樣條提出的原因學習教案

1、會計學1樣條提出樣條提出(t ch)的原因的原因第一頁，共58頁。2.1 Method-1：Modeling with Experiments2.2 Method -2：Modeling with Simulation2.3 Realization with MatlabChapter 2 Methods of Mathematical Modeling and Realization with Matlab第1頁/共59頁第二頁，共58頁。2.1 Modeling with Experiments提出的原因：提出的原因： 許多情況下，建模者不能構造一個滿意的解釋已知狀況的易于許多情況下，建模

2、者不能構造一個滿意的解釋已知狀況的易于處理的模型形式，此時為預測其狀況，可以進行試驗處理的模型形式，此時為預測其狀況，可以進行試驗(shyn)(shyn)采集采集數(shù)據(jù)以構造經(jīng)驗模型。數(shù)據(jù)以構造經(jīng)驗模型。2.1.1 簡單(jindn)的單項模型 2.1.2 高階多項式模型 2.1.3 低階多項式模型 2.1.4 三階樣條模型 2.1.5 構造經(jīng)驗模型小結實實驗驗(shyn)建建模模第2頁/共59頁第三頁，共58頁。SectionSection：19921992年每日評論報告了收集到的過去年每日評論報告了收集到的過去5050年中年中ChesapeakeChesapeake還玩海產(chǎn)品收成方面還玩海產(chǎn)

3、品收成方面(fngmin)(fngmin)的數(shù)據(jù)，如下的數(shù)據(jù)，如下: : (a) (a)收獲藍魚的觀測數(shù)據(jù)；收獲藍魚的觀測數(shù)據(jù)； (b) (b)收獲藍蟹的觀測收獲藍蟹的觀測數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)2.1.1 簡單(jindn)的單項模型: Harvesting Blue Fish/Crabs第3頁/共59頁第四頁，共58頁。利用變量z的冪次階梯表，幫助(bngzh)選擇適當?shù)木€性變換冪次階梯冪次階梯 zlog z1z1z21z2zz0500000100000015000002000000250000030000000510藍藍魚魚（磅磅）藍魚收成對基底年藍魚收成對基底年數(shù)（五數(shù)（五01000000200000

4、030000004000000500000060000000510藍藍蟹蟹（磅磅）藍蟹收成對應基底年數(shù)（五藍蟹收成對應基底年數(shù)（五第4頁/共59頁第五頁，共58頁。選取(xunq)log y對x的模型，用最小二乘擬合模型log0.7231 0.1654yx5.2857(1.4635)xy 為了有一個簡單的單項模型，我們(w men)接受某些誤差對于收獲(shuhu)的藍魚，可見數(shù)據(jù)傾向為增的、凹的，使用冪次階梯擠壓右側尾部向下，采用log y或者其他階梯向下的變換代替y第5頁/共59頁第六頁，共58頁。選取 代替(dit)x的模型，用最小二乘擬合模型對于收獲的藍蟹，可見(kjin)數(shù)據(jù)傾向為增

5、的、下凹的，改變y的值為 或 等，來線性化數(shù)據(jù)2y3yxykx158.344yx 有時會需要對未來進行預測或者外推，而實際上這些簡單(jindn)的模型預測出的結果會偏大或者偏小，因此，簡單(jindn)但想模型一般應用于插值二而非外推。第6頁/共59頁第七頁，共58頁。2.1.2 高階多項式模型(mxng) 單項模型-易于進行模型分析：敏感性分析、優(yōu)化、變化率以及曲線下面積估計；可用性有限；多項式模型-容易積分(jfn)、微分SectionSection：Elapsed Time of a Tape RecorderElapsed Time of a Tape Recorder收集一個特定的

6、錄音機的計數(shù)器讀數(shù)（旋轉的圈數(shù)）和相應的收集一個特定的錄音機的計數(shù)器讀數(shù)（旋轉的圈數(shù)）和相應的錄音機的播放時間。如何預測錄音機的播放時間。如何預測(yc)(yc)可能出現(xiàn)的情況？可能出現(xiàn)的情況？Ci100200300400500600700800ti(s)2054306779451233154218722224經(jīng)驗模型是通過數(shù)據(jù)的每一點的多項式，8個數(shù)據(jù)點，應期望一個最高為7的唯一多項式，記作:代入上述8個數(shù)據(jù)點，你和曲線，求得 的值 234567701234567a ca ca ca ca ca ca cPa017,.,a aa第7頁/共59頁第八頁，共58頁。求解得到： 經(jīng)驗模型數(shù)據(jù)擬合結

7、果(ji gu)對比：經(jīng)驗模型擬合數(shù)據(jù)，并進行數(shù)據(jù)預測a0a0 -13.9999923 a1a1 232.9119031 a2a2 -29.08333188 a3a3 19.78472156 a4a4 -5.354166491 a5a5 0.8013888621 a6a6 -0.0624999978 a7a7 0.0019841269 ci ci100 200 300 400 500 600 700 800 ti ti205 430 677 945 1233 1542 1872 2224 P P7 7205 430 677 945 1233 1542 1872 2224 第8頁/共59頁第九頁

8、，共58頁。Theorem 1： 如果，如果， 是（是（n+1）個不同的點，而）個不同的點，而 是這些點上對應的觀測值，那么，存在一個唯一的最高階為是這些點上對應的觀測值，那么，存在一個唯一的最高階為n的多項式的多項式P(n)，具有，具有(jyu)性質：性質： 對對k=0,1,n這一多項式由下式給定這一多項式由下式給定 其中其中 01,.,nx xx多項式的拉格朗日形式多項式的拉格朗日形式(xngsh)：01,.,nyyy( )kyP x00()( )( )knnP xy L xy L x01110111()()()()()( )()()()()()kknkkkkkkkknxxxxxxxxxx

9、L xxxxxxxxxxx第9頁/共59頁第十頁，共58頁。高階多項式的優(yōu)缺點：高階多項式的優(yōu)缺點： 雖然通過已知的數(shù)據(jù)點，但是在端點處會有嚴重的擺動； 對于已有數(shù)據(jù)給出精確的擬合結果，但在端點出可能做出了有問題的預測，如突升或者突降； 高階多項式系數(shù)對數(shù)據(jù)微小變化(binhu)的敏感性限制了它在建模中的應用。 第10頁/共59頁第十一頁，共58頁。2.1.3 低階多項式模型(mxng) 選擇(xunz)低階多項式，保證數(shù)據(jù)點多于確定多項式所需系數(shù)，從而使得低階多項式雖不通過全部數(shù)據(jù)點，但是光滑化。Section: Elapsed Time of a Tape Recorder Revisit

10、edSection: Elapsed Time of a Tape Recorder Revisited1 1、應該、應該(ynggi)(ynggi)用多項式嗎？用多項式嗎？2 2、如果應該、如果應該(ynggi)(ynggi)，幾階多項式合適？，幾階多項式合適？對于一個二次多項式，其二階導數(shù)為常數(shù)，三階導數(shù)為零，即有2( )P xabxcx( )2( )2( )0P xbcxP xcPx引入引入均差均差概念概念第11頁/共59頁第十二頁，共58頁。利用(lyng)導數(shù)定義：則可以利用(lyng)均差 來估計導數(shù)0limxd yyd xxyx第12頁/共59頁第十三頁，共58頁。帶式錄音機數(shù)據(jù)

11、帶式錄音機數(shù)據(jù)(shj)(shj)的均差表的均差表表中可以看出，數(shù)據(jù)基本是二次的，支持用二次多項式作為(zuwi)經(jīng)驗模型。2( )P xabxcx尋求(xnqi)一個二次式，極小化偏差平方和Minimize221()miiiiStabcdc第13頁/共59頁第十四頁，共58頁。Minimize221()miiiiStabcdc存在極小點的必要條件是：從而有方程：其中m=8， 表示計數(shù)器讀數(shù)，即xi/100 ,ti表示對應的播放(b fn)時間得到0SSSabd2232342()()()()()()()()iiiiiii iiiiiimac bcdtc acbcdc tcacbcdc tic2

12、2(c)0.142861.942260.00105Pcc第14頁/共59頁第十五頁，共58頁。 Spline Models Spline Modelsl Linear Spline Modelsl Second-Order Spline Modelsl Cubic Spline Models 分段線性插值分段線性插值節(jié)點節(jié)點(ji din)處一階導數(shù)不連續(xù)（不光滑處一階導數(shù)不連續(xù)（不光滑）在節(jié)點在節(jié)點(ji din)處一階導數(shù)連續(xù)處一階導數(shù)連續(xù)每兩個相鄰節(jié)點每兩個相鄰節(jié)點(ji din)組成的區(qū)間中推導組成的區(qū)間中推導 一個二階多項式一個二階多項式節(jié)點處具有連續(xù)的一階、二階導數(shù)節(jié)點處具有連續(xù)的

13、一階、二階導數(shù)每兩個相鄰節(jié)點組成的區(qū)間中推導每兩個相鄰節(jié)點組成的區(qū)間中推導 一個三階一個三階(sn ji)多項式多項式三階三階(sn ji)導數(shù)和高階導數(shù)可能不連續(xù)導數(shù)和高階導數(shù)可能不連續(xù)第15頁/共59頁第十六頁，共58頁。2.1.3 三階(sn ji)樣條模型 第16頁/共59頁第十七頁，共58頁。2.1.3 三階(sn ji)樣條模型 低階多項式的缺點可能在數(shù)據(jù)(shj)范圍的某些地方擬合相當差三階樣條插值在連續(xù)的數(shù)據(jù)點間使用不同的三階多項式，追蹤(zhuzng)數(shù)據(jù)趨勢，既保證基本關系的特征，又減少擺動的傾向和數(shù)據(jù)變化的靈敏性xi123yi5825對于下面一組數(shù)據(jù)：在區(qū)間 , 中分別定

14、義樣條函數(shù)12xxx23xxx23111112322222Sab xc xd xSab xc xd x第17頁/共59頁第十八頁，共58頁。1、每一樣、每一樣(yyng)條必須通過其定義區(qū)間的端點條必須通過其定義區(qū)間的端點 通過（通過（1,5）和（）和（2,8）；）； 通過（通過（2,8）和（）和（3,25），即），即111123111151118222abcdabcd232222232222822225333abcdabcd2( )Sx1( )S x2、在內(nèi)部數(shù)據(jù)點處，鄰接、在內(nèi)部數(shù)據(jù)點處，鄰接(ln ji)的一階導數(shù)必須匹配的一階導數(shù)必須匹配保證光滑性保證光滑性3、每一內(nèi)部、每一內(nèi)部(ni

15、b)數(shù)據(jù)點鄰接的二階導數(shù)必須匹配數(shù)據(jù)點鄰接的二階導數(shù)必須匹配則需要滿足以下4個條件：和12(2)(2)SS即12(2)(2)SS即第18頁/共59頁第十九頁，共58頁。區(qū)間區(qū)間模型模型12(1)(3)0SS4、端點處的二階導數(shù)滿足、端點處的二階導數(shù)滿足2種常用種常用(chn yn)條件條件自然樣條：為自然樣條：為0； 強制樣條：為給定的強制樣條：為給定的f(x)即即整理上述8個方程組成(z chn)的線性方程組，就可以求得唯一解從而能夠進行數(shù)據(jù)預測231232( )21010.53.5( )587431.53.5SxxxxSxxxx23x12x第19頁/共59頁第二十頁，共58頁。區(qū)間區(qū)間模型

16、模型問題問題(wnt)描述：預測車輛總的停止距離描述：預測車輛總的停止距離速度速度v（英里英里/小時）小時）20253035404550距離距離d（英尺）英尺）425673.591.5116142.5173速度速度v（英里英里/小時）小時）556065707580距離距離d（英尺）英尺）209.5248292.5343401464對每個區(qū)間進行三階樣條插值，得到對每個區(qū)間進行三階樣條插值，得到(d do)(d do)如下模型如下模型31( )422.596(20)0.008(20)S vvv2025v2530v232( )56 3.208(25)0.122(25)0.013(25)S vvvv

17、3035v233( )73.5 3.472(30) 0.070(30)0.019(30)S vvvv第20頁/共59頁第二十一頁，共58頁。2.1.4 2.1.4 小結：構造小結：構造(guzo)(guzo)經(jīng)驗經(jīng)驗模型模型單項模型單項模型(mxng)不適合不適合(shh)(shh)多項式模型多項式模型（n-1) 階多項式數(shù)據(jù)量小數(shù)據(jù)量小數(shù)據(jù)量大數(shù)據(jù)量大光滑化-低階多項式不適合不適合三階（或者線性）樣條三階（或者線性）樣條第21頁/共59頁第二十二頁，共58頁。2.2 Modeling with Simulation提出的原因：提出的原因： 某些情況下，對對象的行為某些情況下，對對象的行為(x

18、ngwi)(xngwi)進行直接觀測或者重復進行直接觀測或者重復實驗是不可行的，或者某些模式的試驗系統(tǒng)是不存在的，需要采實驗是不可行的，或者某些模式的試驗系統(tǒng)是不存在的，需要采用比例縮放或者其他手段進行模擬用比例縮放或者其他手段進行模擬2.2.1 確定行為(xngwi)的模擬2.2.2 隨機行為(xngwi)的模擬2.2.3 存儲模型2.2.4 排隊模型模模擬擬(mn)建建模模第22頁/共59頁第二十三頁，共58頁。2.2.1 確定行為(xngwi)的模擬以曲線下的面積為例說明蒙特卡羅模擬在確定行為(xngwi)建模中的應用在矩形域中隨機選擇一點P(x,y)，即產(chǎn)生(chnshng)兩個滿足

19、,的隨機數(shù)x,y,則有axb0yM曲線下的面積曲線下的點數(shù)矩形面積隨機總點數(shù)第23頁/共59頁第二十四頁，共58頁。計算面積的蒙特卡羅算法計算面積的蒙特卡羅算法( Monte Carlo Area Algorithm )( Monte Carlo Area Algorithm )：Input: Input: 模擬中產(chǎn)生的隨機點總數(shù)模擬中產(chǎn)生的隨機點總數(shù)n nOutput: AREA=Output: AREA=給定區(qū)間給定區(qū)間 上曲線上曲線 下的近似面積，下的近似面積，其中其中(qzhng) (qzhng) Step 1: Step 1: 初始化：初始化：counter=0counter=0；S

20、tep 2: Step 2: 對對i=1,2,n,i=1,2,n,進行進行3535步步Step 3: Step 3: 計算隨機坐標計算隨機坐標 和和 ，滿足，滿足 ， Step 4: Step 4: 對隨機坐標對隨機坐標 計算計算Step 5: Step 5: 若若 ，則，則counter+1; counter+1; 否則否則countercounter不變不變Step 6: Step 6: 計算計算Step 7: Step 7: 輸出（輸出（AREA)AREA)STOPSTOPixiyiaxb0iyMix( )if x( )iiyf x()/AREAM ba counter naxb ( )

21、yf x0( )f xM第24頁/共59頁第二十五頁，共58頁。2.2.2 隨機行為(xngwi)的模擬概率研究隨機性、不確定性及量化各種結果出現(xiàn)的可能性。概率可以(ky)看作長期的平均值.擲一個擲一個(y (y )正規(guī)的骰子正規(guī)的骰子( Roll of a Fair Die )( Roll of a Fair Die )擲一個正規(guī)的骰子并加以旋轉，需定義6個事件的方法，因為骰子由數(shù)1,2,3,4,5,6組成，每個事件出現(xiàn)的概率是1/6。指定數(shù)值出現(xiàn)的概率為：1,2,3,4,5,6中指定的數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)實驗總數(shù)1,2,3,4,5,6中指定的數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)實驗總數(shù)第25頁/共59頁第二十六頁，共

22、58頁。投正規(guī)投正規(guī)(zhnggu)(zhnggu)骰子的蒙特卡羅算法骰子的蒙特卡羅算法第26頁/共59頁第二十七頁，共58頁。 投擲10, 100, 1000, 10000，100000次的結果如下，可以看到投擲100000次接近(jijn)期望結果第27頁/共59頁第二十八頁，共58頁。下面(xi mian)考慮每個事件不是等可能出現(xiàn)的隨機模型u 按照經(jīng)驗模型，給 骰子的幾個面加上權重(qun zhn)，使之偏移u 算法中采取(ciq)的函數(shù)第28頁/共59頁第二十九頁，共58頁。投擲不正規(guī)的骰子投擲不正規(guī)的骰子(tu z(tu z) )的蒙特卡羅算法的蒙特卡羅算法第29頁/共59頁第三十

23、頁，共58頁。 投擲不正規(guī)的骰子出現(xiàn)投擲不正規(guī)的骰子出現(xiàn)(chxin)(chxin)的結果的結果第30頁/共59頁第三十一頁，共58頁。2.2.3 存儲(cn ch)模型( Inventory Model )Section Description： 某人受雇于一家加油站連鎖店當顧問，某人受雇于一家加油站連鎖店當顧問，要確定要確定(qudng)每隔多長時間及把多少汽油運送每隔多長時間及把多少汽油運送到各個加油站。到各個加油站。Analysis：每次運送汽油都要支付每次運送汽油都要支付(zhf)費用費用d，它是與運送量無關的附加費，它是與運送量無關的附加費用用決定費用的其他因素有：存儲中凍結的資金

24、、分期償還的設備費決定費用的其他因素有：存儲中凍結的資金、分期償還的設備費用、保險費、稅費、安全檢測費用、保險費、稅費、安全檢測費Raise the Question：最小化每天平均的運費，并且每個加油站存儲足夠的汽油以滿足消費需求第31頁/共59頁第三十二頁，共58頁。Model developed 日平均日平均(pngjn)費用費用= f (存儲費，運費，需求率存儲費，運費，需求率)對日平均費用建立一個分析子模型，用它得到最優(yōu)的運送對日平均費用建立一個分析子模型，用它得到最優(yōu)的運送(yn sn)時時間間隔和最優(yōu)運量：間間隔和最優(yōu)運量：其中其中T*=最優(yōu)運送最優(yōu)運送(yn sn)時間間隔（天

25、）時間間隔（天）Q*=汽油最優(yōu)運量（加侖）汽油最優(yōu)運量（加侖）r=汽油日需求量汽油日需求量d=每次運送每次運送(yn sn)的費用（元）的費用（元）s=每加侖汽油每天的存儲費每加侖汽油每天的存儲費*2dTsr*QrT第32頁/共59頁第三十三頁，共58頁。Assuptions單位單位(dnwi)存儲量的費用是常數(shù)存儲量的費用是常數(shù)每次運送的費用是常數(shù)；每次運送的費用是常數(shù)；日需求量為常數(shù)日需求量為常數(shù)統(tǒng)計特定的一個加油站需求量的記錄，將出現(xiàn)頻率(pnl)最高的需求量作為日需求量常數(shù)，則根據(jù)上述分析子模型就能夠計算T*和Q*了本例中選擇1500加侖(jiln)作為日需求量第33頁/共59頁第三十

26、四頁，共58頁。模型改進：模型改進：不滿意不滿意(mny)常數(shù)需求量的假設，建立需求量出現(xiàn)的概率區(qū)間常數(shù)需求量的假設，建立需求量出現(xiàn)的概率區(qū)間取每個區(qū)間中間(zhngjin)點，再進行樣條插值第34頁/共59頁第三十五頁，共58頁。對應得到(d do)的經(jīng)驗需求子模型的線性樣條求逆函數(shù)，則能夠得到(d do)需求量q關于自變量（隨機數(shù)x）的函數(shù)可以進一步改進，采用(ciyng)三次樣條插值第35頁/共59頁第三十六頁，共58頁。2.2.3 排隊模型( Queuing Models )Section： A Harbor System考察一個帶有船只卸貨考察一個帶有船只卸貨(xi hu)設備的小港

27、口，任何設備的小港口，任何時間僅能為一艘船只卸貨時間僅能為一艘船只卸貨(xi hu)。船只進港是為了卸貨。船只進港是為了卸貨(xi hu)，相，相鄰兩艘船到達的時間間隔在鄰兩艘船到達的時間間隔在15分鐘到分鐘到145分鐘之間變化，一艘船只卸貨分鐘之間變化，一艘船只卸貨(xi hu)的時間由所卸貨的時間由所卸貨(xi hu)物的類型決定，在物的類型決定，在45分鐘到分鐘到90分鐘分鐘之間變化。之間變化。Question：每艘船只在港口的平均時間和最長時間是多少每艘船只在港口的平均時間和最長時間是多少(dusho)？若一艘船只的等待時間是從到達到開始卸貨的時間，若一艘船只的等待時間是從到達到開始卸

28、貨的時間，每艘船只的平均等待時間和最長等待時間是多少每艘船只的平均等待時間和最長等待時間是多少(dusho)？卸貨設備空閑時間的百分比是多少卸貨設備空閑時間的百分比是多少(dusho)？船只排隊最長的長度是多少船只排隊最長的長度是多少(dusho)？第36頁/共59頁第三十七頁，共58頁。Assumption1.相鄰兩艘船到達的時間間隔在一定(ydng)時間區(qū)間內(nèi)均勻分布，如15=between_i=1452.每艘船只卸貨的時間一定(ydng)時間區(qū)間內(nèi)均勻分布，如45=unload_i=90對每艘船只(chunzh)有以下數(shù)據(jù)第37頁/共59頁第三十八頁，共58頁。船1的卸貨(xi hu)過

29、程依次類推表述出船只和碼頭(m tou)設備的空閑和卸貨時間第38頁/共59頁第三十九頁，共58頁。五艘假想船只(chunzh)的模擬結果通過(tnggu)統(tǒng)計對各種管理模式進行估計，以確定是否值得為改善服務而增加費用第39頁/共59頁第四十頁，共58頁。第40頁/共59頁第四十一頁，共58頁。第41頁/共59頁第四十二頁，共58頁。第42頁/共59頁第四十三頁，共58頁。100艘船港口系統(tǒng)(xtng)的模擬結果改進：通過雇傭(gyng)更多的勞動力，或者得到更好的卸貨設備，使卸貨時間減少到每艘船3575分鐘第43頁/共59頁第四十四頁，共58頁。對之前的假設15=between_i=145

30、及45=unload_i=90 且服從(fcng)均勻分布不滿意進一步改進：收集港口系統(tǒng)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，并將結果并入我們的模型第44頁/共59頁第四十五頁，共58頁。 將船到達間隔的單個的概率(gil)連續(xù)地加在一起，也將卸貨時間的單個的概率(gil)連續(xù)地加在一起，就得到累積直方圖第45頁/共59頁第四十六頁，共58頁。取區(qū)間(q jin)中間值，并進行樣條插值第46頁/共59頁第四十七頁，共58頁。將線性樣條子(tio zi)模型并入港口系統(tǒng)模型，得到第47頁/共59頁第四十八頁，共58頁。2.3 Realization with Matlab2.3.1 數(shù)據(jù)(shj)的讀入讀出MATLAB提

31、供了多種數(shù)據(jù)處理方法(fngf)，一種是將數(shù)據(jù)輸出，然后復制粘貼到其他軟件中進行處理，另一種是與Excel和記事本之間進行數(shù)據(jù)交互，后者較為方便。MATLAB與與Excel的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)(shj)交互交互采用MATLAB中的Excel link插件，連接Excel和MATLAB使得用戶可以在Excel工作表空間和宏編程工具中使用MATLAB的數(shù)值計算和圖形處理。設置方法：啟動Excel，選擇菜單“工具”項下的“加載宏”項，彈出宏對話框，選中Excel Link項。如果不存在，則通過瀏覽目錄，在MATLABtoolboxexlink文件下找到excllink.xla文件單擊確定。第48頁/共59頁

32、第四十九頁，共58頁。MATLAB與記事本的數(shù)據(jù)與記事本的數(shù)據(jù)(shj)交互交互u讀取數(shù)據(jù)讀取數(shù)據(jù)u當記事本中全部是數(shù)據(jù)時，可用函數(shù)當記事本中全部是數(shù)據(jù)時，可用函數(shù)load，形式為：，形式為：u Load(filename.*)u當記事本中的數(shù)據(jù)結構變得復雜時，函數(shù)當記事本中的數(shù)據(jù)結構變得復雜時，函數(shù)textread是最優(yōu)選擇，規(guī)則為：是最優(yōu)選擇，規(guī)則為：u A,B,C,=textread(filename,format,N)u其中其中(qzhng)u A,B,C,為每一列數(shù)據(jù)將要保存的變量名；為每一列數(shù)據(jù)將要保存的變量名；u format為讀取格式；為讀取格式；u N為讀取次數(shù)為讀取次數(shù)第49頁/共59頁第五十頁，共58頁。示例(shl)：第50頁/共59頁第五十一頁，共58頁。u寫入數(shù)據(jù)寫入