高等數(shù)學(xué)-同濟六版教學(xué)★第1章函數(shù)與極限ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 及夾逼準那么及夾逼準那么第六節(jié)極限存在準那么及兩個重要極限 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準那函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準那么么1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理定理1. Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定義,),(0nxxnAxfnn)(lim為確定起見 , 僅討論的情形.0 xx 有)(nxfxnx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnx

2、fxx 有定義, )(0nxxn且設(shè),)(lim0Axfxx即,0,0當,00時xx有.)( Axf:nx)(,0nnxfxx 有定義 , 且, )(0nxxn對上述 ,Nn 時, 有,00 xxn于是當Nn 時.)( Axfn故Axfnn)(lim可用反證法證明. (略).)(limAxfnn有證：證：當 xyA,N“ “ 0 xO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定義, )(0nxxn且.)(limAxfnn有闡明闡明: 此定理常用于判別函數(shù)極限不存在此定理常用于判別函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個數(shù)列找一個數(shù)列:nx,0 xx

3、n, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找兩個趨于找兩個趨于0 x的不同數(shù)列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明證明xx1sinlim0不存在 .證證: 取兩個趨于取兩個趨于 0 的數(shù)列的數(shù)列21nxn及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)極限存在的夾逼準那么函數(shù)極限存在的夾逼準那么定理定理2.,),(0時當xUxAxhxgxxxx)(lim

4、)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且( 利用定理1及數(shù)列的夾逼準那么可證 )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1sincosxxx圓扇形AOB的面積二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 1sinlim. 10 xxx證證: 當當即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積xxxcos1sin1故有注 OBAx1DC注注當20 x時xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx目錄

5、上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 那么,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20sinlimx2x2x21nnnR2cossinlimRn例例4. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 知圓內(nèi)接正知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為邊形面積為證明: .lim2RAnn證證:

6、 nnAlimnnnnRnA2cossin2 R闡明闡明: 計算中留意利用計算中留意利用1)()(sinlim0)(xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.e)1(lim1xxx證證: 當當0 x時, 設(shè), 1nxn那么xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnnee)1(lim1xxx(P5354)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當x, ) 1( tx那么,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 (

7、)1(lim11tttte故e)1 (lim1xxx闡明闡明: 此極限也可寫為此極限也可寫為e)1 (lim10zzz時, 令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt那么xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1闡明闡明 ：假設(shè)利：假設(shè)利用用, e)1 (lim)()(1)(xxx那么 原式111e)1 (limxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 limx例例7. 求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx2

8、2sinx2sin1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的運用(1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (2) 數(shù)列極限存在的夾逼準那么法法1 找一個數(shù)列找一個數(shù)列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找兩個趨于找兩個趨于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函數(shù)極限存在的夾逼準那么目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 兩個重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表一樣的表達式代表一樣的表達式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索與練習(xí)思索與練習(xí)填空題填空

9、題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e 作業(yè)作業(yè) P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 ,0時xxxxsin,32都是無窮小,第七節(jié)引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 無窮小的比較目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0limCk定義定義.,0lim假設(shè)那么稱 是比 高階的無窮小,)(o,lim假

10、設(shè)假設(shè)假設(shè), 1lim假設(shè),0limC或,設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記作那么稱 是比 低階的無窮小;那么稱 是 的同階無窮小;那么稱 是關(guān)于 的 k 階無窮小;那么稱 是 的等價無窮小,記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如 , 當當)(o0 x時3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x時xcos1是關(guān)于 x 的二階無窮小,xcos1221x且目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明證明: 當當0 x時,11nx.1xn證證: 0limx11nxxn10limx11nnxxn111nn

11、x21nnx1,0時當 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb1x分子例例2. 證明證明: .1exx證證:, 1e xy令, )1ln(yx則,0,0yx時且01limexxx)1ln(lim0yyyyyy1)1ln(1lim0eln11xx1e xx )1ln( 目錄 上頁 下頁 前往 終了 因此 即有等價關(guān)系: 闡明闡明: 上述證明過程也給出了等價關(guān)系上述證明過程也給出了等價關(guān)系: )1ln(1lim10yyy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 時x,sinxx,tanxx故,0 時

12、x, )(sinxoxx)(tanxoxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2 . 設(shè)設(shè),且lim存在 , 那么lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)對同一變化過程 , , 為無窮小 ,闡明闡明:無窮小的性質(zhì), (1) 和差取大規(guī)那么和差取大規(guī)那么: 由等價可得簡化某些極限運算的下述規(guī)那么. 假設(shè) = o() , (2) 和差替代規(guī)那么和差替代規(guī)那么: ,不等價與且若,則例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則.limlim且！時此結(jié)論未必成立注意例如,11

13、sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(見下頁例3) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 因式替代規(guī)那么因式替代規(guī)那么:極限存在或有且若)(,x界, 那么)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例3. 求求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 231x221x例例4. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32

14、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 證明證明: 當當 0 x時,.11lnxxx證證:利用和差替代與取大規(guī)那么時，當 0 x)1ln()1ln(11lnxxxx)(xxx)()(1ln()1ln(xxx不等價與)1ln()1ln(xxxx )1ln( 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)0lim,0, )0(C,1,0limCk1. 無窮小的比較設(shè) , 對同一自變量的變化過程為無窮小, 且 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價無窮小 是 的 k 階無窮小目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 等價無窮小交換定理,0時當 xsin xtan xarcsinx

15、,x,x,xcos1x,221x11nx,1xn思索與練習(xí)思索與練習(xí)P59 題1 , 2 作業(yè) P59 3 ; 4 (2) , (3) , (4) ; 5 (3) 常用等價無窮小 :第八節(jié) )1ln(x1e x, xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 函數(shù)的延續(xù)點函數(shù)的延續(xù)點 一、一、 函數(shù)延續(xù)性的定義函數(shù)延續(xù)性的定義 第八節(jié)函數(shù)的延續(xù)性與延續(xù)點 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可見 , 函數(shù))(xf在點0 x一、一、 函數(shù)延續(xù)性的定義函數(shù)延續(xù)性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx那么稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(x

16、f在點0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)延續(xù)必需具備以下條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx假設(shè))(xf在某區(qū)間上每一點都延續(xù) , 那么稱它在該區(qū)間上延續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的延續(xù)函數(shù) . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上延續(xù) .( 有理整函數(shù) )又如又如, 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù))()()(xQxPxR在其定義域內(nèi)延續(xù).在閉區(qū)間,ba上的延續(xù)函數(shù)的集合記作只需,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx

17、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對自變量的增量,0 xxx有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xOy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左延續(xù)右延續(xù),0,0當xxx0時, 有yxfxf)()(0函數(shù)0 x)(xf在點延續(xù)有以下等價命題:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 證明函數(shù)證明函數(shù)xysin在),(內(nèi)延續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122xx0 x即0lim0yx這闡明xysin在),(內(nèi)延續(xù)

18、.同樣可證: 函數(shù)xycos在),(內(nèi)延續(xù) .0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在在二、二、 函數(shù)的延續(xù)點函數(shù)的延續(xù)點(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx不延續(xù) :0 x設(shè)0 x在點)(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 那么以下情形這樣的點0 x之一, 函數(shù) f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為延續(xù)點 . 在無定義 ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 延續(xù)點分類延續(xù)點分類: :第一類延續(xù)點第一類延續(xù)點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00

19、 xfxf假設(shè)稱0 x, )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x第二類延續(xù)點第二類延續(xù)點:)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x假設(shè)其中有一個為振蕩,稱0 x假設(shè)其中有一個為,為可去延續(xù)點 .為騰躍延續(xù)點 .為無窮延續(xù)點 .為振蕩延續(xù)點 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xytan) 1 (2x為其無窮延續(xù)點 .0 x為其振蕩延續(xù)點 .xy1sin)2(1x為可去延續(xù)點 .11)3(2xxy例如例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去延續(xù)點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5)

20、 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x為其騰躍延續(xù)點 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左延續(xù)右延續(xù))(. 2xf0 x第一類延續(xù)點可去延續(xù)點騰躍延續(xù)點左右極限都存在 第二類延續(xù)點無窮延續(xù)點振蕩延續(xù)點左右極限至少有一個不存在在點延續(xù)的類型)(. 1xf0 x在點延續(xù)的等價方式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索與練習(xí)思索與練習(xí)1. 討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮延續(xù)點 .延續(xù)點的類型.2. 設(shè)0,0,sin)(21x

21、xaxxxfx_,a時提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03. P65 題 3 , *8)(xf為延續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類可去延續(xù)點是第一類可去延續(xù)點 ,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P65 題題*8 提示提示:xxxfsin1sin1)( 作業(yè)作業(yè) P65 4 ; 5 xyO1第九節(jié) 1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 確定函數(shù)確定函數(shù)延續(xù)點的類型.xxxf1e11)(解解: 延續(xù)點延續(xù)點1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮延續(xù)點;,1 時當x xx1,0)(xf,1 時當x xx1,1)(xf故1x為騰躍延續(xù)點. ,1,0處在x.)(連續(xù)xf目錄

22、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、延續(xù)函數(shù)的運算法那么一、延續(xù)函數(shù)的運算法那么 第九節(jié)二、初等函數(shù)的延續(xù)性二、初等函數(shù)的延續(xù)性 延續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的延續(xù)性 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2. 延續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也延續(xù)單調(diào)遞增延續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也延續(xù)單調(diào)遞增. xx cot,tan在其定義域內(nèi)延續(xù)一、延續(xù)函數(shù)的運算法那一、延續(xù)函數(shù)的運算法那么么定理定理1. 在某點延續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和在某點延續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四那么運算法那么證明)連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運算, 結(jié)果仍是一個在該點延續(xù)的函數(shù) .例如

23、例如,例如例如,xysin在,22上延續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減)(證明略)在1, 1上也延續(xù)單調(diào)(遞減)11xOy22遞增.xsinxarcsin目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3. 延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是延續(xù)的延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是延續(xù)的.xye在),(上延續(xù)其反函數(shù)xyln在),0(上也延續(xù)單調(diào)遞增.證證: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點 x.)(00ux,)(0連續(xù)在點函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點 x又如又如, 且即xyOxylnexy 11單調(diào) 遞

24、增,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,xy1sin是由延續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上延續(xù) .復(fù)合而成 ,xy1sinxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 . 設(shè))()(xgxf與均在,ba上延續(xù), 證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在,ba上延續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)延續(xù)函數(shù)運算法那么 , 可知)(, )(xx也在,ba上延續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、初等函數(shù)的延續(xù)性二、初等函數(shù)的延續(xù)性根本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延

25、續(xù)延續(xù)函數(shù)經(jīng)四那么運算仍延續(xù)延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)延續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)例如例如,21xy的延續(xù)區(qū)間為1, 1(端點為單側(cè)延續(xù))xysinln的延續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為Znnx,2因此它無延續(xù)點而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例3. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat那么, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln闡明闡明: 由此可見當由此可見當0e,xa時, 有)1ln(x1e xxx目錄 上頁 下頁

26、返回 結(jié)束 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 xx36e闡明闡明: 假假設(shè)設(shè),0)(lim0 xuxx那么有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1,41,)(xxxxx例例5. 設(shè)設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù))(xf的延續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時延續(xù); 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類

27、延續(xù)點 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時xfx在點 x = 1 不延續(xù) , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)根本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的四那么運算結(jié)果仍延續(xù)延續(xù)函數(shù)的反函數(shù)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)延續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)闡明闡明: 分段函數(shù)在界點處能否延續(xù)需討論其分段函數(shù)在界點處能否延續(xù)需討論其 左、右延續(xù)性左、右延續(xù)性.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索與練習(xí)思索與練習(xí),)(0連續(xù)在點若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續(xù)? 反例, 1,1)(xf x 為有理數(shù) x 為無理數(shù))(xf處處延續(xù),)(, )(2xfxf處處延續(xù) .反

28、之能否成立? 作業(yè)作業(yè)P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 6提示提示:“反之 不成立 .第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十節(jié)一、最值定理一、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致延續(xù)性三、一致延續(xù)性 閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 留意留意: 假設(shè)函數(shù)在開區(qū)間上延續(xù)假設(shè)函數(shù)在開區(qū)間上延續(xù),結(jié)論不一定成立 .一、最值定理一、最值定理定理定理1.1.在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(baCxf12那么, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小

29、值.或在閉區(qū)間內(nèi)有延續(xù) 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點 ,xyab)(xfy O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf22也無最大值和最小值 又如又如, xy11OxyO11目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)(baxf在因此12mM二、介值定理二、介值定理由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè)設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .定理定理2. ( 零點定理零點定理 ), ,)(baCxf至少有一點, ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 證明

30、略 )推論推論 在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. b xya)(xfy Oxyab)(xfy O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3. ( 介值定理介值定理 ) 設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf那么對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點, ),(ba證證: 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)Cxfx)()(那么,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點定理知, 至少有一點, ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論: 在閉區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)C使.)(Cf至少有必獲得介于最小值與最大值之間的任何值 .xAbya)(x

31、fy BO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 O1x例例. 證明方程證明方程01423 xx一個根 .證證: 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點定理, 至少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423闡明闡明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點,43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法在區(qū)間)1 ,0(的中點取1 ,0內(nèi)至少有那么那么4321內(nèi)容小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三三. 一致延續(xù)性一致延續(xù)性知函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上延續(xù), 即:,0Ix

32、,0,0)(0 x,0時當 xx)()(0 xfxf普通情形,.,0都有關(guān)與x,0無關(guān)時與若x就引出了一致延續(xù)的概念 .定義定義:, )(Ixxf對,0若,0存在,21Ixx對恣意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在在 I 上一致延續(xù)上一致延續(xù) .顯然:上一致連續(xù)在區(qū)間 Ixf)(上連續(xù)在區(qū)間 Ixf)(,21時當 xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致延續(xù) .由于, ) 10(0取點, )(,11211Nnxxnn那么 21xx 111nn) 1(1nn可以恣意小但)()(21xfxf) 1( nn1這闡明xxf1)(在( 0 , 1 上不一致延

33、續(xù) .定理定理4., ,)(baCxf若,)(baxf在則上一致延續(xù).(證明略)思索思索: P74 題題 *7提示提示:設(shè))(, )(bfaf存在, 作輔助函數(shù))(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF顯然目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)則設(shè), ,)(baCxf在)(. 1xf上到達最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當0)()(bfaf時, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 任給一張面積為任給一張面積為 A 的紙片的紙片(如圖如圖), 證明

34、必可將它思索與練習(xí)思索與練習(xí)一刀剪為面積相等的兩片.提示提示: 建立坐標系如圖.xOy那么面積函數(shù),)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 那么, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令令, )()()(xfaxfx那么, ,0)(aCx 易證0)()0(a2. 設(shè)設(shè)作業(yè)作業(yè)P74 (習(xí)題習(xí)題110 2 ; 3; 5一點習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf備用題備用題 1e3xx至少有一個不超越 4 的 證：證：證明令1e)(3xxxf

35、且)0(f1e3)4(f1e43400e3根據(jù)零點定理 , )4,0(,0)(f使原命題得證 .)4,0(內(nèi)至少存在一點在開區(qū)間顯然正根 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 延續(xù)與延續(xù)延續(xù)與延續(xù) 一、一、 函數(shù)函數(shù) 三、三、 極限極限 習(xí)題課習(xí)題課函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xfy yxOD一、一、 函數(shù)函數(shù)1. 概念定義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域 值域圖形圖形:DxxfyyxC, )(),( 普通為曲線 )設(shè),RD函數(shù)為特殊的映射:其中目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 特性有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性

36、3. 反函數(shù))(:DfDf設(shè)函數(shù)為單射, 反函數(shù)為其逆映射DDff)(:14. 復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg那么復(fù)合函數(shù)為 )(:DgfDgf5. 初等函數(shù)有限個常數(shù)及根本初等函數(shù)經(jīng)有限次四那么運算與復(fù)合而成的一個表達式的函數(shù).)(1DfD)(Dgg1Dfgf 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索與練習(xí)思索與練習(xí)1. 以下各組函數(shù)能否一樣 ? 為什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與一樣一樣一樣一樣一樣一樣目錄 上頁 下

37、頁 返回 結(jié)束 2. 以下各種關(guān)系式表示的 y 能否為 x 的函數(shù)? 為什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 x0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyO4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xOxy111xRx3. 以下函數(shù)能否為初等函數(shù) ? 為什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2x以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .xy1O目錄

38、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 設(shè)設(shè),0)(,1)(,e)(2xxxfxfx且求)(x及其定義域 .5. 知知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f6. 設(shè)設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2exx1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 f5. 知知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f)( f312)(9f66. 設(shè)設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sinsin1)

39、sin1(sin22xxxxf3)sin1(sin2xx3)(2xxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx設(shè)其中).(xf，求令即即令即畫線三式聯(lián)立1111)(xxxxf即xxxxxff)1(2111)()(例例1.1.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 延續(xù)與延續(xù)延續(xù)與延續(xù)1. 函數(shù)延續(xù)的等價方式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxx

40、fyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時當 xx有)()(0 xfxf2. 函數(shù)延續(xù)點第一類延續(xù)點第二類延續(xù)點可去延續(xù)點騰躍延續(xù)點無窮延續(xù)點振蕩延續(xù)點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有界定理 ; 最值定理 ; 零點定理 ; 介值定理 .3. 閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例例2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 延續(xù) , 那么 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )

41、 1)(e)(xaxbxfx有無窮延續(xù)點0 x及可去延續(xù)點, 1x解解:為無窮延續(xù)點,0 x) 1)(elim0 xaxbxx所以bxaxxxe) 1)(lim0ba101,0ba為可去延續(xù)點 ,1x) 1(elim1xxbxx極限存在0)(elim1bxxeelim1xxb例例3. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè)設(shè) f (x) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 假設(shè) f (x) 在延續(xù),0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf閱讀與練習(xí)閱讀與練習(xí)

42、且對恣意實數(shù)證明 f (x) 對一切 x 都延續(xù) .P65 題 1 , 3(2) ; P74 題 *6目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:P74 題題*6. 證明證明: 假假設(shè)設(shè) 令,)(limAxfx那么給定,0,0X當Xx 時, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根據(jù)有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM那么),(,)(xMxf)(xf在),(內(nèi)延續(xù),)(limxfx存在, 那么)(xf必在),(內(nèi)有界.)(xfXXA1MOyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)()()(212xfxff上延續(xù) , 且恒為正 ,例例5. 設(shè)設(shè))(xf在,ba對恣意的, ),(,2

43、121xxbaxx必存在一點證證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 那么,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時當xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff,)()(21時當xfxf,21xx或取)()()(21xfxff證明:, 0)(F則有即 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上延續(xù), 且 a c d b ,例例6. 設(shè)設(shè))(xf在,

44、ba必有一點證證:, ,ba使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即由介值定理,使存在, ,ba證明:Mnmdfncfmm)()()()()()(fnmdfncfm,m及最小值故 即 mnm)(Mnm)(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、 極限極限1. 極限定義的等價方式 (以 為例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 為無窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(002. 極限存在準那么及極限運算法那么目錄 上頁 下

45、頁 返回 結(jié)束 3. 無窮小無窮小的性質(zhì) ; 無窮小的比較 ;常用等價無窮小: 4. 兩個重要極限 6. 判別極限不存在的方法 sin xxtanxxcos1x221xarctanxxarcsin xx)1ln(xx1e xx1xaaxln1)1 (xx5. 求極限的根本方法 1sinlim) 1 (01)11 (lim)2(0或10lim(1)e注注: 代表一樣的表達式代表一樣的表達式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求以下極限：求以下極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21

46、cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(exxxx1212)1(ln2e那么有)()(1lim0 xvxxxu復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 假假設(shè)設(shè),0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1目錄 上頁 下頁 返

47、回 結(jié)束 Oxy331xy例例8. 確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , 使使0)1(lim33bxaxx解解: 原式可變形為原式可變形為0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 當當0 x時,32xx 是x的幾階無窮小?解解: 設(shè)其為設(shè)其為 x 的的 k 階無窮小階無窮小,那么kxxxx320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 閱讀與練習(xí)閱讀與練習(xí)1. 求的延續(xù)點, 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去延續(xù)點)(lim1xfx x = 1 為第二類無窮延續(xù)點, 1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx x = 0 為第