第三章1概率與概率分布-end

1、第三章第三章 概率與概率分布概率與概率分布第三章第三章 概率與概率分布概率與概率分布 第一節(jié) 概率的基本知識(shí) 第二節(jié) 幾種常用的理論分布 第三節(jié) 統(tǒng)計(jì)數(shù)的分布第一節(jié)第一節(jié) 概率的基本知識(shí)概率的基本知識(shí)一、概率的概念二、概率的計(jì)算三、概率分布 一、事件、頻率、概率的概念事件事件(event)(event)：在自然界中，一種事物常存在幾種可能出現(xiàn)的情況，每一種可能出現(xiàn)的情況稱為事件。一窩生幾只小豬？一窩生幾只小豬？3？4？5？6？確定現(xiàn)象確定現(xiàn)象：可預(yù)知在一定條件：可預(yù)知在一定條件下是否出現(xiàn)下是否出現(xiàn) 必然事件（）：必然事件（）：一定條件下一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，如水燒開(kāi)必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，如水燒開(kāi)

2、 不可能事件（）：不可能事件（）：一定條件一定條件下必然不出現(xiàn)的現(xiàn)象，如種子下必然不出現(xiàn)的現(xiàn)象，如種子發(fā)芽不可能是發(fā)芽不可能是100%不確定現(xiàn)象不確定現(xiàn)象 隨機(jī)事件：隨機(jī)事件：一定條件下可能發(fā)一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。生，也可能不發(fā)生。 頻率：在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn),如果隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)為m，那么m/n稱為隨機(jī)事件A的頻率（0 W(A)1）概率：當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)數(shù)n逐漸增大時(shí),隨機(jī)事件A的頻率W(A)越來(lái)越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值 p , 那么就 把 p稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率P(A)=pm/n （n充分大）一般情況下，p不可能完全準(zhǔn)確地得到 例如：調(diào)查某一棉田盲椿象發(fā)生危害的情況調(diào)查株

3、數(shù)(n)受害株數(shù)(a)受害頻率(a/n)52.402512.485015.3010033.3320072.36500177.3541000351.3511500525.3502000704.352n較小時(shí)，受害頻率波動(dòng)很大較小時(shí)，受害頻率波動(dòng)很大n較大時(shí)，受害頻率趨于穩(wěn)定較大時(shí)，受害頻率趨于穩(wěn)定0.35統(tǒng)計(jì)學(xué)上通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)而估計(jì)的概率稱為實(shí)驗(yàn)概率或統(tǒng)計(jì)概率，用公式表示為：nmpAPnlim)(式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。常以n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生概率p的近似值P(A)的取集范圍為：0 P(A) 1隨機(jī)事件的概率表現(xiàn)了事件的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，它反映了事件在一次試驗(yàn)

4、中發(fā)生可能性的大小，概率大表示事件發(fā)生的可能性大，概率小表示事件發(fā)生的可能性小。概率的基本性質(zhì)1、對(duì)于任何事件、對(duì)于任何事件A，有，有0P（A）12、必然事件的概率為、必然事件的概率為1，即，即P（）=1 3、不可能事件的概率為、不可能事件的概率為0，即，即P（）=0二、概率的計(jì)算二、概率的計(jì)算n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An至少有一個(gè)發(fā)生，記作至少有一個(gè)發(fā)生，記作iniA1（一）事件的相互關(guān)系（一）事件的相互關(guān)系例如：檢驗(yàn)小麥面粉品質(zhì)例如：檢驗(yàn)小麥面粉品質(zhì)隨機(jī)抽取一個(gè)樣品的出粉率為81%以下簡(jiǎn)稱事件A，隨機(jī)抽取另一個(gè)樣品的出粉率為81-85%稱為事件，現(xiàn)抽取一個(gè)新樣品的出粉率為85以下（事

5、件），則：出粉率等于面粉重量除以（面粉重量+麩皮重量+次粉重量） 2. 積事件積事件:A與與B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生而構(gòu)成的新事件而構(gòu)成的新事件，記作記作 A BABn個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An同時(shí)發(fā)生，記作同時(shí)發(fā)生，記作 A1A2An例如：調(diào)查棉田病蟲(chóng)害發(fā)生情況例如：調(diào)查棉田病蟲(chóng)害發(fā)生情況棉鈴蟲(chóng)的發(fā)生為事件A黃萎病的發(fā)生為事件B棉鈴蟲(chóng)和黃萎病同時(shí)發(fā)生這一新事件為事件A和事件B的積事件3.互互斥事件斥事件：事件：事件A和事件和事件B不能同時(shí)發(fā)生，不能同時(shí)發(fā)生，即即AB V example豌豆花色有紅色和白色：紅花（事件A）白花（事件B）則F1代豌豆不可能既開(kāi)紅花又開(kāi)白花AB V互互斥事件斥事件

6、4. 對(duì)立事件對(duì)立事件 ：事件：事件A和和B必有一個(gè)事件發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，但二者不能同時(shí)發(fā)生，即二者不能同時(shí)發(fā)生，即A+BU, 且且AB VBA;的對(duì)立事件，稱為記作AAB新生嬰兒：男孩（事件A）女孩（事件B）A+BU（必然事件）（必然事件）AB V （不可能事件）（不可能事件）互互斥事件斥事件對(duì)立事件對(duì)立事件互斥事件互斥事件事件事件A與事件與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，不可能同時(shí)發(fā)生，強(qiáng)調(diào)的是強(qiáng)調(diào)的是“不同時(shí)發(fā)生不同時(shí)發(fā)生” AB V 事件事件A、B中必定而且只有一個(gè)發(fā)生。中必定而且只有一個(gè)發(fā)生。除了除了A就是就是B，沒(méi)有第三種可能。，沒(méi)有第三種可能。 A+BU AB V 5. 獨(dú)立事件獨(dú)

7、立事件 若事件若事件A發(fā)生與否不影響事件發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的可能性，反之成發(fā)生的可能性，反之成立，則稱事件立，則稱事件A和事件和事件B相互獨(dú)立相互獨(dú)立。（多個(gè)事件相互獨(dú)立為。（多個(gè)事件相互獨(dú)立為獨(dú)立事件群）獨(dú)立事件群） 例如：例如：1、事件、事件A為為“花的顏色為黃色花的顏色為黃色”，事件，事件B為為“產(chǎn)量高產(chǎn)量高”，顯然花的顏色與產(chǎn)量無(wú)關(guān)顯然花的顏色與產(chǎn)量無(wú)關(guān),則事件則事件A與事件與事件B相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。2、播種兩粒玉米，第一粒發(fā)芽為事件、播種兩粒玉米，第一粒發(fā)芽為事件A，第二粒發(fā)芽為事，第二粒發(fā)芽為事件件B，A和和B互不影響，相互獨(dú)立互不影響，相互獨(dú)立6. 完全事件系完全事件系

8、若事件若事件A1、A2、An兩兩互斥，兩兩互斥，且每次試驗(yàn)結(jié)果必發(fā)生其一，則稱且每次試驗(yàn)結(jié)果必發(fā)生其一，則稱A1、A2、An為為完全事件系完全事件系。 例如，某個(gè)牡丹花園有三類花色：黃色、例如，某個(gè)牡丹花園有三類花色：黃色、粉色和紅色，如果取一朵花，粉色和紅色，如果取一朵花，“取到黃取到黃色色”（事件（事件A）、）、“取到粉色取到粉色” （事件（事件B）和和“取到紅色取到紅色” （事件（事件C）就構(gòu)成完全）就構(gòu)成完全事件系。事件系。1.1.互斥事件的加法（加法定理）互斥事件的加法（加法定理） 假定兩互斥事件A和B的概率分別為P(A)和P(B)，則其和事件的概率 P(A+B)=P(A)+P(B)

9、如果有n個(gè)互斥事件，則其和事件的概率 例如：調(diào)查某玉米田，一穗株的概率P(A)=0.65,雙穗株的概率P(B)=0.18，空穗株的概率P(C)=0.17，則一穗和雙穗株的概率為：P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.83（二）概率的計(jì)算法則)(.)()().(2121nnAPAPAPAAAP2.2.獨(dú)立事件的乘法（乘法定理）獨(dú)立事件的乘法（乘法定理） 假定P(A)和P(B)是兩個(gè)獨(dú)立事件A與B各自出現(xiàn)的概率，則： P(AB)=P(A)P(B)如果A1，A2，彼此獨(dú)立，則 例1：現(xiàn)有4粒種子，其中3粒是黃色、1粒是白色，采用復(fù)置抽樣。試求下列兩事件的概率(1)第一次抽到黃色，

10、第二次抽到白色；(2)兩次都抽到黃色。)(.)()().(2121nAPAPAPAnAAP先求出抽到黃色種子的概率為3/4=0.75，抽到白色種子的概率為1/4=0.25.（1）P(第一次抽到黃色種子)P(第二次抽到白色種子)=0.750.25=0.1875（2）P(第一次抽到黃色種子) P(第二次抽到黃色種子)=0.750.75=0.5625例2：播種玉米時(shí)，每穴播種兩粒種子，已知玉米種子的發(fā)芽率為，試求每穴兩粒種子均發(fā)芽的概率和一粒種子發(fā)芽的概率設(shè)第一粒種子發(fā)芽為事件，第二粒發(fā)芽為事件，P（A）=P（B）=0.9， 那么兩粒種子都發(fā)芽的概率為：一粒種子發(fā)芽的概率為：81. 09 . 0*9

11、 . 0)()()(BPAPBAP10. 0)()(BPAP18. 09 . 0*1 . 01 . 0*9 . 0)()()()()()(BPAPBPAPBAPBAP3.3.對(duì)立事件的減法對(duì)立事件的減法若事件A的概率為P(A)，那么其對(duì)立事件的概率為：P( )=1P(A)4.4.完全事件系和事件的概率為完全事件系和事件的概率為1 1例如上例，黃色種子和白色種子構(gòu)成完全事件系，其和事件概率為1。_AP(抽到黃色種子)+P(抽到白色種子)=1P(新生嬰兒是男孩)=1-P(新生嬰兒是女孩)兒童智力的分布兒童智力的分布 三. 概率分布研究隨機(jī)變量主要是研究它的取值范圍，即取值的概率隨機(jī)變量的取值與取這

12、些值的概率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為隨機(jī)變量的概率分布變量x的取值可用實(shí)數(shù)表示，且x取某一值時(shí)，其概率是確定的，這種類型的變量稱為離散型隨機(jī)變量。將這種變量的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率一一列出所形成的分布，稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布： 變量xi x1 x2 x3 xn 概率p p1 p2 p3 pnP（X=xi）=pi (i=1,2,n) 1、離散型隨機(jī)變量的概率分布、離散型隨機(jī)變量的概率分布niip11表格的形式表格的形式一般離散型隨機(jī)變量，如n粒棉花種子的發(fā)芽數(shù)，n枚種蛋的出雛數(shù)，n尾魚苗的成活數(shù)等，其概率分布都可用表格形式表示例如：投擲骰子，以向上一面所得點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量，其概率分布表如下：可能

13、得到的 點(diǎn)數(shù)（x）123456概率（p）1/61/61/61/61/61/62、連續(xù)型隨機(jī)變量變量x的取值僅為一范圍，且x在該范圍內(nèi)取值時(shí)，其概率是確定的，這種類型的變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量當(dāng)試驗(yàn)資料為連續(xù)型隨機(jī)變量，一般通過(guò)分組整理成次數(shù)分布表如果從總體中抽取樣本的容量n相當(dāng)大，則頻率分布就趨于穩(wěn)定，我們將它近似地看成總體的概率分布計(jì)算鰱魚體長(zhǎng)的頻率密度（頻率/組距），并作直方圖 直方圖中同一組內(nèi)的頻率密度是相等的， 因此直方圖中每一個(gè)小矩形的上邊中點(diǎn)連接起來(lái)就得到一條階梯形曲線， 每一個(gè)直方圖的矩形面積就表示該組的頻率。 頻率密度=頻率/組距頻率=頻率密度組距 當(dāng)樣本容量n不斷增加，相應(yīng)的組

14、距不斷減少， 那么直方條越來(lái)越多，越來(lái)越 細(xì)，階梯曲線漸趨于光滑， 當(dāng)n無(wú)限大時(shí)，頻率轉(zhuǎn)化為概率， 頻率密度轉(zhuǎn)化為概率密度，階梯曲線轉(zhuǎn)化為一條光滑的連續(xù)曲線，這時(shí)頻率密度分布也轉(zhuǎn)化為概率密度分布。f(x)x1, x2x即：概率密度函數(shù)即：概率密度函數(shù)f(x)曲線與曲線與x軸所圍成的面積為軸所圍成的面積為1So: 連續(xù)型隨機(jī)變量概率的分布由概率密度函數(shù)所確定連續(xù)型隨機(jī)變量概率的分布由概率密度函數(shù)所確定四、大數(shù)定律與中心極限定理四、大數(shù)定律與中心極限定理 1、大數(shù)定律、大數(shù)定律當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，事件充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率W（A）就可代替概率就可代替概率P（A） 頻率頻率和和概率概率之間

15、的關(guān)系，實(shí)際上也是之間的關(guān)系，實(shí)際上也是統(tǒng)計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)數(shù)與與參數(shù)參數(shù)的關(guān)的關(guān)系，系，頻率頻率W（A）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)，概率概率p是一個(gè)參數(shù)是一個(gè)參數(shù)。 為什么可以用頻率為什么可以用頻率W（A）來(lái)代替概率來(lái)代替概率P（A）？）？ 為什么可以用算術(shù)平均數(shù)為什么可以用算術(shù)平均數(shù) 來(lái)推斷總體平均數(shù)來(lái)推斷總體平均數(shù)的的?x大數(shù)定律是概率論中用來(lái)闡述大數(shù)定律是概率論中用來(lái)闡述大量隨機(jī)現(xiàn)象大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果平均結(jié)果穩(wěn)定性穩(wěn)定性的的一系列定律的總稱。一系列定律的總稱。貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律：設(shè)設(shè)m是是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而出現(xiàn)的次數(shù)，而p是事件是事件A在每次試在每次試驗(yàn)

16、中出現(xiàn)的概率，則對(duì)于任意小的正數(shù)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則對(duì)于任意小的正數(shù)，有如下關(guān)系：有如下關(guān)系： 式中，式中，P為實(shí)現(xiàn)為實(shí)現(xiàn) 這一事件的概率，這一事件的概率，P=1為必然事件。為必然事件。 1limpnmPn pnm貝努里大數(shù)定律說(shuō)明貝努里大數(shù)定律說(shuō)明？ 當(dāng)試驗(yàn)在不變的條件下，重復(fù)次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)在不變的條件下，重復(fù)次數(shù)n接近無(wú)限大時(shí)，頻接近無(wú)限大時(shí)，頻率率m/n與理論概率與理論概率p的差值，必定要小于一個(gè)任意小的正的差值，必定要小于一個(gè)任意小的正數(shù)數(shù)，即這兩者可以基本相等，這幾乎是一個(gè)必然要發(fā)生即這兩者可以基本相等，這幾乎是一個(gè)必然要發(fā)生的事件，即的事件，即P=1。1limpnmPn辛欽大數(shù)定律辛欽大

17、數(shù)定律？說(shuō)明為什么可以用算術(shù)平均數(shù)說(shuō)明為什么可以用算術(shù)平均數(shù) 來(lái)推斷總體平均數(shù)來(lái)推斷總體平均數(shù)的。的。設(shè)設(shè)x1，x2，xn是來(lái)自同一總體的隨機(jī)變量，對(duì)于任意小的是來(lái)自同一總體的隨機(jī)變量，對(duì)于任意小的正數(shù)正數(shù)有如下關(guān)系：有如下關(guān)系： 闡述了當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)闡述了當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)n無(wú)限增大，隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)無(wú)限增大，隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)與總體平均數(shù)之間的差，一定小于任意小的正數(shù)與總體平均數(shù)之間的差，一定小于任意小的正數(shù)，也就是也就是 基本上與基本上與相等。相等。這幾乎是一個(gè)必然要發(fā)生的事件，這幾乎是一個(gè)必然要發(fā)生的事件，即即P=1。11lim1niinxnPxxxx實(shí)際上，我們可以這樣來(lái)理解大數(shù)定

18、律實(shí)際上，我們可以這樣來(lái)理解大數(shù)定律：設(shè)一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)一個(gè)隨機(jī)變量 xi 是由一個(gè)總體平均數(shù)是由一個(gè)總體平均數(shù)和一個(gè)隨機(jī)誤差和一個(gè)隨機(jī)誤差i所所構(gòu)成，可以用線性模型來(lái)表達(dá)：構(gòu)成，可以用線性模型來(lái)表達(dá)： xi = +i如果從同一總體抽取如果從同一總體抽取n個(gè)隨機(jī)變量，就構(gòu)成一個(gè)樣本，那么樣個(gè)隨機(jī)變量，就構(gòu)成一個(gè)樣本，那么樣本平均數(shù)可表示為：本平均數(shù)可表示為： 從上式可看出，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)從上式可看出，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n越來(lái)越大時(shí)，越來(lái)越大時(shí)， 部分會(huì)變部分會(huì)變得越來(lái)越小。得越來(lái)越小。 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篿有正有負(fù)，正負(fù)相互抵消，且隨著有正有負(fù)，正負(fù)相互抵消，且隨著n的增大，的增大， 會(huì)變得非常小，使會(huì)變得非常小

19、，使 越來(lái)越接近越來(lái)越接近。 niiniiniinnxnx111111niin11niin11從以上解釋，我們可以將大數(shù)定理通俗地表達(dá)為：從以上解釋，我們可以將大數(shù)定理通俗地表達(dá)為：樣本容量越大，樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)與總體參數(shù)之差越小樣本容量越大，樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)與總體參數(shù)之差越小。有了大數(shù)定律作為理論基礎(chǔ)，只要是從總體中抽取的隨機(jī)變有了大數(shù)定律作為理論基礎(chǔ)，只要是從總體中抽取的隨機(jī)變量相當(dāng)多，就可以用樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)來(lái)估計(jì)總體參數(shù)。量相當(dāng)多，就可以用樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)來(lái)估計(jì)總體參數(shù)。 盡管存在隨機(jī)誤差，但通過(guò)進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，其總體特盡管存在隨機(jī)誤差，但通過(guò)進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，其總體特征是可以透過(guò)個(gè)別的偶然現(xiàn)象顯示出其必然性，而且這種征是可以透過(guò)個(gè)別的偶然現(xiàn)象顯示出其必然性，而且這種隨隨機(jī)誤差可以用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行測(cè)定機(jī)誤差可以用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行測(cè)定，在一定范圍內(nèi)也可以得到，在一定范圍內(nèi)也可以得到人為控制，因此完全可以根據(jù)樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)來(lái)認(rèn)識(shí)總體的參人為控