微積分無窮小量

1、第二章 極限與連續(xù)本章學習要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運用“”和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極 限求相應的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù) 間斷點的類型。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。第三節(jié)

2、 無窮小量、無窮大量一.無窮小量及其運算性質(zhì)二. 無窮大量 簡言之, 在某極限過程中, 以 0 為極限的量稱該極限過程中的一個無窮小量.例1 . , 0 0,lim ) 1 (220是一個無窮小量時 xxxx . sin , 0 0,sinlim )2(0是一個無窮小量時xxxx . 1 , 0,1lim )3(是一個無窮小量時xxxx . cos , 2 0,coslim )4(2是一個無窮小量時xxxx 0,0 lim )5(在任何一個極限過程中, 常值函數(shù) y = 0 均為無窮小量. , )0( 0 , 0使當若X , )| ( | 0 0時Xxxx | )(|xf , )( )( ,0

3、時當則稱成立xxxxf . 為無窮小量分析 , | 0 , 0 , )(lim 00時當則若xxaxfxx , |0)( | |)(|axfaxf . )( , 0是一個無窮小量時即當axfxx , )( 0)( , )()( 0且則令xxxaxfx . )( )()(0 xxxaxf反之亦然. 由以上的分析, 你可得出 什么結(jié)論 ? 由此可看出, 尋找函數(shù)極限運算法則可歸結(jié)為尋找無窮小量的運算法則. )(lim)(0axfxxx, )()(xaxf . )( , ( 0)( , 0 xxxx其中 同一個極限過程中的有限個無窮小量之和仍是一個無窮小量. 同一個極限過程中的有限個無窮小量之積仍為

4、無窮小量. 常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量. 在某極限過程中, 以極限不為零的函數(shù)除無窮小量所得到商仍為一個無窮小量. 在某一極限過程中, 無窮小量與有界量之積仍是一個無窮小量.證明：在某極限過程中, 兩個無窮小量之 和仍是一個無窮小量.證 , , 0則時的兩個無窮小量為設(shè)xx , 0, 2 | , | 0 , 0101時當xx, 2 | , | 0 , 0202時當xx , | 0 , ,min 021有時則當取xx , 22 | | . , 0是一個無窮小量時即 xx 證明: 在某一極限過程中, 無窮小量與 有界量的積仍是一個無窮小量.證 , 0 0 , )( 10和即時的有界量是設(shè)Mxx

5、xf . | )(| , ),U( 10Mxfxx時使當 , 0 , 0 , )( 0)( 20使當則又設(shè)xxx . | )(| , | 020Mxxx時 , | 0 ,min 021時則當令xxMMxxfxxf | )(| )(| | )()(| . )()( , 0為無窮小量時故當xxfxx例2證0sin1limxxx證明) ( , 01 lim 無窮小量因為xx) ( , ),( 1 |sin|有界量xx . 0sin1lim xxx故有界量與無窮小量的乘積證明：在某極限過程中以極限不為零的函數(shù) 除無窮小量所得到商仍為一個無窮小量.證 . )( 0)( ; 0 , )(lim 00 xx

6、xaaxfxx設(shè) , | 0 , 0 ,2| 000有時當則取xxa , 2| |)(|aaxf , ),U( |2 )(1 2| | )(| 00 xxaxfaxfa故 . )(1 , 0有界時即xfxx . 0)()(lim 0 xfxxx故(i) 一般說來,有界量的倒數(shù)不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).(ii) 我們沒有涉及兩個無窮小量商的極限的 情形,因為它的情形較復雜,將在以后專 門討論.： . ,3 , , , 0 ,223223的情況時可觀察例如xxxxxxx 例3. 4lim 230 xxx求解 ) ( , 0lim 30無窮小量由于xx ) ( ,

7、4)4(lim20極限不為零xx . 04lim 230 xxx故 , | , 0 , 0有時當若XxXMMxf | )(| , )( ,記為時的無窮大量為則稱成立xxf. )( )( )(limxxfxfx或 . )(lim ,)( 稱為正無窮大量則換成xfMxfx . )(lim ,)( 稱為負窮大量則換成xfMxfx例4, (i)2xy ,ln (iii)xy .lim2xx,lnlim0 xx.lnlimxx,tan (iv)xy ,tanlim2xx.tanlim2xx, (ii)3xy .lim3xx(iii), (iv) 自己畫畫圖會更清楚.例5 ? )2( , 是否為無窮大量時

8、當nnxn解有時則當取 , , log 2NnMNMn |)2( | . )2(limlim nnnnx故 , 0M 2 |)2( | | Mxnnn要 , log2Mn 無窮大量是按絕對值定義的.例6無窮大量是否一定是無界量 ?在某極限過程中,無界量是否一定是無窮大量 ? . 2) 1( , , 0 ,2 , 0 , , 4 , 0 , 2 , 0 : ,nnxnxnnn例如 0 , , 的項使總有等于時當取多么大不論NnN |Mxn . , ,不是無窮大量時故當不成立nxn但該數(shù)列是無界的. 當 x 時, 函數(shù) sinx、cosx, 是否為無窮大量 ？因為sinx、cosx 是有界函數(shù),

9、所以在任何極限過程中它們都不是無窮大量. ( 無窮大量的倒數(shù)為無窮小量, x 0 )( 無窮小量的倒數(shù)為無窮大量, x 0 )則例7 . 0 ),( , 1)( xxxxf且設(shè). 01lim ) 1 (xx.1lim )2(0 xx在某一極限過程中 請自己根據(jù)定義自已進行證明. , 0)( )( xfxf是一個無窮大量且若 . )(1 為無窮小量則xf , 0)( )( xfxf是一個無窮小量且若 . )(1 為無窮大量則xf ,)(lim xf若無窮大量一定是同一極限過程中的無界量.反之不真反之不真 . | )(|lim xf則在某極限過程中,兩個無窮大量之積仍是一個無窮大量.在某極限過程中

10、, 無窮大量與有界量之和仍為無窮大量. , 0 , , 0 , 0 :nnyx , 8 , 6 , 4 , 2 :nnyx ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :nxnn ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :1nynn此時時顯然 . , , ,nnyxn例8兩個無窮大量的和是否仍為無窮大量?考察考察例9有界量與無窮大量的乘積是否一定為無窮大量？ 不著急, 看個例題: , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , ) 1 | ( 2xxgxx時不妨設(shè)當 . )( 011)()( 21xxxxxgxf而 , )( )(32xxxf . )( 1)()(232xxxxxg

11、xf例9有界量與無窮大量的乘積是否一定為無窮大量？ 不著急, 看個例題: , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , ) 1 | ( 2xxgxx時不妨設(shè)當 . )( 011)()( 21xxxxxgxf而 , )( )(32xxxf . )( 1)()(232xxxxxgxf不一定再是無窮大量.在某個極限過程中, 無窮大量一定是無界量, 但無界量不一定是無窮大量.兩個無窮大量的和不一定是無窮大量. 無窮大量與有界量之積不一定是無窮大量.設(shè) , 是同一個極限過程中的兩個無窮小量.則稱 是 的若, 0lim記為. )(o高階無窮小,此時, ,lim也可稱 是 的低階無窮小.若0limCC

12、，為常數(shù),記為則稱 與 是同階無窮小,. )(O若0 , 0limkCCk，為常數(shù),則稱 為 的 k 階無窮小, 記為. )(Ok . ,是同階無窮小與此時k則稱 是 的若, 1lim記為. 等階無窮小,不存在, 但又不是無窮大,若lim則稱 與 是不能比較的無窮小.x 0 時的幾個無窮小量的比較：).0( )(o , 0lim ) 1 (220 xxxxxxxxxx2sinlim )2(0, 32limsinlim00 xxxxxx)O(2sinxxx)0( x例1xxx20sincos1lim )3(21sin2sin2lim22220 xxxxx)0( )(sinOcos1 2xxx1s

13、inlim )4(0 xxx)0( sin xxxxxx220sin2sin2lim)0 , 0( ln1 axaxax證明1ln1 lim 0axaxx即要證 , 1 xay令ayyxaln)1ln()1 (logaxaxxln1lim 0故)0( ln1 xaxax從而且時則 , 0 , 0 yx)1ln(lim0yyy1)1ln(1lim10yyy有何想法？例2證 ).0( )1ln( ,xxx得到由該例的證明過程 , 21cos1lim 20 xxx因為所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) . )0( 21cos1 2xxx還有例3xxxxxx1sin lim1si

14、nlim 00 x 0 時,xx1sin不可比較的無窮小.不存在, 但不是無窮大, 與 x 是例4設(shè)在某一極限過程中, ) ( lim 或為若a . limlim 則, , 證綜上所述, , lim 則設(shè)a , limlimlimlimlimlima , 0 , 0lim , lim 的情形即則設(shè)a . lim , 0lim 故于是 . limlim限過程中的第三個變量.z 是該極 設(shè)在某極限過程中, limlimzz( 或為 ), 則若, limaz zz lim lim，a由定理 1, 得0 1limz, 故 lim z = . 綜上所述,設(shè) 則, limaz z limlim則設(shè) ， 0

15、 1lim z, lim z . limlimzz證設(shè)在某極限過程中, , , 則 .傳遞性無窮小量可以用其等價無窮小量替代.定理告訴我們:在計算只含有乘、除法的極限時,例例 .21sintanlim 30 xxxx直接計算可得 如果在加減法中用等價無窮小量替代, 則會產(chǎn)生錯誤: . 0limsintanlim3030 xxxxxxxx ) .sin ;tan , 0 (xxxxx時將常用的等階無窮小列舉如下: xx sinxx tan2cos12xxxx )1ln( mxxm11211xx nxxn1)1 (xex1axaxln12sintan3xxx xx arcsinxx arctan.

16、 0 , , , aNnm其中 當 x 0 時xxx53lim053xxx5sin3tanlim0 xxx5sin3tanlim0求例5解xxx1sinlim2xxx1sinlim2求xxx1lim2xxlim例6解xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例7解3221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx例8解2)(cos2lim0 xbaebxx12)()(lim 210 xbaxbax。，babxaxeebxa

17、xxsinsinlim0求bxaxeebxaxxsinsinlim02)(sin2)(cos2) 1(lim)(0 xbaxbaeexbabxx2)(sin1lim)(0 xbaexbax 和差化積例9解 此題也可先在分子處加 1 減 1xbxaxnmx11lim0 xbxxaxnxmx11lim11lim00nbmaxbxnxaxmxx1lim1lim00 xbxaxnmx) 11() 11(lim0 xbxaxnmx11lim0求例10解證明：若在某極限過程中0, 0, . 0lim在某極限過程中, 若 , 則1limlim011lim1且 0, 則 的充要條件是例11證反之, , 0li

18、m 若則lim)(lim101lim1故. ? 55 , 0 332的幾階無窮小量是時當xxxx , 55 55333232xxxx由于 , 555lim55 lim330303232xxxxxx . 32 55 ,0 332階無窮小量的是時故xxxx)O(5532332xxx例12解 )(limCxxfk解例13 . )122( lim xxxxx求 ,0 , ,1 于是時則令yxyxyyyy11221lim0原式y(tǒng)yyyy)11 (2121lim0yyyyyy11lim2121lim00 . 011解例14 . )2cos1cos(1lim 40 xxx求 ),0( 2cos1 2得由xx

19、x420402)2cos1 (lim )2cos1cos(1lim xxxxxx . 28)2(lim22)2(lim4404220 xxxxxx解例15 . )sin1 (lim cos1120 xxxxe求xxexexxxxxcos1)sin1ln(limexp)sin1 (lim 20cos1120 , )0( 2cos1 , )1ln( 2得由xxxxx220sin 2limexpxxexx . sinlim2lim exp22200exxexxx 也可再用等價無窮小替代 ?這樣做行不行 .sin 0 , , 1sinlim 22220 xxexxxexxx時所以由于 )(1lim)s

20、in1 (lim cos1120cos1120 xxxxxxxe故 .)1 (lim22 202exxx) )0( ,21cos1 (2xxx請看下面的定理. , 等價無窮小量為某極限過程中的兩個和設(shè) ,)1lim( ,)(lim ,)(axx又在該極限過程中 .)1lim()1lim( )()(axx則有證證 )1lim()1ln()(lim)1ln(lim)()(xxeex )(lim)(limxxee )()1ln(lim)1ln()(limxeex .)1lim()(x ).1ln()1ln( , :則若還可得到等價無窮小 替代解例16 . )( )sin1 ()sin1 ()sin1)(sin1 (lim 132Nnxxxxnnx求 , )0( 11 故由于xmxxmxxxxxxnxsin1sin1sin1sin1sin1sin1lim32原式xxxxxxnxsin11) 1(sin1sin11) 1(sin1sin11) 1(sin1lim32 . ! 113121nn解例17 .coslncoslim 20 xxexx求)1(cos1ln(cos1)1(cos1ln(1lim20 xxxexx原式)1(cos1ln(cos1lim0 xxx)1(cos1ln(1lim20 xexx1coslim20 xxx1coscos1lim0 xxx.)1