福建省《高等代數(shù)》與《線性代數(shù)》課程建設(shè)第十三次研討會(huì)

1、福建省福建省高等代數(shù)高等代數(shù)與與線性代數(shù)線性代數(shù)課程建設(shè)第十三次研討會(huì)課程建設(shè)第十三次研討會(huì)矩陣多項(xiàng)式與可逆矩矩陣多項(xiàng)式與可逆矩陣的確定陣的確定 莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系楊忠鵬，陳梅香，林志興，晏瑜敏，楊忠鵬，陳梅香，林志興，晏瑜敏， 陳智雄，陳智雄， 張金輝張金輝,王海明王海明,戴培培戴培培,曾閩麗曾閩麗2011.4.23 2011.4.23 寧德寧德矩陣多項(xiàng)式與可逆陣的確定矩陣多項(xiàng)式與可逆陣的確定問題解決的一種可行的解決方法問題解決的一種可行的解決方法問題的已有解法問題的已有解法問題的提出問題的提出1.問題的提出問題的提出 110.mmmmfxa xaxaxa是關(guān)于 的 次多項(xiàng)式， 為

2、 階方陣，稱為為A的的m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式。xmAn 1110.mmmmfAa AaAa Aa E設(shè)（見1,P45,2,P7等）。由于學(xué)時(shí)的限制，與數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)相關(guān)，矩陣多項(xiàng)式的定義在矩陣運(yùn)算之后就作為正式的教學(xué)內(nèi)容，這是有意義的，是值得借鑒的處理方式。關(guān)于矩陣多項(xiàng)式本身的訓(xùn)練和例題習(xí)題在“線性代數(shù)”教材并不多見。因此多數(shù)情況下，這樣很有價(jià)值的教學(xué)內(nèi)容在某種意義上講只是走了過場(chǎng)，或者有些教師就不講這個(gè)內(nèi)容。這固然是學(xué)時(shí)限制所致，但缺乏有啟發(fā)性的相關(guān)題目也是一個(gè)重要的原因。A 問題問題1.1.1(見1,P5)設(shè) 階方陣220AAEn證明 及 都可逆，求其逆。A2AE滿足 問題問題1.1.2 (

3、見7,例2.22)設(shè) 階方陣 滿足nA 證明 和 都可逆，求其逆。A3AE2540AAE1()AE求問題問題1.1.3 （見9,P52） 設(shè)A滿足 2220AAE ，2230AAE111,(),()AAEAE求問題問題1.1.4（見（見9,P52） 設(shè)A 滿足11A（ ）證明A可逆且求1222AEAE（ ） 證 明為 可 逆 陣 ， 求2230AAE問題問題1.1.5（見見11,P98） 設(shè)A 為n階矩陣，滿足問題問題1.1.6（見12,P42 ）2140-AAAEA E（ ）設(shè) 滿足證明可逆并求其逆2220AAAE（ ）設(shè) 滿足證明A可逆并求其逆。-1-1-+3AEAE用A表示及。問題問題1

4、.1.7（見13 ，P57）設(shè) 為n階矩陣A2+240.-+3AAEA EAE證及均為可逆陣，若可逆，求其逆。問題問題1.1.8（見2，例1.31）已知n階矩陣A滿足 2+290.,+4AAEA AE問是否可逆。證明 和 不同時(shí)可逆。AE2AE證明 和 不同時(shí)可逆，并求出它們的逆矩陣。 問題問題1.1.10(見6,P88)設(shè) 階方陣 滿足An220AAEAE2AE 問題問題1.1.9(見6,P88)設(shè) 階方陣 滿足nA220AAE1A6 EAAA （）必 可 逆 ， 且（）1() 6BAAAE必 可 逆 ， 且（C） A 必不可逆 （D） A+E必不可逆 問題問題1.1.11（見9,P51）設(shè)

5、A為n階方陣，且 , 則22()2(E)AEA21AA4E0,(AE) 求。問題問題1.1.12曾作為2001年全國(guó)碩士生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一的試題.問題問題1.1.12 設(shè)A 滿足問題問題1.1.13 設(shè)階矩陣A滿足矩陣方程 求證A可逆，并求逆2320,AAE問題問題1.1.13曾作為1988年全國(guó)碩士生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四的試題.問題問題1.1.15（見3，例7，P42）若方陣A滿足方程 210aAbAcEAA ，證明 為可逆矩陣并求出。問題問題1.1.14（見 8,P81） 設(shè) nA階方陣 滿足,2680n nTAARAAE且，證明 A+3E為正交矩陣。2220AAE證明A-KE（其中k為任意實(shí)

6、數(shù)）可逆，并求它的表達(dá)式。問題問題1.1.16（見（見9,P52） 設(shè)n階矩陣A 滿足+4+nAEnAE為可逆陣，并求逆。設(shè) 為正整數(shù)，那么可逆嗎？問題問題1.1.17（見2，P56）設(shè) 2320,AAE證明 問題問題1.2.1（見7 ，例2.23）設(shè)n階矩陣A0 滿足A3=0，證明E-A，A+E都可逆，并求逆。問題問題1.2.2（見2， 習(xí)題一（B），34）設(shè)方陣A滿足A3-2A2+9A-E=0，問A,A-2E是否都是可逆矩陣?如果是，求其逆。問題問題1.2.3（見21 ，P43,13（2），22,P49,18(2)）設(shè)A3=3A(A-E)，證明E-A都可逆，并求逆。 問題問題1.3.11.

7、3.1曾是曾是19901990碩士生入學(xué)統(tǒng)一考試碩士生入學(xué)統(tǒng)一考試19901990年數(shù)學(xué)三的試題（見年數(shù)學(xué)三的試題（見1515，P333P333），幾乎所有的線性代數(shù)和高等代數(shù)教材都將問題），幾乎所有的線性代數(shù)和高等代數(shù)教材都將問題1.3.11.3.1化為基本問題?；癁榛締栴}。階矩陣，若0kA EA（k為整數(shù)），證明可逆，并寫出的表達(dá)式。1EA問題問題1.3.1 （見4,習(xí)題1.4.9，5,P94，14,習(xí)題3,3-4，An為21,P34, 6, 22,P39,6)121()kEAEAAA問題問題1.4.1（見11，習(xí)題3.2.8，21,P50,3(2)）1.1nnEJEJn證明可逆且逆為設(shè)

8、Jn為所有元素全為1的n（1)階方陣，2 2問題的已有解法問題的已有解法下面抄錄的11對(duì)問題1.1.5的解答：(1) 由題設(shè)條件移項(xiàng)得，223AAE等式左邊提出公因子A得， 23A AEE13等式兩邊同時(shí)用 數(shù)乘得，1233AAEE則A為可逆矩陣，且 1233AAE(2).將 作恒等變形+243A AEEE+2485A AEAEE+24+25A AEAEE 223AAE1425AEAEE112245AEAEAE-為可逆矩陣，且則=-。 這樣的解法，對(duì)問題這樣的解法，對(duì)問題1.1.1-1.1.131.1.1-1.1.13中矩陣等式的系數(shù)為常數(shù)中矩陣等式的系數(shù)為常數(shù)且且有很好性質(zhì)的情況下是可行的。

9、當(dāng)然像問題有很好性質(zhì)的情況下是可行的。當(dāng)然像問題1.1.15- 1.1.171.1.15- 1.1.17這樣系數(shù)為字母的解決就得不那樣容易了。這樣系數(shù)為字母的解決就得不那樣容易了。 7給出了問題1.2.1的解法如下：因?yàn)?EAEAA22E EAAA EAA 223= EAAAAA12所以和均可逆且，EAEAEAEAA22E EAAA EAA2EAEAA且 22=00EAAAA 2200EAAAA 223= EAAAAA12()EAEAA后，問題就顯得復(fù)雜了。3那樣得心應(yīng)手了。當(dāng)然給定的矩陣等式的最高次冪之k 321.2.2290題給定矩陣等式的解決，就不是AAAE 37 的解法對(duì)給定的矩陣等式

10、是有效的，但對(duì)問0A 問題問題1.1.1-1.1.131.1.1-1.1.13都是由一個(gè)矩陣等式，來確定都是由一個(gè)矩陣等式，來確定2 2或或3 3個(gè)矩陣個(gè)矩陣性來說是相當(dāng)有意義的。性來說是相當(dāng)有意義的。的可逆性求相應(yīng)矩陣。對(duì)給定的矩陣等式來說，能確定多少個(gè)的可逆性求相應(yīng)矩陣。對(duì)給定的矩陣等式來說，能確定多少個(gè)形如問題形如問題1.1.161.1.16和和1.1.171.1.17描述的描述的A-kEA-kE的可逆陣，這類的可逆陣，這類問題就一般問題就一般 已有文獻(xiàn)都是將給定的矩陣等式，看成是矩陣的線性運(yùn)算與乘法運(yùn)算的恒等變形，應(yīng)用可逆矩陣的重要性質(zhì)來解答，基本上沒有將教材上已經(jīng)介紹的矩陣多項(xiàng)式與問

11、題解決相聯(lián)系。 實(shí)際上第一節(jié)給出的問題中矩陣等式都是以矩陣多項(xiàng)式的形式1A BABEAB（方陣 ， 是可逆的且）3.問題解決的一種可行方法問題解決的一種可行方法出現(xiàn)的。這樣可以把問題看成是由給定矩陣A的化零多項(xiàng)式 ( )0f A 來確定形如A-kE的可逆性及逆陣。 定理3.1nA設(shè) 階方陣 的化零多項(xiàng)式是由 0,kf k 所確定， 為常數(shù)。如果( )11()( )()2( )(1)( )21()()(1)!fkA kEf k EA kEf kmfkmmA kEaA kEmm（3.13.1）AkE則可逆且 110.mmmmfxa xaxaxa 1110.mmmmfAa AaAa Aa E證明：由

12、多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及泰勒中值定理知( )2( )( )( )()().2!(1)( )( )( )1()()!(1)!fkf xf kf k x kx kmmfkfkmmx kx kmm（3.2）,(3.2)( ) 0( ) 0和有這樣從f Af k( )()( )() .2(1)( )( )21()()( )!(1)!fkA kEf k EA kEmmfkfkmmA kEA kEf k EmmA-kE則可逆且（3.1）成立。 0A-kEf k 可在定理3.1的題設(shè)下，是否必有逆?(2,2,3),(1,1,2)A diagA E diag設(shè)顯然是可逆的，例例3.23.232( )6116(1)

13、 0從，知且易知f xxxxf32( )61160f AAAAE3.2( ) 0f kA kE例說明不是可逆的充要條件！定理定理3.33.3nA設(shè) 階矩陣 的化零多項(xiàng)式是由,(02)A kEtt m 所確定，如果可逆，則存在使得(0)( )( 1)( )( )( ) .( ) 0( ) 0ttfkf kf kfkfk且 110.mmmmfxa xaxaxa 1110.mmmmfAa AaAa Aa E( )( ) 00,1,2.,1tfktm證明：如果結(jié)論不成立，那么，則=()0maA kEm這與A-kE可逆矛盾。( )2( )( )( )()().2!(1)( )( )( )1()()!(1

14、)!fkf Af k Ef k A kEA kEmmfkfkmmA kEA kEmm定理定理3.43.4 題設(shè)同于 定理3.1且設(shè)對(duì) 的帶余除法式（3.3） 如果 ，則 可逆且xk( )() ( )f xxk g xr( )0rf kAkE這里多項(xiàng)式 g(x) 由（3.3）確定.11()( )( )AkEg Af k （3.4） 證明：由帶余除法的性質(zhì)知（3.3）中 ，且( )rfk( )g x是多項(xiàng)式，這樣當(dāng) 時(shí)，( )0f x () ( )( )AkE g Af k E 這說明 可逆，結(jié)論成立 。AkE 除式為一次因式的帶余除法，有更為簡(jiǎn)單“綜合除法”的形式。這樣將矩陣多項(xiàng)式與化零矩陣等式

15、相結(jié)合，可實(shí)施以下的步驟： 對(duì)給定的化零矩陣等式，得相關(guān)的化零多項(xiàng)式 ；1)( )f x 由泰勒中值定理或綜合除法給出 的等價(jià)表示2)( )f x（3.3）； 如果 ，則 可逆，且逆陣可3)( )0f k AkE-AkE由（3.1）或（3.4）確定。 例例3.5 3.5 問題1.1.5中矩陣 的化零多項(xiàng)式為 A（2） 由（3.1）得 223f xxx（1） ， 由定理3.1知 可逆。25f 2AE( 2)6f 111262455AEEAEAE 例例3.63.6 問題1.2.1的化零多項(xiàng)式為 ， 3f xx 110f 110f AEAE從 ， 和定理3.1知 , 都可逆。 112 11 112E

16、AAEffEAEAEf 2EAA12 EAEAA同理，。 例例3.7 3.7 問題1.1.11中矩陣 的化零多項(xiàng)式A 222211 1f xxxx 知對(duì)任意實(shí)數(shù) ，總有 ，因此從定理3.1知k 0f k AkE 是可逆的，從 和 （3.1）知 222f kkk122122221 222AkEkEAkEkkAkEkk 問題1.1.17也可用類似的方法解決，從A 的化零多項(xiàng)式 232f xxx知2320fnnn由定理 知對(duì)任意正整數(shù) 來說 AnE可逆，且從 23fnn 3.1n和 (3.1) 知12132AnEfn EAnEnn 21332AnEnn 例例3.8 3.8 問題1.2.2的化零多項(xiàng)式

17、 32291f xxxx用2x去除 f x得綜合除法2 1291201810917因此 22917f xxx，由定理3.3知 2170f2AE，是可逆的，且1212917AEAE 例例3.93.9設(shè) 階矩陣 滿足 （k為正整數(shù)），則nA0kA A的化零多項(xiàng)式為 ，( )kf xx由定理3.1和( )0kf tt知AtE可逆，且從（3.1）和 12(1)( ),( )(1),( )! ,kkkf tktftk ktftk t知1211(1)()()()2kkkkk kktEAtEkt AtEAtEt 1()AtE的化零多項(xiàng)式。 ，所以為從和定理3.1知 是可逆的，是可逆的， 由（3.1）得這樣2

18、( )f xxnxnJnJE()nEJ即(1)10fn . 1nJn 3 10例設(shè)為所有元素全為1的（）方陣，因此，,(1,1,1)TTnJeee11()()(2)()1nnnEJJEn EJEn 11nEJn3AE( 3)9 18810f 例例3.113.11 問題1.1.7： 為實(shí)矩陣，且 證明：是正交矩陣。證明： 為實(shí)對(duì)稱矩陣的化零多項(xiàng)式， 從和定理3.1知可逆，且2( )68f xxx2680AAE3AEATAA1(3 )( 3)(3 )AEfEAEnn3AE對(duì)n階矩陣A，若有常數(shù)a,b存在，使得()()0AaEAbE稱A為由a,b所確定的二次矩陣（見17,18）( , )(1,0)a

19、 b (1, 1)2AA2AE當(dāng)或時(shí)，即為通常的冪等矩陣或?qū)暇仃?。?由冪等矩陣、對(duì)稱矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，特別是應(yīng)用的廣泛，現(xiàn)行的線性代數(shù)，很多將這兩類矩陣作為教學(xué)內(nèi)容，并且有 定理定理3.5 （見1,P110,2,p109等） ( )()r Ar AEn2AA 當(dāng) 時(shí) （3.5） ()()r AEr AEn2AE當(dāng) （3.6） 時(shí) ab，當(dāng)時(shí)()()0AaEAbE211()()AaEAaEbaba定理定理3.6 nab設(shè)為階矩陣滿足A()()r AaEr AbEn證明：由（ 3.5 ）和（ 3.6）得11()()nrAaErAaEEbaba如果 ，則()()0AaEAbE1()() )r Aa

20、ErAaEba Eba()()r AaEr AbE 應(yīng)用二次矩陣與其化零多項(xiàng)式的性質(zhì)，很容易將冪等矩陣（算子）的性質(zhì)推廣到更一般的情況。 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1.同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編.線性代數(shù)（第四版），高等教育出版社，北京，2004年4月.2.陳建龍，周建華，韓瑞珠，周后行.線性代數(shù)，科學(xué)出版社，北京，2009年1月. 3.吳贛昌.線性代數(shù)（理工類），中國(guó)人民大學(xué)出版社， 北京，2006年6月.5.居于馬，林翠琴 .線性代數(shù)學(xué)習(xí)指南，清華大學(xué)出 版社，北京 2005年9月. 4.同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編.線性代數(shù).清華大學(xué)出版社，北京，2007年5月6.居于馬，林翠琴.線性代數(shù)簡(jiǎn)明教程，清華大學(xué)出版

21、社，北京 2006年7月.7.鄧輝文.線性代數(shù) 線性代數(shù)簡(jiǎn)明教程，清華大學(xué)出版社，北京 2008年7月. 9.俞正光，劉坤林，譚澤光，葛余博. 線性代數(shù)通用輔導(dǎo)講義,線性代數(shù)簡(jiǎn)明教程，清華大學(xué)出版社，北京 2007年4月.8.樊復(fù)生.線性代數(shù)典型題典,東北大學(xué)出版社.沈陽(yáng)，2004年3月.12陳懷琛， 高淑萍，楊威 .工程線性代數(shù)電子工業(yè)出版社，北京,2007年7月.10.上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)，科學(xué)出版社，北京，2007年.11.陳維新. 線性代數(shù)簡(jiǎn)明教程（第二版），清華大學(xué)出版社，北京, 2006年1月.13.曹重光，于憲君，張顯. 線性代數(shù) （經(jīng)管類），科學(xué)出版社，北京，2009年14.郝志