版高中數(shù)學第二章點直線平面之間的位置關(guān)系本章復(fù)習提升（word解析版）新人教A版必修2

1、本章復(fù)習提升易混易錯練易錯點1對空間角概念不清而致錯1.(2021寧夏六盤山高級中學高一上期末,)將正方形 ABCD沿對角線BD折成直二面角 A-BD-C,有如下四個結(jié)論:ACBD;ACD是等邊三角形;AB與平面 BCD成 60°的角;AB與 CD所成的角為 60°.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.42.(2020上海崇明高三一模,)已知ABBC,BCCD,DEAE,DEBC,且AB=BC=CD,異面直線AB與CD成60°角,則異面直線AD與BC所成的角為. 3.(2021廣西北海高一上期末,)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD平面PDC,

2、ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;(2)求證:PD平面PBC;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.易錯點2對有關(guān)平行、垂直的概念和定理理解不透徹4.(2021寧夏銀川興慶高一上期末,)已知m,n是兩條不重合的直線,是不重合的平面,則下面四個結(jié)論中正確的是()A.若m,n,mn,則B.若m,mn,則nC.若mn,m,則nD.若m,mn,n,則5.(2021內(nèi)蒙古包頭高三上期末,)已知直線b,平面,有以下條件:b與內(nèi)一條直線平行;b與內(nèi)所有直線都沒有公共點;b與無公共點;b不在內(nèi),且與內(nèi)的一條直線平行.其中能推出b的條件有

3、.(把你認為正確的序號都填上) 易錯點3考慮問題不全面而致錯6.(2020四川師大附中高二上月考,)如果一條直線與一個平面平行,夾在直線和平面間的兩線段相等,那么這兩條線段所在直線的位置關(guān)系是. 7.(2020江蘇徐州高一下期末,)已知平面平面,P是,外一點,過P點的兩條直線AC,BD分別交于點A,B,交于點C,D,且PA=6,AC=9,AB=8,求CD的長.思想方法練一、函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用1.(2020北京師大二附中高二月考,)如圖,空間四邊形ABCD的對邊AD、BC成90°角,且AD=BC=a,平行于AD與BC的截面分別交AB、AC、CD、BD于

4、E、F、G、H,截面EFGH的最大面積是. 2.()如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M在AD1上移動,點N在BD上移動,D1M=DN=a(0<a<2).(1)證明:對任意a(0,2),總有MN平面DCC1D1;(2)當a為何值時,MN的長最短?二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在平行與垂直中的應(yīng)用3.(2021云南玉溪一中高二上期中,)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD底面ABCD,ABCD,AB=2,CD=3,M為PC上一點,且PM=2MC.(1)求證:BM平面PAD;(2)若AD=2,PD=3,BAD=60°,求三棱錐P-ADM的體積.4.(20

5、20湖南益陽高二上期末,)如圖,在棱長均為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點.(1)求證:AD平面BCC1B1;(2)求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值.5.(2020江西景德鎮(zhèn)一中高二上期中,)已知三棱錐P-ABC(如圖)的平面展開圖(如圖)中,四邊形ABCD為邊長等于2的正方形,ABE和BCF均為正三角形,在三棱錐P-ABC中:(1)證明:平面PAC平面ABC;(2)若點M在棱PC上運動,當直線BM與平面PAC所成的角最大時,求三棱錐M-ABC的體積.本章復(fù)習提升易混易錯練1.A摳點法.在長方體ABCD-A1B1C1D1中摳點:(1)由正視圖可知:C1D1上沒有點

6、;(2)由側(cè)視圖可知:B1C1上沒有點;(3)由俯視圖可知:CC1上沒有點;(4)由正(俯)視圖可知:D,E處有點,由俯視圖中虛線可知B,F處有點,A點排除.由上述可還原出四棱錐A1-BEDF,如圖所示.S四邊形BEDF=1×1=1,VA1-BEDF=13×1×1=13.故選A.易錯警示1.由三視圖還原直觀圖時,要注意實線與虛線的區(qū)別.2.要清楚幾何體的結(jié)構(gòu)特征,否則會導(dǎo)致漏算或者多算幾何體的表面積或者體積.2.DA的正視圖和俯視圖不符合要求,B的正視圖和側(cè)視圖不符合要求,C的側(cè)視圖和俯視圖不符合要求.3.答案61解析解法一:由已知得球的半徑為5,而圓臺的下底面半

7、徑為5,下底面為球的大圓面,將圓臺補為圓錐,如圖,則O2B=O2C=5,O1C=4,O1O2=O2C2-O1C2=3,設(shè)EO1=x,則xx+3=45,x=12,即O1E=12,O2E=15,V圓臺=13××52×15-13××42×12=125-64=61.解法二:依題意可知圓臺的下底面為球的大圓面,則圓臺的高h=52-42=3,故圓臺的體積V=13××3×(52+42+5×4)=61.易錯警示要熟記幾何體的表面積、體積公式,尤其是不?？嫉呐_體的表面積及體積公式.4.解析由題意知,旋轉(zhuǎn)后得到的幾

8、何體是一個挖去一個圓柱的圓錐,且圓錐的底面半徑為4,高為43,圓柱的底面半徑為2,高為23,圓錐的底面積為16,圓錐的側(cè)面積為×4×8=32,圓柱的側(cè)面積為2×2×23=83,所求幾何體的表面積為16+32+83=48+83.易錯警示挖去圓柱后的幾何體的表面積多了一個圓柱的側(cè)面積,但圓錐的底面積并沒有減少,因為圓柱的上底面面積對圓錐底面缺失的部分面積進行了等量補充,解題時要注意正確分析幾何體的結(jié)構(gòu),避免計算錯誤.5.答案(1+2)或2解析若繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則形成的幾何體為圓錐,該圓錐的底面半徑為1,高為1,所以母線長為2,其表面積為

9、5;2×1+×12=(1+2);若繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則得到的是兩個同底的圓錐組合在一起的幾何體,圓錐底面半徑為22,母線長為1,該幾何體的表面積為2××1×22=2.綜上所述,該幾何體的表面積為(1+2)或2.易錯警示遇到帶有分類討論性質(zhì)的題目時,要跳出定性思維的限制,將問題分析全面,防止漏解.6.答案a3或a32解析當母線長為a時,圓柱的底面半徑是a,此時圓柱的體積是×a2×a=a3;當母線長為2a時,圓柱的底面半徑是a2,此時圓柱的體積是×a22×2a=a32.綜上,圓柱的體積是a3或a32.易

10、錯警示圓柱的側(cè)面展開圖是矩形,其每一條邊都有可能是母線,不能簡單地認為長的一邊或短的一邊是母線.7.解析設(shè)球的半徑為r,則球的體積為43r3,球心到該圓錐底面的距離為r2,于是圓錐的底面半徑為r2-r22=3r2,高為3r2或r2.若高為3r2,如圖所示,則該圓錐的體積為13××3r22×3r2=38r3,該圓錐的體積和此球體積的比值為38r343r3=932.同理可得高為r2時,比值為332.8.解析當兩截面圓在球心O的同側(cè)時,如圖(1)所示,AB為較大的截面圓的直徑,O1為較大的截面圓的圓心,CD為較小的截面圓的直徑,O2為較小的截面圓的圓心,梯形ABDC為圓

11、臺的軸截面,由題意,知OO1=3,OO2=4,則圓臺的高O1O2=1,AC=2,所以S圓臺側(cè)=(3+4)×2=72.圖(1)當兩截面圓在球心O的異側(cè)時,如圖(2)所示,AB為較大的截面圓的直徑,O1為較大的截面圓的圓心,CD為較小的截面圓的直徑,O2為較小的截面圓的圓心,梯形ABDC為圓臺的軸截面,由題意,知OO1=3,OO2=4,則圓臺的高O1O2=7,AC=52,所以S圓臺側(cè)=(3+4)×52=352.圖(2)思想方法練1.答案43解析三棱錐A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,將此三棱錐放入一個面對角線長分別為5,5,6的長方體中,設(shè)長方體共頂點的

12、三條棱長分別為x,y,z,則x2+y2=25,x2+z2=25,z2+y2=36,可得x2+y2+z2=43,設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R,則4R2=x2+y2+z2=43,所以R=432,經(jīng)分析知長方體的外接球為該三棱錐的外接球,則長方體的體對角線的長度為該三棱錐的外接球的直徑,利用方程的思想,構(gòu)建外接球直徑與長方體體對角線的等量關(guān)系,使問題順利得到解決.故該三棱錐的外接球的表面積S=4×4322=43.故答案為43.思想方法方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手,將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當設(shè)元建立方程(組),然后通過解方程(組)使問題得到解決的思維方式.用方程思想

13、解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理構(gòu)造方程(組).立體幾何中常見的考題是利用題設(shè)中的等式求幾何體的某一變量,進而求幾何體的表面積、體積,或者利用幾何體中的等量關(guān)系結(jié)合直角三角形并利用勾股定理求解球的半徑等.2.解析(1)圓錐的母線長為62+22=210(cm),所以圓錐的側(cè)面積S1=×2×210=410(cm2).(2)圓錐的軸截面如圖所示.設(shè)圓柱的底面半徑為rcm,高為xcm,則r2=6-x6,r=6-x3,圓柱的側(cè)面積S2=2rx=23(-x2+6x)=-23(x-3)2-9,構(gòu)建關(guān)于x的二次函數(shù),通過二次函數(shù)的最值解決問題.當x=3時,圓柱的側(cè)面積最大,最大側(cè)面積為

14、6cm2.思想方法函數(shù)思想,是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.函數(shù)思想在立體幾何中常見的考題是點的軌跡問題、距離的最值問題、幾何體表面積或體積的最值問題.做題時,一定要注意根據(jù)題意,構(gòu)建好有關(guān)幾何量的函數(shù)關(guān)系式,然后利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),結(jié)合函數(shù)的圖象解決問題.3.解析由題意易知,三棱錐P-DCE為正三棱錐,各側(cè)棱長均為1,P點在底面DCE的投影為等邊DCE的中心,設(shè)中心為O,則OD=OE=OC=33,在RtPOD中,OP2=PD2-OD2=23,則OP=63.易知外接球的球心必在OP上,設(shè)球心為O',則O'P=O'D,設(shè)O'P=O'D

15、=R,則在RtOO'D中,OO'2+OD2=O'D2,即(OP-O'P)2+OD2=O'D2,63-R2+332=R2,解得R=64,三棱錐P-DCE的外接球的體積為43R3=68.解決幾何體的外接球問題,關(guān)鍵是找準球心的位置,將球心放在能夠求解的三角形中,利用三角形已知的邊角關(guān)系構(gòu)建方程,從而解決問題.4.C設(shè)三棱臺的高為h,SABC=S,則SA1B1C1=4S.VA1-ABC=13SABC·h=Sh3,VC-A1B1C1=13SA1B1C1·h=4Sh3,又V三棱臺=13h(S+4S+S·4S)=7Sh3,VB-A1B1

16、C=V三棱臺-VA1-ABC-VC-A1B1C1=7Sh3-Sh3-4Sh3=2Sh3.直接計算三棱錐B-A1B1C的體積難度較大,可以采用“正難則反”的轉(zhuǎn)化與化歸思想使問題得到解決.所求體積之比為124.思想方法轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換 使之轉(zhuǎn)化,進而得到解決的一種方法.其核心就是把未知轉(zhuǎn)化為已知,將未能解決的問題劃歸為已經(jīng)解決的問題.在立體幾何中常見的轉(zhuǎn)化形式有正難則反,特殊與一般的轉(zhuǎn)換,空間與平面的轉(zhuǎn)換,等積轉(zhuǎn)換等.5.B因為正四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動,所以該正四面體的棱長最大時內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球,直接研究正四面體內(nèi)接于圓錐時,等式關(guān)系不容

17、易建立,問題不便于解決,利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將問題轉(zhuǎn)化為正四面體內(nèi)接于球,球內(nèi)切于圓錐,就可以實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化.圓錐的軸截面如圖(1)所示,設(shè)球心為P,球的半徑為r,軸截面上球與圓錐母線的切點為Q,則OA=OB=32,OS=332,則tanSAO=3,即SAO=60°,則SAB為等邊三角形,故P是SAB的中心,連接BP,則BP平分SBA,所以PBO=30°,所以tan30°=rOB,即r=33OB=32,即正四面體的外接球的半徑為r=32,圖(1)另正四面體可以從正方體中截得,如圖(2),圖(2)從圖中可得,當正四面體的棱長為a時,截得它的正方體的棱長為22a,而正四面體的四個頂點為正方體的頂點,故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球,所以2r=3×22a=6