數(shù)學(xué)建模5香煙過濾嘴的作用

1、香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用 問題問題 煙草公司普遍地在香煙尾部裝上一截過濾嘴，煙草公司普遍地在香煙尾部裝上一截過濾嘴，但是過濾嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的但是過濾嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的關(guān)系？在這一段中，我們建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來具體討關(guān)系？在這一段中，我們建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來具體討論這個問題。論這個問題。 分析分析 吸煙時毒物吸入人體的過程大致為：由于毒物基本上吸煙時毒物吸入人體的過程大致為：由于毒物基本上均勻地分布在煙草中，吸煙時點(diǎn)燃的煙草大部分化為煙均勻地分布在煙草中，吸煙時點(diǎn)燃的煙草大部分化為煙霧，毒物由煙霧攜帶一部分直接進(jìn)入空氣，另一部分沿霧，毒物由煙

2、霧攜帶一部分直接進(jìn)入空氣，另一部分沿香煙穿行，在穿行過程中又部分地被未點(diǎn)燃的煙草和過香煙穿行，在穿行過程中又部分地被未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴吸收而沉淀下來，剩下的進(jìn)入人體。被煙草吸收而濾嘴吸收而沉淀下來，剩下的進(jìn)入人體。被煙草吸收而沉淀下來的那一部分毒物，當(dāng)香煙燃燒到那里的時候又沉淀下來的那一部分毒物，當(dāng)香煙燃燒到那里的時候又通過煙霧部分進(jìn)入空氣，部分沿香煙穿行，這個過程一通過煙霧部分進(jìn)入空氣，部分沿香煙穿行，這個過程一直到香煙燃燒到過濾嘴處為止。直到香煙燃燒到過濾嘴處為止。 在整個過程中，原來分布在煙草中的毒物除了進(jìn)入空在整個過程中，原來分布在煙草中的毒物除了進(jìn)入空氣和被過濾嘴吸收的一部分外，剩

3、下的全部被人體吸入氣和被過濾嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人體吸入. 模型假設(shè)模型假設(shè) 1. 煙草和過濾嘴的長度分別是煙草和過濾嘴的長度分別是 ，毒素，毒素 （毫克）（毫克）均勻地分布在煙草中，密度為均勻地分布在煙草中，密度為1, l lM01/ .wM l 2. 點(diǎn)燃處的毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿?zé)煵荽┬械臄?shù)量點(diǎn)燃處的毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿?zé)煵荽┬械臄?shù)量比例是比例是:,1. 3. 未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對煙霧穿行的毒物的吸收率未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對煙霧穿行的毒物的吸收率分別是常數(shù)分別是常數(shù), .b 4. 煙草沿香煙穿行的速度是常數(shù)煙草沿香煙穿行的速度是常數(shù) 香煙的燃燒速度香煙的燃燒速度是常數(shù)是常數(shù)

4、 且且 , v. u.vu 將一支煙吸完后毒物進(jìn)入人體的總量記為將一支煙吸完后毒物進(jìn)入人體的總量記為 常識告常識告訴我們，量訴我們，量 與過濾嘴的吸收率、煙草中毒物的初始含與過濾嘴的吸收率、煙草中毒物的初始含量有關(guān)，因此降低量有關(guān)，因此降低 的含量及降低煙霧在香煙總的穿的含量及降低煙霧在香煙總的穿行速度都是降低吸入量的有效方法。行速度都是降低吸入量的有效方法。,QQQ 模型建立模型建立xxx x1ll q xq xx 設(shè)在時刻設(shè)在時刻 及及 處點(diǎn)燃香煙，為此建立相應(yīng)處點(diǎn)燃香煙，為此建立相應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)：吸入毒物量的坐標(biāo)系統(tǒng)：吸入毒物量 由毒物穿過香煙的流量確由毒物穿過香煙的流量確定，后者又與毒物

5、在煙草中的密度有關(guān)，為此定義函定，后者又與毒物在煙草中的密度有關(guān)，為此定義函數(shù)：數(shù)：0t 0 x Q 毒物流量毒物流量 表示在時表示在時刻刻 時單位時間通過香煙截面時單位時間通過香煙截面 處的毒物量；處的毒物量； ,q x ttx0 xl 毒物密度毒物密度 表示時刻表示時刻 截面截面 處單位長度煙草處單位長度煙草中的毒物含量。中的毒物含量。,w x ttx 如果知道了流量函數(shù)如果知道了流量函數(shù) ，吸入的毒物流量，吸入的毒物流量 就就是是 處的流量在吸一支煙時間內(nèi)的總和。即處的流量在吸一支煙時間內(nèi)的總和。即,q x tQxl下面分下面分4個過程來計(jì)算個過程來計(jì)算 值。值。Q10, / .TQq

6、x t dtTlu 1.在在 瞬間由煙霧攜帶的毒物在單位時間內(nèi)通過瞬間由煙霧攜帶的毒物在單位時間內(nèi)通過處的數(shù)量處的數(shù)量 由假設(shè)由假設(shè)4 知在香煙點(diǎn)燃處知在香煙點(diǎn)燃處 靜止不動。靜止不動。0t x,0 ,q x,vu0 x 記記 考察考察 所對應(yīng)的一段所對應(yīng)的一段香煙，毒物通過香煙，毒物通過 和和 處的流量分別是處的流量分別是 和和 則根據(jù)守恒定律，這兩個流量之差等于這則根據(jù)守恒定律，這兩個流量之差等于這一段未點(diǎn)燃的煙草或過濾嘴的毒物的吸收量，由假設(shè)一段未點(diǎn)燃的煙草或過濾嘴的毒物的吸收量，由假設(shè)2及及4，有，有 ,0,q xq x, x xx xxx q x,q xx 11 0, bq xxlq

7、 xq xxq xlxl 其中其中 是煙霧穿過長度為是煙霧穿過長度為 的這一段香煙所需的這一段香煙所需要的時間，令要的時間，令 則有微分方程：則有微分方程：xvx0, 101 0lim .xbq xxlq xxq xdqvbdxxq xlxlv 在在 處點(diǎn)燃的煙草單位時間內(nèi)放出的毒物量記作處點(diǎn)燃的煙草單位時間內(nèi)放出的毒物量記作0 x 根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè)1、3、4，則可得微分方程，則可得微分方程2的初始條件為的初始條件為求解微分方程求解微分方程。首先由方程及初始條件。首先由方程及初始條件 00,dqbq xdxvqaH 方程的通解為方程的通解為 再由初始條件得再由初始條件得從而得到方程的解為從而得

8、到方程的解為 ,bxvq xCe0.CaH 0000,.qaHHuw 0, 0.bxvqq xaH exl對于方程及初始條件對于方程及初始條件 110,blvdqq xdxvq laH e 同樣可得方程的解為同樣可得方程的解為 1101, .x lblvvq xaH eelxl即方程的解可以表達(dá)為即方程的解可以表達(dá)為 110101 0, .bxvx lblvvaH exlq xaH eelxl 2. 在香煙燃燒的任何時刻在香煙燃燒的任何時刻 求毒物在單位時間內(nèi)通求毒物在單位時間內(nèi)通過過 的數(shù)量的數(shù)量, txl,.q l tt 因?yàn)樵跁r刻因?yàn)樵跁r刻 時，香煙燃至?xí)r，香煙燃至 處，記此時點(diǎn)燃的處，

9、記此時點(diǎn)燃的煙草在單位時間放出的毒物量為煙草在單位時間放出的毒物量為 則則xut ,H t仿仿1可得可得 ,.H tuw ut t 1111 0, .b x utvb lutx lvvaH t exlq x taH t eelxl 3.確定確定,w x t 由于在吸煙過程中，未點(diǎn)燃的煙草不斷得吸收煙霧中由于在吸煙過程中，未點(diǎn)燃的煙草不斷得吸收煙霧中的毒物，所以毒物在煙草中的密度的毒物，所以毒物在煙草中的密度 由初始值由初始值逐漸增加。考察煙草截面逐漸增加?？疾鞜煵萁孛?處在處在 時間內(nèi)毒物密度的增時間內(nèi)毒物密度的增量量 根據(jù)守恒定律它等于在單根據(jù)守恒定律它等于在單位長度煙霧中的毒物被吸收的部分

10、，由假設(shè)位長度煙霧中的毒物被吸收的部分，由假設(shè)4，則有，則有,w x t0wtx,w x xtw x t ,q x tw x ttw x tbtv 令令 并將并將、代入得方程代入得方程0,t 0,0.b x utvwabuw ut t etvw xw此方程為偏微分方程，該方程的解為此方程為偏微分方程，該方程的解為00,1.,1bxbutabutvvvabutvaw x tweeeaww ut taea其中其中 （由假設(shè)（由假設(shè)2）1.aa 4. 計(jì)算計(jì)算Q 將將代入代入中，得中，得120,.blblbutabutvvvvauwq l teeeea最后將最后將代入代入式作定積分得：式作定積分得：

11、21100,1.blabllvvauwQq l t dteea b 為便于對結(jié)果的分析，將上式寫成為便于對結(jié)果的分析，將上式寫成1211,allvveQaMea blv記記 則則式可寫成式可寫成 11,ra blerrvr 2.lvQaMer式即是我們需要的最終，該式表達(dá)了吸入量式即是我們需要的最終，該式表達(dá)了吸入量 與與 等因素之間的關(guān)系。等因素之間的關(guān)系。Q,a M21, , , ,l v b l 結(jié)果分析結(jié)果分析 1. 與煙草含毒物量與煙草含毒物量 、毒物隨煙霧沿香煙穿行比例、毒物隨煙霧沿香煙穿行比例 成正比。可以設(shè)想為將毒物成正比。可以設(shè)想為將毒物 集中在集中在 處，則吸處，則吸入量為入量為QMaMxl.aM 2.因子因子 體現(xiàn)了過濾嘴對減少毒物進(jìn)入人體的作體現(xiàn)了過濾嘴對減少毒物進(jìn)入人體的作用，提高過濾嘴的長度用，提高過濾嘴的長度 及吸收率及吸收率 降低穿行速度降低穿行速度也可降低吸入量。也可降低吸入量。2lve2,l.v r 3. 因子因子 表示的是未點(diǎn)燃的煙草對毒物的吸收而起表示的是未點(diǎn)燃的煙草對毒物的吸收而起到的減少到的減少 的作用。的作用。Q211.2lva blQaMev 根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)有根