3 回歸正交組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1、重點(diǎn) 3 回歸正交組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)主要內(nèi)容： 3.1 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介 3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析 回歸正交設(shè)計(jì)正交性的實(shí)現(xiàn)條件及其統(tǒng)計(jì)分析。 回歸正交設(shè)計(jì)的根本原理、正交性的實(shí)現(xiàn)條件，組合設(shè)計(jì)的方法，回歸方程的建立及顯著性檢驗(yàn)。難點(diǎn)3.1 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介3.1 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介 正交設(shè)計(jì) 是一種重要的科學(xué)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。它能夠利用較少的試驗(yàn)次數(shù)，獲得較佳的試驗(yàn)結(jié)果。但是正交設(shè)計(jì)不能在一定的試驗(yàn)范圍內(nèi)，根據(jù)數(shù)據(jù)樣本，去確定變量之間的相關(guān)關(guān)系及其相應(yīng)的回歸方程。 回歸分析 被動(dòng)地處理由試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，而對(duì)試驗(yàn)的設(shè)計(jì)安排幾乎不提出任何要求

2、。 這樣不僅盲目地增加了試驗(yàn)次數(shù)，而且由數(shù)據(jù)所分析出的結(jié)果還往往不能提供充分的信息，造成在多因素試驗(yàn)的分析中，由于設(shè)計(jì)的缺陷而達(dá)不到預(yù)期的試驗(yàn)?zāi)康摹?.1 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介 簡(jiǎn)單地說，就是主動(dòng)地在因子空間選擇適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)點(diǎn)，以較少的試驗(yàn)處理建立一個(gè)有效的多項(xiàng)式回歸方程，從而解決科學(xué)研究與生產(chǎn)實(shí)際中的最優(yōu)化問題。 即：主動(dòng)地將試驗(yàn)的安排、數(shù)據(jù)的處理和回歸方程的精度統(tǒng)一起來加以考慮的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。這種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法稱為回歸設(shè)計(jì)。 將回歸與正交結(jié)合在一起的試驗(yàn)設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析方法稱作為回歸正交設(shè)計(jì)。 3.1.1 回歸設(shè)計(jì)的根本思想3.1 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介 回歸設(shè)計(jì)始于20世紀(jì)50年代初期，開展

3、至今其內(nèi)容已相當(dāng)豐富，主要包括： 1.回歸正交設(shè)計(jì) 2.回歸旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì) 3.回歸通用設(shè)計(jì) 4.回歸混料設(shè)計(jì)等。3.1.2 回歸設(shè)計(jì)的種類3.1 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介 當(dāng)試驗(yàn)研究的依變量如加工罐頭質(zhì)量與各自變量如殺菌方式、產(chǎn)品配料等之間呈線性關(guān)系時(shí)，那么可采用一次回歸正交設(shè)計(jì)的方法。3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析3.2.1 一次回歸正交設(shè)計(jì)的一般方法 一次回歸正交設(shè)計(jì)的方法原理與正交設(shè)計(jì)類似，主要是應(yīng)用2水平正交表進(jìn)行設(shè)計(jì)，如L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等。 具體設(shè)計(jì)的一般步驟如下： 3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的因素一般都大于3個(gè)，但

4、也不能太多，否那么處理過多，方案難以實(shí)施。 根據(jù)試驗(yàn)研究的目的和要求確定試驗(yàn)因素?cái)?shù)，并在此根底上擬定出每個(gè)因素Zj的變化范圍。 Z0j(Z2j+Z1j )2 3-1 式中： Z1j 因素取值最低水平，稱為下水平 Z2j 取值最高水平，稱為上水平 Z0j 兩者之算術(shù)平均數(shù)，稱為零水平 上水平和零水平之差稱為因素Zj的變化間距，以j表示。 即： jZ2j-Z0j(Z2j-Z1j )2 3-21確定試驗(yàn)因素及其變化范圍3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 編碼過程 即對(duì)Zj的各水平進(jìn)行線性變換，其計(jì)算式為： xij(Zij - Z0j ) j 3-3 例如 某試驗(yàn)的第一個(gè)因素，其Z11= 4， Z21

5、= 12， Z01= 8，那么各水平的編碼值為： x21(Z21 - Z01 ) /1(12-8)/41 x01(Z01 - Z01 ) /1(8-8) /4 0 x11(Z11 - Z01 ) /1(4-8) /4-12對(duì)因素Zj的各水平進(jìn)行編碼經(jīng)過上述編碼，就確定了因素Zj與Xj的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即： 上水平 12Z21 +1x21 即： 零水平 8Z01 0 x01 Zj(Z1j，Z2j ) 下水平 4Z11 -1 x11 xj(x1j，x2j ) 對(duì)因素 Zj 的各水平進(jìn)行編碼的目的 為了使供試因素 Zj 各水平在編碼空間是“平等的。 即它們的取值都是在1,-1區(qū)間內(nèi)變化，而不受原因素

6、Zj 的單位和取值大小的影響。 對(duì)供試因素 Zj 各水平進(jìn)行了以上的編碼后，就把試驗(yàn)結(jié)果 y 對(duì)供試因素各水平 Zi1,Zi2 , , Zim 的回歸問題轉(zhuǎn)化為在編碼空間試驗(yàn)結(jié)果 y 對(duì)編碼值 xi1,xi2 , , xim 的回歸問題。 由此，我們可以在以 x1，x2 ， ， xm 為坐標(biāo)軸的編碼空間中選擇試驗(yàn)點(diǎn)，進(jìn)行回歸設(shè)計(jì)；這樣的設(shè)計(jì)大幅度地簡(jiǎn)化了數(shù)據(jù)處理。3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 無論是一次回歸設(shè)計(jì)，還是二次回歸設(shè)計(jì)，我們都先將各因素進(jìn)行編碼，再去求試驗(yàn)指標(biāo) y 對(duì) x1,x2 , , xm 的回歸方程，這是試驗(yàn)設(shè)計(jì)中經(jīng)常被采用的一種方法。3選擇適宜的2水平正交表，進(jìn)行試驗(yàn)方

7、案設(shè)計(jì) 在應(yīng)用2水平正交表進(jìn)行回歸試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)時(shí)，以“1代換表中的“2，以“1代換表中的“1，并增加“0水平。 進(jìn)行這種變換的目的是為了適應(yīng)對(duì)因素水平進(jìn)行編碼的需要。代換后正交表中的“1和“1不僅表示因素水平的不同狀態(tài)，而且表示因素水平數(shù)量變化的大小。 原正交表經(jīng)過上述代換，其交互作用列可以直接從表中相應(yīng)幾列對(duì)應(yīng)元素相乘而得到。因此原正交表的交互作用列表也就不用了，這一點(diǎn)較原正交表使用更為方便。 在具體進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，首先將各因素分別安排在所選正交表相應(yīng)列上，然后將每個(gè)因素的各個(gè)水平填入相應(yīng)的編碼值中，就得到了一次回歸正交設(shè)計(jì)方案。 例3-1 食品增香試驗(yàn)。影響某產(chǎn)品著香程度的3個(gè)主要因素為：香精

8、用量Z1 、著香時(shí)間Z2 、著香溫度Z3 ，其因素水平及編碼值如表3-1示。因素Z1/mLkg-1物料Z2/hZ3/上水平(+1)1722.645.7零水平(0)121635下水平(-1)79.424.3變化間距(i)56.610.7表3-1 食品著香試驗(yàn)因素水平取值及編碼表3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 本試驗(yàn)有3個(gè)因素。如果除考察主效應(yīng)外，還需考察交互作用，那么可選用L8(27)進(jìn)行設(shè)計(jì)，即將正交表中的“1改為“1，“2改為“1，且把 x1, x2, x3 放在1，2，4列上。 這時(shí)只要將各供試因素 Zj 的每個(gè)水平填入相應(yīng)的編碼值中，并在“0水平處中心區(qū)安排適當(dāng)?shù)闹貜?fù)試驗(yàn)，即可得到試

9、驗(yàn)處理方案，如表3-2所示。3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析表3-2 3元一次回歸正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案試驗(yàn)號(hào)1x1 (Z1)2x2 ( Z2 )4x3 ( Z3 )試驗(yàn)指標(biāo) yi1 1 (17) 1 (22.6) 1 (45.7)2 1 (17) 1 (22.6)-1 (24.3)3 1 (17)-1 (9.4) 1 (45.7)4 1 (17)-1 (9.4)-1 (24.3)5-1 (7) 1 (22.6) 1 (45.7)6-1 (7) 1 (22.6)-1 (24.3)7-1 (7)-1 (9.4) 1 (45.7)8-1 (7)-1 (9.4)-1 (24.3)9 0 (12) 0 (

10、16) 0 (35) N 0 (12) 0 (16) 0 (35)3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 4零水平基準(zhǔn)水平重復(fù)試驗(yàn) 定義 就是指所有供試因素 Zj 的水平編碼值均取零水平的水平組合重復(fù)進(jìn)行假設(shè)干次試驗(yàn)。3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析試驗(yàn)號(hào)x1 (Z1)x2 ( Z2 )x3 ( Z3 )試驗(yàn)指標(biāo) yi1 1 (17) 1 (22.6) 1 (45.7)2 1 (17) 1 (22.6)-1 (24.3)3 1 (17)-1 (9.4) 1 (45.7)4 1 (17)-1 (9.4)-1 (24.3)5-1 (7) 1 (22.6) 1 (45.7)6-1 (7) 1 (22.

11、6)-1 (24.3)7-1 (7)-1 (9.4) 1 (45.7)8-1 (7)-1 (9.4)-1 (24.3)9 0 (12) 0 (16) 0 (35) N 0 (12) 0 (16) 0 (35)零水平重復(fù)試驗(yàn)表3-2 3元一次回歸正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案 零水平安排重復(fù)試驗(yàn)的主要作用 對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，可檢驗(yàn)一次回歸方程在被研究的整個(gè)回歸區(qū)域內(nèi)，特別是中心區(qū)的預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)值的擬合程度。 當(dāng)一次回歸正交設(shè)計(jì)屬飽和安排時(shí)，可以提供剩余自由度，以提高試驗(yàn)誤差估計(jì)的精確度和準(zhǔn)確度。 至于基準(zhǔn)水平的重復(fù)試驗(yàn)應(yīng)安排多少次，主要應(yīng)根據(jù)對(duì)試驗(yàn)的要求和實(shí)際情況而定。一般來講，當(dāng)試驗(yàn)要進(jìn)行失擬性檢驗(yàn)時(shí)

12、，基準(zhǔn)水平的試驗(yàn)應(yīng)該至少重復(fù)26次。 零水平安排重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 如果采用2水平正交表編制一次回歸正交設(shè)計(jì)，一共進(jìn)行了N 次試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果以 y1, y2, y3, yN 表示，那么一次回歸的數(shù)學(xué)模型為：3.2.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析1建立多元回歸方程關(guān)鍵是求解回歸系數(shù)bj(a1，2，N， ij) (3-4)其結(jié)構(gòu)矩陣 X 為： 記： Y=(y1,y2,yN) =0,1, 2, , m , 12 , 13 , ， (m-1)m =(1,2,N ) 那么(3-4)的矩陣形式為： Y = X + (3-5)根據(jù)最小二乘原理建立回歸方程 (3-6)

13、其偏導(dǎo)函數(shù)等于零時(shí)構(gòu)成的正規(guī)方程組為： Ab=B， b=A-1B=CB3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 由于一次回歸正交設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣 X 具有正交性，即除第1列的和為 N 外，其余各列的和以及任意兩列的內(nèi)積和均為零： 因而它的信息矩陣 A 系數(shù)矩陣為對(duì)角陣： 3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析A = X X =當(dāng) N 次試驗(yàn)中，零水平處重復(fù) m0 次時(shí)，矩陣 A 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析當(dāng) m0 0時(shí)，矩陣 A 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析相關(guān)矩陣 C 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析當(dāng) m0 0 時(shí)，矩陣 C 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析當(dāng) m00

14、時(shí)，矩陣 C 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析常數(shù)項(xiàng)矩陣 B 為：3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析于是參數(shù) 的最小二乘估計(jì) bA-1B =CB，即 (3-7) 以上可以看出，由于按正交表來安排試驗(yàn)和對(duì)變量進(jìn)行了線性變換，使得信息矩陣的逆矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)單了，同時(shí)消除了偏歸系數(shù)間的相關(guān)性，故一次回歸正交設(shè)計(jì)的計(jì)算也就十分簡(jiǎn)單了。 3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析2)回歸關(guān)系的顯著性檢驗(yàn) (1)回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 平方和與自由度的分解(3-8)3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析其中:(3-9)在一次回歸正交設(shè)計(jì)下，偏回歸平方和： (3-10)或表示為：3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析(3-

15、11) 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)假設(shè)滿足式(3-11)，那么一次回歸方程顯著；或反之。 (2)偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)(3-12) 必須注意： 如果有不顯著的偏回歸系數(shù)(1個(gè)或多個(gè))，可將其同時(shí)從回歸方程中剔除，此時(shí)不影響其它回歸系數(shù)的數(shù)值。 將剔除因素的偏回歸平方和、自由度并入離回歸平方和與自由度，進(jìn)行有關(guān)檢驗(yàn)。假設(shè)滿足式(3-12)，那么偏回歸系數(shù)Fj顯著；或反之。 上述對(duì)一次回歸的 F 檢驗(yàn)，只能說明變量的作用相對(duì)于剩余均方而言，影響是否顯著。 即使檢驗(yàn)是顯著的，也僅僅反映一次回歸方程在其試驗(yàn)點(diǎn)上與試驗(yàn)結(jié)果擬合的較好，但并不能說明在被研究的整個(gè)回歸區(qū)域的擬合情況如何，即不能保證所采用的一次回歸

16、模型是最適宜的。3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 (3)擬合度檢驗(yàn) 擬合度檢驗(yàn)亦稱失擬性檢驗(yàn)test of goodness of fit。 為了分析經(jīng)F檢驗(yàn)結(jié)果為顯著的一次回歸方程(這里包括有交互作用的情況)在整個(gè)被研究區(qū)域內(nèi)的擬合情況，可通過在零水平(Z01 , Z02 , , Z0m)處所安排的重復(fù)試驗(yàn)來估計(jì)真正的試驗(yàn)誤差，進(jìn)而檢驗(yàn)所建回歸方程的擬合度，即失擬性。3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 設(shè)在零水平處安排了 m0 次重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果分別為 y01, y01, , y0m, 那么利用這 m0個(gè)重復(fù)觀測(cè)值可以計(jì)算出反映真正試驗(yàn)誤差的平方和稱為純誤差平方和及相應(yīng)的自由度。即： (

17、3-13) 零水平處 m0次重復(fù)試驗(yàn)偏差平方和SSe3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 此時(shí)，SSrSSe 反映除各 xj 的一次項(xiàng)(考慮互作時(shí)，還包括有關(guān)一級(jí)互作)以外的其他因素(包括別的因素和各 xj 的高次項(xiàng)等)所引起的變異，是回歸方程所未能擬合的局部，稱為失擬平方和，記為 SSLf，自由度記為 dfLf 。具體計(jì)算公式如下：(3-14) 總體偏差平方和與自由度的分解(3-15) 失擬偏差平方和SSLf3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 失擬性 F 檢驗(yàn)(3-16) a. 假設(shè) FLf 顯著，而 FR 不顯著，說明所建立的回歸方程擬合度差，需考慮別的因素或有必要建立二次甚至更高次的回歸方

18、程或 y 與諸 xj 無關(guān)。 b. 假設(shè) FLf 顯著，而 FR 亦顯著，說明所建立的一次回歸方程有一定作用，但不能說明此方程是擬合得好的，仍需要查明原因，選用其它的數(shù)學(xué)模型，作進(jìn)一步研究。 c. 假設(shè) FLf 及 FR 均不顯著，說明沒有什么因素對(duì) y 有系統(tǒng)影響或試驗(yàn)誤差太大。 d. 假設(shè) FLf 不顯著，而 FR 顯著，說明所建立的回歸方程是擬合得好的。3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析3.2.3 一次回歸正交設(shè)計(jì)的應(yīng)用 例3-2 為了探索某水稻品種在低肥力土壤條件下，最正確的氮、磷、鉀施用配方，采用一次回歸正交設(shè)計(jì)進(jìn)行試驗(yàn)。用Z1,Z2,Z3分別代表氮、磷、鉀3種肥料，施用單位均為kg

19、666.67m2；試驗(yàn)指標(biāo)y是水稻產(chǎn)量kg666.67m2。1因素水平及編碼 氮、磷、鉀3種肥料的因素水平及編碼見表3-3。由公式(13-1)、(13-2)、 (13-3)計(jì)算出各因素的零水平、變化間隔及水平編碼。 因素編碼Z1(N)Z2(P2O5)Z3(K2O)上水平+18.010.012.0零水平06.06.07.5下水平-12.02.03.0間隔2.04.04.5表3-3 氮、磷、鉀肥水平編碼表 本例為3個(gè)因素,且存在3個(gè)1級(jí)交互作用，可選用L8(27)正交表經(jīng)變換后進(jìn)行試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)時(shí)，將 Z1,Z2和Z3 變換的 x1,x2和x3 分別置于L8(27)表的1，2，4列，各列的+1

20、和-1與相應(yīng)因素的實(shí)際上、下水平對(duì)應(yīng)，零水平中心區(qū)重復(fù)6次，具體方案見表34。試驗(yàn)號(hào)試驗(yàn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案 x1 （1） x2 （2） x3 （4）Z1(N)Z2(P2O5)Z3(K2O)11118.010.012.0211-18.010.03.031-118.02.012.041-1-18.02.03.05-1114.010.012.06-11-14.010.03.07-1-114.02.012.08-1-1-14.02.03.090006.06.07.5100006.06.07.5110006.06.07.5120006.06.07.5130006.06.07.5140006.06.07.5表3

21、-4 三元一次回歸正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案2制定試驗(yàn)方案處理號(hào)x0 x1x2x3x1x2x1x3x2x3y11111111500.002111-11-1-1467.35311-11-1-1-1462.65411-1-1-1-11462.3051-111-1-11463.1561-11-1-11-1463.5071-1-111-1-1460.5081-1-1-1111429.8091000000462.50101000000465.85111000000462.75121000000460.00131000000463.35141000000485.35表3-5 三元一次回歸正交設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣及試驗(yàn)結(jié)果3

22、建立回歸方程 水稻氮、磷、鉀肥試驗(yàn)一次回歸正交設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣及試驗(yàn)結(jié)果如表3-5所示。3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析處理號(hào)x0 x1x2x3x1x2x1x3x2x3y11111111500.002111-11-1-1467.35311-11-1-1-1462.65411-1-1-1-11462.3051-111-1-11463.1561-11-1-11-1463.5071-1-111-1-1460.5081-1-1-1111429.8091000000462.50101000000465.85111000000462.75121000000460.00131000000463.3514100

23、0000485.35aj=xj214888888y=648205Bj=xjy6482.0575.3578.7563.356.052.651.25SSy=2536.4774bj = Bj /aj463.00369.41889.84387.91880.75630.33130.1563SSR=1992.1993Qj = Bj2 /aj709.7028775.1953501.65284.57530.87780.1953SSr=544.2781表3-5 三元一次回歸正交設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣及計(jì)算表 根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，求解回歸方程計(jì)算過程如表3-5所示。y=463.0036+9.4188x1+9.8438x2+7.9

24、188x3+0.7563x1x2+0.3313x1x3+0.1563x2x3 根據(jù)表3-5計(jì)算的有關(guān)數(shù)據(jù)，可建立如下的回歸方程。4回歸關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)。變異來源SSdfMSFF0.05x1709.70281709.70289.128*5.59x2775.19531775.19539.970*x3501.65281501.65286.452*x1 x24.575314.57530.059x1 x30.877810.87780.011x2 x30.195310.19530.003回歸1992.1993 6332.03324.270*3.87離回歸544.2781777.7540總變異2536.47

25、7413表3-6 回歸關(guān)系的方差分析表由表3-5計(jì)算的有關(guān)數(shù)據(jù)，可列成如下方差分析表，表3-6。3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析檢驗(yàn)結(jié)果說明：產(chǎn)量 y 與 x1, x2 和 x3 的回歸關(guān)系均到達(dá)顯著水平，與一級(jí)互作x1x2，x1x3，x2x3 均不顯著。因此，可將一級(jí)互作的偏回歸平方和及自由度并入離回歸剩余項(xiàng)，而后再進(jìn)行方差分析，結(jié)果見表3-7。表3-7 回歸關(guān)系的第2次方差分析表變異來源SSdfMSFF0.05F0.01x1709.70281709.7028 12.9055 *10.04x2775.19531775.1953 14.096*x3501.65281501.6528 9.12

26、2*4.96回歸1986.55093 662.1836 12.041*6.55離回歸549.92651054.9927總變異2536.477413 第2次方差分析說明，產(chǎn)量 y 與各因素之間的總回歸關(guān)系到達(dá)極顯著，x1和x2到達(dá)極顯著，x3到達(dá)顯著。因此，回歸方程可簡(jiǎn)化為：y=463.0036+9.4188x1+9.8438x2+7.9188x3 上述回歸關(guān)系顯著，只說明一次回歸方程在試驗(yàn)點(diǎn)上與試驗(yàn)結(jié)果擬合得好；至于被研究的整個(gè)回歸區(qū)域內(nèi)部擬合如何，還需進(jìn)一步作失擬性檢驗(yàn)。3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析由公式3-13計(jì)算零水平點(diǎn)試驗(yàn)的純誤差平方和及其自由度： dfe = m0- 1 = 6

27、 - 1 = 5由公式3-14計(jì)算失擬平方和及其自由度：dfLf = dfr - dfe = 10 - 5 = 5故 所以 FLf 極顯著。說明所建立的三元一次回歸方程雖然有一定意義，但其在整個(gè)回歸空間內(nèi)的擬合度并不是很好的。因此，應(yīng)考慮建立二次回歸方程。這樣，還需在因素空間內(nèi)再選一些適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)點(diǎn)。5失擬性檢驗(yàn)3.2 一次回歸正交設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析 當(dāng)我們對(duì)所研究的問題采用一次回歸正交設(shè)計(jì)時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)擬合程度不理想即失擬性檢驗(yàn)顯著或極顯著，就說明一次回歸設(shè)計(jì)不適宜，需要重新引入二次回歸正交設(shè)計(jì)。因此，研究二次回歸正交組合設(shè)計(jì)十分必要。3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析3.3.1 二次回歸組合

28、設(shè)計(jì) 當(dāng)有 m 個(gè)自變量時(shí)，二次回歸方程式的一般形式為： (3-17)3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析 1組合設(shè)計(jì)的提出其回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)包括 0式中： N 為試驗(yàn)處理數(shù)。(3-18)因此，回歸方程的剩余自由度為 上式說明，為了使回歸方程比較可信，要想獲得 m 個(gè)變量的二次回歸方程，組合試驗(yàn)的試驗(yàn)處理數(shù) N 不能太小，至少應(yīng)該 Q ，才能使得剩余自由度 dfr 不至于太??； 另一方面，為了使試驗(yàn)在實(shí)際操作中經(jīng)濟(jì)可行，試驗(yàn)的處理數(shù) N 又不能太大。因此，試驗(yàn)處理數(shù) N 確實(shí)定成為關(guān)鍵。 同時(shí)，為了計(jì)算二次回歸方程的系數(shù)，每個(gè)因素所取的水平數(shù)應(yīng)3。故 m 個(gè)因素自變量的3水平全面試驗(yàn)的試驗(yàn)處

29、理數(shù) N 為： N 3m 。3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析 表3-8列出了不同自變量數(shù)目 m26時(shí)，二次回歸下3水平全面試驗(yàn)的剩余自由度 dfr 。可見，大多數(shù)3水平全面試驗(yàn)中，試驗(yàn)處理數(shù)和剩余自由度太大，因而工作量太大。 組合設(shè)計(jì)那么可解決這一矛盾。因素?cái)?shù)回歸系數(shù)個(gè)數(shù) Q3水平全面試驗(yàn)組合設(shè)計(jì)實(shí)施mNdfrNdfrNdfr269393310271715541581662510521243222432227662872970177494517表3-8 全面試驗(yàn)與組合設(shè)計(jì)的剩余自由度3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析 2組合設(shè)計(jì)的定義 由于組合設(shè)計(jì)可選擇多種類型的點(diǎn)，而且有些類型

30、點(diǎn)的數(shù)目試驗(yàn)處理數(shù)又可適當(dāng)調(diào)節(jié)，所以組合設(shè)計(jì)在調(diào)節(jié)試驗(yàn)處理數(shù) N ，進(jìn)而調(diào)節(jié)剩余自由度 dfr 方面，要比全面試驗(yàn)靈活，并且也更為科學(xué)實(shí)用。 組合設(shè)計(jì)，就是在參試因子自變量的編碼空間中選擇幾類不同特點(diǎn)即分別處于不同球面上的試驗(yàn)點(diǎn)，適當(dāng)組合而形成試驗(yàn)方案。3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析3二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)的構(gòu)成 這些點(diǎn)的每一個(gè)坐標(biāo)，都分別各自只取+1或-1；這種試驗(yàn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為 mc ；當(dāng)這些點(diǎn)組成二水平全因素試驗(yàn)時(shí) mc 2m 。假設(shè)根據(jù)正交表配置二水平局部實(shí)施(1/2或1/4 等)的試驗(yàn)點(diǎn)時(shí)，這種試驗(yàn)點(diǎn)的個(gè)數(shù) mc 2m-1 或 mc 2m-2 。調(diào)節(jié)這個(gè) mc ，就相應(yīng)地

31、調(diào)節(jié)了誤差剩余自由度 dfr 。 1二水平析因點(diǎn) 2軸點(diǎn) 這些點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，且與坐標(biāo)原點(diǎn)(中心點(diǎn))的距離都為，即這些點(diǎn)只有1個(gè)坐標(biāo)(自變量)取 或 - ，而其余坐標(biāo)都取零。這些點(diǎn)在坐標(biāo)圖上通常都用星號(hào)標(biāo)出，故又稱星號(hào)點(diǎn)。其中 稱為軸臂或星號(hào)臂，是待定參數(shù)，可根據(jù)正交性或旋轉(zhuǎn)性的要求來確定。這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 2m ，記為 m 。 3原點(diǎn)中心點(diǎn) 又稱中心點(diǎn)(基準(zhǔn)點(diǎn))，即各自變量都取零的點(diǎn)，本試驗(yàn)點(diǎn)可作一次，也可重復(fù)屢次，其次數(shù)記為 m0 。調(diào)節(jié) m0 ，顯然也能相應(yīng)地調(diào)節(jié)誤差(剩余)自由度 dfr 。上述3種類型試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)的和，就是組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)的總試驗(yàn)點(diǎn)(處理)數(shù) N ，N = mc + 2 m

32、+ m0 (3-19)即： 例3-3 x1 與 x2 m2兩個(gè)因素的二次回歸正交組合設(shè)計(jì)。 兩因素二次回歸正交組合設(shè)計(jì)由9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)組成，其分布如圖3-1所示圖3-1 m2的二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)分布3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析處理號(hào)x1x2說 明111mc ：二水平(1和1)的全因素試驗(yàn)點(diǎn)22421-13-114-1-15+0m ：分布在 x1 和 x2 坐標(biāo)軸上星號(hào)位置的試驗(yàn)點(diǎn) 224 6-070+80-900m0 ： x1 和 x2 均取零水平所組成的中心試驗(yàn)點(diǎn)表3-9 二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案兩因素二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案處理組合，如表3-9所示3.3 二次回

33、歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析處理號(hào)x0 x1x2x1 x2x12x221111111211-1-11131-11-11141-1-111151+002061-0020710+002810-0029100000表3-10 二元二次回歸組合設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣 兩因素 x1 ,x2 二次回歸組合設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣，如表3-10所示3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析處理號(hào)x1x2x3說 明1111這 8 個(gè)點(diǎn)組成 2 水平（1和1）的全因子試驗(yàn) 23 8211-131-1141-1-15-1116-11-17-1-118-1-1-1900這 6 個(gè)點(diǎn)分布在 x1 、x2 、x3軸上的星號(hào)位置10-0011

34、00120-013001400-15000由x1 、x2 、x3的零水平所組成的中心試驗(yàn)點(diǎn)表3-11 三元二次回歸正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案例3-4 x1 ,x2 ,x3三個(gè)因素 m3 的二次回歸正交組合設(shè)計(jì)。 由15個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)組成，其試驗(yàn)方案處理組合如表3-113.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析處理號(hào)x0 x1x2x3x1 x2x1 x3x2 x3x12x22x32111111111112111-11-1-1111311-11-11-1111411-1-1-1-1111151-111-1-1111161-11-1-11-111171-1-111-1-111181-1-1-1111111910000

35、0200101-00000200111000000201210-00000201310000000 214100-00000215100000000 0表3-12 三元二次回歸組合設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣 三因素 x1 ,x2 ,x3 二次回歸組合設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣如表3-12 3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析因素?cái)?shù) m選用正交表表頭設(shè)計(jì) mc2mm0NQ 2L4(23)1、2 列2242241963L8(27)1、2、4 列238236115104L16(215)1、2、4、8 列2416248125155L32(231)1、2、4、8、16 列25322510143215(1/2實(shí)施)L16(2

36、15)1、2、4、8、15 列25116251012721表3-13 二次回歸組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)不同因素個(gè)數(shù)的二次回歸組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)組成見表3-13 3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析 可使剩余自由度 dfr 取值適中，大大地節(jié)省試驗(yàn)處理數(shù) 見表3-8及表3-13，且因子數(shù)越多，試驗(yàn)次數(shù)減少得越多。 組合設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)在因子空間中的分布是較均勻的。 組合設(shè)計(jì)還便于在一次回歸的根底上實(shí)施。假設(shè)一次回歸不顯著，可以在原先的 mc 個(gè)二水平全面試驗(yàn)的或局部實(shí)施的試驗(yàn)點(diǎn)根底上，補(bǔ)充一些中心點(diǎn)與軸點(diǎn)試驗(yàn)，即可求得二次回歸方程，這是組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)的又一個(gè)不可比較的優(yōu)點(diǎn)。4組合設(shè)計(jì)具有的優(yōu)點(diǎn)3.3 二次回歸

37、正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析3.3.2 正交性的實(shí)現(xiàn) 由表3-10和表3-12可見，在參加中心點(diǎn)與軸點(diǎn)后，一次項(xiàng)( x1 , ,xm )與乘積項(xiàng)(xi xj,ij )并沒有失去正交性，即： ( i,j =1, 2, , m) 而 x0 項(xiàng)和二次項(xiàng)( x12 , ,xm2 ) 那么失去了正交性，即：1)值確實(shí)定 表3-143.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析( j =1, 2, , m) 對(duì)平方項(xiàng) x12 , ,xm2 進(jìn)行中心化處理( j =1, , m； a =1, , N)(3-20)這樣變換后的 x1, x2, ,xm 項(xiàng)與 x0 項(xiàng)正交：為了獲得正交性：即令：3.3 二次回歸正交組合設(shè)

38、計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析 取適當(dāng)?shù)妮S臂 ，使變換后的 x1, x2, ,xm項(xiàng)之間具有正交性將3-20與3-19式代入，上式變?yōu)椋?3-21)(ij ， i, j =1, 2, , m)即：(3-22) 由于 0，所以為了到達(dá)正交性，使式3-21，亦即3-22式成立，只須使：(3-23) 當(dāng)試驗(yàn)因素?cái)?shù) m 和零水平重復(fù)次數(shù) m0 確定時(shí)， 值就可以通過上式計(jì)算出來。為了設(shè)計(jì)方便，將由上式算得的一些常用 值列于表3-14。表3-14 二次回歸正交設(shè)計(jì)常用 值表m0因 素 數(shù) m2345(1/2實(shí)施)56(1/2實(shí)施)67(1/2實(shí)施)11.000001.215411.414211.546711.59601

39、1.724431.760641.8848821.078091.287191.482581.607171.661831.784191.824021.9434731.147441.353131.546711.664431.724431.841391.884882.0000041.210001.414211.607171.718851.784191.896291.943472.0546451.267101.471191.664431.770741.841391.949102.000002.1075461.319721.524651.718851.820361.896292.000002.054642

40、.1588471.368571.575041.770741.867921.949102.049152.107542.2086681.414211.622731.820361.913612.000002.096682.158842.2570991.457091.668031.867921.957592.049152.142722.208662.30424101.497551.711201.913612.000002.096682.187282.257092.35018111.535871.752451.957592.040962.142722.230732.304242.39498例如： 在 m

41、2 ，mc 2 m 4 且 m0 1 的情形下，由表3-14 可查得1。3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析2)平方項(xiàng)xj2的中心化處理 例如 在m2 ，mc2m4 且m01的情形下，由表3-14 可查得 1。由于m=2m=4，N=mc+m+m0=4+4+1=9所以：變換后使得即：實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)矩陣得正交性。3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析表3-15 二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣二元二次回歸正交設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣如表3-15所示；處理號(hào)x0 x1x2x1 x2x1x2111110.3330.333211-1-10.3330.33331-11-10.3330.33341-1-110.3

42、330.333511000.333-0.66761-1000.333-0.66771010-0.6670.333810-10-0.6670.33391900-0.667-0.667經(jīng)中心化變換后：3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析處理號(hào)x0 x1x2x3x1 x2x1 x3x2 x3x1x2x3111111110.270.270.272111-11-1-10.270.270.27311-11-11-10.270.270.27411-1-1-1-110.270.270.2751-111-1-110.270.270.2761-11-1-11-10.270.270.2771-1-111-1-1

43、0.270.270.2781-1-1-11110.270.270.27911.215000000.746-0.73-0.73101-1.215000000.746-0.73-0.7311101.2150000-0.730.746-0.731210-1.2150000-0.730.746-0.73131001.215000-0.73-0.730.74614100-1.215000-0.73-0.730.746151000000-0.73-0.73-0.73表3-16 三元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析三元二次回歸正交設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣如表3-16所示。 二次回

44、歸正交組合設(shè)計(jì)的一般方法 與一次回歸正交設(shè)計(jì)類似，二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的方法，同樣是在確定試驗(yàn)因素的根底上擬定每個(gè)因素的上下水平；上水平以 Z2j 表示，下水平以 Z1j 表示，兩者之算術(shù)平均數(shù)為零水平，以 Z0j 表示，見式3-1。 把上水平和零水平之差除以參數(shù)值可從表 3-14 查出，稱為因素 Zj 的變化間距，以j 表示，即：(3-24) 即：對(duì)因素水平的取值作如下線性變換：(3-25) 1確定試驗(yàn)因素Zj 的變化范圍 2對(duì)每個(gè)因素Zj的各個(gè)水平進(jìn)行編碼3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析注意：與(3-2) 式的區(qū)別表3-17 因素水平編碼表 3根據(jù)試驗(yàn)因素的個(gè)數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)亩秸?/p>

45、交表，加上 mr與 m0 的試驗(yàn)點(diǎn)，構(gòu)成試驗(yàn)方案編碼Z1Z2Zm+Z21Z22Z2m+ 1Z01 + 1Z02 + 2Z0m + m0Z01Z02Z0m- 1Z01 - 1Z02 - 2Z0m - m-Z11Z12Z1m 這樣就建立了各因素 Zij 與 xij 取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：得到如下因素水平編碼表3-17：3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析3.3.4 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析 如果研究m個(gè)因素，采用二次回歸正交組合設(shè)計(jì)共有N個(gè)處理，其試驗(yàn)結(jié)果以Y1，Y2，YN 表示，那么二次回歸的數(shù)學(xué)模型如下(3-17)式。(3-26)用樣本估計(jì)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為： 1)回歸方程的建立

46、3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析 當(dāng)對(duì)平方項(xiàng)進(jìn)行了中心變換，消除平方項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)的相關(guān)性以后，數(shù)學(xué)模型變化為： 例如： 當(dāng) m3 時(shí)，三元二次回歸方程如下。其余依此類推3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析 1首先必須計(jì)算出不同類型的回歸系數(shù)b0,bj,bij ,bjj。由于二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)矩陣 X 具有正交性，因而它的信息矩陣 A 為：其中：常數(shù)項(xiàng)矩陣 B 為：其中：相關(guān)矩陣 C 為：3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析于是二次回歸方程的回歸系數(shù)，那么：為簡(jiǎn)便起見，上述計(jì)算可列表進(jìn)行，如表3-18所示。 3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析表3-18 二次回歸正交設(shè)

47、計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣及運(yùn)算表3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析其中：(3-27) (2)經(jīng)過上述運(yùn)算, 建立起相應(yīng)的二次回歸方程 2回歸關(guān)系的顯著性檢驗(yàn) (1) 回歸方程顯著性檢驗(yàn) (2)偏回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn) 如果在中心點(diǎn)設(shè)有 m0 次重復(fù)，且試驗(yàn)結(jié)果分別為 y01，y02，y0m，那么可先用由此計(jì)算的誤差平方和(SSe)對(duì)失擬平方和(SSLf)進(jìn)行檢驗(yàn)，這里有如果 那么說明回歸方程擬合較好；否那么有其他因素存在，應(yīng)考慮修改回歸模型。 (3)失擬性檢驗(yàn)3.3.5 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的應(yīng)用 例3-5 進(jìn)行食品添香的試驗(yàn)。影響著香程度的3個(gè)主要因素為：Z1(香精用量), Z2(著香時(shí)間) , Z2(

48、著香溫度) ，試進(jìn)行二次回歸正交組合設(shè)計(jì)，并通過統(tǒng)計(jì)分析獲取有用信息。1)二次回歸正交組合試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)(1)確定 值、 mc 及 m0 根據(jù)本試驗(yàn)?zāi)康暮鸵螅_定 mc 2 m 2 3 8 ， m0 1 ，查表3-14, 得1.215。(2)確定因素的上、下水平，變化間距以及對(duì)因子進(jìn)行編碼 表3-19編碼Z1/(mLkg物料)Z2 / hZ3 / +182448+ 116.9422.645.70121635- 17.069.424.3-6822i4.946.610.7表3-19 三因素二次回歸正交組合設(shè)計(jì)水平取值及編碼計(jì)算各因素的零水平：Z01 (186)/212 (mL/kg)Z02 (24

49、8)/216 (h)Z03 (4822)/235 ()計(jì)算各因素的變化間距：01 (18-12)/1.2154.94 (mL/kg)02 (24-16)/1.2156.6 (h)03 (48-35)/1.21510.7 ()3.3 二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及其統(tǒng)計(jì)分析(3) 制定試驗(yàn)方案表3-20 三因素二次回歸正交組合設(shè)計(jì)及實(shí)施方案試驗(yàn)號(hào)試 驗(yàn) 設(shè) 計(jì)實(shí) 施 方 案x0 x1x2香精用量mLkg-1著香時(shí)間h著香溫度/ 111116.9422.645.7211-116.9422.624.331-1116.949.445.741-1-116.949.424.35-1117.0622.645.76-11-17.0622.624.37-1-117.069.445.78-1-1-17.069.424.391.2150018163510-1.21500616351101.2150122435120-1.21501283513001.2151216481400-1.21512162215000121635表3-21 食品添香試驗(yàn)三元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣及試驗(yàn)結(jié)果(4) 結(jié)構(gòu)矩陣正交性的實(shí)現(xiàn)2試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析表3-22 食品添香試驗(yàn)三元二次回歸正交組合試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析表(1) 建立三元二次回歸方程計(jì)算 b0：其中經(jīng)過以上運(yùn)算，可以初步建立多元回歸方程：(2) 回歸關(guān)系的顯著性測(cè)驗(yàn)