第八章 導(dǎo)行電磁波(二)

1、第八章 導(dǎo)行電磁波（二） 圓柱形波導(dǎo)管也是應(yīng)用較廣泛的一種波導(dǎo)管，它可以用于天線饋線和多路通信中，可以構(gòu)成微波諧振腔、旋轉(zhuǎn)式移相器和衰減器，還可以構(gòu)成微波管的輸出腔，以及其它方面的應(yīng)用。本節(jié)所講的圓柱形波導(dǎo)管，是指橫截面為圓形的空心金屬波導(dǎo)管（普通圓波導(dǎo)管）8-3 圓柱形波導(dǎo)四個場分量四個場分量 求圓柱形波導(dǎo)內(nèi)場量分布的方法與矩形波導(dǎo)內(nèi)場量分部的方法完全一樣，但以采用下圖所示，圓柱坐標(biāo)較為方便。yzx0rzEErE如果用兩個縱向場分量Ez和Hz來表示其它場分量。則四個橫向分量表達(dá)式（8-22）式表示成圓柱坐標(biāo)：）（zzcrHrjrEkE21）（rHjErkEzzc21）（zzcHrrEjkH2

2、1）（rHErjkHzzcr21588 另一方面，由波動方程 按圓柱坐標(biāo)系把 分成縱向和橫向分量：2222zEEEr022EkEE2598 故可得圓柱導(dǎo)波裝置中的電場微分方程：0222EkEr）（608022EkEcr即：為本征值）其中（22kkcTM波波仍先求Ez分量，得標(biāo)量波動方程。由 算子，得：2r011222222zczzzEkErrErrE）（618用分離變量法求解上式，令：)()(rREz）（628式中的R表示只含變量r的函數(shù)， 表示只含變量 的函數(shù)。因子 均被省略。j tze將 代入 式中,可得:REz）（6180222222RkddrRdrdRrdrRdc上式可以改寫為:222

3、22221ddrkdrdRRrdrRdRrc）（638此式等號左邊只含與r有關(guān)的項(xiàng),右邊只含與有關(guān)的項(xiàng).欲使此式對一切的r, 值均成立,等式兩邊應(yīng)分別等于同一常數(shù)m2 .即有:2221mdd）（648）（658222222mrkdrdRRrdrRdRrc式 的通解為:）（6480122222RrmkdrdRrdrRdc mmAsincos）（668式 可寫成:）（658這是貝塞爾方程,它的解為:）（）（rkNBrkJBrRcmcm21)(）（678式中Jm是m階第一類柱貝塞爾函數(shù),Nm是m 階第二類貝塞爾函數(shù).由于r的變化范圍可由0變到圓柱行波導(dǎo)的半徑a,為了使Ez在r=0處不改變?yōu)闊o限大,應(yīng)

4、取第一類柱貝塞爾函數(shù),即令C=0,式 此時(shí)可寫成:REzArkBJREcmz）（）（）（mmsincos）（）（mmsincos）（rkJEEcmz0可設(shè) (常數(shù)),則:ABE 0將先前 所求EZ代到TM波的縱橫場關(guān)系式得四個分量.并考慮到 =j=jkz,TM波的Hz=0.可得到圓柱形波導(dǎo)中TMmn波的場量為:)sin()cos(/0mmrkJEkkjEcmczr）（)sin()cos(02mmrkJErkmkjEcmcz）（EkHzrrzEkH）（738式中E0為常數(shù)-由激勵源決定.）（708)sin()cos(/0mmrkJHkjHcmcr）（)sin()cos(02mmrkJHrkmjH

5、cmc）（HErrHE)sin()cos(0mmrkJHHcmz）（）（778同樣的方法,可得圓柱形波導(dǎo)中TE波的各場量表達(dá)式為:式中H0常數(shù)-由激勵源決定.TE波波三個常用模三個常用模1，主模TE11模TE11模，m=1，n=1則： 最小。截止頻率fc最低：故c最長，是圓柱波導(dǎo)中的最低次模，也是主模。 akc/841. 111 akkfcmncc2841. 122112，圓對稱TM01模 m=0，n=1則： akc/405. 201具有最低fc，故TM01是圓柱波導(dǎo)的第一個高次模。3，低損耗的TE01模 它是圓柱波導(dǎo)的高次模式，與TM11模是簡并模，下圖表示圓柱形波導(dǎo)中 的分布： c0ca4

6、a3a2aa61.2a412.3截止區(qū)域截止區(qū)域TMTM0202TETE1212TMTM2121TETE0101、TMTM1111TETE2121TMTM0101TETE1111 廣義而言,凡能夠限定電磁能量在一定體積內(nèi)振蕩的結(jié)構(gòu)可構(gòu)成電磁振蕩器.1,在低頻無線電技術(shù)中采用LC回路(諧振)產(chǎn)生電磁振蕩.大約在300MHz以下,諧振器是用集總的電容器C和電感器L做成.LCWtCWLWLC并聯(lián)振蕩回路8-4 諧振腔一般概念一般概念 當(dāng)激勵信號頻率f與LC回路固有(諧振)頻率f0相等時(shí),即發(fā)生并聯(lián)諧振. 此時(shí)磁場能量WL集中在電感線圈中,電場能量 WC集中在電容器內(nèi),并且電場能量最大時(shí),磁場能量為零

7、;WL最大,WC=0,電能與磁能隨時(shí)間不停地相互轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換的過程即諧振過程.用來描述諧振性能的參量有諧振頻率(f0唯一),品質(zhì)因素Q及R,L,C等.2,當(dāng)f增高(高于300MHz)時(shí),即在微波波段,為何不用LC諧振回路?原因有以下:(1),fL,C元件尺寸-結(jié)構(gòu)加工困難機(jī)械強(qiáng)度CLLCLC00,1使用困難 不能正常工作(2), (L,C元件幾何尺寸與 可相比似時(shí)) -歐姆損耗,介質(zhì)損耗,輻射損耗 -回路Q-降低了回路的諧振質(zhì)量.3,由此可見,在微波范圍內(nèi),必須研制新型的諧振器(諧振 回路) 微波諧振器(腔)可以用作振蕩器或調(diào)諧放大器的振蕩回路,微波濾波器,倍頻器頻率預(yù)選器,回波箱等;另外,諧振

8、腔還在微波管和加速器中得到了某些應(yīng)用. 下面以同軸諧振器為例分析諧振腔中電場能和磁場能的相互轉(zhuǎn)換: 如右圖所示的同軸諧振器(腔)電路.在此諧振器內(nèi),電場能量最大時(shí),磁場能量為零;磁場能量最大時(shí),電場能量為零,電能與磁能隨時(shí)間不停地相互轉(zhuǎn)換,其能量轉(zhuǎn)換關(guān)系與LC諧振器一致.所不同的是電能和磁能分布在整個結(jié)構(gòu)中,不能截然分開,這主要是由于傳輸線上分布參數(shù)作用的結(jié)果.因此在微波波段,一段兩端短路(或開路)的傳輸線所起的作用與LC串并聯(lián)諧振電路所起的作用完全一樣,故稱這樣的結(jié)構(gòu)為微波傳輸線型諧振器,若是由波導(dǎo)或同軸傳輸線構(gòu)成,也稱其為諧振腔.lEH微波諧振器的分類微波諧振器的分類 微波諧振器的種類很多

9、,按其結(jié)構(gòu)型成可分為傳輸線型諧振器和非傳輸線型諧振器兩類.1,傳輸線型諧振器-是一段由兩端短路或開路的前述三類微波導(dǎo)行系統(tǒng)構(gòu)成的.大多數(shù)實(shí)用微波諧振器屬于此類,如矩形波導(dǎo)空腔諧振器,圓波導(dǎo)空腔諧振器,同軸線諧振器,微波線諧振器,介質(zhì)諧振器.2,非傳輸線型諧振器(或稱復(fù)雜形狀諧振器)-不是由簡單的傳輸線或波導(dǎo)段構(gòu)成的,而是一些形狀特殊的諧振器.這種諧振器通常在坐標(biāo)的一個或兩個方向上存在不均勻性,如環(huán)形諧振器,混合同軸線型諧振器等.本章只研究傳輸線型微波諧振器微波諧振器與微波諧振器與LC諧振回路的異同點(diǎn)諧振回路的異同點(diǎn):1,相同點(diǎn): 它們的本質(zhì)均為電磁振蕩,即電磁能量的相互轉(zhuǎn)換,電場能量與磁場能量

10、的最大值相等.2,不同點(diǎn): LC回路是集總參數(shù)電路,而微波諧振器是分布參數(shù)的概念. LC回路只能有一個諧振頻率f0,但尺寸一定的微波諧振器有無窮多個諧振頻率,即微波諧振器具有多諧性.1,諧振波長0(或頻率f0) 諧振波長0是微波諧振器最主要的參數(shù),它表征微波諧振器的振蕩規(guī)律,即表示微波諧振器內(nèi)振蕩存在的條件. 當(dāng)電場和磁場沿x,y,z三個方向都形成駐波時(shí),即達(dá)到諧振條件,依波動方程:002222HkHEkE如果在矩形諧振腔中,場量所滿足的波動方程簡化成:諧振器的基本參數(shù)諧振器的基本參數(shù) 用來描述微波諧振器的基本參數(shù)則是諧振波長0(或諧振頻率f0),品質(zhì)因數(shù)Q0,和等效電導(dǎo)G0,下面分別討論這三

11、個參數(shù)及其一般表達(dá)式. 代入諧振腔中任一場分量于上式2222lpbnam808 上式即為諧振腔中能夠存在電磁振蕩時(shí),角頻率 所必須滿足的條件.由它可得到諧振頻率 (當(dāng)m,n,p取不同值時(shí)),故寫成:0222,01lpbnampnm818由 得:0222,021lpbnamfpnm82802222222EzEyExE798其對應(yīng)的諧振波長為:222,02lpbnampnm838 這表明,當(dāng)腔尺寸a,b和L(長度)給定時(shí),隨著m,n和L取一系列不同的整數(shù),即得出腔內(nèi)的一系列不連續(xù)的f0.f0的不連續(xù)性是封閉的金屬空腔中電磁場的一個重要特性.這是由于邊界條件的要求,腔內(nèi)電磁場的頻率只能取一系列特定的

12、,不連續(xù)的數(shù)值,這是約束在空間有限范圍內(nèi)的波的普遍性.這一點(diǎn)又與無限空間中的電磁波不同,無限空間中波的頻率由激發(fā)它的源的頻率決定,因而可連續(xù)變化. 在這里把具有相同f0的不同模式叫做簡并模式. 對于給定的諧振腔尺寸,諧振頻率最低的模式稱為主模. 當(dāng)腔的尺寸abL時(shí),最低頻率的諧振模式為(1,1,0),其諧振f0為:2201121baf220112ba 此波長與諧振腔的幾何尺寸同數(shù)量級.在微波技術(shù)中通常用諧振腔的最低模式來產(chǎn)生特定頻率的電磁振蕩.2,品質(zhì)因素Q0 諧振腔可以儲存電場和磁場能量,在實(shí)際的諧振腔中,由于腔壁的電導(dǎo)率是有限值,這樣將導(dǎo)致能量的損耗.和其它振蕩回路一樣,諧振腔的品質(zhì)因素Q

13、0定義為:其中:W-腔內(nèi)儲能,WT-為一周期內(nèi)腔中損耗能量,改PL為諧振腔內(nèi)的時(shí)間平均功率損耗,則一個周期 內(nèi)腔損耗的能量 故有: 確定諧振腔在諧振f0的Q值時(shí),通常是假設(shè)損耗足夠少,以致可以應(yīng)用無損耗時(shí)的場分布.TWWQ20848LPWQ02LTPW 858/2T3,等效電導(dǎo)G0 等效電導(dǎo)G0表示諧振腔損耗的參量 微波諧振器的等效電路微波諧振器的等效電路202mLUPG 8680GCmUL定義為: 式中Um為廣義傳輸線模式電壓,由于模式電壓不唯一,所以G0也不是單值量,因此嚴(yán)格講,一般情況下,微波諧振器的G0值是難以確定的,盡管如此,我們還是可以設(shè)法在諧振器內(nèi)表面選擇兩個固定點(diǎn)a和b,并在固

14、定時(shí)刻沿所選擇路徑進(jìn)行電場的線積分,并以此積分值作為等效電壓Um的值,據(jù)此得到:則:顯然,G0與所選擇的點(diǎn)a和b有關(guān),這有別于Q0,Q0對每個給定尺寸的諧振器來說是固定不變的.bmmaUE d l mE( -電場強(qiáng)度矢量的幅值)022LbmaPGEd l888矩形腔矩形腔由前節(jié)所述，低頻無線電技術(shù)中采用回路產(chǎn)生電磁振蕩當(dāng)頻率很高時(shí)（例如微波范圍），這種振蕩回路有強(qiáng)烈的輻射損耗和焦耳損耗，不能有效的產(chǎn)生高頻振蕩因此，必須用另一種振蕩器-諧振腔來激發(fā)高頻電磁振蕩諧振腔是一種適用于高頻的諧振元件，它是用理想導(dǎo)體圍成的任意形狀的空腔，凡是用理想導(dǎo)體圍成的任意形狀的空腔都有共振現(xiàn)象具有回路的性質(zhì)，稱為諧

15、振腔諧振腔可以將電磁振蕩全部約束在空腔內(nèi)，電磁場沒有輻射，也沒有介質(zhì)損耗，金屬導(dǎo)體的焦耳損耗很小，因此具有較高的品質(zhì)因數(shù)它在微波頻段中廣泛用于波長計(jì)，濾波器等器件，這一節(jié)將以矩形諧振腔為例，討論諧振腔的性質(zhì)一，諧振腔中的場結(jié)構(gòu)一段長為的矩形波導(dǎo)，兩端用金屬板將它封閉起來就構(gòu)成了矩形諧振腔，如下圖所示：lxyzlab由于這兩個導(dǎo)體端面對電磁導(dǎo)波的反射作用，波將在其間來回反射，而形成駐波駐波不能傳輸電磁能量，它只能產(chǎn)生電磁能的相互轉(zhuǎn)換，在能量轉(zhuǎn)換過程中表現(xiàn)出了振蕩現(xiàn)象所以封閉的導(dǎo)體空腔可用來作電磁振蕩的諧振器對于矩形諧振腔，可不按普遍方法來解，而是從矩形波導(dǎo)管的解出發(fā)，利用波的反射定律來討論，這里

16、要簡單的多現(xiàn)在選擇z軸為參考的“傳播方向”，按相對于Z軸的模，模來分別討論二，振蕩模式此時(shí)，由前面討論可知，無線長矩形波導(dǎo)中的電磁波沿x，y方向都是駐波，沿z方向?yàn)樾胁ǖ谥C振腔內(nèi)，由于位于 處的導(dǎo)體端面的反射，出現(xiàn)沿（z）方向的反射波因此，由矩形波導(dǎo)的解：不難得矩形諧振腔內(nèi)振蕩模式的的表達(dá)式為：0,0ZZEHlz ZHybnxamAHmnZcoscosybnxameAeAHzjzjZcoscos)898( 式中和分別為正子和負(fù)子方向傳播的波的振幅常數(shù)在z處，由于有：所以（8-89）式寫為：0ZH2coscossinZmnHj Axyzab )908( 在處，由于則有：必須取 即：于是，得振蕩

17、模式的場分量的表達(dá)式為：lz 0ZH0sinl,pl .)3 , 2 , 1(plp)918( 2coscossinZmnHj Axyzabl ZH)928( 根據(jù)電磁場基本方程組，振蕩模式的其它場分量可以由求得如下：ZHzlpybnxamAbnkEcxsincoscos22zlpybnxamAamkEcysincossin22zlpybnxamAlpamkjHcxcoscossin22)938( zlpybnxamAlpbnkjHcycossincos22zlpybnxamjAHzsincoscos2式中的即：2ck2222bnamkkmnc式 說明：諧振腔中存在著無窮多個振蕩模式對于不同的

18、（m，n，p）值，有不同的場分布因此，為表示諧振腔內(nèi)的振蕩模式，需要用三個下標(biāo)（m，n，p），并以mnp表示這兩個表示式還說明，矩形諧振腔中的電磁波沿x，y和z方向都是駐波，表現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象)938(),928(三，振蕩模式 此時(shí), 類似地,可以求得到TM振蕩模式的各個場分量為:0,0ZZEHzlpxbnxamElpamkEcxsinsincos202zlpxbnxamElpbnkEcysincossin202zlpxbnxamEEzcossinsin20zlpxbnxamEbnkjHcxcoscossin202zlpxbnxamEamkjHcycossincos202948式中的 由 給出,諧

19、振腔中也存在著無窮多個TM振蕩模式,并以TMmnp表示.2ck222bnamkc四,舉例例2, 有一填充空氣的矩形諧振腔,其沿x,y,z方向的尺寸分別為 (1)試確定相應(yīng)的主模和諧振頻率.(2)寫出該主模的場分量表達(dá)式bla解: 選擇z軸作為參考方向的”傳播方向”. 首先,對TMmnp模式,m和n均不可為零,而p為零. 其次,對于TEmnp模式，m或n均可為零(但不能同時(shí)為零),因此,最低階的模式為: TM110,TE011,TE101(1)當(dāng) 時(shí),最低諧振頻率為:bla220010101121laf于是得TE101為主模(2)因?yàn)橹髂Ｊ荰E101，所以有m=1,n=0,p=1,故可求出TE1

20、01的場分量表達(dá)式：0cos()sin()ZHHxzal0 xE02sin()sin()ycjEHxzakal 202sin()cos()xcHHxzk alal 0yH 圓形波導(dǎo)諧振腔簡稱圓柱形腔,是一段長度為 兩端短路的圓波導(dǎo)構(gòu)成的,如圖所示:llazxr0 圓柱腔由于它具有教高的品質(zhì)因數(shù),調(diào)諧方便,結(jié)構(gòu)堅(jiān)固和易于加工制作等優(yōu)點(diǎn),因此得到了廣泛的應(yīng)用. 例如,可用作微波頻率計(jì)或波長計(jì),回波箱等.圓柱形腔圓柱形腔 與矩形類似,圓柱形腔可由一段圓波導(dǎo)和兩端短路板組成,由于圓波導(dǎo)中主模是TE11模,因此,圓柱腔中的主模一般是TE111模(當(dāng)腔 時(shí),例外.)al1 . 2對應(yīng)于不同的m,n,p值,腔中有不同的振蕩模.故有：1.圓柱腔具有多諧性。2.當(dāng)a, 一定時(shí)， 最長的模稱為主模。 當(dāng) 時(shí)， 模為主模 當(dāng) 時(shí)， 模為主模3.在圓柱腔中，TEmnp, TMm