理論力學(xué)第九章

1、 第九章第九章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理(Theorem of Momentum Moment)第二篇第二篇 動(dòng)動(dòng) 力力 學(xué)學(xué)Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 返回總目錄制作與設(shè)計(jì)制作與設(shè)計(jì) 山東大學(xué)山東大學(xué) 工程力學(xué)系工程力學(xué)系 返回首頁(yè)Theoretical Mechanics 第九章第九章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理目目 錄錄9.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩9.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.3 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程9.5 質(zhì)點(diǎn)系

2、相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理9.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 Theoretical Mechanics 第九章第九章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 9.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 返回首頁(yè)Theoretical Mechanics9.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩r)( vmmOvmF dAB)(FmO動(dòng)量矩是矢量，稱為動(dòng)量矩矢。動(dòng)量矩是矢量，稱為動(dòng)量矩矢。 方向垂直于矢徑r與動(dòng)量mv所形成的平面，指向按右手法則確定，其大小為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩 質(zhì)點(diǎn)M的動(dòng)量對(duì)于O點(diǎn)的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于O點(diǎn)的動(dòng)量矩，即vrvmmmO)(OABmvdmr

3、mvmO2),sin()(vrvm 面積在國(guó)際單位制中，動(dòng)量矩的單位是kgm2s-1。 Theoretical Mechanics以矩心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系O xyz，由矢量積定義zyxOmvmvmvzyxmmkjivrvm)(kjivm)()()()(xyzxyzOymvxmvxmvzmvzmvymvmkjivmmvmmvmmvmmzyxO 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的任一固定軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)該固定軸的動(dòng)量矩xyzzxyyzxymvxmvmmxmvzmvmmzmvymvmmvvv動(dòng)量矩的量綱是 TLFTLMmO12)( vm 返回首頁(yè)9.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

4、質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩Theoretical MechanicsniniiiiiiOOmm11)(vrvML質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩 質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢之和稱之為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩，即vLvLvLmmLmmLmmLzzzOyyyOxxxO投影形式 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩。 對(duì)于平面問(wèn)題，動(dòng)量矩矢總是垂直于該平面，則可視為代數(shù)量，并規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎槙r(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。 返回首頁(yè)9.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè) 第九章第九章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理

5、9.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的 動(dòng)量矩動(dòng)量矩轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩22iiiiiiizrmrmvmrL2zi iiJmr繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積zzLJ9.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 如機(jī)器上的飛輪，邊緣比較厚實(shí)。目的就是增加其轉(zhuǎn)動(dòng)慣如機(jī)器上的飛輪，邊緣比較

6、厚實(shí)。目的就是增加其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以使機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)。而儀表中的指針做的比較細(xì)，目量，以使機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)。而儀表中的指針做的比較細(xì)，目的是減少其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以使其轉(zhuǎn)動(dòng)靈敏，提高儀表的精度。的是減少其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以使其轉(zhuǎn)動(dòng)靈敏，提高儀表的精度。9.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zzJm2zzJmCBAlxdxxz9.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CBAlxdxxz222/2112lzlmJx dxmll回轉(zhuǎn)半徑為：回轉(zhuǎn)半徑為：0.2892 3zzJllmROz222zi iiJmrm RmR回轉(zhuǎn)半徑為：回轉(zhuǎn)半徑為：z

7、zJRm9.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RO2220122RzmJdmRR 回轉(zhuǎn)半徑為：回轉(zhuǎn)半徑為：20.70712zzJRRm部分均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及回轉(zhuǎn)半徑見附錄部分均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及回轉(zhuǎn)半徑見附錄9.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、平行軸定理三、平行軸定理222()zCi iiiiJmrm xy22222222()() ()2ziiiiiiiiiiiJmrm xym xydm xydm ydm0iiCim yym2zzCJJmd9.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣

8、量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CBAzCzl221( )23zCzlJJmml例例9.122121122zJm Rm r21mR h 22mr h 44222211()()22()zJhRrRh Rrr空心圓柱體的質(zhì)量m221()2m Rr例例9.2均質(zhì)空心圓柱體均質(zhì)空心圓柱體2112CzJml9.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例例9.3細(xì)桿細(xì)桿OA對(duì)對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量222221()()2OCJmRrmRl空心圓盤空心圓盤C對(duì)對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量21113OJml整個(gè)鐘擺對(duì)整個(gè)鐘擺對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量222211211()()32OOOCJJ

9、JmlmRrRl Theoretical Mechanics 9.3 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 返回首頁(yè) 第九章第九章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理xxyyzzdBOATheoretical Mechanics9.3 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理)(FmO)( vmmOF rvmvrvrvrvmmtmtmtmtOdddddddd0ddvvvrmmt FFrvmOOmmtddFv mt ddvrvmmmO)( 質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)的力矩。同一點(diǎn)的力矩。 返回首頁(yè)Theoretical M

10、echanicsn個(gè)方程的矢量和質(zhì)系動(dòng)量矩定理質(zhì)系動(dòng)量矩定理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力有內(nèi)力 和外力 ， 按質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，有 iiF eiF eiOiiOiiOmtFmFmvmdd i =1，2，n nininieiOiiOiiOmt111ddFmFmvm niiiO10Fm ninieiOiiOmt11ddFmvm nieiieOOt1ddFrML 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理: 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)同一點(diǎn)的主矩。 返回首頁(yè)9.3 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Theoretical Mechanics 質(zhì)系對(duì)于 x ，y，z 軸的動(dòng)量矩等

11、于質(zhì)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)于 x ，y，z 軸動(dòng)量矩的代數(shù)和。動(dòng)量矩定理的投影形式動(dòng)量矩定理的投影形式 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和。 eizezzeiyeyyeixexxmMLtmMLtmMLtFFFddddddvLvLvLmmLmmLmmLzzzOyyyOxxxO 返回首頁(yè)9.3 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Theoretical Mechanics 內(nèi)力不能改變質(zhì)系的動(dòng)量矩，只有作用于質(zhì)系的外力才能內(nèi)力不能改變質(zhì)系的動(dòng)量矩，只有作用于質(zhì)系的外力才能使質(zhì)系的動(dòng)量矩發(fā)生變化使質(zhì)系的動(dòng)量矩發(fā)生變化。在特殊情況下外力系對(duì)O點(diǎn)的主矩為零，則質(zhì)系對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩

12、為一常矢量，即OeOLM, 0)(常矢量 外力系對(duì)某軸力矩的代數(shù)和為零，則質(zhì)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩為一常數(shù)。0)()(exMF= 常量xL動(dòng)量矩守恒動(dòng)量矩守恒9.3 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Theoretical Mechanics例例 題題例例 水平桿AB長(zhǎng)為2a，可繞鉛垂軸z 轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用鉸鏈與長(zhǎng)為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)重為W的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD 均為鉛垂，系統(tǒng)繞 z 軸的角速度為 。如某瞬時(shí)此細(xì)線拉斷后，桿AC與BD各與鉛垂線成 角 ，如圖所示。不計(jì)各桿重量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度。0 解：解：系統(tǒng)所受外力有小球的重力及軸承的約束力，這些力對(duì)z軸之矩都等于零

13、。系統(tǒng)對(duì)z 軸的動(dòng)量矩守恒。9.3 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Theoretical Mechanics開始時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量矩為210022zWWLaaagg細(xì)線拉斷后的動(dòng)量矩為 022)sin(laa222(sin)zWLalg21zzLL 22022(sin)WWaalgg 返回首頁(yè)例例 題題9.3 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 Theoretical Mechanics 9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 返回首頁(yè) 第九章第九章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Theoretical Mechanics9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程22iiiiiiizrmrmvmrL2

14、zi iJm r 剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。zzLJ應(yīng)用質(zhì)系對(duì)z軸的動(dòng)量矩方程，得 ddezziJmFt zzJM 設(shè)剛體在外力作用下繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度，角加速度 。令 z 軸與轉(zhuǎn)軸重合，剛體對(duì) z 軸的動(dòng)量矩為 Theoretical Mechanics()zzJM F此式稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程由于約束力對(duì)由于約束力對(duì)z 軸的力矩為零，所以方程中只需考慮主動(dòng)力的矩軸的力矩為零，所以方程中只需考慮主動(dòng)力的矩22ddzzJMt ddezziJmFt （1）外力矩Mz越大，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度也越大。當(dāng)Mz=0時(shí)，角加速度 = 0，剛體作

15、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或保持靜止。 （2）在同樣的外力矩作用下，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Jz 越大，角加速度 越小。Jz反映了剛體保持其勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)能力的大小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性度量。 9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程Theoretical Mechanics例例 題題例 已知?jiǎng)傮w的質(zhì)量為m，質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸O的距離OC=a，剛體繞水平軸O作微幅擺動(dòng)的周期為T，求剛體相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：建立剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程式，以擺的平衡位置作為角的起點(diǎn)，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，?2dsindOJmgat 作微幅擺動(dòng)時(shí)， ，簡(jiǎn)化為 sin微分方程的通解為0sinOmgatJ2OTJmga2214OJmg

16、aT22d0dOmagtJ9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程其中 及 由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定，而振動(dòng)的周期為0Theoretical Mechanics 例 卷?yè)P(yáng)機(jī)的傳動(dòng)輪系如圖所示，設(shè)軸I 和 各自轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，軸I的齒輪C上受主動(dòng)力矩 M 的作用，卷筒提升的重力為mg。齒輪 A、B 的節(jié)圓半徑為r1、r2，兩輪角加速度之比r2/r1 =i12。卷筒半徑為 R ，不計(jì)軸承摩擦及繩的質(zhì)量。求重物的加速度 。例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程Theoretical Mechanics解：本題二根固定軸必須拆開，分別以

17、兩軸及與其固連的齒輪為研究對(duì)象。軸 I 除受主動(dòng)力矩M 和重力、軸承約束力外，還受有齒輪力 Ft 及Fn，現(xiàn)假設(shè)1與M 的方向相同，如圖所示。為使方程正負(fù)號(hào)簡(jiǎn)單，一般約定以軸I 的轉(zhuǎn)向?yàn)檎谑禽S I 的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 11 1JMF r 再以軸和重物W 為研究對(duì)象，畫出其受力圖。按運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系畫出 2 ( 1 反向)，以2轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，?yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理22 2ddJmvRF rmgRt例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程Theoretical Mechanics11 1JMF r222 2JmRF rmgR式中有三個(gè)未知量1、2和Ft，還需建立補(bǔ)充方程。由運(yùn)動(dòng)學(xué)12

18、1221rir重物上升的加速度122221 122MimgR RaRJ iJmR122221 122MimgRJ iJmR聯(lián)立解得例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程Theoretical Mechanics 例 均質(zhì)梁AB長(zhǎng)l，重W，由鉸鏈A和繩所支持。若突然剪斷聯(lián)結(jié)B點(diǎn)的軟繩，求繩斷前后鉸鏈A的約束力的改變量。 解：以梁為研究對(duì)象，繩未斷以前是靜力學(xué)問(wèn)題。由靜平衡方程可求出繩未斷時(shí)，鉸鏈A的約束力21WFAy 繩斷之后，梁AB將繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。繩斷瞬時(shí)， = 0。2132WllWg應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)方程32gl例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方

19、程Theoretical Mechanics再應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求約束力。圖示瞬時(shí)，質(zhì)心C的加速度0nCaxcxFMa于是，繩斷前后，鉸鏈A約束力的改變量為44221WWWFFFAyAyAy例例 題題02AxFycyFMaAyFWggW243WWWFAy41432324Clga9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程Theoretical Mechanics 例 阿特伍德機(jī)的滑輪質(zhì)量為M，且均勻分布，半徑為 r。兩重物系于繩的兩端，質(zhì)量分別為 m1和 m2。試求重物的加速度。 解：以整體為研究對(duì)象，畫受力圖。設(shè)滑輪有逆時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，則滑輪對(duì)軸O的動(dòng)量矩、兩重物對(duì)軸O的

20、動(dòng)量矩分別為 2112OOLJMr2112rmvrmLO2223rmvrmLO系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩為上述三項(xiàng)動(dòng)量矩之和，即22132121rMmmLLLLOOOO例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程Theoretical Mechanics應(yīng)用動(dòng)量矩定理grmgrmrMmmt2122121dd2121212mmM rmmgr1212121221222mmgmmgmmMrmmMr重物的加速度1212222mmargmmM例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程Theoretical Mechanics例 圖中質(zhì)量m1 = 5 kg，半徑r=3

21、0cm的均質(zhì)圓盤，可繞鉛垂軸z 轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤中心用鉸鏈 D 連接質(zhì)量m2 = 4 kg 的均質(zhì)細(xì)桿AB，AB桿長(zhǎng)為2r，可繞D 轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)AB桿在鉛垂位置時(shí)，圓盤的角速度為= 90 r/min ，試求桿轉(zhuǎn)到水平位置碰到銷釘C而相對(duì)靜止時(shí)，圓盤的角速度。 解：以圓盤、桿及軸為研究對(duì)象，畫出其受力圖。由受力分析看出，在AB桿由鉛垂位置轉(zhuǎn)至水平位置的整個(gè)過(guò)程中，作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)z軸之矩為零，即 。因此，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒。 0Fzm例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程Theoretical Mechanics20114zzLJm r桿在鉛垂位置時(shí)，只有圓盤對(duì)

22、z軸的動(dòng)量矩桿在水平位置時(shí)，設(shè)系統(tǒng)的角速度為1，系統(tǒng)包含圓盤及桿對(duì)z軸的動(dòng)量矩。12212112212113141212141rmrmrmrmLz系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒10zzLL12212121314141rmrmrm將有關(guān)數(shù)值代入 rad/s56. 411211413141mmm例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程參閱附錄C,3欄令l =0 Theoretical Mechanics 9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心 的動(dòng)量矩定理的動(dòng)量矩定理 第九章第九章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Theoretical Mechanics9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系

23、相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)系對(duì)于固定點(diǎn)質(zhì)系對(duì)于固定點(diǎn)O 的動(dòng)量矩與相的動(dòng)量矩與相對(duì)于質(zhì)心對(duì)于質(zhì)心C 的動(dòng)量矩之間的關(guān)系的動(dòng)量矩之間的關(guān)系 質(zhì)系對(duì)于固定點(diǎn)O的矩為iiiOm vrLiCirrr iiiiiCiiiCOmmmvrvrvrrLCiiMmvviiiCm vrLCCOmLvrLC建立以質(zhì)心C為原點(diǎn)的平移坐標(biāo)系Cxyz，Theoretical Mechanics eiieiCCCCCCttMMtFrFrLvrvrdddddd eiiCCCCMtFrrLvr)()(dd代入質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定代入質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理得點(diǎn)的動(dòng)量矩定理得 CCOmLvrLC eieCtMFFv)(Rdd0ddCCC

24、CMMtvvvr d()deCCiCLt mFM CeiCeiiMFmFr)(相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于隨質(zhì)心平移坐標(biāo)系的相對(duì)動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和。9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理Theoretical MechanicsiiiCiiiCiiCmmmvrvrvvrL)(質(zhì)系在相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)中質(zhì)系在相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)中對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩與在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩與在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩之間的關(guān)系中對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩之間的關(guān)系iCivvviiiCm vrL0CCCiimmvrvrrCCLLiiiCm vrLr建立以質(zhì)心

25、C為原點(diǎn)的平移坐標(biāo)系Cxyz，9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理Theoretical Mechanics質(zhì)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：在相在相對(duì)隨質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)對(duì)隨質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)于時(shí)間的一階系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于外力系對(duì)質(zhì)心的主矩。導(dǎo)數(shù)，等于外力系對(duì)質(zhì)心的主矩。)(ddeCCtML9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理Theoretical Mechanics如將質(zhì)系的運(yùn)動(dòng)分解為跟隨質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)如將質(zhì)系的運(yùn)動(dòng)分解為跟隨質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，則可分

26、別用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心動(dòng)心的運(yùn)動(dòng)，則可分別用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理來(lái)建立這兩種運(yùn)動(dòng)與外力系的關(guān)系。量矩定理來(lái)建立這兩種運(yùn)動(dòng)與外力系的關(guān)系。質(zhì)系相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)只與外力系對(duì)質(zhì)心的主矩有質(zhì)系相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)只與外力系對(duì)質(zhì)心的主矩有關(guān)，而與內(nèi)力無(wú)關(guān)。關(guān)，而與內(nèi)力無(wú)關(guān)。當(dāng)外力系相對(duì)質(zhì)心的主矩為零時(shí)，質(zhì)系相對(duì)質(zhì)心當(dāng)外力系相對(duì)質(zhì)心的主矩為零時(shí)，質(zhì)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒。的動(dòng)量矩守恒。討 論9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 Theoretical Mechanics 9.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 第九章第九章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Theore

27、tical Mechanics9.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程CCyCxCMtIFtymFtxm222222dddddd)(ddeCCtML剛體在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩22ddCCJMt應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理得剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程Theoretical Mechanics例例 題題例 圖中均質(zhì)輪的圓筒上纏一繩索，并作用一水平方向的力 200 N，輪和圓筒的總質(zhì)量為50 kg，對(duì)其質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為 70 mm。已知輪與水平面間的靜、動(dòng)摩擦系數(shù)分別為f = 0.20和f = 0.15，求輪心O的加速度和輪的角加速度。 N fFF解：假設(shè)輪子作純滾動(dòng)，有9.6 剛

28、體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程Theoretical Mechanics例例 題題NfFF aR0.1a建立圓輪的平面運(yùn)動(dòng)方程，得xCxFMaF 為靜滑動(dòng)摩擦力由于滾動(dòng)而不滑動(dòng)，有Fa 20050yCyFMaCCJM80. 950050NF2500.070.12000.06F9.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程輪心的加速度為 a ，角加速度為 。Theoretical Mechanics補(bǔ)充方程式為, 0.1CxaaRa解出N490NF210.74rad sN3 .146F輪子不可能只滾不滑。 maxN 0.2490N98NFf F超過(guò)了水平面能為園超過(guò)了水平面能為

29、園輪提供的最大摩擦力輪提供的最大摩擦力 例例 題題9.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程Theoretical MechanicsNFfFFaFMaxCx20050,80. 950050,NFFMayCy2500.070.12000.06CCJMF例例 題題F考慮輪子又滾又滑的情形：考慮輪子又滾又滑的情形：動(dòng)滑動(dòng)摩擦力為列平面運(yùn)動(dòng)方程為9.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)心加速度a和角加速度 是兩個(gè)未知量Theoretical Mechanics力的補(bǔ)充方程為NFfF聯(lián)立解得NN22490N,0.15490N73.6N2.53m s,18.95rad sFFf Fa 例例 題題F9.6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微