第十三章簡單回歸和相關(guān)分析研究兩個變量之間的關(guān)系

1、第十三章 簡單回歸和相關(guān)分析研究兩個變量之間的關(guān)系本章重點s什么是線性回歸模型s建立線性回歸模型的步驟s解釋最小平方法s計算回歸系數(shù)s樣本回歸方程在統(tǒng)計推斷中的作用s如何衡量變量之間關(guān)系的密切程度函數(shù)關(guān)系和統(tǒng)計關(guān)系s函數(shù)關(guān)系： 兩變量的數(shù)量表現(xiàn)在一定條件下是完全確 定的。 如： 圓的面積和半徑的關(guān)系s統(tǒng)計關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）： 兩變量的數(shù)量表現(xiàn)盡管存在著密切關(guān)系， 但卻不是完全確定的。 如：成本和利潤的關(guān)系 Sr 2統(tǒng)計關(guān)系的種類s按涉及變量的多少可分 簡單相關(guān)回歸關(guān)系（一個自變量和一個因變量） 復(fù)相關(guān)復(fù)回歸關(guān)系（一個因變量和多個自變量）s按變量關(guān)系在圖形上的形態(tài)可分 線性相關(guān)回歸 非 線性相關(guān)回

2、歸s按 兩變量變動的方向可分 正相關(guān)回歸 負(fù)相關(guān)回歸分析統(tǒng)計關(guān)系的定量方法回歸分析相關(guān)分析其他方法分析統(tǒng)計關(guān)系的方法 1996年12個沿海省、直轄市、自治區(qū) 大型零售、批發(fā)貿(mào)易業(yè)企業(yè)利潤額與銷售額 單位：億元省、市、區(qū)銷售總額利潤總額北 京147 71天 津 64 20河 北 87 40遼 寧108 59上 海206120江 蘇277122浙 江209 88福 建 64 29山 東173 91廣 東214105廣 西 44 19海 南 53 24 貿(mào)易業(yè)企業(yè)利潤額與銷售額 相關(guān)與回歸分析數(shù)據(jù)計算 單位：億元省、市、區(qū)銷售額 （X）利潤額（Y）X2Y2XY北 京 147 71 21609 504

3、1 10437天 津 64 20 4096 400 1280河 北 87 40 7569 1600 3480遼 寧 108 59 11664 3481 6372上 海 206120 4243614400 24720江 蘇 277122 7672914884 33794浙 江 209 88 43681 7744 18392福 建 64 29 4096 841 1856山 東 173 91 29929 8281 15743廣 東 214105 4579611025 22470廣 西 44 19 1936 361 836海 南 53 24 2809 576 1272合 計 1646788 29235

4、06863414065212省市自治區(qū)銷售額與利潤額的相關(guān)n X Y ( X ) ( Y ) = 390776n X2 ( X )2 = 798884n Y2 ( Y )2 = 202664 390776r = 798884 202664 = 0.9712省市自治區(qū)銷售額與利潤額的回歸回歸系數(shù)的計算： 390776b = = 0.49 798884 788 0.49 1646a = = 1.43 1212省利潤額對銷售額的散點圖及回歸 020406080100120140050100150200250300銷售額（億元）利潤額（億元）銷售額為 200 億元時利潤額的平均值Yc = 1.43 +

5、 0.49 200 = 96.57 （億元）估計標(biāo)準(zhǔn)誤 68634 （ 1.43 ） 788 0.49 140653SY. X = 12 2 = 9.80 （億元）相關(guān)系數(shù)的計算rrXYXYXXn YY 22222 =nn =0.8257相關(guān)系數(shù)對樣本相關(guān)關(guān)系的計量r值相關(guān)程度1絕對相關(guān)0.81高度相關(guān)0.50.8中度相關(guān)0.30.5低度相關(guān)00.3無相關(guān)0絕對無相關(guān)建立 樣本線性回歸模型的方法-最小平方法實際觀察值與樣本回歸線上的點的距離的平方和最小XY e1e2e3e4yyiiiniine1221最小樣本回歸系數(shù)的計算公式y(tǒng)bb XbnXYXYnXXbY b XYnbXn 01122011

6、線性回歸分析目的；在因變量和自變量之間建立一個數(shù)學(xué)模型，根據(jù)這個模型可以根據(jù)自變量的變動預(yù)測因變量的變動。應(yīng)注意的問題：1. 建立模型的目的2. 誰將用這個模型3. 建立 模型用的資料是否合適4. 如何利用模型建立 樣本線性回歸模型的實際例子1現(xiàn)有10個企業(yè)的銷售額和利潤的資料序號銷售額利潤額1111252102223902448521566256621375818851129481010439總計716179問：利潤額和銷售額之間存在什么樣的關(guān)系銷售額和利潤額的散點圖0510152025020406080100120利潤額實際例子的計算1序號銷售額利潤額xy11112512321277562

7、5210222104042244484390248100216057648521722517854415662543561650625662133844806169758183364104432485112260161214494810230448010010439184938781總計71617956368139433569x2y2實際例子的計算2ybb XbnXYXYnXXbYb XYnbXnYX 0112210 13943 716 17910 56368 716202201117910022716102.152.15 022.表示當(dāng)銷售額增加或減少1億元時,利潤額平均增加或減少0.22億

8、元建立 線性回歸模型的步驟s確定研究的問題s設(shè)樣本回歸模型(如: )s搜集樣本資料(數(shù)據(jù)資料)s估計未知參數(shù)(計算統(tǒng)計量)s得到樣本回歸方程s用模型預(yù)測因變量Yabx總體線性回歸模型的圖示YXYXii01iyxX01觀察值觀察值總體線性回歸模型YXiii 01因變量自變量參數(shù)隨機誤差yxY單值Y條件平均數(shù)利用回歸方程預(yù)測的三個假設(shè)條件s對于給定的每個X,Y都服從正態(tài)分布s 是隨機變量并相互獨立s對于給定的每個X, 都相等, iyx2即對應(yīng)不同的X,Y的離散程度是相等的. 三個假設(shè)條件的圖示 XiXJXkyxX01yxyxyxijk總體回歸模型與樣本回歸方程YX觀察值觀察值yb bX eiii

9、01ybb Xi01eiyxX01Y擬合值殘值估計標(biāo)準(zhǔn)誤差s估計標(biāo)準(zhǔn)誤差: 實際觀察值Y與 Y的平均離差 s它可用來估計Y值圍繞總體回歸線的離散 程度 yxiNiyxNYN212Syynenybybxynyxiii22201222 =利用回歸方程對總體進(jìn)行推斷s對給定的X，求 的置信區(qū)間s對給定的X，求單個 的置信區(qū)間s求 的置信區(qū)間s根據(jù)樣本回歸方程對s 的假設(shè)進(jìn)行檢驗yxYi110 Yi, 之間的關(guān)系 YXybb X01yxX01YiX（給定的）y ?yx(通過樣本回歸方程計算得到)yxy對給定的X，求 的置信區(qū)間yxytytnXXXn XSSnXXXn XytSytSnyxnyyyxiy

10、yxinyyxnyy222222222211 的置信區(qū)間yx X S 15.35 2.306 1.2431(12.49 18.21)0yx66005381215 022 66153531811066 71656368 10 7161241315351241366228,. ,.yStyyx的置信區(qū)間為請解釋結(jié)果：Yi 的推算區(qū)間YtYYtnXXXnXSSnXXXnXYYtSYYtSnyinyyyxiyyxiinyinyiiiiii22222222221111的區(qū)間為 Yi 的推算區(qū)間 X S 15.35 2.306 4.0071(6.11 24.54)0yx 66005381215 022 6

11、61535318110166 71656368 10 7164007115354007166228,. ,.ySYtyii的置信區(qū)間為請解釋結(jié)果：為什么 Yi 的置信區(qū)間比 的置信區(qū)間寬 YXybb X01yxX01YiX（給定的）y ?yx(通過樣本回歸方程計算得到)yx影響區(qū)間寬度的因素s置信系數(shù)sY的變異程度s樣本容量的大小s給定的X與 的距離X對總體回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗1002340111211122200111.:.,HHttbsbsssXnXttHHnbbbyxn -tn-2計算統(tǒng)計量如果則接收否則拒絕1b1對總體回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗的例子YXHtstbsXYbb21502210020

12、052 30633815636810 71600530220053415450182111.:., H t = 4.15 2.306 H : XY 110拒絕結(jié)論 樣本回歸方程能代表總體回歸方程也就是說從總體上 與 之存在線性關(guān)系可以根據(jù)樣本回歸方程通過 預(yù)測 .可決系數(shù)s作用：衡量回歸對Y變異的解釋程度。s總變差=已解釋變差+未解釋變差。 s 已解釋變差s可決系數(shù)=s 總變差s經(jīng)調(diào)整的可決系數(shù)總變差，已解釋變差，未解釋變差的關(guān)系YiYXiybb X01總變差YY2未解釋變差YY2已解釋變差Y Y2Y Y2Y Y2Y Y2=+SSTSSESSR=+可決系數(shù)s定義：已解釋變差與總變差的比值，在估計Yi時，在總變差中可被X解釋的比率，它越大，擬合回歸方程的解釋作用越強。s公式：樣本可