理論力學(xué)第十五章

1、第十五章第十五章虛位移原理虛位移原理理論力學(xué)（）東北大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)研究所李 永 強(qiáng)第十五章第十五章 虛位移原理虛位移原理15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功1 約束及其分類(lèi)限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件稱(chēng)為限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件稱(chēng)為約束約束，限制條件的數(shù)學(xué)方程稱(chēng)為限制條件的數(shù)學(xué)方程稱(chēng)為約束方程約束方程.限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱(chēng)為限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱(chēng)為幾何約束幾何約束.222lyx（1）幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束如如0,zyxf15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)情況的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件稱(chēng)運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束.0rvA 022BABABy

2、lyyxx0rxA222ryxAA15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功2022tvlyx2 定常約束和非定常約束約束條件隨時(shí)間變化的稱(chēng)非定常約束非定常約束,否則稱(chēng)定常約束稱(chēng)定常約束.15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功（3 3） 其它分類(lèi)其它分類(lèi)約束方程中包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)約束方程中包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù), ,且不可能積分為有且不可能積分為有限形式的約束稱(chēng)限形式的約束稱(chēng)非完整約束非完整約束, ,否則為否則為完整約束完整約束. .約束方程是等式的，稱(chēng)約束方程是等式的，稱(chēng)雙側(cè)約束雙側(cè)約束（或稱(chēng)（或稱(chēng)固執(zhí)約束固執(zhí)約束），），約束方程為不等式的，稱(chēng)約束方程為不等式的，稱(chēng)單側(cè)

3、約束單側(cè)約束（或稱(chēng)（或稱(chēng)非固執(zhí)單側(cè)約束非固執(zhí)單側(cè)約束）。）。本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束；本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束；sizyxzyxfnnni, 2, 10,111 n n為質(zhì)點(diǎn)系數(shù)，為質(zhì)點(diǎn)系數(shù)，S S 為約束方程數(shù)為約束方程數(shù)15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功2 2 虛位移虛位移 在某瞬時(shí)在某瞬時(shí),質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下,可能實(shí)現(xiàn)的任何可能實(shí)現(xiàn)的任何無(wú)限小的位移稱(chēng)為無(wú)限小的位移稱(chēng)為虛位移虛位移 .虛位移虛位移,xr等等實(shí)位移實(shí)位移d ,d ,drx等等虛功虛功 rFW4 4 理想約束理想約束如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中如果在質(zhì)點(diǎn)系的

4、任何虛位移中,所有約束力所作虛功的和所有約束力所作虛功的和等于零，稱(chēng)這種約束為等于零，稱(chēng)這種約束為理想約束理想約束.0iNiNiNrFWW力在虛位移中作的功稱(chēng)虛功力在虛位移中作的功稱(chēng)虛功.15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功即即0iirF設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡, ,有有0NiiFF或記為或記為0FiW此方程稱(chēng)此方程稱(chēng)虛功方程,其表達(dá)的原理稱(chēng)其表達(dá)的原理稱(chēng)虛位移原理虛位移原理或或虛功原理虛功原理:0iNiiirFrF0iNiiirFrF 15-2 15-2 虛位移原理虛位移原理對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系,其平衡的充分必要條件是其平衡的充分必要條件是:

5、作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零等于零.解析式為解析式為0iziiyiixizFyFxF例例15-1 15-1 如圖所示如圖所示, ,在螺旋壓榨機(jī)的手柄在螺旋壓榨機(jī)的手柄ABAB上作用一在上作用一在水平面內(nèi)的力偶水平面內(nèi)的力偶( ( ),),其力矩其力矩 , ,螺桿的螺螺桿的螺距為距為. .FF,FlM2h求求:機(jī)構(gòu)平衡時(shí)加在被壓物體上的力機(jī)構(gòu)平衡時(shí)加在被壓物體上的力. 15-2 15-2 虛位移原理虛位移原理解解:給虛位移給虛位移, s02FlsFWNF滿(mǎn)足如下關(guān)系：滿(mǎn)足如下關(guān)系：s與hs2022hFFlWNF是任

6、意的因，故故02hFFl2NFhlFN4平衡時(shí)加在物體上的力求螺距為已知:,2:hFlM 例15-2圖中所示結(jié)構(gòu),各桿自重不計(jì),在點(diǎn)作用一鉛直向上的力,lGEDGCBCDCEAC求求: :支座支座的水平約束力的水平約束力. . 15-2 15-2 虛位移原理虛位移原理解解: :解除解除B端水平約束端水平約束, ,以力以力F FBX BX 代替：代替：cos3,sin2sin3,cos20lylxlylxyFxFwGBGBGBBxF0l3Fl2FBxcossincot23FFBx代入虛功方程代入虛功方程: 處水平反力求已知BlGEDGCBCDCEACF:,:0cos3cos3cos)sin2(0

7、0lFlklklFBx解得解得cotcot230kFFBx000GGGCCBBxFGCyFyFyFxFWkFFcos3,cos,sin2sin3,sin,cos2lylylxlylylxGCBGCB如圖在如圖在CG CG 間加一彈簧間加一彈簧, ,剛度剛度K, ,且已有伸長(zhǎng)量且已有伸長(zhǎng)量0 0 , ,仍求仍求 F FBXBX . .在彈簧處也代之以在彈簧處也代之以力力, ,如圖如圖, ,其中：其中： 例例15-315-3圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中, ,連桿連桿AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng), ,滑塊滑塊, ,與桿重均不計(jì)與桿重均不計(jì), ,忽略各處摩擦忽略各處摩擦, ,機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡機(jī)構(gòu)在圖示位置

8、平衡. .BAFF 與求：主動(dòng)力求：主動(dòng)力 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 15-2 15-2 虛位移原理虛位移原理解解: (1) (1) 幾何法：幾何法： 給虛位移給虛位移,BArr0iirF代入虛功方程代入虛功方程, ,有有0cosBBBArFrF即即tanBAFF 由由sincosABrr( ( 在在 A , ,B 連線(xiàn)上投影相等連線(xiàn)上投影相等) )BArr,0BBAArFrF關(guān)系。與平衡時(shí)求略自重和摩擦已知BAFFl:,:(2) (2) 用解析法用解析法. .建立建立坐標(biāo)系坐標(biāo)系, ,由：由：0FFFziziyiyixixi有有0yAAxBBFFsin,coslylxAB得得tanBAFF

9、cos,sinllyAxB關(guān)系。與平衡時(shí)求略自重和摩擦已知BAFFl:,:代入到代入到得中,0iirF由速度投影定理由速度投影定理, ,有有,sincosABvv代入上式代入上式得得tanBAFF 0AABBvFvF(3) (3) 虛速度法虛速度法定義定義: trvtrvBBAAdd,為虛速度為虛速度關(guān)系。與平衡時(shí)求略自重和摩擦已知BAFFl:,:例例15-415-4如圖所示機(jī)構(gòu)如圖所示機(jī)構(gòu), ,不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩擦擦, ,求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí), ,主動(dòng)力偶矩主動(dòng)力偶矩與主動(dòng)力與主動(dòng)力之間的關(guān)系之間的關(guān)系. . 15-2 15-2 虛位移原理虛

10、位移原理解解: : 給虛位移給虛位移cr,0cFrFMw由圖中關(guān)系有由圖中關(guān)系有sinearr 2sin,sinhrrhOBraCe代入虛功方程得代入虛功方程得 2sinFhM 關(guān)系。與平衡時(shí)求略自重和摩擦已知FM:,:用虛速度法用虛速度法:2sin,sinhvvhOBvCae代入到代入到 2sin,0FhMFvMC亦得亦得中中用建立坐標(biāo)用建立坐標(biāo),取變分的方法取變分的方法,有有0CxFM解得解得2sinFhM 關(guān)系。與平衡時(shí)求略自重和摩擦已知FM:,:2sinhxCBChxCcot求求:AF例例15-515-5求圖所示無(wú)重組合梁支座求圖所示無(wú)重組合梁支座的約束力的約束力. .解：解除解：解除

11、A處約束，代之處約束，代之 ，給虛位移，如圖：，給虛位移，如圖： AF代入虛功方程代入虛功方程, ,得得MFFFA811411832102211sFMsFsFWAAFAMAAsssss81111,833,81AAM2sss束反力無(wú)重組合梁，求：支座已知A:r rE EOABD4m5mEM3mF0ErFMBArr 4r rB Br rA A 例例156 已知：已知：M，忽略各桿自重，問(wèn)：平衡時(shí)彈簧受力，忽略各桿自重，問(wèn)：平衡時(shí)彈簧受力F解：解： 去掉彈簧支座以反力代替去掉彈簧支座以反力代替并給出虛位移：并給出虛位移：列虛功方程：列虛功方程：534 5)3(BErr其中：

12、MF203代入后可得：AB 桿瞬時(shí)平動(dòng)桿瞬時(shí)平動(dòng)ABD P1P1P2CFE例例15157 7 均質(zhì)桿長(zhǎng)均質(zhì)桿長(zhǎng)AB=BC=AB=BC=L L，桿重皆為，桿重皆為P P1 1，滑塊，滑塊 C C重重P P2 2，滑軌傾角為，滑軌傾角為，求：平衡時(shí)角求：平衡時(shí)角為多大。為多大。yxABD P1P1P2CFE解：建立如圖坐標(biāo)系，解：建立如圖坐標(biāo)系，？平衡時(shí)求已知：:,21PPlBCABsin2lxD各力作用點(diǎn)坐標(biāo)各力作用點(diǎn)坐標(biāo)及其變分為：及其變分為：cos2lxDcos2lyDsin2lyDsin2lxEcos2lxEcos23lyEsin23lyE0Cx0Cxcos2lyCsin2lyC？平衡時(shí)求已知：:,21PPlBCAB列虛功方程：列虛功方程：0)(yFxFyx0sinsincossincos21111CEEDDyPyPxPyPxPcot)(2tan211PPP代入各坐標(biāo)變分后解