機(jī)械振動(dòng)4兩自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程1-2

1、機(jī)械振動(dòng)1第四章機(jī)械振動(dòng)2kcm建模方法建模方法1：將車、人等全部作為一個(gè)質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼將車、人等全部作為一個(gè)質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼要求：對(duì)汽車的上下振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模要求：對(duì)汽車的上下振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模例子：汽車行駛在路面上會(huì)產(chǎn)生上下振動(dòng)例子：汽車行駛在路面上會(huì)產(chǎn)生上下振動(dòng)缺點(diǎn)：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之缺點(diǎn)：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互影響間的相互影響優(yōu)點(diǎn)：模型簡(jiǎn)單（單自由度）優(yōu)點(diǎn)：模型簡(jiǎn)單（單自由度）分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運(yùn)動(dòng)存在耦合分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運(yùn)動(dòng)存在耦合機(jī)械振動(dòng)3k2c2m

2、車車m人人k1c1建模方法建模方法2：車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼的彈性和阻尼優(yōu)點(diǎn)：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合優(yōu)點(diǎn)：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合缺點(diǎn)：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響缺點(diǎn)：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響需兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)需兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)機(jī)械振動(dòng)4m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車車m輪輪m輪輪建模方法建模方法3：車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點(diǎn)：分別考慮了人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相優(yōu)點(diǎn)：分別考慮了人

3、與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互耦合，模型較為精確互耦合，模型較為精確問題：如何描述各個(gè)質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？問題：如何描述各個(gè)質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？需多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)需多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)機(jī)械振動(dòng)5機(jī)械振動(dòng)6機(jī)械振動(dòng)7m1m2k1k2k3x1x2k1x1k2(x1-x2)11xm m1k2(x1-x2)22xm m2 k3x2 0)(2121111xxkxkxm 0)(2321222xkxxkxm 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：0 KxxM 其中：其中：2100mmM322221kkkkkkK21xxx實(shí)例：實(shí)例：機(jī)械振動(dòng)8021211111xkxkxm 022212122xkxkxm 找x1與x

4、2同步運(yùn)動(dòng)的解：)(),(2211tfuxtfux代入方程得：代入方程得：22211211322221kkkkkkkkkkK，令1121kkk，21122kkk。2232kkk0)()()(21211111tfukuktfum 0)()()(22212122tfukuktfum 2222212111212111)()(umukukumukuktftf 機(jī)械振動(dòng)9與單自由度振動(dòng)的方程一樣，要有振動(dòng)，必須為正實(shí)數(shù)。0)()(tftf 代入方程得：代入方程得：0)(21211211ukumk0)(2222211212112mkkkmk)sin()(tCtf而且解為：為初相位角。為振動(dòng)頻率，為任意常數(shù)

5、，其中：C)2 , 1()sin()(itCutfuxiii，0)(22222121umkuk機(jī)械振動(dòng)100)(2222211212112mkkkmk0)()(212221121122214212kkkkmkmmm2121222112211122212111222122214)(2121mmkkkmmkmkmmmkmkm2122232212211)(kkkkkkkk)2 , 1(02ii頻率。為正實(shí)根，即兩個(gè)固有)2 , 1( ii，得到：代入方程每個(gè))101 . 4(i0)(21211211ukumki12121112kmkuui0)(22222121umkuki222212mkki機(jī)械振動(dòng)

6、1122122121212111)1(1)1(21mkkkmkuur得：22222121212211)2(1)2(22mkkkmkuur1)1(1)1(2)1(1)1(1ruuuu得矩陣：2)2(1)2(2)2(1)2(1ruuuu)151 . 4(a)151 . 4(b。、量，分別對(duì)應(yīng)于稱為振型向量或模態(tài)向、21)2()1(uu)2 , 1()sin()sin()(2)(2)(1)(1ituCxtuCxiiiiiiiiiii，：對(duì)每個(gè)機(jī)械振動(dòng)12)sin(1)()()()(11111)1()1(2)1(1)1(trCtftxtxtux得：)161 . 4(a)161 . 4(b實(shí)際振動(dòng)為：由

7、初始條件確定。、和、其中2121CC)sin(1)()()()(22222)2()2(2)2(1)2(trCtftxtxtux)()()()2()1(tttxxx)171 . 4()sin(1)sin(122221111trCtrC機(jī)械振動(dòng)13m1m2k1k2k3x1x2解：方程解：方程0 KxxM 其中：其中：mm200Mkkkk32K例例4.1-1：，mmmm2,21kkkkk2321，。求固有頻率和固有振型0232)(222222211212112mkkkmkmkkkmk0572)(22422kmkmmkmkmk2/5/10)27(214722221mkmk25,21機(jī)械振動(dòng)14m1m2

8、k1k2k3x1x2mkmkmk5811. 125,21121212111)1(1)1(21kkkkmkuur得：5 . 02/521212211)2(1)2(22kkkkmkuur11)1(1)1(2)1(1)1(uuuu得固有振型：5 . 01)2(1)2(2)2(1)2(uuuu)1(u11mk1)2(u1-0.5mk252節(jié)點(diǎn)機(jī)械振動(dòng)15例例4.1-2：求扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型：求扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型兩圓盤兩圓盤 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，21,II軸的扭轉(zhuǎn)剛度軸的扭轉(zhuǎn)剛度 k1I22Ik111 I)(21k22 I)(21k建立方程：建立方程：)()(21221211

9、kIkI 0021222111kkIkkI )sin()sin(2211tt設(shè)代入微分方程組，得機(jī)械振動(dòng)161I22Ik1特征方程：特征方程：0)(0)(22212112IkkkIk:相應(yīng)的振幅比，這里1011r0)(22212kIkIk0)(221421IIkII特征根：特征根：, 021212221IIIIk21122)2(1)2(22IIkIkr, 1121)1(1)1(21kIkr，軸段無變形。振動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角是相同的說明以1,)(1DtCtf對(duì)應(yīng)的不是振動(dòng)。這實(shí)際上是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，機(jī)械振動(dòng)171I22Ik121122121,:IIlIlIIlIl節(jié)面的位置特性。改變?cè)撆ふ裣到y(tǒng)的振動(dòng)在節(jié)面處進(jìn)

10、行固定，不節(jié)面處始終保持不動(dòng)。節(jié)面處始終保持不動(dòng)。節(jié)面1221IIll：振動(dòng)時(shí)，固有振型如圖以2121IIl1l2l向扭振的單自個(gè)以同一頻率按相反方即該扭振系統(tǒng)可看成兩由度系統(tǒng)。機(jī)械振動(dòng)18k1k2ABCl1l2x機(jī)械振動(dòng)19兩彈簧的伸縮量為：ABCl1l2x1lxxA2lxxB)()(2211lxklxkxm 222111)()(llxkllxkJ 00)()(002222112211221121xlklklklklklkkkxJm )(11lxk)(22lxk機(jī)械振動(dòng)20)sin()sin(ttXx，設(shè)解為：代入微分方程，得：0)(12211kXmk222211222211122111),

11、(,lklkklklkkkkk令：0)(22221JkXk000022211211xkkkkxJm 原方程變?yōu)椋?)(212222211kJkmkmJkkkmJmkJkmJmkJk)(4)(21)(2121222112221122112221機(jī)械振動(dòng)21mJkkkmJmkJkmJmkJk)(4)(21)(2121222112221122112221,212122211112)1()1(1kJkmkkXr,212222221112)2()2(2kJkmkkXr是同方向，而在第與則在第一階固有振動(dòng)時(shí)若xrr, 0, 021是反方向。與二階固有振動(dòng)時(shí)xC)1()1(X節(jié)點(diǎn)1l2lC)2()2(X節(jié)點(diǎn)

12、1l2l機(jī)械振動(dòng)224.2 靜力耦合和動(dòng)力耦合一般情況下，兩自由度以上振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程組都會(huì)出現(xiàn)耦合項(xiàng)，如果以矩陣形式表示，則耦合項(xiàng)體現(xiàn)在非對(duì)角元素上。振動(dòng)微分方程通過剛度項(xiàng)來耦合，稱為靜力耦合或彈性耦合； 振動(dòng)微分方程通過質(zhì)量項(xiàng)來耦合，稱為動(dòng)力耦合或慣性耦合； 耦合的性質(zhì)決定于所選用的坐標(biāo)，而非系統(tǒng)的特性。以前文小車振動(dòng)為例，來說明耦合的性質(zhì)。機(jī)械振動(dòng)23ABCl1l2x)()(2211lxklxkxm 222111)()(llxkllxkJ 00)()(002222112211221121xlklklklklklkkkxJm )(11lxk)(22lxk機(jī)械振動(dòng)24ABCl1l2x221

13、1212112)(xkxkllxlxlm 2221112121)(xlkxlkllxxJ )(11lxk)(22lxk11lxx22lxx211221llxlxlx2112llxx得：代入前頁動(dòng)力學(xué)方程，機(jī)械振動(dòng)25既存在彈性耦合（既存在彈性耦合（靜力耦合靜力耦合）,也存在慣性耦合（也存在慣性耦合（動(dòng)力耦合動(dòng)力耦合）00)()()()(21212221112122112112xxlllklllkllkllkxxJJmlml 2211212112)(xkxkllxlxlm 2221112121)(xlkxlkllxxJ 整理后：整理后：0)()(221212112112xllkxllkxmlxml 0)()(221221211121xlllkxlllkxJxJ 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：機(jī)械振動(dòng)26ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDDxCx)(11axkD)(22axkDDM，DDCexxC)()()(2211axkaxkexmDDD )()(222111eaaxkeaaxkJDD C2meJJC