)的小項(xiàng)至少包含一個(gè)未被圈過(guò)的小項(xiàng)，否則所得的乘積項(xiàng)是冗余項(xiàng)。否則所得的乘積項(xiàng)是冗余項(xiàng)。85ABCD00 01 11 1000 01 11 101 11 1錯(cuò)誤的圈法錯(cuò)誤的圈法正確的圈法正確的圈法所畫的圈所畫的圈必須是矩形，必須是矩形，并且并且個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為2n，一般是先畫，一般是先畫大圈，最后圈孤立的單個(gè)的小方格。大圈，最后圈孤立的單個(gè)的小方格。86ABCD00 01 11 1000 01 11 1011111111ABCD

43、00 01 11 1000 01 11 101111 1111：1.1.化簡(jiǎn)完成后要檢查有無(wú)多余的圈?；?jiǎn)完成后要檢查有無(wú)多余的圈。 2. 2.最簡(jiǎn)結(jié)果不唯一。最簡(jiǎn)結(jié)果不唯一。Y=ABD+ABC+ABD+ABC+CD冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)873）根據(jù)所畫的圈寫相應(yīng)的乘積項(xiàng)，將各乘積項(xiàng)相或，）根據(jù)所畫的圈寫相應(yīng)的乘積項(xiàng)，將各乘積項(xiàng)相或，便可得到化簡(jiǎn)后的邏輯函數(shù)便可得到化簡(jiǎn)后的邏輯函數(shù)F的與或表達(dá)式。的與或表達(dá)式。88例例 2-14 2-14 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) ABFABCDABCDABCABDABCBCDABCD00 01 11 1000 01 11 101 1 1 1 11 1

44、11BCFABBCBDACDABCDBDACDABCD892.5 具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 根據(jù)邏輯命題寫出邏輯函數(shù)通常有兩大類；一根據(jù)邏輯命題寫出邏輯函數(shù)通常有兩大類；一類邏輯函數(shù)的邏輯值是完全確定的，它不是邏類邏輯函數(shù)的邏輯值是完全確定的，它不是邏輯輯1就是邏輯就是邏輯0，這類邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)可按上述，這類邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)可按上述的方法進(jìn)行；的方法進(jìn)行；另一類邏輯函數(shù)值對(duì)于某些最小項(xiàng)卻是不完全另一類邏輯函數(shù)值對(duì)于某些最小項(xiàng)卻是不完全確定的，這類邏輯函數(shù)又有以下兩種情況：確定的，這類邏輯函數(shù)又有以下兩種情況：901）任意項(xiàng)任意項(xiàng): 輸入變量的某些取值的組合根本不存在，輸入變量的某些取值的組合根本不存在，或者某些取值的組合也確實(shí)存在，但它的存在對(duì)邏或者某些取值的組合也確實(shí)存在，但它的存在對(duì)邏輯函數(shù)的輸出沒(méi)有任何影響。如輯函數(shù)的輸出沒(méi)有任何影響。如BCD碼中碼中16種組合種組合中未使用的中未使用的6種組合。種組合。2）約束項(xiàng)約束項(xiàng): 輸入變量的某些取值的組合實(shí)際存在，但輸入變量的某些取值的組