第五章2012概率論課件

1、第第五五章章 極限定理初步極限定理初步第五章第五章 極限定理初步極限定理初步第第五五章章 極限定理初步極限定理初步第第五五章章 極限定理初步極限定理初步設(shè)設(shè)Xn為隨機(jī)變量序列，為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，為隨機(jī)變量，如果對(duì)任給的如果對(duì)任給的 0,有有1|limXXPnn依概率收斂依概率收斂則稱則稱Xn依概率收斂于依概率收斂于X，記做，記做XXPn第第五五章章 極限定理初步極限定理初步例例1. . 1,.,max,.)2 , 1)(1 , 0()(21)(PnnnnnXXXXXnUXX證明獨(dú)立同分布，設(shè)第第五五章章 極限定理初步極限定理初步設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列Xn和隨機(jī)變量和隨機(jī)變量X

2、的分布的分布函數(shù)分別為函數(shù)分別為Fn(x) 和和F(x)，如果對(duì)，如果對(duì)F(x)的的任一連續(xù)點(diǎn)任一連續(xù)點(diǎn)x,有有)()(limxFxFnn依分布收斂依分布收斂則稱則稱Xn依分布收斂于依分布收斂于X，記做，記做XXLn第第五五章章 極限定理初步極限定理初步 大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率廢品率第第五五章章 極限定理初步極限定理初步切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律niinXnP11)|1(|lim 設(shè)設(shè) X1,X2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,

3、它們都有相它們都有相同的期望和方差同的期望和方差, E(Xi) =,D(Xi) =2, i=1,2, ，則對(duì)任意的則對(duì)任意的0，有，有切比雪夫大數(shù)定律表明：當(dāng)切比雪夫大數(shù)定律表明：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí),n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值)(121nXXXnX幾乎等于常數(shù)幾乎等于常數(shù)因此可用算術(shù)平均值作為因此可用算術(shù)平均值作為的估計(jì)的估計(jì)18211894 第第五五章章 極限定理初步極限定理初步 設(shè)設(shè)nA是是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)發(fā)生的次數(shù)，生的次數(shù)，p是事件是事件A在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)任給的發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 0，伯

4、努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律1|limpnnPAn16541705 伯努利伯努利大數(shù)定律表明：當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)大數(shù)定律表明：當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充充分大時(shí)，事件分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n幾乎等于幾乎等于事事件件A的概率的概率p。因此可用事件發(fā)生的頻率作。因此可用事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)概率的估計(jì)。為相應(yīng)概率的估計(jì)。第第五五章章 極限定理初步極限定理初步設(shè)設(shè) Xn 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若每個(gè)每個(gè)Xi的數(shù)學(xué)期望存在，即的數(shù)學(xué)期望存在，即E(Xi) =，i=1,2, ，則，則Xn服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律,即對(duì)任即對(duì)任意的意的0，有，有辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律P

5、niiXn11或1)|1(|lim1niinXnP(蘇蘇)18941959 第第五五章章 極限定理初步極限定理初步第第五五章章 極限定理初步極限定理初步 在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總影響素所產(chǎn)生的總影響.例如：炮彈射擊的落例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的受著許多隨機(jī)因素的影響影響.* 空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些 隨機(jī)因素的總影響隨機(jī)因素的總影響.* 如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，* 炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤

6、差等等.1lim( )lim nniiYnnXnFxPxn2-t2-1edt( )2xx 它表明，當(dāng)它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的的獨(dú)立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布之和近似服從正態(tài)分布. 設(shè)設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，且是獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,，令，令2 獨(dú)立同分布中心極限定理獨(dú)立同分布中心極限定理(林德伯格林德伯格-列維列維中心極限定理中心極限定理)1niinXnYn則則Yn的分布函數(shù)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，即的分布函數(shù)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，即第第五五章章 極限定理初步極限定理

7、初步 例例1：作加法時(shí)，對(duì)每個(gè)加數(shù)四舍五入取整，作加法時(shí)，對(duì)每個(gè)加數(shù)四舍五入取整，各個(gè)加數(shù)的取整誤差可以認(rèn)為是相互獨(dú)立各個(gè)加數(shù)的取整誤差可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的，都服從的，都服從( -0.5 , 0.5 )上均勻分布。現(xiàn)在有上均勻分布?，F(xiàn)在有1200個(gè)數(shù)相加，問(wèn)取整誤差總和的絕對(duì)值個(gè)數(shù)相加，問(wèn)取整誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)超過(guò)10的概率是多少？的概率是多少？ 第第五五章章 極限定理初步極限定理初步2.某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車數(shù)服從參數(shù)為某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車數(shù)服從參數(shù)為10的泊松分布，若一年中有的泊松分布，若一年中有360天經(jīng)營(yíng)汽車銷天經(jīng)營(yíng)汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨(dú)立的，求一售，且每天出

8、售的汽車數(shù)是相互獨(dú)立的，求一年中售出年中售出3700輛以上汽車的概率。輛以上汽車的概率。第第五五章章 極限定理初步極限定理初步高爾頓釘板試驗(yàn)高爾頓釘板試驗(yàn)圖中每一個(gè)粉紅點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個(gè)釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設(shè)有n排釘子,從入口中間處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過(guò)程中碰到釘子后以1/2的概率滾向左邊,也以1/2的概率滾向右邊.如果n較大,可以看到許多珠子從入口處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示，堆成的曲線近似于正態(tài)分布.二項(xiàng)分布中心極限定理二項(xiàng)分布中心極限定理(棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理)lim( )lim (

9、1)nYnnXnpFxPxnpp設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 ，令，令( , )XB n p221( )2txedtx 定理表明，當(dāng)定理表明，當(dāng)n很大，很大，0p1是一個(gè)定值是一個(gè)定值時(shí)時(shí),服從服從二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的的變量變量X近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布N(np,np(1-p).(1)nXnpYnpp則則Yn的分布函數(shù)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，即的分布函數(shù)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，即棣莫弗棣莫弗1667-1754 第第五五章章 極限定理初步極限定理初步例例1. 某互聯(lián)網(wǎng)站有某互聯(lián)網(wǎng)站有10000個(gè)相互獨(dú)立的用戶，個(gè)相互獨(dú)立的用戶，已知每個(gè)用戶在平時(shí)任一時(shí)刻訪問(wèn)網(wǎng)站的概率已知每個(gè)用戶在平時(shí)任一時(shí)刻訪問(wèn)網(wǎng)站的概率為為0.2。求在任一時(shí)刻。求在任一時(shí)刻19002100個(gè)用戶訪問(wèn)該個(gè)用戶訪問(wèn)該網(wǎng)站的概率。網(wǎng)站的概率。第第五五章章 極限定理初步極限定理初步例例2. 某工廠有某工廠有200臺(tái)同類機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器發(fā)生臺(tái)同類機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概率為故障的概率為0.02,設(shè)各臺(tái)機(jī)器工作是相互獨(dú)設(shè)各臺(tái)機(jī)器工作是相互獨(dú)立的，分別用二項(xiàng)分布、泊松分布和正態(tài)分立的，分別用二項(xiàng)分布、泊松分布和正態(tài)分布計(jì)算發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)不少于布計(jì)算發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)不少于2的概率。的概率。0.9106