Monte Carlo(蒙特卡洛方法)

1、Monte Carlo Simulation Methods(蒙特卡羅模擬方法蒙特卡羅模擬方法) 一. 概述與思想 二. 隨機(jī)數(shù)的生成. 三. 實(shí)例-港口模型 四. 作業(yè)引例：引例：電梯系統(tǒng)電梯系統(tǒng) 然而然而這種做法可能是難以接受的這種做法可能是難以接受的，因?yàn)樵谑占y(tǒng)計，因?yàn)樵谑占y(tǒng)計數(shù)據(jù)時要再三驚擾乘客，并且電梯運(yùn)行模式的不斷變數(shù)據(jù)時要再三驚擾乘客，并且電梯運(yùn)行模式的不斷變化也會使乘客感到迷惑化也會使乘客感到迷惑 我們可以我們可以提出若干供選擇的電梯運(yùn)行模式提出若干供選擇的電梯運(yùn)行模式，如設(shè)定，如設(shè)定停偶數(shù)層、奇數(shù)層的電梯或直達(dá)電梯停偶數(shù)層、奇數(shù)層的電梯或直達(dá)電梯理論上，對每種理論上，對每

2、種供選擇的模式都能夠做若干次試驗(yàn)供選擇的模式都能夠做若干次試驗(yàn)，以確定哪一種模式，以確定哪一種模式能為那些要到達(dá)特定樓層的乘客提供最好的服務(wù)。能為那些要到達(dá)特定樓層的乘客提供最好的服務(wù)。一 概述與思想 所以在某些情況下，所以在某些情況下，對對象的行為進(jìn)行直接觀測對對象的行為進(jìn)行直接觀測或重復(fù)試驗(yàn)可能是不可行的或重復(fù)試驗(yàn)可能是不可行的。 與此有關(guān)的與此有關(guān)的另一個問題是大城市交通控制系統(tǒng)可另一個問題是大城市交通控制系統(tǒng)可供選擇的運(yùn)行模式的檢驗(yàn)供選擇的運(yùn)行模式的檢驗(yàn)，為了做試驗(yàn)而不停地改變，為了做試驗(yàn)而不停地改變單行道的交通方向和配置交通信號將是不現(xiàn)實(shí)的單行道的交通方向和配置交通信號將是不現(xiàn)實(shí)的

3、在對象的行為不能做分析性的解釋，或數(shù)據(jù)無法直在對象的行為不能做分析性的解釋，或數(shù)據(jù)無法直接收集的情況下，建模者接收集的情況下，建模者可以用某種方式間接地模擬可以用某種方式間接地模擬其行為其行為，試驗(yàn)所研究的供選擇的各種方案，以估計它，試驗(yàn)所研究的供選擇的各種方案，以估計它們怎樣影響對象的行為，然后收集數(shù)據(jù)來確定哪種方們怎樣影響對象的行為，然后收集數(shù)據(jù)來確定哪種方案是最好的案是最好的 例如，為了得到一艘擬建造的潛艇受到的阻力，例如，為了得到一艘擬建造的潛艇受到的阻力，造一個原型是不可行的，我們可以按比例建一個模型，造一個原型是不可行的，我們可以按比例建一個模型，去模擬實(shí)際的潛艇的行為去模擬實(shí)際的

4、潛艇的行為 這里將研究另外一種形式的模擬這里將研究另外一種形式的模擬蒙特卡羅蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬，模擬，一般是借助于計算機(jī)完成的一般是借助于計算機(jī)完成的 蒙特卡洛蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或稱計算機(jī)隨機(jī)方法，或稱計算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)”的計算方法。的計算方法。 這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的子彈的“曼哈頓計劃曼哈頓計劃”。該計劃的主持人之一、。該計劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮數(shù)學(xué)家馮諾伊曼用馳名世界的賭城諾伊曼用馳名世界的賭城摩納哥的摩納哥的Monte Carlo來命名這

5、種方法，為它蒙上了一層來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。神秘色彩。從Buffon(蒲豐)投針問題談起 220, /2 0, sin,:sin.llaXAX隨機(jī)投針可以理解成針的中心點(diǎn)與最近的平行線的距離X是均勻地分布在區(qū)間 上的r.v.，針與平行線的夾角 是均勻地分布在區(qū)間 上的r.v.，且X與 相互獨(dú)立，于是針與平行線相交的充要條件為 即相交 2sin0022(sin)2lllpP Xdxdaa 于是有：2lap試驗(yàn)者時間(年)針長投針次數(shù)相交次數(shù)的估計值Wolf18500.80500025323.15956Smith18550.60320412183.15665Fox18840.75

6、10304893.15951Lazzarini19250.83340818083.141592921 1 確定行為的模擬確定行為的模擬例：曲線下的面積例：曲線下的面積 本節(jié)以曲線下的面本節(jié)以曲線下的面積為例說明蒙特卡羅積為例說明蒙特卡羅模擬在確定行為建模模擬在確定行為建模中的應(yīng)用中的應(yīng)用 下面的算法給出了用蒙特卡羅方法求曲線下面積下面的算法給出了用蒙特卡羅方法求曲線下面積的計算機(jī)模擬的計算格式的計算機(jī)模擬的計算格式 在給定區(qū)間上曲線在給定區(qū)間上曲線y=cosy=cosx下面積的真值是下面積的真值是2 2注意到即使對于注意到即使對于產(chǎn)生的相當(dāng)多的點(diǎn)數(shù)，產(chǎn)生的相當(dāng)多的點(diǎn)數(shù)，誤差也是可觀的誤差也是可

7、觀的對單變量函數(shù)，一般說對單變量函數(shù)，一般說來，來，蒙特卡羅方法無法與在數(shù)值分析中學(xué)到的積分方法相比蒙特卡羅方法無法與在數(shù)值分析中學(xué)到的積分方法相比，沒沒有誤差界以及難以求出函數(shù)的上界有誤差界以及難以求出函數(shù)的上界M M也是它的缺點(diǎn)也是它的缺點(diǎn)然而，蒙特卡然而，蒙特卡羅方法可以推廣到多變量函數(shù)，在那里它變得更加實(shí)用羅方法可以推廣到多變量函數(shù)，在那里它變得更加實(shí)用Monte Carlo數(shù)值積分的優(yōu)點(diǎn)與一般的數(shù)值積分方法比較，Monte Carlo方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：1. Monte Carlo一般的數(shù)值方法很難推廣到高維積分的情形，而方法很容易推廣到高維情形2/1/22. ()() dO nO n

8、一般的數(shù)值積分方法的收斂階為 ，而由中心極限定理可以保證 Monte Carlo 方法的收斂階為 。此收斂階與維數(shù)無關(guān)，且在高維時明顯優(yōu)于一般的數(shù)值方法。 蒙特卡羅方法是隨機(jī)的，為使預(yù)測值與真值之差蒙特卡羅方法是隨機(jī)的，為使預(yù)測值與真值之差變小變小需要做大量的試驗(yàn)需要做大量的試驗(yàn)在最終的估計中，在最終的估計中，要討論要討論保證預(yù)先給定的置信水平所要求的試驗(yàn)次數(shù)，保證預(yù)先給定的置信水平所要求的試驗(yàn)次數(shù)，需要需要統(tǒng)計學(xué)的背景知識，統(tǒng)計學(xué)的背景知識，然而作為一般準(zhǔn)則，然而作為一般準(zhǔn)則，結(jié)果的精結(jié)果的精度提高一倍度提高一倍( (即誤差減少一半即誤差減少一半) )，試驗(yàn)次數(shù)大約需要，試驗(yàn)次數(shù)大約需要增至

9、增至4 4倍倍做任何的蒙特卡羅模擬，都要用到做任何的蒙特卡羅模擬，都要用到隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)2.2.同樣拋同樣拋100100次的結(jié)果也不近相同。次的結(jié)果也不近相同。蒙特卡羅模擬是一種隨機(jī)模型蒙特卡羅模擬是一種隨機(jī)模型1.1.拋拋100100次硬幣得到次硬幣得到5151個正面，并且接下來的個正面，并且接下來的1010次次( (即使不太可能剛巧即使不太可能剛巧1010次次) )全為正面的情況是可全為正面的情況是可能出現(xiàn)的，這樣，用能出現(xiàn)的，這樣，用110110次的結(jié)果進(jìn)行估計實(shí)際次的結(jié)果進(jìn)行估計實(shí)際上比用上比用100100次要差次要差 要記住，要記住，對于根據(jù)模擬結(jié)果的預(yù)測寄予太多的對于根據(jù)模擬結(jié)果的預(yù)

10、測寄予太多的信任是有危險的，信任是有危險的，特別是在模擬中包含的假設(shè)沒有特別是在模擬中包含的假設(shè)沒有清楚表明的時候清楚表明的時候還有，由于用了大量的數(shù)據(jù)和龐還有，由于用了大量的數(shù)據(jù)和龐大的計算，再加上非專業(yè)人員理解模擬模型和計算大的計算，再加上非專業(yè)人員理解模擬模型和計算機(jī)輸出相對容易，所以常會導(dǎo)致對模擬結(jié)果的過分機(jī)輸出相對容易，所以常會導(dǎo)致對模擬結(jié)果的過分相信相信二.隨機(jī)數(shù)的生成1.蒙特卡羅模擬的關(guān)鍵是生成優(yōu)良的隨機(jī)數(shù)。關(guān)鍵是生成優(yōu)良的隨機(jī)數(shù)。2.在計算機(jī)實(shí)現(xiàn)中,我們是通過確定性的算法生成 隨機(jī)數(shù),所以這樣生成的序列在本質(zhì)上不是隨機(jī) 的,只是很好的模仿了隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)(如可以通過 統(tǒng)計檢驗(yàn))。

11、我們通常稱之為偽隨機(jī)數(shù)(pseudo-random numbers)。3.在模擬中，我們需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)數(shù)，而大多數(shù)概率分布的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生均基于均勻分布均勻分布U(0,1)U(0,1)的隨機(jī)數(shù)。的隨機(jī)數(shù)。U(0,1)隨機(jī)數(shù)的生成乘同余法：1101 mod , , /iiiiixaxmuaxxmxm其中 均為整數(shù), 可以任意選取。 稱為種子,a 是乘因子,m是模數(shù)0 x一個簡單的例子1i+116 mod11, u/11 6,11iiixxxam（）0 1 ,x 1,6,3,7,9,10,5,8,4當(dāng)時 得到序列:,1,6,3.,2.003,1 ,1,3,9.3,2,2,1,3,9,5,4

12、2,6,7,10,8,6.axax如果令 得到序列:如果令 得到序列：一個簡單的例子(續(xù))上面的例子中，第一個隨機(jī)數(shù)生成器的周期長度是 10，而后兩個生成器的周期長度只有它的一半。我們自然希望生成器的周期越長越好，這樣我們得到的分布就更接近于真實(shí)的均勻分布。0 (max在給定 的情況下，生成器的周期與和初值種子)選擇有關(guān)。線性同余生成器(混合同余法)(Linear Congruential Generator )111 () mod /iiiixaxcmuxm一般形式：02. 1 mmaxm線性同余器可以達(dá)到的最長周期為 ，我們可以通過適當(dāng)?shù)倪x擇 和，使無論選取怎樣的初值 都可以達(dá)到最大周期(

13、一般選取 為質(zhì)數(shù)) c是非負(fù)整數(shù).通過適當(dāng)選取參數(shù)c可以改善 隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì)(獨(dú)立性,均勻性).常用的線性同余生成器Modulus mMultiplier aReference231-1=214748364716807Lewis, Goodman, and Miller39373LEcuyer742938285Fishman and Moore950706376Fishman and Moore1226874159Fishman and Moore214748339940692LEcuyer214748356340014LEcuyer復(fù)雜一些的生成器Multiple recursive ge

14、nerator1122102(.) mo,.)d/iiiki kikkixa xa xa xmuxxxxm需(要選取種子12-1-1 (,.) 1ijiii kkkxmxxxmm每個有種選擇，所以向量 可以取個不同的值，所以這樣的隨機(jī)數(shù)生成器的最大周期可以達(dá)到 ，大大提高了簡單同余生成器的周期。算法實(shí)現(xiàn)許多程序語言中都自帶生成隨機(jī)數(shù)的方法，如 c 中的 random() 函數(shù)，Matlab中的rand()函數(shù)等。但這些生成器生成的隨機(jī)數(shù)效果很不一樣，比如 c 中的函數(shù)生成的隨機(jī)數(shù)性質(zhì)就比較差，如果用 c ，最好自己再編一個程序。Matlab 中的 rand() 函數(shù)，經(jīng)過了很多優(yōu)化。可以產(chǎn)生性

15、質(zhì)很好的隨機(jī)數(shù)，可以直接利用。從U(0,1)到其它概率分布的隨機(jī)數(shù)1.離散型隨機(jī)數(shù)的模擬2.連續(xù)型隨機(jī)數(shù)的模擬3.正態(tài)隨機(jī)數(shù)的模擬1.離散型隨機(jī)數(shù)的模擬設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為令將 作為區(qū)間(0,1)的分點(diǎn).若隨機(jī)變量 ,有X), 2 , 1(ipxXPii),2, 1(,)(, 0)0(1npnPPnii) 1 , 0( UU),2, 1( ,)1()()()1(npnPnPnPUnPPn)(nP令則有據(jù)此,可得產(chǎn)生 的隨機(jī)數(shù)的具體過程為:每產(chǎn)生一個(0,1)區(qū)間上均勻分布隨機(jī)數(shù) ,若 則令 取值 .nx)() 1(nxXnPUnPXnnpxXPX)() 1(nPUnPU例1:離散型隨機(jī)變量X

16、有如下分布律: X 0 1 2P(x) 0.3 0.3 0.4設(shè) 是(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù),令則 是具有X分布律的隨機(jī)數(shù).iiiiUUUx6 . 0, 26 . 03 . 0, 13 . 00, 0NUUU,21Nxxx,212 2 隨機(jī)行為的模擬隨機(jī)行為的模擬 本節(jié)的目的說明如何本節(jié)的目的說明如何對簡單的隨機(jī)行為建模對簡單的隨機(jī)行為建模，以形成直覺和理解考察以形成直覺和理解考察3 3個簡單的隨機(jī)模型：個簡單的隨機(jī)模型： 1 1拋一枚正規(guī)的硬幣拋一枚正規(guī)的硬幣 2 2擲一個或一對正規(guī)的骰子擲一個或一對正規(guī)的骰子 3 3擲一個或一對不正規(guī)的骰子擲一個或一對不正規(guī)的骰子 拋一枚硬幣時得到正面

17、或反面的機(jī)會是拋一枚硬幣時得到正面或反面的機(jī)會是1/2，于是，于是拋很多次時出正面次數(shù)的比例接近拋很多次時出正面次數(shù)的比例接近0.50.5設(shè)設(shè)x為為0,10,1內(nèi)的內(nèi)的隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)，f(x)定義如下：當(dāng)定義如下：當(dāng)00 x0.5, 0.5, f(x)= =正面，正面，否則否則 f(x)=反面，反面， f(x)將結(jié)果是正面或反面賦值到將結(jié)果是正面或反面賦值到00，11內(nèi)的一個數(shù)，隨機(jī)賦值時我們可利用這個函數(shù)的累內(nèi)的一個數(shù)，隨機(jī)賦值時我們可利用這個函數(shù)的累積性質(zhì)拋很多次時能夠得到如下的出現(xiàn)百分比：積性質(zhì)拋很多次時能夠得到如下的出現(xiàn)百分比：2.1 2.1 一枚正規(guī)的硬幣一枚正規(guī)的硬幣2.3 2.3

18、擲一個不正規(guī)的骰子擲一個不正規(guī)的骰子2.連續(xù)型隨機(jī)數(shù)的模擬a.逆變換方法(常用) (Inverse Transform Method)b.舍取方法 (Acceptance-Rejection Method)定理: 設(shè)隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)F(y)是連續(xù)函數(shù), 而U是在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量, 令, 則Y與X有相同的分布.)(1UFX1 1 ( ) (0,1) ( ) F xUuFu由 定 理， 要 產(chǎn) 生 來 自的 隨 機(jī) 數(shù) ， 只 要 先產(chǎn) 生 來 自隨 機(jī) 數(shù)， 然 后 計 算 即可 。 具 體 步 驟 如 下 ：(1) (0,1)U上生 成均 勻 分 布 的 隨 機(jī) 數(shù)。-1(2

19、) , ( ) () XXUFFx計算則為來自 分布的隨機(jī)數(shù).11() ()()( )( )FUP XxP FUxP UF xF x 由 的 定 義 和 均 勻 分 布 的 分 布 函明數(shù) 可證：得 ：-11 ( , ) 0 ( ) 1, ( )() 01 (0,1) ( - ) ( , ) XU a bxaxaF xaxbbaxbFyaba yyUUab a UU a b例 ： 設(shè)，則其分布函數(shù)為 ，生成隨機(jī)數(shù)，則是來自的隨機(jī)數(shù)。/12 exp( ) ( )1, 0 ( )log(1) log(1) ( ) 1 xXXF xexFyyXUUUU 例 ：設(shè)服從指數(shù)分布，則的分布函數(shù)為：通過計算

20、得，則：服從指數(shù)分布 其中服從均勻分布又因?yàn)?和有著同樣的分布，所以也可以?。?log( )XU 舍取方法舍取方法(Acceptance-Rejection )方法最早由 Von Neumann提出，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各種隨機(jī)數(shù)的生成。基本思路：通過一個容易生成的概率分布 g 和一個取舍準(zhǔn)則生成另一個與 g 相近的概率分布 f 。具體步驟： ( ) ( ) ( )( ) 1, f xg xf xcg xcx 假設(shè)和均為集合 上的概率密度函數(shù)。且滿足： 。易于從g(x)中生成樣本X.用如下步驟生成有Y:1. ( ) ;2. (0,1),U3. ()/() g xXUXUf Xcg X生成 的樣本

21、生成U且 與 獨(dú)立；如果，則取Y=X,返回步驟1， 否則舍去X,返回步驟1.下面我們驗(yàn)證由上述步驟生成的隨機(jī)數(shù) Y 確實(shí)具有密度函數(shù) f(x) ()(|()/()( , ()/() ()/()( )( )1/( )( )()( )( )( )AAAP YAP XA Uf Xcg XP XAUf Xcg XP Uf Xcg Xf xg x dxccg xf xP YAcg x dxf x dxcg xx對于任何的 ，我們有：）分母即Y的概率密度函數(shù)為f( ).()/()1/ ( ) ( )(0,1) P Uf Xcg Xcf xcg xU由上面的證明過程我們可以看出每次接受的概率為 ）。也就是說

22、為了生成一個 的樣本，我們需要平均生成個和 的樣本。所以為了提高舍取法的效率，我們應(yīng)該使 c 的取值盡可能的小，也就是使 f 和 g 的分布更為相近。3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的生成正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的分布，在此我們著重討論如何生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。引理：121/21121/221212, (0,1) ( 2ln)cos(2) ( 2ln)sin(2) U UUZUUZUUZZ 設(shè) 是獨(dú)立同分布的變量，令：則證明：與 獨(dú)由隨機(jī)立，且均服從向量的變換公標(biāo)準(zhǔn)式易正態(tài)分布。得，略。Box-Muller 算法121. ,U U生成兩個獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù) 1/21121/221212 ( 2ln

23、)cos(2) ( 2ln)sin(2) ZUUZUUZZ 2.令 則，為獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)數(shù)利用中心極限定理設(shè) 是n個相互獨(dú)立的在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量,由中心極限定理知 漸近服從正態(tài)分布N(0,1).一般取n=10即可,若取n=12,則上式簡化為 再由公式 即可得到正態(tài)分布 的隨機(jī)數(shù).nUUU,2112/ )2(1nnUXniiXY),(2N1216iiUXMatlab程序Function r=rnd-u(a,b)%產(chǎn)生在a,b間均勻分布的隨機(jī)數(shù)r=a+(b-a)*rand;returnMatlab程序Function r=rnd-beta(lamda)%模擬指數(shù)分布%lamda表示指

24、數(shù)分布的參數(shù)r=-log(rand)/lamda;returnMatlab程序Function y= rnd(mean, segema)%模擬均值為mean,方差為segma的正態(tài)分布r=rand(1,12);x=sum(r)-6;y=segma*x+mean;return實(shí)例一 例例（港口系統(tǒng)）（港口系統(tǒng)）考察一個帶有船只卸貨設(shè)備的小港考察一個帶有船只卸貨設(shè)備的小港口，任何時間僅能為一艘船只卸貨船只進(jìn)港是為了口，任何時間僅能為一艘船只卸貨船只進(jìn)港是為了卸貨，卸貨，相鄰兩艘船到達(dá)的時間間隔在相鄰兩艘船到達(dá)的時間間隔在1515分鐘到分鐘到145145分鐘分鐘之間變化之間變化一艘船只卸貨的時間由所

25、卸貨物的類型決一艘船只卸貨的時間由所卸貨物的類型決定，在定，在4545分鐘到分鐘到9090分鐘之間變化分鐘之間變化 需要回答以下問題：需要回答以下問題： 1 1每艘船只在港口的平均時間和最長時間是多少每艘船只在港口的平均時間和最長時間是多少? ? 2 2若一艘船只的等待時間是從到達(dá)到開始卸貨的若一艘船只的等待時間是從到達(dá)到開始卸貨的時間，每艘船只的平均等待時間和最長等待時間是多時間，每艘船只的平均等待時間和最長等待時間是多少少? ? 3 3卸貨設(shè)備空閑時間的百分比是多少卸貨設(shè)備空閑時間的百分比是多少? ? 4 4船只排隊最長的長度是多少船只排隊最長的長度是多少? ?3 3 實(shí)例二實(shí)例二 為了得

26、到一些合理的答案，為了得到一些合理的答案，利用計算機(jī)或可編程利用計算機(jī)或可編程計算器來模擬港口的活動計算器來模擬港口的活動假定相鄰兩艘船到達(dá)的假定相鄰兩艘船到達(dá)的時間間隔和每艘船只卸貨的時問在它們各自的時間時間間隔和每艘船只卸貨的時問在它們各自的時間區(qū)問內(nèi)均勻分布區(qū)問內(nèi)均勻分布，例如兩艘船到達(dá)的時間間隔可以，例如兩艘船到達(dá)的時間間隔可以是是1515到到145145之間的任何整數(shù)，且這個區(qū)間內(nèi)的任何整之間的任何整數(shù)，且這個區(qū)間內(nèi)的任何整數(shù)等可能地出現(xiàn)數(shù)等可能地出現(xiàn) 在給出模擬這個港口系統(tǒng)的一般算法之前，在給出模擬這個港口系統(tǒng)的一般算法之前，考慮考慮有有5 5艘船只的假想情況對每艘船只有以下數(shù)據(jù)：

27、艘船只的假想情況對每艘船只有以下數(shù)據(jù)： 設(shè)想碼頭設(shè)備的擁有者關(guān)心他們設(shè)想碼頭設(shè)備的擁有者關(guān)心他們提供服務(wù)的質(zhì)量提供服務(wù)的質(zhì)量，并且要并且要評價各種管理模式以確定為了改善服務(wù)是否值評價各種管理模式以確定為了改善服務(wù)是否值得增加費(fèi)用得增加費(fèi)用做一些統(tǒng)計可以幫助對服務(wù)質(zhì)量的評價做一些統(tǒng)計可以幫助對服務(wù)質(zhì)量的評價。 例如，呆在港口時間最長的船只是船例如，呆在港口時間最長的船只是船5 5，呆了，呆了130130分分鐘，而平均是鐘，而平均是8989分鐘分鐘( (表表5-14)5-14)通常顧客對等待時間通常顧客對等待時間的長短非常在乎，例中最長的等待時間為的長短非常在乎，例中最長的等待時間為5555分鐘，

28、而分鐘，而平均是平均是2626分鐘如果排隊太長有些顧客會改到別處去分鐘如果排隊太長有些顧客會改到別處去做生意，例中最長的隊是做生意，例中最長的隊是2 2 用下面的蒙特卡羅模擬算法可以做這些統(tǒng)計，對各用下面的蒙特卡羅模擬算法可以做這些統(tǒng)計，對各種管理模式進(jìn)行估價種管理模式進(jìn)行估價 現(xiàn)在假定你是碼頭設(shè)備擁有者的顧問，如果能現(xiàn)在假定你是碼頭設(shè)備擁有者的顧問，如果能夠雇用更多的勞動力，或者得到更好的卸貨設(shè)備，夠雇用更多的勞動力，或者得到更好的卸貨設(shè)備，使卸貨時間減少到每艘船使卸貨時間減少到每艘船35357575分鐘分鐘，會有什么影，會有什么影響響? ?表表5-165-16給出了基于模擬算法的結(jié)果。給出

29、了基于模擬算法的結(jié)果。從表從表5-165-16可以看到，每艘船的卸貨時間減少可以看到，每艘船的卸貨時間減少15152020分鐘，使得分鐘，使得船只船只呆在港口的時間特別是等待時間縮短呆在港口的時間特別是等待時間縮短了，而了，而設(shè)備空閑時問設(shè)備空閑時問的百分比卻增加了近一倍的百分比卻增加了近一倍船主對此是滿意的，因?yàn)檫@提高了船主對此是滿意的，因?yàn)檫@提高了長期行駛時每艘船運(yùn)送貨物的效率長期行駛時每艘船運(yùn)送貨物的效率 這樣，人港貿(mào)易好像會增加如果這樣，人港貿(mào)易好像會增加如果貿(mào)易量增加使貿(mào)易量增加使得相鄰兩艘船到達(dá)的時間間隔縮短到得相鄰兩艘船到達(dá)的時間間隔縮短到1010到到120120分鐘分鐘之間之間

30、，模擬結(jié)果如表，模擬結(jié)果如表5-175-17從這個表可以看到，隨從這個表可以看到，隨著貿(mào)易量的增加，船只又要在港口呆更長的時間，著貿(mào)易量的增加，船只又要在港口呆更長的時間，但設(shè)備空閑時間少多了，于是船主和設(shè)備擁有者都但設(shè)備空閑時間少多了，于是船主和設(shè)備擁有者都隨著貿(mào)易量的增加而受益隨著貿(mào)易量的增加而受益 假定我們假定我們對兩艘船到達(dá)的時間間隔和每艘船的卸對兩艘船到達(dá)的時間間隔和每艘船的卸貨時間分別在貨時間分別在15between15betweeni145145和和45unload45unloadi9090內(nèi)均勻分布不滿意內(nèi)均勻分布不滿意，決定收集港口系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，決定收集港口系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，

31、并將結(jié)果并人我們的模型設(shè)想觀測了利用港口卸并將結(jié)果并人我們的模型設(shè)想觀測了利用港口卸貨的貨的12001200艘船，收集的數(shù)據(jù)見表艘船，收集的數(shù)據(jù)見表5-185-18 最后，按照表最后，按照表5-195-19和表和表5-205-20給出的規(guī)則生成給出的規(guī)則生成betweenbetweeni和和unloadunloadi。( (i=1,2,3,n) )，將線性樣條子模型并入港，將線性樣條子模型并入港口系統(tǒng)的模擬模型用這些子模型，表口系統(tǒng)的模擬模型用這些子模型，表5-215-21給出了每給出了每次次100100艘船共艘船共6 6次獨(dú)立模擬的結(jié)果次獨(dú)立模擬的結(jié)果. .作業(yè)一例 模擬求近似圓周率在邊長為1的正方形內(nèi)有一半徑為0.5的內(nèi)切圓.現(xiàn)在模擬產(chǎn)生在正方形內(nèi)均勻分布的點(diǎn)n個.如果有m個在圓內(nèi),則圓面積與正方形的面積比可近似為m/n.即/4m/n 4m/nn=10000m=0;For i=1:n if rand2+rand2 =0,則可以通過模擬估算.構(gòu)造一個矩形包含曲邊梯形,dmax f(x).產(chǎn)生n(足夠大)個在矩形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),如果落在由函數(shù)f(x)構(gòu)成的曲邊梯形內(nèi)的點(diǎn)為m個,則所求定積分為 .dab