曲線的凹凸與拐點

1、開課人：彭良 開課時間：2009年4月 前面我們介紹了函數(shù)的單調性和極值，這對于了解函數(shù)的性態(tài)很有前面我們介紹了函數(shù)的單調性和極值，這對于了解函數(shù)的性態(tài)很有幫助，但僅知道單調性還不能比較全面地反映出曲線的性狀，還須要考幫助，但僅知道單調性還不能比較全面地反映出曲線的性狀，還須要考慮彎曲方向。慮彎曲方向。oyxL3L2L1AB 如右圖所示如右圖所示L1 ，L2 ，L3 雖然都是雖然都是從從A點單調上升到點單調上升到B點，但它們的彎曲點，但它們的彎曲方向卻不一樣。方向卻不一樣。 L1 是是“凸凸”弧，弧，L2是是“凹凹”弧弧 ，L3既有既有凸弧凸弧，也有凹弧，這和我們日常習慣對凹凸，也有凹弧，這和

2、我們日常習慣對凹凸的稱呼是一致的。的稱呼是一致的。一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.如如 果果 f f ( ( x x ) ) 在在 a a , ,b b 上上 連連 續(xù)續(xù) , ,在在 ( ( a a ,

3、,b b ) )內內 具具 有有二二 階階 導導 數(shù)數(shù), ,若若 在在 ( ( a a , ,b b ) )內內( ( 1 1 ) ) f f ( ( x x ) ) 0 0 , ,則則 f f ( ( x x ) ) 在在 a a , ,b b 上上 的的 圖圖 形形 是是 凹凹 的的 ; ;( ( 2 2 ) ) f f ( ( x x ) ) 0 0 時時，,0 y.點點( (0 0, ,0 0) )是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點點為為凹凹的的；在在曲曲線線),0 注意到注意到,三、曲線的拐點及其求法三、曲線的拐點及其求法1.1.定義定義注意注意: :拐點處的切線必在拐點處穿

4、過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線. .連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點.確定曲線的拐點的步驟： (1)確定函數(shù)yf(x)的定義域； (2)求出在函數(shù)二階導數(shù)f (x)； (3)求使二階導數(shù)為零的實根 (4)列表判斷，對于解出的每一個實根x0，考察f (x) 在x0左右近旁的符號：如果f (x)的符號相反，那么點（x0,f(x0)）就是拐點；如果f (x)的符號相同，那么點（x0,f(x0)）就不是拐點。例例2 24 43 3求求 曲曲 線線 y y = = 3 3 x x- - 4 4 x x+ + 1 1 的的 拐拐 點點 及及凹凹 、 凸凸 的的 區(qū)區(qū) 間間 . .解解),(:D,

5、121223xxy ).32(36 xxy令令 y y = = 0 0, ,.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32( )32,0(032)( xf )( xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,32,32,0,0,( 凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間為為v例3：判斷曲線 是否有拐點？v 解（1）已知函數(shù)的定義域為R.v （2） v （3）令y=0，解得x=0.5v （4）當x0和x0，因此點v （0.5，1）不是曲線v 的拐點。v 整個曲線在R上都是凹的，所以他沒有拐點。23) 12(48.) 12(8xyxy1) 12(4xy1) 12(4xy練習的凹凸區(qū)間和拐點。233xxyv求曲線思考題思考題設設)( xf在在),(ba內內 二二 階階可可 導導， 且且0)(0 xf，其其 中中),(0bax ， 則則,(0 x)(0 xf是是 否否 一一定定 為為曲曲 線線)( xf的的 拐拐 點點？ 舉舉例例 說說明明 .思考題解答思考題解答故故,(0 x)(0 xf不不 一一 定定 是是 拐拐 點點 .例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0,0(并并 不不是是 曲曲線線)( xf的的 拐拐 點點 .四、小結四、小結1、曲線的彎曲方向、曲線的彎曲方向凹凸性