第二章 軌跡與方程

1、第二章第二章 軌跡與軌跡與方程方程主要內(nèi)容：2.1、平面曲線的方程2.2、曲面的方程2.3、空間曲線的方程第一節(jié) 平面曲線的方程一、曲線與方程：定義定義2.1.1：當(dāng)平面上取定了坐標(biāo)系之后，如果一個(gè)當(dāng)平面上取定了坐標(biāo)系之后，如果一個(gè)方程與一條曲線有著關(guān)系：方程與一條曲線有著關(guān)系：（1）滿(mǎn)足方程的）滿(mǎn)足方程的(x,y)必是曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)；必是曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)）曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿(mǎn)足這個(gè)方程；滿(mǎn)足這個(gè)方程；則這個(gè)方程稱(chēng)為這條曲線的方程，這條曲線稱(chēng)為則這個(gè)方程稱(chēng)為這條曲線的方程，這條曲線稱(chēng)為方程的圖形。方程的圖形。曲線的方程常表示為：曲線的方程常表示為：

2、F(x,y)=0 或或 y=f(x)二、曲線的向量式方程例例1、求圓心在原點(diǎn)，半徑為、求圓心在原點(diǎn)，半徑為R的圓的方程。的圓的方程。解：向量式方程解：向量式方程 |OM|=R普通方程普通方程x2+y2=R2例例2、已知兩點(diǎn)、已知兩點(diǎn)A(-2,-2),B(2,2)，求滿(mǎn)足條件求滿(mǎn)足條件 |MA|-|MB|=4的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。化為普通方程為化為普通方程為 xy=2 (x+y 2)故曲線為故曲線為yxoxy=2解：向量式方程解：向量式方程 |MA|-|MB|=4(2,2)B( 2, 2)A ( , )M x y1、向量函數(shù) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，與它對(duì)應(yīng)的向徑也隨著當(dāng)動(dòng)點(diǎn)按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)

3、時(shí)，與它對(duì)應(yīng)的向徑也隨著時(shí)間時(shí)間t t的不同而改變（模與方向的改變），這樣的向徑的不同而改變（模與方向的改變），這樣的向徑稱(chēng)為稱(chēng)為變向量變向量，記為，記為r(t)(t)。如果變數(shù)。如果變數(shù)t(at(a t t b)b)的每一個(gè)值的每一個(gè)值對(duì)應(yīng)于變向量對(duì)應(yīng)于變向量r的一個(gè)完全的值（模與方向）的一個(gè)完全的值（模與方向）r(t)(t)，則稱(chēng)，則稱(chēng)r是變數(shù)是變數(shù)t t的向量的向量函數(shù)函數(shù)，記為，記為r= =r(t) (t) (a(a t t b).b).2、向量函數(shù)的分量表示 設(shè)平面上取定的標(biāo)架為設(shè)平面上取定的標(biāo)架為O;O;e1 1, ,e2 2,則向量函數(shù)可則向量函數(shù)可表示為表示為r(t)=x(t)

4、(t)=x(t)e1+y(t)+y(t)e2 (a(a t t b). b). （1 1）其中其中x(t),y(t)x(t),y(t)是是r(t)(t)的分量，它們分別是變數(shù)的分量，它們分別是變數(shù)t t的函數(shù)的函數(shù)。3、向量式參數(shù)方程 若取(atb)的一切可能值，由（1）r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb).4、坐標(biāo)式參數(shù)方程曲線 的參數(shù)方程?？梢詫?xiě)成下列形式：)()()(btatyytxx稱(chēng)為曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t)的終點(diǎn)總在一條曲線上；反之，在這條曲線上的任意點(diǎn)，總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的向徑，而這向徑可由t的某一值t0(at0b

5、)通過(guò)（1）完全確定，則稱(chēng)表達(dá)式（1）為曲線的向量式參數(shù)方程，其中t為參數(shù)。表示的向徑r(t)例3、一個(gè)圓在一直線上無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，求圓周上一點(diǎn)P的軌跡。解： 取直角坐標(biāo)系，設(shè)半徑為 a的圓在x軸上滾動(dòng)，開(kāi)始時(shí)點(diǎn) P 恰在原點(diǎn)， 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的滾動(dòng)， 圓與直線的切點(diǎn)移到 A 點(diǎn)，圓心的位置移到C點(diǎn)，這時(shí)有r=OP=OA+AC+CP設(shè)=(CP,CA),于是向量CP對(duì)x軸所成的有向角為)2(), ( CPiPOraaxCyA則i cos()j cos()2(sin )i(cos )jCPaaaa 又因?yàn)閨OA|=AP=a，所以O(shè)A=ai, AC=aj從而點(diǎn)P的向量式參數(shù)方程為r=a(-sin)i+a(

6、1-cos) （+）其坐標(biāo)式參數(shù)方程為)()cos1 ()sin(ayax這種曲線稱(chēng)為旋輪線或擺線。xOyj例4 已知大圓的半徑為 ，小圓的半徑為 ,若大圓不動(dòng)，而小圓在大圓內(nèi)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，求動(dòng)圓上某一定點(diǎn)P的軌跡的方程。,稱(chēng)為內(nèi)旋輪形線(或稱(chēng)內(nèi)擺線)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)動(dòng)點(diǎn)P與大圓周上的點(diǎn)A重合，取大圓中心O為原點(diǎn)，OA為x軸，過(guò)O點(diǎn)垂直于OA的直線為y軸，經(jīng)過(guò)某一過(guò)程之后，小圓與大圓的接觸點(diǎn)為B，并設(shè)小圓中心為C，那么C一定在半徑OB上，有obao( ,),(,)()cos()sinrOPOCCPi OCCP CBOCi abj ab ( ,)aA BP Bbabbai C Pb CPb 由于

7、 ，所以c o ss inc o ss inbabaC Pibjbbbbaabibjbbb ()coscos()sincosa bra bbiba ba bbjb()coscos()sincos()abxabbbabyabbb 特殊地，當(dāng) 應(yīng)用公式曲線方程化為33cos33cos3cossin33sin4sin4ab33sincosayax()coscos()sincosabrabbibababbjb三三 曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程rOPOBBP ( ,)i OB BP 設(shè) 那么( cossin )OBR ij ( ,)2i BP cos()sin()22( sincos )BPBARBPB

8、P ijRij cossinsincosxRyR( cossin )( sincos )(cossin )(sincos )rR ijRijRiRj三三 曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程例6 把橢圓的普通方程式 化為參數(shù)方程。12222byax法一)(sincosbyax法二設(shè)y=tx+b,代入原方程得1)(2222bbtxax解得 22222, 0tabbtaxx在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取22222tabbtax從而222222)(tabtabby在法二中，若令u=-t，則得橢圓的另一種表示式為)u(uab)uab(byuabbu2ax2222222222注：第二種解法中，

9、設(shè)y=tx+b，實(shí)際上是在橢圓上取一定點(diǎn)(0,b),作以(0,b)為中心的直線束，而這時(shí)的橢圓的參數(shù)方程恰為直線束中的直線與橢圓交點(diǎn)的一般表達(dá)式。由于這時(shí)過(guò)點(diǎn)(0,b)的y軸的斜率不存在，因此需補(bǔ)上點(diǎn)(0,-b)，或把它看成當(dāng)t時(shí)的交點(diǎn)。cos,sinxaybt22 222 2222 2,2a ba txba ttab tyba t 例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a0) 為參數(shù)方程。解：設(shè)y=tx，代入可得參數(shù)方程)(12122322 ttatytatx注1：有些曲線只能用參數(shù)方程表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y的初等函數(shù)來(lái)表示，如tttyttextarcsinsinlg2注

10、2：在曲線的普通方程與參數(shù)方程的互化時(shí)，必須注意兩種形式的方程的等價(jià)性，即考慮參數(shù)的取值范圍。一、曲線的方程一、曲線的方程 二、曲線的參數(shù)方程二、曲線的參數(shù)方程 三、常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程三、常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程.2.22.2 一一. 定義定義2.2.1: 若曲面S與三元方程F (x, y, z) =0有如下關(guān)系:(1) S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程F (x, y, z) =0;(2) 滿(mǎn)足方程F (x, y, z) =0的(x,y,z) 在曲面S上那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的圖形.F (x, y, z) = 0 Sxyzo例

11、例1、求連結(jié)兩點(diǎn)A(1,2,3),B(2,-1,4)的線段的垂直平分面的方程。解：垂直平分面可以看成到兩定點(diǎn)A和B等距離的動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)的軌跡，故點(diǎn)M的特征為|AM|=|BM|用兩點(diǎn)間的距離公式代入并化簡(jiǎn)可得：2x-6y+2z-7=0例例2 求兩坐標(biāo)面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。解：因?yàn)樗笃椒置媸桥c兩坐標(biāo)面xOz和yOz有等距離的點(diǎn)的軌跡，因此M(x,y,z)在平分面上的充要條件是|y|=|x|即x+y=0 與 x-y=0(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 (1)稱(chēng)方程(1)為球面的標(biāo)準(zhǔn)方程.特別: 當(dāng)球心在原點(diǎn)O(0, 0, 0)時(shí), 球面方

12、程: x2 + y2 + z2 = R2 例3、求球心為M0(x0, y0,z0), 半徑為R的球面的方程. 解：對(duì)于球面上任一點(diǎn)M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即 M0 M R解解設(shè)設(shè)),(zyxM是曲面上任一點(diǎn)，是曲面上任一點(diǎn)，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為解: 原方程可改寫(xiě)為(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半徑為 的球面.5例5: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎樣的曲

13、面?zxyo例例6 6 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c二、曲面的參數(shù)方程二、曲面的參數(shù)方程1 1、雙參數(shù)向量函數(shù)、雙參數(shù)向量函數(shù)在兩個(gè)變數(shù)u,v的變動(dòng)區(qū)域內(nèi)定義的函數(shù)r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e

14、3 (2)稱(chēng)為雙參數(shù)向量函數(shù)，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是變向量r(u,v)的分量，它們都是變數(shù)u，v的函數(shù)。當(dāng)u,v取遍變動(dòng)區(qū)域的一切值時(shí)，徑矢OM= r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的終點(diǎn)M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)所畫(huà)的軌跡一般為一張曲面。Mozxy S2 2、曲面的向量式參數(shù)方程、曲面的向量式參數(shù)方程定義定義2.2.2：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2）表示的向徑r(u,v)的終點(diǎn)M總在一個(gè)曲面上，反之，在這個(gè)曲面上的任意點(diǎn)M總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的向徑，而這向徑可由u,v的值 (aub,cvd)通過(guò)（2

15、）完全決定，則稱(chēng)（2）式為曲面的向量式參數(shù)方程向量式參數(shù)方程，其中u,v為參數(shù)。因?yàn)橄驈絩(u,v)的分量為x(u,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面的參數(shù)方程也常寫(xiě)成)3(),(),(),(vuzzvuyyvuxx表達(dá)式（3）稱(chēng)為曲面的坐標(biāo)式參數(shù)方程坐標(biāo)式參數(shù)方程。例例6 求中心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的參數(shù)方程。 M RxyzPQ解：設(shè)M(x,y,z)是球面上任一點(diǎn)，M在xOy 坐標(biāo)面上的射影為P，而P在x軸上的射影為Q，又設(shè)在坐標(biāo)面上的有向角(i,OP)=,Oz軸與OM的交角zOM=，則r=OM=OQ+QP+PM且 PM=(rcos)k所以r=(rsincos )i +(rsinsi

16、n )j+ (rcos)k (4)此即為中心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的向量式參數(shù)方程。 QP=(|OP|sin)j=(rsinsin )jOQ=(|OP|cos )i=(rsincos )i中心在原點(diǎn)，半徑為r的球面的坐標(biāo)式參數(shù)方程為)5(cossinsincossinrzryrx（4），（5）中的，為參數(shù)，其取值范圍分別是0與-。例7 求以z軸為對(duì)稱(chēng)軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程。 解：如圖,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i, QP(Rsin )j, PM=uk所以 r=(Rcos)i+ (Rsin )j +uk （6）此即為圓柱面的向量式參數(shù)方程。其坐標(biāo)式

17、參數(shù)方程為)7(sincosuzRyRx（6）（7）式中的，u為參數(shù)，其取值范圍是-，-u+ 三三. .球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系 ,R),(3zyxM設(shè)),(其球坐標(biāo)為就稱(chēng)為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,POM Moxyzz),( 則則022 coscos x sincos y sin z坐標(biāo)面分別為常常數(shù)數(shù) 球面常常數(shù)數(shù) 半平面常常數(shù)數(shù) 錐面, OM令令),( M cos OM sin z1.1.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系Poxyz2. 柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系,R),(3zyxM設(shè),代代替替用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)將將 yx),u （則則就稱(chēng)為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo). u 0 sin yuz cos

18、 x直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常常數(shù)數(shù) 半平面常常數(shù)數(shù) u平面o z),(zyxM|OM )0 ,(yx M作業(yè) P8788 2（4） ， 3（3），4（3） 12( , )0(2.31)( , )0F x y zFx y z空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點(diǎn)都滿(mǎn)足曲線上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程，滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在方程，滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程.因因此方程組（此方程組（2.31）表示）表示一條空間曲線一條空間曲線 的方程，的方程，xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空

19、間兩曲面的交線.特點(diǎn)特點(diǎn)：一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程 xozy1S2SC我們把它叫做空間曲線的一般方程我們把它叫做空間曲線的一般方程. .例例2、求在xOy 坐標(biāo)面上，半徑為R，圓心為原點(diǎn)的圓的方程。解：0) 1 (2222zRzyx0)2(222zRyx2222222)3(RyxRzyx00yxyx例例1、寫(xiě)出Oz軸的方程。解： Oz軸可看成兩個(gè)平面的交線，如00yx或可見(jiàn)，空間曲線的一般方程的表示不是唯一的。22210 xyzz組樣線？方方程程表表示示怎怎的的曲曲xO01222zzyx1222zyx例例4: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32與平面 z = 2

20、的交線是x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2一個(gè)圓, 它的一般方程是例例5: 方程組222222)2()2(ayaxyxaz表示怎樣的曲線?解: 方程222yxaz方程.222)2()2(ayax它的準(zhǔn)線xOy面上的圓, 圓心在點(diǎn).2),0,2(aa半徑為所以方程組表示上述半球面與圓柱面的交線.（維維安尼曲線（維維安尼曲線Viviani）表示球心在原點(diǎn)O, 半徑為a的上半球面.表示母線平行于z 軸的圓柱面將曲線C上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x, y, z都表示成一個(gè)參數(shù)t的函數(shù).x = x (t)y = y (t) (2)z = z (t)當(dāng)給定 t = t1時(shí), 就得到C上一個(gè)點(diǎn)(x, y, z), 隨著 t的變動(dòng)便可得曲線C上的全部點(diǎn). 方程組(2)叫做空間曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程.例例5: 如果空間一點(diǎn)如果空間一點(diǎn) M 在圓柱面在圓柱面 x2 + y2 = a2 上以上以角速度角速度 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), 同時(shí)又以線速度同時(shí)又以線速度v 沿沿平行于平行于z 軸的正方向上升軸的正方向上升(其中其中 ,v都是常數(shù)都是常數(shù)), 那末點(diǎn)那末點(diǎn)M 構(gòu)成的圖形叫做構(gòu)成的圖形叫做圓柱圓柱螺旋線螺旋線, 試建試建立其參數(shù)方程立其參數(shù)方程. 解解: 取時(shí)間取時(shí)間t為參數(shù)為參數(shù), 設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)