計算機控制系統(tǒng)第三章

1、第三章 計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)q 3.1 差分方程 q 3.2 z變換 q 3.3 逆z變換 q 3.4 脈沖傳遞函數(shù) 3.1 差分方程 在連續(xù)系統(tǒng)中，表示輸出和輸入信號關(guān)系的數(shù)學(xué)模型用微分方程和傳遞函數(shù)來描述；在離散系統(tǒng)中，則用差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達式三種方式來描述。 q 差分方程的一般概念q 差分方程的求解 1. 差分方程的一般概念 一般情況下，線性常系數(shù)差分方程的輸入r為一序列，用 r=r(k)=r(0),r(1),r(2), 來表示； 系統(tǒng)的輸入與輸出之間可以用線性常系數(shù)差分方程來描述，即10()()() nnjjjjy kna y knjb r knj其中，aj，b

2、j是由系統(tǒng)物理參數(shù)確定的常數(shù)。 輸出y也是一序列，用 y=y(k)=y(0),y(1),y(2),來表示。 2. 差分方程的求解 差分方程的經(jīng)典解法 例3.1 差分方程的經(jīng)典解法與微分方程的解法類似。其全解包括對應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解。原理：根據(jù)初始條件(邊界條件)，逐步遞推計算出后面各時刻的輸出，即由前一時刻的已知結(jié)果，遞推出后一時刻的待求值。 差分方程的迭代解法 例3.2 如果已知系統(tǒng)的差分方程和輸入值序列，則在給定輸出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法計算出任何時刻的輸出值。 3.2 z變換q z變換的定義 q z變換的性質(zhì)和定理 用z變換法解線性常系數(shù)差分方程 例3

3、.3 采用z變換法解線性常系數(shù)差分方程和利用拉氏變換法解微分方程相類似。解的過程是先將差分方程經(jīng)z變換后成為z的代數(shù)方程，然后求出未知序列的z表達式Y(jié)(z)，最后查z變換表或用其他方法求得y(k)。F(z)稱為離散時間函數(shù)f*(z)的z變換。z變換實際是一個無窮級數(shù)形式，它必須是收斂的。就是說，極限 1. z變換的定義 在拉氏變換中引入新復(fù)變量Tsez *10ln0()()|)()TskkkszkTf kTeFsF zf kT zNkkNzkTf0)(lim從而有存在時， f*(z)的z變換才存在。 2. z變換的性質(zhì)和定理線性性質(zhì)：)()()()(22112211zFzFtftfZ)(11

4、)()(1 )(100kfZzjfZkfZzzjfZkjkj10 ()( )( )nnnjjZ f tnTz F zzf j)()(zFznTtfZn)(lim)0(zFfz求和定理：平移定理：初值定理：z變換的性質(zhì)和定理終值定理： dzzdFTzttfZ)()(00( )( )( )limtf tF zf tZdztTzt1 ()()aZ f atF z)()1 (lim)()1(lim)(lim111zFzzFzztfzzt12120()()()() knf kTfkTf nT fkn T )()()()(02121knTnkfnTfzFzF卷積定理 ： 設(shè)則比例尺變化： z變換的積分：z

5、變換的微分： 3.3 逆z變換 所謂逆z變換，是已知z變換表達式F(z)，求相應(yīng)離散序列f(kT)的過程。常用的z反變換法有如下三種：部分分式展開法；冪級數(shù)展開法(長除法)；留數(shù)計算法。q 部分分式展開法 q 冪級數(shù)展開法(長除法) q 留數(shù)計算法 1. 部分分式展開法 部分分式展開法又稱查表法，其基本思想是根據(jù)已知的F(z)，通過查z變換表找出相應(yīng)的 f(kT)。然而z變換表的內(nèi)容有限，需要把F(z)展開成部分分式以便查表。 具體方法和求拉氏變換的部分分式展開法類似，分為特征方程無重根和有重根兩種情況。 例3.4例3.5 2. 冪級數(shù)展開法 由z變換的定義 kkkzkTfzTfzTffzkT

6、fzF)()2()() 0 ()()(210 可以看出序列 f(kT)值是上述冪級數(shù)中z-k的系數(shù)，對于用有理函數(shù)表示的z變換，可以直接用分母去除分子，得到冪級數(shù)的展開形式，如果級數(shù)是收斂的，則級數(shù)中z-k的系數(shù)就是 f(kT) 的值。在用長除法求系數(shù)時，F(xiàn)(z)的分子和分母都必須寫成z-1的升冪形式。例3.6 3. 留數(shù)計算法 實際遇到的z變換式F(z)，除了有理分式外，也可能有超越函數(shù)，此時用留數(shù)法求z反變換比較合適。當然，這種方法對有理分式也適用。11()Re ( )imkzpif kTs F z z例3.7 設(shè)已知z變換函數(shù)F(z)，則可證明F(z)的z反變換f(kT)值，可由下式計算

7、：即f(kT)等于的全部極點的留數(shù)之和。 3.4 脈沖傳遞函數(shù)q 1. 脈沖傳遞函數(shù)的定義 q 2. 脈沖傳遞函數(shù)的求法 q 3. 脈沖傳遞函數(shù)與差分方程 q 4. 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) q 5. 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 1. 脈沖傳遞函數(shù)的定義 線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為零初始條件下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出采樣函數(shù)z變換和輸入采樣函數(shù)z變換之比。設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖 3.3 所示，系統(tǒng)輸入信號為r(t)，采樣后r*(t)的z變換函數(shù)為R(z)。經(jīng)虛設(shè)的采樣開關(guān)后得到輸出采樣函數(shù)y*(t)及其z變換Y(z)。則根據(jù)定義得線性定常離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 00)()()()()(kkkkzkTrzkTyzRzY

8、zG圖3.3 開環(huán)離散系統(tǒng) 2. 脈沖傳遞函數(shù)的求法 脈沖傳遞函數(shù)的含義是：系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G(z)就是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)g(t)的采樣值g*(t)的z變換。即用下式表示 0)()(kkzkTgzG 當系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)已知時，可按下列步驟求取脈沖傳遞函數(shù)G(z) 用逆拉氏變換求脈沖過渡函數(shù)g(t)=L-1G(s) 將g(t)按采樣周期離散化得g(kT) 根據(jù)上式求得脈沖傳遞函數(shù)G(z) 3. 脈沖傳遞函數(shù)與差分方程 根據(jù)z變換及z反變換的性質(zhì)，脈沖傳遞函數(shù)與差分方程之間可以相互轉(zhuǎn)換。典型的線性離散系統(tǒng)的差分方程可以寫成 njnjjjjkyajkrbky01)()()(njjjjnjjzzY

9、azzRbzY10)()()(01( )( )( )1njjjnjjjb zY zG zR za z例3.8例3.9系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 在系統(tǒng)初始條件為零的情況下，對上式求z變換： 4. 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)q 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)情況 q 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)情況 q 輸入處無采樣開關(guān)情況 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)情況串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)情況因為 )()()(*2sAsGsY)()()(2zAzGzY)()()(*1sEsGsA)()()(1zEzGzA)()()()(12zEzGzGzY)()()(12zGzGzG圖3.5 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)此時開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 因此 同理有 所以有 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)情況串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)情況因為 )()()()(*12sEsGsGsY)()()(12zEzGGzY)()()()(1212sGsGZzGGzG圖3.6 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)此時開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 則有： 輸入處無采樣開關(guān)情況因為 )()()(*2sAsGsY)()()(2zAzGzY)()()(1sEsGsA)()()()(11sEsGZzEGzA)()()(12zEGz