數(shù)列解答題的解法PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法第1頁(yè)/共44頁(yè)試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 1.考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、以及數(shù)學(xué)歸納法等基本知識(shí)、基本技能. 2.常與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)，進(jìn)而考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 3.常以應(yīng)用題或探索題的形式出現(xiàn)，為考生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)揮創(chuàng)造能力提供廣闊的空間.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法第2頁(yè)/共44頁(yè)應(yīng)試策略應(yīng)試策略數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法第3頁(yè)/共44頁(yè)2.求通項(xiàng)公式的常見(jiàn)類型(1)已知an與Sn的關(guān)系或Sn與n的關(guān)系,利用公式(

2、2)等差數(shù)列、等比數(shù)列求通項(xiàng)或轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列求通項(xiàng).(3)由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通項(xiàng).形如an+1=anf(n),利用累乘法求通項(xiàng).第4頁(yè)/共44頁(yè)3.數(shù)列求和的常用方法(1)公式法:利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式.(2)錯(cuò)位相減法:適合求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn,其中an,bn一個(gè)是等差數(shù)列,另一個(gè)是等比數(shù)列.(3)裂項(xiàng)相消法:即將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和,通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法.(4)拆項(xiàng)分組法:先把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng)),再重新組合成兩個(gè)(或多個(gè))簡(jiǎn)單的數(shù)列,最后分別求和.(5)并項(xiàng)求和法:把數(shù)列的兩項(xiàng)(或多

3、項(xiàng))組合在一起,重新構(gòu)成一個(gè)數(shù)列再求和,適用于正負(fù)相間排列的數(shù)列求和.第5頁(yè)/共44頁(yè)4.數(shù)列單調(diào)性的常見(jiàn)題型及方法(1)求最大(小)項(xiàng)時(shí),可利用:數(shù)列的單調(diào)性;函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù).(2)求參數(shù)范圍時(shí),可利用:作差法;同號(hào)遞推法;先猜后證法. 4.數(shù)列不等式問(wèn)題的解決方法(1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性.(2)放縮法:先求和后放縮;先放縮后求和,包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和,或者放縮后裂項(xiàng)相消再求和.第6頁(yè)/共44頁(yè)等差、等比數(shù)列的問(wèn)題等差、等比數(shù)列的問(wèn)題例1已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求b

4、n的前n項(xiàng)和.解 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得a1=2.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=3n-1.第7頁(yè)/共44頁(yè)解題心得無(wú)論是求數(shù)列的通項(xiàng)還是求數(shù)列的前n項(xiàng)和,通過(guò)變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式解決問(wèn)題.第8頁(yè)/共44頁(yè)例2已知數(shù)列an滿足an+1=2an+n-1,且a1=1.(1)求證:數(shù)列an+n為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.所以數(shù)列an+n是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.(2)解 由(1)得,an+n=22n-1=2n,所以an=2n-n.第9頁(yè)/共

5、44頁(yè)解題心得1.判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的三種方法.(1)定義法:對(duì)于n1的任意自然數(shù),驗(yàn)證an+1-an 為同一常數(shù).(2)通項(xiàng)公式法:若an=kn+b(nN*),則an為等差數(shù)列;若an=pqkn+b(nN*),則an為等比數(shù)列.(3)中項(xiàng)公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),則an為等差數(shù)列;若 =an-1an+1(nN*,n2),則an為等比數(shù)列.2.對(duì)已知數(shù)列an與Sn的關(guān)系,證明an為等差或等比數(shù)列的問(wèn)題,解題思路是:由an與Sn的關(guān)系遞推出n+1時(shí)的關(guān)系式,兩個(gè)關(guān)系式相減后,進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理,最終化歸為用定義法證明.第10頁(yè)/共44頁(yè)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(20

6、17全國(guó),文17)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解得q=-2,a1=-2.故an的通項(xiàng)公式為an=(-2)n.故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列. 第11頁(yè)/共44頁(yè)求數(shù)列的通項(xiàng)及錯(cuò)位相減求和求數(shù)列的通項(xiàng)及錯(cuò)位相減求和例2(2017天津,文18)已知an為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(nN*),bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列a2nbn的前n項(xiàng)和(nN*).解 (1)設(shè)等差數(shù)列an

7、的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因?yàn)閝0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,聯(lián)立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,an的通項(xiàng)公式為an=3n-2,bn的通項(xiàng)公式為bn=2n.第12頁(yè)/共44頁(yè)(2)設(shè)數(shù)列a2nbn的前n項(xiàng)和為Tn,由a2n=6n-2,有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,上述兩式相減,得-Tn=42+

8、622+623+62n-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,數(shù)列a2nbn的前n項(xiàng)和為(3n-4)2n+2+16.第13頁(yè)/共44頁(yè)解題心得求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是利用等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式,或通過(guò)變形轉(zhuǎn)換成等差、等比數(shù)列求通項(xiàng);如果數(shù)列an與數(shù)列bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,那么數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和采用錯(cuò)位相減法來(lái)求.第14頁(yè)/共44頁(yè)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2017山西太原二模,文17)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= ,數(shù)列bn滿足bn=an+an+1(nN*).(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;當(dāng)n=1時(shí)也成立,an=n.bn=an+an+1

9、=n+n+1=2n+1.第15頁(yè)/共44頁(yè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn=22+223+324+n2n+1.2Tn=23+224+(n-1)2n+1+n2n+2,Tn=(n-1)2n+2+4. 第16頁(yè)/共44頁(yè)求數(shù)列的通項(xiàng)及裂項(xiàng)求和求數(shù)列的通項(xiàng)及裂項(xiàng)求和例3(2017全國(guó),文17)設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通項(xiàng)公式;解 (1)因?yàn)閍1+3a2+(2n-1)an=2n,故當(dāng)n2時(shí),a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).兩式相減得(2n-1)an=2.第17頁(yè)/共44頁(yè)解題心得對(duì)于已知等式中含有an,Sn的求數(shù)列通項(xiàng)的題目,一般有兩種解題思路,一是消去

10、Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,求和時(shí)中間的項(xiàng)能夠抵消,從而求得其和.注意抵消后所剩余的項(xiàng)一般前后對(duì)稱.第18頁(yè)/共44頁(yè)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2017陜西渭南二模,文17)已知an為公差不為零的等差數(shù)列,其中a1,a2,a5成等比數(shù)列,a3+a4=12.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a1,a2,a5成等比數(shù)列,a3+a4=12,an=2n-1,nN*. 第19頁(yè)/共44頁(yè)故所求的n=1 009. 第20頁(yè)/共44頁(yè)涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和例4已知等差數(shù)列an

11、的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,S5=30.數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,且Tn=2n-1.(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和.d=2,an=2n.對(duì)數(shù)列bn:當(dāng)n=1時(shí),b1=T1=21-1=1,當(dāng)n2時(shí),bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,當(dāng)n=1時(shí)也滿足上式.bn=2n-1.第21頁(yè)/共44頁(yè)(2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln Sn. ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n2n2n-1=n(-2)n,設(shè)數(shù)列(-1)

12、nanbn的前n項(xiàng)和為An,數(shù)列(-1)nln Sn的前n項(xiàng)和為Bn,則An=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,則-2An=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+n(-2)n+1,-得3An=1(-2)1+(-2)2+(-2)3+(-2)n-n(-2)n+1第22頁(yè)/共44頁(yè)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1)=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+ln(n+1)=-ln(n+1

13、)-ln 1=-ln(n+1).由以上可知,Bn=(-1)nln(n+1).第23頁(yè)/共44頁(yè)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)=4x,4,f(a1),f(a2),f(an),2n+3(nN*)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;解 (1)4,f(a1),f(a2),f(an),2n+3成等比數(shù)列,其公比設(shè)為q,2n+3=4qn+2-1,解得q=2.第24頁(yè)/共44頁(yè)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=(c1+c3+c5+cn-1)+(c2+c4+cn) 第25頁(yè)/共44頁(yè)第26頁(yè)/共44頁(yè)zz數(shù)列與不等式、函數(shù)問(wèn)題：數(shù)列與不等式、函數(shù)問(wèn)題：第27頁(yè)/共44頁(yè)第28頁(yè)/共44頁(yè)z第29頁(yè)/共44頁(yè)考題剖析

14、考題剖析例例2.（2007莆田四中）已知為銳角，且tan= 1，函數(shù) f(x)=x2tan2xsin(2 )，數(shù)列an的首項(xiàng)a1= ,an1=f(an). （1）求函數(shù)f(x)的表達(dá)式； （2）求證：an1an； （3）求證：2421*), 2(2111111121Nnnaaan 解析（1）tan2= =1 又為銳角 sin(2 )=1 f(x)=x2x22) 12(1) 12(2tan1tan24數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法第30頁(yè)/共44頁(yè)考題剖析考題剖析nnnnnnnaaaaaaa111)1 (1112111111nnnaaa21111nnaa（3）由（2）知11111nnnaaa1

15、322121111111111111nnnaaaaaaaaa1111211nnaaa數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法第31頁(yè)/共44頁(yè)又n2時(shí),an1an an1a31 12 21 2考題剖析考題剖析143)43(,4321)21(2322aa11nanaaa11111121 點(diǎn)評(píng) 在高考題中，數(shù)列一般與函數(shù)、不等式、三角綜合，本題中，表面上有三角函數(shù)，但可以通過(guò)對(duì)三角函數(shù)求值，將三角函數(shù)去掉.從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)遞推數(shù)列的問(wèn)題.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法第32頁(yè)/共44頁(yè)1222nnSSnS112 n課堂練習(xí)課堂練習(xí)第33頁(yè)/共44頁(yè)考題剖析考題剖析1222nnSS111nnSS1111SS

16、n是以數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法2n第34頁(yè)/共44頁(yè)考題剖析考題剖析nS1.121,1211nSnSnn12)1 ()1)(1 ()(21nSSSnFn設(shè)3212)1 ()() 1(1nnSnFnFn則1384484)32)(12(2222nnnnnnn332332,3320maxkk 點(diǎn)評(píng)本小題考查等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和關(guān)系以及數(shù)列與不等式相結(jié)合的有關(guān)問(wèn)題.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法第35頁(yè)/共44頁(yè)2 2.（2007浙江省五校模擬題） 已知函數(shù)f(x)=xln(1x),數(shù)列an滿足0a11, an1=f(an); 數(shù)列bn滿足 ,nN*.求證: （）0an1an1; （）an

17、1ann!.考題剖析考題剖析nnbnbb) 1(21,211122na數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法22第36頁(yè)/共44頁(yè)考題剖析考題剖析111xxx 解析 ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明0an1,nN*. （1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法第37頁(yè)/共44頁(yè)考題剖析考題剖析 ()構(gòu)造函數(shù)g(x)= 0 x0,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g(x)在0,1上連續(xù),所以g(x)g(0)=0.因?yàn)?an0,即 .,)1ln(2)(222xxxxfxxx122, 0)(2212nnnnaaafa從而數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法第38頁(yè)/共44頁(yè)考題剖析考題剖析,)

18、 1(21,211nnbnb211nbbnn!21112211nbbbbbbbbnnnnnn2:2121nnnnnaaa，aa知,222121123121nnnnaaaaaaaaaaa222122222221111121nnnnnnaaaaaaa 點(diǎn)評(píng)本題考查函數(shù)、數(shù)列、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)、綜合解題能力，是一道較難題.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法第39頁(yè)/共44頁(yè)數(shù)列中的存在性問(wèn)題數(shù)列中的存在性問(wèn)題例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中為常數(shù).(1)證明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.(1)證明 由題設(shè),anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1,兩式相減,得an+1(an+2-an)=an+1.因?yàn)閍n+10,所以an+2-an=.第40頁(yè)/共44頁(yè)(2)解 由題設(shè),a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;a2n是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列.解題