大學(xué)物理競(jìng)賽輔導(dǎo)

1、大學(xué)物理競(jìng)賽輔導(dǎo)（熱學(xué)部分）29、一氣缸的初始體積為、一氣缸的初始體積為30.5l，內(nèi)盛空氣和少量水，內(nèi)盛空氣和少量水（水的體積可略），總壓強(qiáng)為（水的體積可略），總壓強(qiáng)為3atm.作等溫膨脹時(shí)體作等溫膨脹時(shí)體積加倍，水恰好全部消失，此時(shí)壓強(qiáng)為積加倍，水恰好全部消失，此時(shí)壓強(qiáng)為2atm。繼續(xù)。繼續(xù)等溫膨脹，使體積再次加倍?？諝夂退煽醋骼淼葴嘏蛎洠贵w積再次加倍?？諝夂退煽醋骼硐霘怏w。試求（想氣體。試求（1）氣體的溫度；（）氣體的溫度；（2）最后的壓強(qiáng)；）最后的壓強(qiáng)；（3）水和空氣的摩爾數(shù)。）水和空氣的摩爾數(shù)。T0=100k, p3=1atm, n1=n2=2mol解解:初態(tài)初態(tài)中間態(tài)

2、中間態(tài)末態(tài)末態(tài)atmpppTlV3,5 .301101飽和空氣總atmpppTVV2,222012飽和空氣總3013,4pTVV (1)初態(tài)到中間態(tài)初態(tài)到中間態(tài):對(duì)空氣應(yīng)用等溫過程方程對(duì)空氣應(yīng)用等溫過程方程飽和總飽和總pppVpVpppp22221111)373(10KTatmp飽和(2)從中間態(tài)到末態(tài)從中間態(tài)到末態(tài)對(duì)混合氣體應(yīng)用等溫過程方程對(duì)混合氣體應(yīng)用等溫過程方程3322VpVp總atmp13（3）將狀態(tài)方程用于初態(tài)的空氣：）將狀態(tài)方程用于初態(tài)的空氣：飽和總空氣空氣pppRTnVp110111moln2102133RTnnVpmoln22水的摩爾數(shù)：水的摩爾數(shù)：30、有、有n摩爾的理想氣體

3、，經(jīng)歷如圖所示的準(zhǔn)靜態(tài)過程，摩爾的理想氣體，經(jīng)歷如圖所示的準(zhǔn)靜態(tài)過程，圖中是圖中是P0,V0是已知量，是已知量，ab是直線，求：是直線，求：（1）氣體在該過程中對(duì)外界所作的功和所吸收的熱量。）氣體在該過程中對(duì)外界所作的功和所吸收的熱量。（2）在該過程中溫度最高值是什么？最低值是什么？）在該過程中溫度最高值是什么？最低值是什么？并在并在P-V圖上指出其位置。圖上指出其位置。 PVa(3P0,V0)b(P0,3V0)W=Q=4 P0V0(2P0,2V0)溫度最高溫度最高a或或b溫度最低溫度最低nRVP004nRVP003PVa(3P0,V0)b(P0,3V0)解：解：n摩爾，摩爾，P0,V0（1）

4、由圖知）由圖知babbaaTTVpVp由圖線下面積知由圖線下面積知004VpSW由熱一律，氣體在該過程中吸收的熱量：由熱一律，氣體在該過程中吸收的熱量：004VpWUQPVa(3P0,V0)b(P0,3V0)（2）由圖知，）由圖知，ab過程過程方程：方程：0004pVVppnRVpVnRVpTnRTpV020040dVdT0022ppVV過程方程020022nRVpdVTd為溫度極大值點(diǎn)002 ,2VpPVa(3P0,V0)b(P0,3V0)a或或b溫度最低溫度最低nRVPnRpVT00min331、2摩爾單原子理想氣體從初態(tài)經(jīng)歷一熱容量摩爾單原子理想氣體從初態(tài)經(jīng)歷一熱容量c2R（10.01T

5、）的準(zhǔn)靜態(tài)過程，到達(dá)溫度為初態(tài)溫度的）的準(zhǔn)靜態(tài)過程，到達(dá)溫度為初態(tài)溫度的2倍、體倍、體積為初態(tài)體積的積為初態(tài)體積的 倍的終態(tài)。試求內(nèi)能增量倍的終態(tài)。試求內(nèi)能增量 E及系統(tǒng)對(duì)及系統(tǒng)對(duì)外所作的功外所作的功A2JWJEkT62117283 .690解：熱容量解：熱容量dTTRdQTRdTdQC01. 01201. 012（1）由熱一律由熱一律VnRTpRCpdVdTnCdWdEdQVV23（2）VdVTdTdT201. 0（1）從初態(tài)到末態(tài)積分）從初態(tài)到末態(tài)積分000000222201. 0VVTTTTVdVTdTdTKT2 .690（2）從初態(tài)到末態(tài)內(nèi)能增量）從初態(tài)到末態(tài)內(nèi)能增量JTTnCEV17

6、28200（3）從初態(tài)到末態(tài)吸收的熱量）從初態(tài)到末態(tài)吸收的熱量2002203. 0201. 0120000RTRTdTTRCdTQTTTT系統(tǒng)對(duì)外做功：系統(tǒng)對(duì)外做功：JEQW62133、某、某單原子單原子理想氣體經(jīng)歷的一準(zhǔn)靜態(tài)過程中，壓強(qiáng)理想氣體經(jīng)歷的一準(zhǔn)靜態(tài)過程中，壓強(qiáng)p和溫度和溫度T成反比例關(guān)系。（成反比例關(guān)系。（1）試求此過程中該氣體）試求此過程中該氣體的摩爾熱容量的摩爾熱容量C；（；（2）設(shè)此過程中某一狀態(tài)的壓強(qiáng)為）設(shè)此過程中某一狀態(tài)的壓強(qiáng)為p0，體積為，體積為V0，試求在體積從，試求在體積從V0增到增到2V0的一般過程的一般過程中氣體對(duì)外做功量中氣體對(duì)外做功量W 。00122;27V

7、PWRC解解（1）依題意，過程方程可表述為：）依題意，過程方程可表述為：Tp（2）狀態(tài)方程）狀態(tài)方程nRTpV （3）由熱一律）由熱一律pdVdTnCdWdEdQV2)2)(1 (RTnVRTdTndV2nRdTRdTnpRTdTndQ27232RCV27(4)系統(tǒng)對(duì)外做的功系統(tǒng)對(duì)外做的功nRdTpdVdW22RTnV由過程方程由過程方程02020022TTTVTV0002122122200VpnRTnRdTdWWTT5-3-11（p140）水平放置的水平放置的絕熱氣缸絕熱氣缸內(nèi)有一內(nèi)有一不導(dǎo)熱不導(dǎo)熱的隔板，把氣缸分的隔板，把氣缸分成成A，B兩室，隔板可在氣缸內(nèi)無摩擦的平移，如圖兩室，隔板可在

8、氣缸內(nèi)無摩擦的平移，如圖所示，每室中容有質(zhì)量相同的同種單原子理想氣體，所示，每室中容有質(zhì)量相同的同種單原子理想氣體，它們的壓強(qiáng)都是它們的壓強(qiáng)都是P0,體積都是體積都是V0,溫度都是溫度都是T0。今通過。今通過A室中的電熱絲室中的電熱絲T對(duì)氣體加熱，傳給氣體的熱量為對(duì)氣體加熱，傳給氣體的熱量為Q，達(dá)到平衡時(shí)達(dá)到平衡時(shí)A室的體積恰為室的體積恰為B室的兩倍，試求室的兩倍，試求A、B兩兩室種氣體的溫度。室種氣體的溫度。ABT隔板隔板0000000000394392VPQVPTTVPQVPTTBAABT隔板隔板;23;21RCnnV解：解：初態(tài)：初態(tài)：QTVp,000末態(tài)：末態(tài)：BABAVVpp2,（1

9、）由狀態(tài)方程）由狀態(tài)方程00000032;34222VVVVVVVVVppTTnRTVpnRTVpnRTVpBABABABABABBBAAAABT隔板隔板（2）對(duì)）對(duì)A，B組成的組成的系統(tǒng)應(yīng)用熱一律系統(tǒng)應(yīng)用熱一律0000002323TTTVpTTnCTTnCEQBBVAV0000000000394392VPQVPTTVPQVPTTBA三、熱一律與循環(huán)效率的計(jì)算三、熱一律與循環(huán)效率的計(jì)算36、某氣體系統(tǒng)在、某氣體系統(tǒng)在p V圖上的一條循環(huán)曲線如圖所示，試圖上的一條循環(huán)曲線如圖所示，試求證該系統(tǒng)在對(duì)應(yīng)的循環(huán)過程中其摩爾熱容量不能為恒量求證該系統(tǒng)在對(duì)應(yīng)的循環(huán)過程中其摩爾熱容量不能為恒量(12)例例P

10、VPV反證法：反證法：設(shè)循環(huán)過程中摩爾熱容設(shè)循環(huán)過程中摩爾熱容量是常量量是常量C，則循環(huán)過，則循環(huán)過程中吸收的熱量：程中吸收的熱量：0dTCdQQV循環(huán)后系統(tǒng)恢復(fù)原態(tài)，其內(nèi)能增量：循環(huán)后系統(tǒng)恢復(fù)原態(tài)，其內(nèi)能增量：0U但系統(tǒng)對(duì)外做功不為零，與熱一律矛盾但系統(tǒng)對(duì)外做功不為零，與熱一律矛盾8 一個(gè)平均輸出功率為一個(gè)平均輸出功率為50MW的發(fā)電廠，熱機(jī)循環(huán)的的發(fā)電廠，熱機(jī)循環(huán)的高溫?zé)嵩礈囟葹楦邷責(zé)嵩礈囟葹門1=1000K,地溫?zé)嵩礈囟鹊販責(zé)嵩礈囟萒2=300K，理，理論上熱機(jī)的最高效率為論上熱機(jī)的最高效率為。如果該廠只能達(dá)到。如果該廠只能達(dá)到這個(gè)效率的這個(gè)效率的70%，為了產(chǎn)生，為了產(chǎn)生50MW的電功

11、率，美妙需的電功率，美妙需要消耗要消耗J的熱量。的熱量。MW0.4950%49WQ%70%;70112；吸熱QWTT25-6四個(gè)恒溫?zé)嵩粗g關(guān)系為四個(gè)恒溫?zé)嵩粗g關(guān)系為T1= T2= 2T3= 3T4，其中常數(shù)，其中常數(shù) 0。工作與其中兩個(gè)任選熱。工作與其中兩個(gè)任選熱源之間的可逆卡諾熱機(jī)的循環(huán)源之間的可逆卡諾熱機(jī)的循環(huán)效率最大可取值效率最大可取值 max= ;由這四個(gè)熱源共同參與的某個(gè)由這四個(gè)熱源共同參與的某個(gè)可逆循環(huán)如圖所示，途中每一可逆循環(huán)如圖所示，途中每一條實(shí)線或?yàn)闂l實(shí)線或?yàn)門1、T2、T3、T4等溫線，或?yàn)榻^熱線，中間兩等溫線，或?yàn)榻^熱線，中間兩條實(shí)線與其間輔助虛線同屬一條實(shí)線與其間輔

12、助虛線同屬一條絕熱線。此循環(huán)效率為條絕熱線。此循環(huán)效率為 = 0PVT1T2T3T425-60PVT1T2T3T4卡諾循環(huán)的效率：卡諾循環(huán)的效率：3max14max1211) 1(11TTTT循環(huán)過程效率：循環(huán)過程效率：221212211111110VP0T03T(等溫線）等溫線）(等溫線）等溫線）0V03V14-22設(shè)想某種雙原子分子理想氣體，在溫度低于設(shè)想某種雙原子分子理想氣體，在溫度低于2T0時(shí)時(shí)等體摩爾熱容量為等體摩爾熱容量為 ，在溫度高于時(shí)，等體摩爾熱，在溫度高于時(shí)，等體摩爾熱容量增至容量增至 。該氣體所經(jīng)歷熱循環(huán)過程如圖所示，。該氣體所經(jīng)歷熱循環(huán)過程如圖所示，試求循環(huán)效率試求循環(huán)效

13、率.R25R27ABCD0VP0T03T(等溫線）等溫線）(等溫線）等溫線）0V03VABCD解解:首先判斷吸熱和放熱過首先判斷吸熱和放熱過程程:吸熱吸熱:AB,BC放熱放熱:CD,AD082532700012RTTRTRTCTCQAVBVAB吸熱吸熱03ln3ln300RTVVTRWQBCBCBC吸熱吸熱0VP0T03T(等溫線）等溫線）(等溫線）等溫線）0V03VABCD083272500021RTTRTRTCTCQCVDVCD放熱放熱03ln3ln300RTVVTRWQDADADA放熱放熱3ln801RTQQQBCAB總吸熱總吸熱總放熱總放熱3ln3802RTQQQDACD0VP0T03

14、T(等溫線）等溫線）(等溫線）等溫線）0V03VABCD循環(huán)效率循環(huán)效率:%5 .19112QQ5-3-20P-V坐標(biāo)面上，坐標(biāo)面上，單原子分子單原子分子理想氣體的兩條等壓線和兩條等體線理想氣體的兩條等壓線和兩條等體線圍成的矩形圍成的矩形ABCD如圖所示。狀態(tài)如圖所示。狀態(tài)B的溫度是狀態(tài)的溫度是狀態(tài)D的溫度的的溫度的4倍，倍，狀態(tài)狀態(tài)A與狀態(tài)與狀態(tài)C的溫度相同，過的溫度相同，過A、C的等溫線已在圖中畫出。將的等溫線已在圖中畫出。將循環(huán)過程循環(huán)過程ABCA、ACDA的效率分別記為的效率分別記為 1和和 2 ，試求：，試求： 1和和 2的比值的比值0VPABCDV1V2917. 021T3T1T2

15、T20VPABCDV1V2T3T1T2T2解：解：134,23,25TTRCRCVp由狀態(tài)方程：由狀態(tài)方程：111221322212:RTVpDRTVpCRTVpBRTVpA)4(13231212TTTTTTVV2,21212VVTT0VPABCDV1V2T3T1T2T2循環(huán)循環(huán)ABCA:05123RTTTCQpAB03132RTTTCQVBC02ln2ln1212RTVVRTWQCA效率：效率：2ln15211ABCABCQQQ0VPABCDV1V2T3T1T2T22,21212VVTT循環(huán)循環(huán)ACDA:023112RTTTCQVDA02ln2ln1122RTVVRTQAC效率：效率：32l

16、n412ln2212DAACCDQQQ025121RTTTCQpCD0VPABCDV1V2T3T1T2T2917. 02137、1mol單原子理想氣體從初態(tài)單原子理想氣體從初態(tài)p032Pa壓強(qiáng)，體積壓強(qiáng)，體積V08m3經(jīng)經(jīng)pV圖上的直線過程到達(dá)終態(tài)壓強(qiáng)圖上的直線過程到達(dá)終態(tài)壓強(qiáng)p11Pa，體積，體積V164m3；再經(jīng)絕熱過程回到初態(tài)，如此；再經(jīng)絕熱過程回到初態(tài)，如此構(gòu)成一循環(huán)。求此循構(gòu)成一循環(huán)。求此循 環(huán)的效率（環(huán)的效率（7） PVacb52%PVacb解：解：paVpapmVPap64,1,8,3211300（1）求吸熱放熱的轉(zhuǎn)折點(diǎn)）求吸熱放熱的轉(zhuǎn)折點(diǎn)CpdVdTRdQ230設(shè)直線的過程方程

17、：設(shè)直線的過程方程：Vp直線上任一點(diǎn)：直線上任一點(diǎn)：RTpV21VVRTPVacb對(duì)某一微小過程：對(duì)某一微小過程：VdVdVRdT21代入熱一律：代入熱一律：dVVdQ425若該過程在若該過程在C點(diǎn)附近：點(diǎn)附近：0dQ85CV83CVppPVacb由由a，b兩點(diǎn)坐標(biāo)兩點(diǎn)坐標(biāo)5631;725531 .41,7 .13mVpapCC（2）效率）效率0WEQAC0WEQCB%521ACCBQQ38、等容熱容量等容熱容量為常量的某理想氣體的兩個(gè)循環(huán)過程為常量的某理想氣體的兩個(gè)循環(huán)過程曲線如圖所示曲線如圖所示,圖中的兩條斜直線均過圖中的兩條斜直線均過p V坐標(biāo)面的原坐標(biāo)面的原點(diǎn)點(diǎn)O,其余各直線或與其余各

18、直線或與p軸平行或與軸平行或與V軸平行。試證：這軸平行。試證：這兩個(gè)循環(huán)過程的效率相等兩個(gè)循環(huán)過程的效率相等.(11) PVoABCEFGPVoABCEFG解解（1）計(jì)算計(jì)算ABCA循環(huán)效率循環(huán)效率判斷吸熱、放熱判斷吸熱、放熱AB:吸熱；吸熱；BC:放熱；放熱；CA：放熱：放熱吸熱：吸熱：VkpRTpVWEQQABAB122121ABVABABVVRCkQQPVoABCEFG循環(huán)過程系統(tǒng)對(duì)外做功：循環(huán)過程系統(tǒng)對(duì)外做功：2221ABABABVVkVVppWABCA效率：效率：ABVABVVRCVVQW121PVoABCEFG,與斜率無關(guān)有關(guān)、只與VABABCVVVVABCA和和GEFG循環(huán)循環(huán)C

19、V相同相同,GEGEABABVVVVVVVV所以這兩個(gè)循環(huán)過程的效率相等所以這兩個(gè)循環(huán)過程的效率相等32、某理想氣體經(jīng)歷的正循環(huán)過程、某理想氣體經(jīng)歷的正循環(huán)過程 ABCDA和正循環(huán)和正循環(huán)過程過程AEFGA如圖所示，有關(guān)特征態(tài)的狀態(tài)參量在圖如圖所示，有關(guān)特征態(tài)的狀態(tài)參量在圖中已經(jīng)給出，各自效率分別記為中已經(jīng)給出，各自效率分別記為 1和和 2， 試試證：證： 2 ： 1 =4：3（15）APVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0APVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0解：設(shè)理想氣體的摩爾解：設(shè)理想氣體的摩爾數(shù)為數(shù)為n,態(tài)態(tài)A溫度溫度T0,（1）根據(jù)狀態(tài)方程：）根據(jù)狀

20、態(tài)方程：nRTpV 000007;3;2;4;2TTTTTTTTTTFEDCB（2）ABCDA循環(huán)效率循環(huán)效率0001012nRTVpWTCCnQQQpVBCABAPVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0ABCDA循環(huán)效率：循環(huán)效率：pVCCRQW2111（3）AEFGA循環(huán)效率循環(huán)效率0001013834222nRTVpWTCCnQQQpVEFAEAEFGA循環(huán)效率循環(huán)效率pVCCRQW234112APVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0所以所以3412四熱力學(xué)第二定律四熱力學(xué)第二定律克勞修斯表述：克勞修斯表述：開耳文表述：開耳文表述： 不可能把熱量從低溫物體傳

21、到高溫物體，而不產(chǎn)生不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體，而不產(chǎn)生任何影響任何影響 不可能制成一種循環(huán)工作的熱機(jī)，只從單一熱源不可能制成一種循環(huán)工作的熱機(jī)，只從單一熱源吸熱全部變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生任何影響吸熱全部變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生任何影響25、熱力學(xué)第二定律的開爾文表述為、熱力學(xué)第二定律的開爾文表述為 ；熱力學(xué)；熱力學(xué)第二定律的克勞修斯表述為第二定律的克勞修斯表述為 。(19)例例22、從單一熱源吸收熱量并將其完全用來對(duì)外做功，、從單一熱源吸收熱量并將其完全用來對(duì)外做功，是不違反熱力學(xué)第二定律的，例如是不違反熱力學(xué)第二定律的，例如 過程就是這種過程就是這種情況（情況（2）等溫等溫24、假設(shè)循環(huán)由等

22、溫過程、假設(shè)循環(huán)由等溫過程和 絕 熱 過 程 組 成 （ 如和 絕 熱 過 程 組 成 （ 如圖），圖）， 可以認(rèn)為（可以認(rèn)為（ ）(4) （a）此循環(huán)過程違反）此循環(huán)過程違反熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第一定律 （b）此循環(huán)過程違反）此循環(huán)過程違反熱力學(xué)第二定律熱力學(xué)第二定律 （c）此循環(huán)過程既違）此循環(huán)過程既違反熱力學(xué)第一定律，又反熱力學(xué)第一定律，又違反熱力學(xué)第二定律違反熱力學(xué)第二定律12abV0P24-圖圖C熵增原理熵增原理在孤立系中進(jìn)行的自然過程總是沿著熵增大的方向在孤立系中進(jìn)行的自然過程總是沿著熵增大的方向進(jìn)行，它是不可逆的。平衡態(tài)相當(dāng)于熵的最大狀態(tài)進(jìn)行，它是不可逆的。平衡態(tài)相當(dāng)于熵的最大狀

23、態(tài)（2）孤立系可逆過程熵不變）孤立系可逆過程熵不變0s（1）孤立系不可逆過程熵增加）孤立系不可逆過程熵增加0s(3)熵熵S是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)WKSln玻耳茲曼關(guān)系式玻耳茲曼關(guān)系式26、熱力學(xué)系統(tǒng)處于某一宏觀態(tài)時(shí)，將它的熵記為、熱力學(xué)系統(tǒng)處于某一宏觀態(tài)時(shí)，將它的熵記為S，該宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)個(gè)數(shù)記為該宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)個(gè)數(shù)記為 W，玻耳茲曼假設(shè)二，玻耳茲曼假設(shè)二者間的關(guān)系為者間的關(guān)系為 。一個(gè)系統(tǒng)從平衡態(tài)。一個(gè)系統(tǒng)從平衡態(tài) A經(jīng)平衡過經(jīng)平衡過程到達(dá)平衡態(tài)程到達(dá)平衡態(tài)B，狀態(tài)，狀態(tài)A的熵的熵SA與狀態(tài)與狀態(tài)B的熵的熵SB之間的之間的關(guān)系為關(guān)系為 。(19)WkSlnABSS 玻爾玻爾

24、茲曼茲曼常數(shù)常數(shù)（4）熵的計(jì)算：）熵的計(jì)算： 任意系統(tǒng)在一微小可逆過程中的熵增：任意系統(tǒng)在一微小可逆過程中的熵增：TdQdS 在一可逆過程中熵增：在一可逆過程中熵增：2112TdQSS27、1kg冰在冰在00C、1atm下溶解為水的過程中的熵增下溶解為水的過程中的熵增量為（量為（ ）。（已知冰的熔解熱為）。（已知冰的熔解熱為333kJ/kg）(8)KJ /1022. 13解解:冰在冰在00C等溫膨脹等溫膨脹,設(shè)想冰與設(shè)想冰與00C的恒溫?zé)嵩唇佑|而進(jìn)的恒溫?zé)嵩唇佑|而進(jìn)行可逆的吸熱過程行可逆的吸熱過程KJTQTdQS/1022. 1273103343341、設(shè)有一剛性絕熱容器，其中一半充有、設(shè)有一

25、剛性絕熱容器，其中一半充有 摩爾理想摩爾理想氣體，另一半為真空?，F(xiàn)將隔板抽去，使氣體自由膨氣體，另一半為真空。現(xiàn)將隔板抽去，使氣體自由膨脹到整個(gè)容器中。試求該氣體熵的變化。（不能直接脹到整個(gè)容器中。試求該氣體熵的變化。（不能直接用理想氣體上的公式計(jì)算）（用理想氣體上的公式計(jì)算）（1）2lnRS解解:保持恒定TEdQ; 0; 0設(shè)想從初態(tài)到末態(tài)經(jīng)歷一等溫的可逆過程設(shè)想從初態(tài)到末態(tài)經(jīng)歷一等溫的可逆過程pdVdWdQ熵變熵變:2ln/2/RRpVpdVTdQsVV實(shí)際氣體：實(shí)際氣體：模型：有引力的剛性球模型模型：有引力的剛性球模型bVRTpm1mol考慮分子體積：考慮分子體積：考慮分子引力：考慮分子引力：2intmVapintp