第三講無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

1、返回返回第三講、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算第三講、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算1、孤立奇點(diǎn)的定義及分類、孤立奇點(diǎn)的定義及分類2、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算3、思考與練習(xí)、思考與練習(xí)上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束1、孤立奇點(diǎn)分類、孤立奇點(diǎn)分類 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) z的去心鄰域的去心鄰域 zR內(nèi)解析，那么稱點(diǎn)內(nèi)解析，那么稱點(diǎn) 為為)(zf的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。 為為)(zf的的非孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)充分必要充分必要條件條件是是存在存在)(zf的的一一列列奇點(diǎn)奇點(diǎn)2 , 1 nnz滿足滿足)( nzn。 作作變變換換zt1 ，并并規(guī)規(guī)定定此此變變換換把把擴(kuò)擴(kuò)充充 平平面面

2、上上的的無(wú)無(wú)窮窮zt遠(yuǎn)點(diǎn)遠(yuǎn)點(diǎn) z映射成擴(kuò)充映射成擴(kuò)充 平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)0 t。 從而從而zt1 把擴(kuò)充平面上把擴(kuò)充平面上 的去心鄰域的去心鄰域 zR映成映成擴(kuò)充擴(kuò)充t平面上原點(diǎn)的去心鄰域平面上原點(diǎn)的去心鄰域Rt1|0 。 上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束又又那那么么就就稱稱點(diǎn)點(diǎn) z是是)(zf的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)、m 級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)或或本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)。我我們們規(guī)規(guī)定定：如如果果0 t是是)(t 的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)、m 級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)或或本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)，)()1()(ttfzf 顯顯然然,)(t 在在去去心心鄰鄰域域Rt1|0 內(nèi)內(nèi)是是解解析析的的，)(t 所所以以0 t是是)(t 的的孤孤立

3、立奇奇點(diǎn)點(diǎn)。 設(shè)設(shè))(zf在在 | zR內(nèi)洛朗展式為內(nèi)洛朗展式為 nnnzczf)(。 )(t 在在Rt1|0 內(nèi)的洛朗展式為：內(nèi)的洛朗展式為： nnnntctcctctct1011)( 其其中中t的的負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 的的正正冪冪項(xiàng)項(xiàng)。 z上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束ii)含含有有有有限限多多的的正正冪冪項(xiàng)項(xiàng)，且且mz為為最最高高正正冪冪； 中，中，i)不含正冪項(xiàng)；不含正冪項(xiàng)；iii)含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)；含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)；那那么么 z是是)(zf的的 i)可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)；相應(yīng)的，我們有：如果在級(jí)數(shù)相應(yīng)的，我們有：如果在級(jí)數(shù) nnnnnnzczczf 01)(nnnnnnzcczc 1

4、01), 2, 1, 0()(211 ndficCnn ii)m級(jí)極點(diǎn)；級(jí)極點(diǎn)；iii)本性奇點(diǎn)。本性奇點(diǎn)。 上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束利用函數(shù)在有限點(diǎn)的奇點(diǎn)等價(jià)性質(zhì)和上述定義可得：利用函數(shù)在有限點(diǎn)的奇點(diǎn)等價(jià)性質(zhì)和上述定義可得：孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn) 為為)(zf的的 1 1） 可去奇點(diǎn)，可去奇點(diǎn)，2 2）極點(diǎn)，）極點(diǎn)，3 3）本性奇點(diǎn)）本性奇點(diǎn) 的充分必要條件分別是的充分必要條件分別是 1 1）)()(lim azfz； 2 2） )(limzfz； 3 3）)(limzfz 不存在也不為不存在也不為 。 當(dāng)當(dāng) z是是)(zf的可去奇點(diǎn)時(shí)，我們可認(rèn)為的可去奇點(diǎn)時(shí)，我們可認(rèn)為)(zf在在 是解析的

5、，只要取是解析的，只要取)(lim)(zffz 注注：如如果果不不對(duì)對(duì))(zf在在 點(diǎn)點(diǎn)的的取取值值情情況況做做特特別別說(shuō)說(shuō)明明，我我們們 總認(rèn)為總認(rèn)為 為為)(zf的奇點(diǎn)。的奇點(diǎn)。 上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束解：解：11lim)1 zzz所以所以 為為可去可去奇點(diǎn)奇點(diǎn)。 所以所以 為它的一級(jí)極點(diǎn)。為它的一級(jí)極點(diǎn)。 2)zzzf1)( ，含含有有正正冪冪項(xiàng)項(xiàng)，且且 為為最最高高正正冪冪項(xiàng)項(xiàng)， z例例 1、判判定定 分分別別是是下下列列函函數(shù)數(shù)的的哪哪類類奇奇點(diǎn)點(diǎn)。1)2)3)zz 1zz1 zsin3) 函數(shù)函數(shù)zsin的展開式：的展開式：若若 為為)(zf的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)，那那么么 為

6、為 級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的充充分分必必要要 條件是條件是)0 ,()(lim azzfmz m對(duì)對(duì)m級(jí)極點(diǎn)我們有如下判定結(jié)論：級(jí)極點(diǎn)我們有如下判定結(jié)論：上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束例例 2 2、 函數(shù)、 函數(shù) 332)(sin)2)(1()(zzzzf 在擴(kuò)充平面內(nèi)有些什在擴(kuò)充平面內(nèi)有些什么類型的奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)。么類型的奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)。 易知，函數(shù)易知，函數(shù) zf除使分母為零的點(diǎn)除使分母為零的點(diǎn)2, 1, 0 z強(qiáng)調(diào)：對(duì)強(qiáng)調(diào)：對(duì)的奇點(diǎn)分類是以的奇點(diǎn)分類是以處洛朗展式的正冪項(xiàng)為處洛朗展式的正冪項(xiàng)為判斷依據(jù)的，這與有限點(diǎn)處不一樣！判斷依據(jù)的，這與有限點(diǎn)處不一樣！ 解：解：由由

7、于于zz cos)(sin 在在2, 1, 0 z處處均均不不為為零零，外，在外，在 z內(nèi)解析。內(nèi)解析。 含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)，含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)， )!12()1(! 5! 3sin1253nzzzzznn所以所以 是它的本性奇點(diǎn)。是它的本性奇點(diǎn)。 上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束當(dāng)當(dāng))2 , 1( kkz時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 z時(shí)時(shí)，因?yàn)橐驗(yàn)?32233222)sin2()1(lim)(sin)2)(1(lim)(limzzzzzzzzfzzz 3332031)sin(1)2(lim 所所以以2 z是是)(zf的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)。是是)(zf 的三級(jí)極點(diǎn)。的三級(jí)極點(diǎn)。 注意到注意到 kzlim 所以所

8、以 為為)(zf的的非孤立非孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)。 因因)1)(1(12 zzz以以 1 與與1 為一級(jí)零點(diǎn)，所以為一級(jí)零點(diǎn)，所以 1與與1 是是)(zf的的 2 2 級(jí)極點(diǎn)。級(jí)極點(diǎn)。 因因此此這這些些點(diǎn)點(diǎn)都都是是z sin的的一一級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)，從從而而是是3)(sin z 的的三級(jí)零點(diǎn)。三級(jí)零點(diǎn)。上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束說(shuō)明說(shuō)明： 在在普通普通復(fù)平面復(fù)平面內(nèi)內(nèi)討論討論一個(gè)一個(gè)函數(shù)函數(shù)的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)問(wèn)題問(wèn)題， 如果如果不特別不特別提出提出，不需要不需要考慮考慮 z點(diǎn)點(diǎn)；如果如果是是在在擴(kuò)充擴(kuò)充復(fù)平復(fù)平面內(nèi)面內(nèi)，那么那么一定要一定要考慮考慮 z點(diǎn)點(diǎn)。 例例 3 3，在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)確確定定

9、函函數(shù)數(shù)z1sin1的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)，并并分分類類， 若是極點(diǎn)指明其級(jí)。若是極點(diǎn)指明其級(jí)。解：函數(shù)解：函數(shù)zzf1sin1)( 的奇點(diǎn)為的奇點(diǎn)為01sin z的點(diǎn)及的點(diǎn)及0 z 和和 點(diǎn)。點(diǎn)。 z即即)(zf的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)為為 ), 2, 1(1, 0kkz 01lim kk由于由于所以所以為非孤立奇點(diǎn)。為非孤立奇點(diǎn)。0又因?yàn)橛忠驗(yàn)?|1cos1|)1(sin112 kkzzzzz 上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束的一級(jí)極點(diǎn)。的一級(jí)極點(diǎn)。的一級(jí)零點(diǎn)，為的一級(jí)零點(diǎn)，為為為所以所以)(1sin1zfzkz 1sinlim)(lim11 zzzzzzf注意到注意到的一級(jí)極點(diǎn)。的一級(jí)極點(diǎn)。為為所以所以)(zfz

10、 2、在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(zf在在圓圓環(huán)環(huán)域域 zR內(nèi)內(nèi)解解析析，C為為這這圓圓環(huán)環(huán)內(nèi)內(nèi)環(huán)環(huán)繞繞原原點(diǎn)點(diǎn)的的任任何何一一條條正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單封封閉閉曲曲線線,那那末末積積分分 Cdzzf)(i21 的的值值與與無(wú)無(wú)關(guān)關(guān),我我們們稱稱此此定定值值為為)(zf在在 點(diǎn)點(diǎn)的的留留數(shù)數(shù),記記作作C Cdzzfzf)(i21),(Res 上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束值得注意的是這里的積分路線的方向是負(fù)的值得注意的是這里的積分路線的方向是負(fù)的,也就是取也就是取順時(shí)針的方向順時(shí)針的方向.當(dāng)當(dāng)1 n時(shí)時(shí),有有 Cdzzfic)(211 , 設(shè)設(shè) |)(zRzf在在內(nèi)的洛朗展式為內(nèi)的

11、洛朗展式為 nnnzczf)( 由由 洛洛 朗朗 展展 式式 定定 理理 Cnndzzzfic1)(21 ， 其其 中中 為為 | zR內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條繞繞0 z的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單正正向向閉閉曲曲線線。 C1),(Res czf因此因此,上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束規(guī)則規(guī)則 40 ,1)1(Res),(Res2zzfzf 關(guān)關(guān)于于在在無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn)的的留留數(shù)數(shù)計(jì)計(jì)算算，我我們們有有以以下下的的規(guī)規(guī)則則：事事實(shí)實(shí)上上，設(shè)設(shè))(zf在在 | zR內(nèi)內(nèi)解解析析， 那么那么設(shè)設(shè))(zf在在 | zR的的洛洛朗朗展展式式為為 那那么么函函數(shù)數(shù))1(zf在在 Rz1|0 內(nèi)解析，從而內(nèi)解析，從而21)1(

12、zzf在在Rz1|0 內(nèi)解析。內(nèi)解析。 zcczczczfnnn1011)()1(zf在在Rz1|0 內(nèi)內(nèi)的的展式展式為為 zcczczczfnnn11)1(101上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束所以所以0 ,1)1(Res),(Res2zzfzf 內(nèi)內(nèi)從而在從而在Rz1|0 20122211111)1(zczcczczzzfnnn從而從而,0 ,1)1(Re12 czzfs1),(Re czfs由于由于例例 4 4、求下列函數(shù)在、求下列函數(shù)在 點(diǎn)的留數(shù)。點(diǎn)的留數(shù)。 zzzzzezsin)3)3()2()2)143321721 解：解：2211)1()()1221zezzfezfzz 上頁(yè)上頁(yè) 返

13、回返回 結(jié)束結(jié)束01lim! 112202 zezzz433217)3()2()()2 zzzzf43222)31()21(11)1(zzzzzf 0 ,1)1(Re),(Re2zzfszfs 0 ,1)1(Re),(Re2zzfszfs 1)1()1(1lim43320 zzzzz上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束zzzfsin)()3 有有內(nèi)內(nèi)在在,|0 z ! 31)! 3(1)(23zzzzzf所以所以0),(Re1 czfs下面這個(gè)定理對(duì)計(jì)算留數(shù)很重要。下面這個(gè)定理對(duì)計(jì)算留數(shù)很重要。定定理理如如果果函函數(shù)數(shù))(zf在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)只只有有有有限限個(gè)個(gè)孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)，那那末末)

14、(zf在在所所有有各各奇奇點(diǎn)點(diǎn)（包包括括點(diǎn)點(diǎn)）的的留留數(shù)數(shù)的的總總和和必必等等于于零零。 注注意意：如如 2 2) )所所表表明明，盡盡管管 為為)(zf的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)，但但不不能能 由由此此得得出出0),(Re zfs，這這點(diǎn)點(diǎn)要要和和有有限限點(diǎn)點(diǎn)區(qū)區(qū)分分。 上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束除除 點(diǎn)外，設(shè)點(diǎn)外，設(shè))(zf的有限個(gè)奇點(diǎn)為的有限個(gè)奇點(diǎn)為), 2 , 1(nkzk 又設(shè)又設(shè)C為一條繞原點(diǎn)的并將為一條繞原點(diǎn)的并將), 2 , 1(nkzk 包含在它內(nèi)包含在它內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線部的正向簡(jiǎn)單閉曲線,那末根據(jù)留數(shù)定理那末根據(jù)留數(shù)定理與在無(wú)窮遠(yuǎn)與在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義，就有點(diǎn)的留數(shù)定義，就

15、有 證：證： nkkzzfzf1),(Res),(Res CCdzzfidzzfi0)(21)(21 上述定理與前面給出的計(jì)算規(guī)則為我們提供了計(jì)算函數(shù)上述定理與前面給出的計(jì)算規(guī)則為我們提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法，在很多情況下，它比僅利沿閉曲線積分的又一種方法，在很多情況下，它比僅利用留數(shù)定理和有限點(diǎn)處留數(shù)計(jì)算這種方法更簡(jiǎn)便。用留數(shù)定理和有限點(diǎn)處留數(shù)計(jì)算這種方法更簡(jiǎn)便。上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束因此根據(jù)定理因此根據(jù)定理 2 與規(guī)則與規(guī)則 4，),(Re214 zfsidzzzC 0 ,1)1(Res22zzfi 00 ,1Res24 -zzi 解：解：奇點(diǎn)。奇點(diǎn)。函函數(shù)數(shù)214 z

16、zz在在的的外外部部，除除點(diǎn)點(diǎn)外外沒(méi)沒(méi)有有其其他他 例例 5計(jì)算積分計(jì)算積分 Cdzzz,14為正向圓周：為正向圓周：. 2 zC例例 6 計(jì)計(jì)算算積積分分，其其中中C為為正正向向圓圓周周：. 2 z,)3)(1()(10 Czzizdz除除 點(diǎn)外，被積函數(shù)的奇點(diǎn)是：點(diǎn)外，被積函數(shù)的奇點(diǎn)是：3 , 1 , i 解：解：上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束0),(Res,3)(Res),1(Res),(Res zfzfzfizf從而從而其中其中.)3)(1()(1)(10 zzizzf由由于于i 與與1在在C的的內(nèi)內(nèi)部部,所所以以從從上上式式、留留數(shù)數(shù)定定理理與與規(guī)規(guī)則則 4 得得到到1),(Re),(Re2zfsizfsi 原式原式),(Re3),(Re2 zfszfsi 1010)3(0)3(212iiii 上頁(yè)上頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束解：解：1 n時(shí)時(shí) 原原式式= =iizdzzzzC 2|21122 時(shí)時(shí)1 n的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)個(gè)滿足個(gè)滿足外還有外還有除除11)(2 nnnznzzzf內(nèi)，內(nèi)，個(gè)點(diǎn)都在個(gè)點(diǎn)都在，且這，且這rznzk |由留數(shù)定理由留數(shù)定理 nkkzzfsi1),(Re2 原式原式),(Re2 z