大學物理競賽輔導

1、大學物理競賽輔導（熱學部分）29、一氣缸的初始體積為、一氣缸的初始體積為30.5l，內盛空氣和少量水，內盛空氣和少量水（水的體積可略），總壓強為（水的體積可略），總壓強為3atm.作等溫膨脹時體作等溫膨脹時體積加倍，水恰好全部消失，此時壓強為積加倍，水恰好全部消失，此時壓強為2atm。繼續(xù)。繼續(xù)等溫膨脹，使體積再次加倍?？諝夂退煽醋骼淼葴嘏蛎?，使體積再次加倍。空氣和水汽均可看作理想氣體。試求（想氣體。試求（1）氣體的溫度；（）氣體的溫度；（2）最后的壓強；）最后的壓強；（3）水和空氣的摩爾數。）水和空氣的摩爾數。T0=100k, p3=1atm, n1=n2=2mol解解:初態(tài)初態(tài)中間態(tài)

2、中間態(tài)末態(tài)末態(tài)atmpppTlV3,5 .301101飽和空氣總atmpppTVV2,222012飽和空氣總3013,4pTVV (1)初態(tài)到中間態(tài)初態(tài)到中間態(tài):對空氣應用等溫過程方程對空氣應用等溫過程方程飽和總飽和總pppVpVpppp22221111)373(10KTatmp飽和(2)從中間態(tài)到末態(tài)從中間態(tài)到末態(tài)對混合氣體應用等溫過程方程對混合氣體應用等溫過程方程3322VpVp總atmp13（3）將狀態(tài)方程用于初態(tài)的空氣：）將狀態(tài)方程用于初態(tài)的空氣：飽和總空氣空氣pppRTnVp110111moln2102133RTnnVpmoln22水的摩爾數：水的摩爾數：30、有、有n摩爾的理想氣體

3、，經歷如圖所示的準靜態(tài)過程，摩爾的理想氣體，經歷如圖所示的準靜態(tài)過程，圖中是圖中是P0,V0是已知量，是已知量，ab是直線，求：是直線，求：（1）氣體在該過程中對外界所作的功和所吸收的熱量。）氣體在該過程中對外界所作的功和所吸收的熱量。（2）在該過程中溫度最高值是什么？最低值是什么？）在該過程中溫度最高值是什么？最低值是什么？并在并在P-V圖上指出其位置。圖上指出其位置。 PVa(3P0,V0)b(P0,3V0)W=Q=4 P0V0(2P0,2V0)溫度最高溫度最高a或或b溫度最低溫度最低nRVP004nRVP003PVa(3P0,V0)b(P0,3V0)解：解：n摩爾，摩爾，P0,V0（1）

4、由圖知）由圖知babbaaTTVpVp由圖線下面積知由圖線下面積知004VpSW由熱一律，氣體在該過程中吸收的熱量：由熱一律，氣體在該過程中吸收的熱量：004VpWUQPVa(3P0,V0)b(P0,3V0)（2）由圖知，）由圖知，ab過程過程方程：方程：0004pVVppnRVpVnRVpTnRTpV020040dVdT0022ppVV過程方程020022nRVpdVTd為溫度極大值點002 ,2VpPVa(3P0,V0)b(P0,3V0)a或或b溫度最低溫度最低nRVPnRpVT00min331、2摩爾單原子理想氣體從初態(tài)經歷一熱容量摩爾單原子理想氣體從初態(tài)經歷一熱容量c2R（10.01T

5、）的準靜態(tài)過程，到達溫度為初態(tài)溫度的）的準靜態(tài)過程，到達溫度為初態(tài)溫度的2倍、體倍、體積為初態(tài)體積的積為初態(tài)體積的 倍的終態(tài)。試求內能增量倍的終態(tài)。試求內能增量 E及系統(tǒng)對及系統(tǒng)對外所作的功外所作的功A2JWJEkT62117283 .690解：熱容量解：熱容量dTTRdQTRdTdQC01. 01201. 012（1）由熱一律由熱一律VnRTpRCpdVdTnCdWdEdQVV23（2）VdVTdTdT201. 0（1）從初態(tài)到末態(tài)積分）從初態(tài)到末態(tài)積分000000222201. 0VVTTTTVdVTdTdTKT2 .690（2）從初態(tài)到末態(tài)內能增量）從初態(tài)到末態(tài)內能增量JTTnCEV17

6、28200（3）從初態(tài)到末態(tài)吸收的熱量）從初態(tài)到末態(tài)吸收的熱量2002203. 0201. 0120000RTRTdTTRCdTQTTTT系統(tǒng)對外做功：系統(tǒng)對外做功：JEQW62133、某、某單原子單原子理想氣體經歷的一準靜態(tài)過程中，壓強理想氣體經歷的一準靜態(tài)過程中，壓強p和溫度和溫度T成反比例關系。（成反比例關系。（1）試求此過程中該氣體）試求此過程中該氣體的摩爾熱容量的摩爾熱容量C；（；（2）設此過程中某一狀態(tài)的壓強為）設此過程中某一狀態(tài)的壓強為p0，體積為，體積為V0，試求在體積從，試求在體積從V0增到增到2V0的一般過程的一般過程中氣體對外做功量中氣體對外做功量W 。00122;27V

7、PWRC解解（1）依題意，過程方程可表述為：）依題意，過程方程可表述為：Tp（2）狀態(tài)方程）狀態(tài)方程nRTpV （3）由熱一律）由熱一律pdVdTnCdWdEdQV2)2)(1 (RTnVRTdTndV2nRdTRdTnpRTdTndQ27232RCV27(4)系統(tǒng)對外做的功系統(tǒng)對外做的功nRdTpdVdW22RTnV由過程方程由過程方程02020022TTTVTV0002122122200VpnRTnRdTdWWTT5-3-11（p140）水平放置的水平放置的絕熱氣缸絕熱氣缸內有一內有一不導熱不導熱的隔板，把氣缸分的隔板，把氣缸分成成A，B兩室，隔板可在氣缸內無摩擦的平移，如圖兩室，隔板可在

8、氣缸內無摩擦的平移，如圖所示，每室中容有質量相同的同種單原子理想氣體，所示，每室中容有質量相同的同種單原子理想氣體，它們的壓強都是它們的壓強都是P0,體積都是體積都是V0,溫度都是溫度都是T0。今通過。今通過A室中的電熱絲室中的電熱絲T對氣體加熱，傳給氣體的熱量為對氣體加熱，傳給氣體的熱量為Q，達到平衡時達到平衡時A室的體積恰為室的體積恰為B室的兩倍，試求室的兩倍，試求A、B兩兩室種氣體的溫度。室種氣體的溫度。ABT隔板隔板0000000000394392VPQVPTTVPQVPTTBAABT隔板隔板;23;21RCnnV解：解：初態(tài)：初態(tài)：QTVp,000末態(tài)：末態(tài)：BABAVVpp2,（1

9、）由狀態(tài)方程）由狀態(tài)方程00000032;34222VVVVVVVVVppTTnRTVpnRTVpnRTVpBABABABABABBBAAAABT隔板隔板（2）對）對A，B組成的組成的系統(tǒng)應用熱一律系統(tǒng)應用熱一律0000002323TTTVpTTnCTTnCEQBBVAV0000000000394392VPQVPTTVPQVPTTBA三、熱一律與循環(huán)效率的計算三、熱一律與循環(huán)效率的計算36、某氣體系統(tǒng)在、某氣體系統(tǒng)在p V圖上的一條循環(huán)曲線如圖所示，試圖上的一條循環(huán)曲線如圖所示，試求證該系統(tǒng)在對應的循環(huán)過程中其摩爾熱容量不能為恒量求證該系統(tǒng)在對應的循環(huán)過程中其摩爾熱容量不能為恒量(12)例例P

10、VPV反證法：反證法：設循環(huán)過程中摩爾熱容設循環(huán)過程中摩爾熱容量是常量量是常量C，則循環(huán)過，則循環(huán)過程中吸收的熱量：程中吸收的熱量：0dTCdQQV循環(huán)后系統(tǒng)恢復原態(tài)，其內能增量：循環(huán)后系統(tǒng)恢復原態(tài)，其內能增量：0U但系統(tǒng)對外做功不為零，與熱一律矛盾但系統(tǒng)對外做功不為零，與熱一律矛盾8 一個平均輸出功率為一個平均輸出功率為50MW的發(fā)電廠，熱機循環(huán)的的發(fā)電廠，熱機循環(huán)的高溫熱源溫度為高溫熱源溫度為T1=1000K,地溫熱源溫度地溫熱源溫度T2=300K，理，理論上熱機的最高效率為論上熱機的最高效率為。如果該廠只能達到。如果該廠只能達到這個效率的這個效率的70%，為了產生，為了產生50MW的電功

11、率，美妙需的電功率，美妙需要消耗要消耗J的熱量。的熱量。MW0.4950%49WQ%70%;70112；吸熱QWTT25-6四個恒溫熱源之間關系為四個恒溫熱源之間關系為T1= T2= 2T3= 3T4，其中常數，其中常數 0。工作與其中兩個任選熱。工作與其中兩個任選熱源之間的可逆卡諾熱機的循環(huán)源之間的可逆卡諾熱機的循環(huán)效率最大可取值效率最大可取值 max= ;由這四個熱源共同參與的某個由這四個熱源共同參與的某個可逆循環(huán)如圖所示，途中每一可逆循環(huán)如圖所示，途中每一條實線或為條實線或為T1、T2、T3、T4等溫線，或為絕熱線，中間兩等溫線，或為絕熱線，中間兩條實線與其間輔助虛線同屬一條實線與其間輔

12、助虛線同屬一條絕熱線。此循環(huán)效率為條絕熱線。此循環(huán)效率為 = 0PVT1T2T3T425-60PVT1T2T3T4卡諾循環(huán)的效率：卡諾循環(huán)的效率：3max14max1211) 1(11TTTT循環(huán)過程效率：循環(huán)過程效率：221212211111110VP0T03T(等溫線）等溫線）(等溫線）等溫線）0V03V14-22設想某種雙原子分子理想氣體，在溫度低于設想某種雙原子分子理想氣體，在溫度低于2T0時時等體摩爾熱容量為等體摩爾熱容量為 ，在溫度高于時，等體摩爾熱，在溫度高于時，等體摩爾熱容量增至容量增至 。該氣體所經歷熱循環(huán)過程如圖所示，。該氣體所經歷熱循環(huán)過程如圖所示，試求循環(huán)效率試求循環(huán)效

13、率.R25R27ABCD0VP0T03T(等溫線）等溫線）(等溫線）等溫線）0V03VABCD解解:首先判斷吸熱和放熱過首先判斷吸熱和放熱過程程:吸熱吸熱:AB,BC放熱放熱:CD,AD082532700012RTTRTRTCTCQAVBVAB吸熱吸熱03ln3ln300RTVVTRWQBCBCBC吸熱吸熱0VP0T03T(等溫線）等溫線）(等溫線）等溫線）0V03VABCD083272500021RTTRTRTCTCQCVDVCD放熱放熱03ln3ln300RTVVTRWQDADADA放熱放熱3ln801RTQQQBCAB總吸熱總吸熱總放熱總放熱3ln3802RTQQQDACD0VP0T03

14、T(等溫線）等溫線）(等溫線）等溫線）0V03VABCD循環(huán)效率循環(huán)效率:%5 .19112QQ5-3-20P-V坐標面上，坐標面上，單原子分子單原子分子理想氣體的兩條等壓線和兩條等體線理想氣體的兩條等壓線和兩條等體線圍成的矩形圍成的矩形ABCD如圖所示。狀態(tài)如圖所示。狀態(tài)B的溫度是狀態(tài)的溫度是狀態(tài)D的溫度的的溫度的4倍，倍，狀態(tài)狀態(tài)A與狀態(tài)與狀態(tài)C的溫度相同，過的溫度相同，過A、C的等溫線已在圖中畫出。將的等溫線已在圖中畫出。將循環(huán)過程循環(huán)過程ABCA、ACDA的效率分別記為的效率分別記為 1和和 2 ，試求：，試求： 1和和 2的比值的比值0VPABCDV1V2917. 021T3T1T2

15、T20VPABCDV1V2T3T1T2T2解：解：134,23,25TTRCRCVp由狀態(tài)方程：由狀態(tài)方程：111221322212:RTVpDRTVpCRTVpBRTVpA)4(13231212TTTTTTVV2,21212VVTT0VPABCDV1V2T3T1T2T2循環(huán)循環(huán)ABCA:05123RTTTCQpAB03132RTTTCQVBC02ln2ln1212RTVVRTWQCA效率：效率：2ln15211ABCABCQQQ0VPABCDV1V2T3T1T2T22,21212VVTT循環(huán)循環(huán)ACDA:023112RTTTCQVDA02ln2ln1122RTVVRTQAC效率：效率：32l

16、n412ln2212DAACCDQQQ025121RTTTCQpCD0VPABCDV1V2T3T1T2T2917. 02137、1mol單原子理想氣體從初態(tài)單原子理想氣體從初態(tài)p032Pa壓強，體積壓強，體積V08m3經經pV圖上的直線過程到達終態(tài)壓強圖上的直線過程到達終態(tài)壓強p11Pa，體積，體積V164m3；再經絕熱過程回到初態(tài)，如此；再經絕熱過程回到初態(tài)，如此構成一循環(huán)。求此循構成一循環(huán)。求此循 環(huán)的效率（環(huán)的效率（7） PVacb52%PVacb解：解：paVpapmVPap64,1,8,3211300（1）求吸熱放熱的轉折點）求吸熱放熱的轉折點CpdVdTRdQ230設直線的過程方程

17、：設直線的過程方程：Vp直線上任一點：直線上任一點：RTpV21VVRTPVacb對某一微小過程：對某一微小過程：VdVdVRdT21代入熱一律：代入熱一律：dVVdQ425若該過程在若該過程在C點附近：點附近：0dQ85CV83CVppPVacb由由a，b兩點坐標兩點坐標5631;725531 .41,7 .13mVpapCC（2）效率）效率0WEQAC0WEQCB%521ACCBQQ38、等容熱容量等容熱容量為常量的某理想氣體的兩個循環(huán)過程為常量的某理想氣體的兩個循環(huán)過程曲線如圖所示曲線如圖所示,圖中的兩條斜直線均過圖中的兩條斜直線均過p V坐標面的原坐標面的原點點O,其余各直線或與其余各

18、直線或與p軸平行或與軸平行或與V軸平行。試證：這軸平行。試證：這兩個循環(huán)過程的效率相等兩個循環(huán)過程的效率相等.(11) PVoABCEFGPVoABCEFG解解（1）計算計算ABCA循環(huán)效率循環(huán)效率判斷吸熱、放熱判斷吸熱、放熱AB:吸熱；吸熱；BC:放熱；放熱；CA：放熱：放熱吸熱：吸熱：VkpRTpVWEQQABAB122121ABVABABVVRCkQQPVoABCEFG循環(huán)過程系統(tǒng)對外做功：循環(huán)過程系統(tǒng)對外做功：2221ABABABVVkVVppWABCA效率：效率：ABVABVVRCVVQW121PVoABCEFG,與斜率無關有關、只與VABABCVVVVABCA和和GEFG循環(huán)循環(huán)C

19、V相同相同,GEGEABABVVVVVVVV所以這兩個循環(huán)過程的效率相等所以這兩個循環(huán)過程的效率相等32、某理想氣體經歷的正循環(huán)過程、某理想氣體經歷的正循環(huán)過程 ABCDA和正循環(huán)和正循環(huán)過程過程AEFGA如圖所示，有關特征態(tài)的狀態(tài)參量在圖如圖所示，有關特征態(tài)的狀態(tài)參量在圖中已經給出，各自效率分別記為中已經給出，各自效率分別記為 1和和 2， 試試證：證： 2 ： 1 =4：3（15）APVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0APVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0解：設理想氣體的摩爾解：設理想氣體的摩爾數為數為n,態(tài)態(tài)A溫度溫度T0,（1）根據狀態(tài)方程：）根據狀

20、態(tài)方程：nRTpV 000007;3;2;4;2TTTTTTTTTTFEDCB（2）ABCDA循環(huán)效率循環(huán)效率0001012nRTVpWTCCnQQQpVBCABAPVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0ABCDA循環(huán)效率：循環(huán)效率：pVCCRQW2111（3）AEFGA循環(huán)效率循環(huán)效率0001013834222nRTVpWTCCnQQQpVEFAEAEFGA循環(huán)效率循環(huán)效率pVCCRQW234112APVoBCDEFGV02V07/3V0P02P03P0所以所以3412四熱力學第二定律四熱力學第二定律克勞修斯表述：克勞修斯表述：開耳文表述：開耳文表述： 不可能把熱量從低溫物體傳

21、到高溫物體，而不產生不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體，而不產生任何影響任何影響 不可能制成一種循環(huán)工作的熱機，只從單一熱源不可能制成一種循環(huán)工作的熱機，只從單一熱源吸熱全部變?yōu)橛杏霉Χ划a生任何影響吸熱全部變?yōu)橛杏霉Χ划a生任何影響25、熱力學第二定律的開爾文表述為、熱力學第二定律的開爾文表述為 ；熱力學；熱力學第二定律的克勞修斯表述為第二定律的克勞修斯表述為 。(19)例例22、從單一熱源吸收熱量并將其完全用來對外做功，、從單一熱源吸收熱量并將其完全用來對外做功，是不違反熱力學第二定律的，例如是不違反熱力學第二定律的，例如 過程就是這種過程就是這種情況（情況（2）等溫等溫24、假設循環(huán)由等

22、溫過程、假設循環(huán)由等溫過程和 絕 熱 過 程 組 成 （ 如和 絕 熱 過 程 組 成 （ 如圖），圖）， 可以認為（可以認為（ ）(4) （a）此循環(huán)過程違反）此循環(huán)過程違反熱力學第一定律熱力學第一定律 （b）此循環(huán)過程違反）此循環(huán)過程違反熱力學第二定律熱力學第二定律 （c）此循環(huán)過程既違）此循環(huán)過程既違反熱力學第一定律，又反熱力學第一定律，又違反熱力學第二定律違反熱力學第二定律12abV0P24-圖圖C熵增原理熵增原理在孤立系中進行的自然過程總是沿著熵增大的方向在孤立系中進行的自然過程總是沿著熵增大的方向進行，它是不可逆的。平衡態(tài)相當于熵的最大狀態(tài)進行，它是不可逆的。平衡態(tài)相當于熵的最大狀

23、態(tài)（2）孤立系可逆過程熵不變）孤立系可逆過程熵不變0s（1）孤立系不可逆過程熵增加）孤立系不可逆過程熵增加0s(3)熵熵S是系統(tǒng)的狀態(tài)函數是系統(tǒng)的狀態(tài)函數WKSln玻耳茲曼關系式玻耳茲曼關系式26、熱力學系統(tǒng)處于某一宏觀態(tài)時，將它的熵記為、熱力學系統(tǒng)處于某一宏觀態(tài)時，將它的熵記為S，該宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)個數記為該宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)個數記為 W，玻耳茲曼假設二，玻耳茲曼假設二者間的關系為者間的關系為 。一個系統(tǒng)從平衡態(tài)。一個系統(tǒng)從平衡態(tài) A經平衡過經平衡過程到達平衡態(tài)程到達平衡態(tài)B，狀態(tài)，狀態(tài)A的熵的熵SA與狀態(tài)與狀態(tài)B的熵的熵SB之間的之間的關系為關系為 。(19)WkSlnABSS 玻爾玻爾

24、茲曼茲曼常數常數（4）熵的計算：）熵的計算： 任意系統(tǒng)在一微小可逆過程中的熵增：任意系統(tǒng)在一微小可逆過程中的熵增：TdQdS 在一可逆過程中熵增：在一可逆過程中熵增：2112TdQSS27、1kg冰在冰在00C、1atm下溶解為水的過程中的熵增下溶解為水的過程中的熵增量為（量為（ ）。（已知冰的熔解熱為）。（已知冰的熔解熱為333kJ/kg）(8)KJ /1022. 13解解:冰在冰在00C等溫膨脹等溫膨脹,設想冰與設想冰與00C的恒溫熱源接觸而進的恒溫熱源接觸而進行可逆的吸熱過程行可逆的吸熱過程KJTQTdQS/1022. 1273103343341、設有一剛性絕熱容器，其中一半充有、設有一

25、剛性絕熱容器，其中一半充有 摩爾理想摩爾理想氣體，另一半為真空。現將隔板抽去，使氣體自由膨氣體，另一半為真空?，F將隔板抽去，使氣體自由膨脹到整個容器中。試求該氣體熵的變化。（不能直接脹到整個容器中。試求該氣體熵的變化。（不能直接用理想氣體上的公式計算）（用理想氣體上的公式計算）（1）2lnRS解解:保持恒定TEdQ; 0; 0設想從初態(tài)到末態(tài)經歷一等溫的可逆過程設想從初態(tài)到末態(tài)經歷一等溫的可逆過程pdVdWdQ熵變熵變:2ln/2/RRpVpdVTdQsVV實際氣體：實際氣體：模型：有引力的剛性球模型模型：有引力的剛性球模型bVRTpm1mol考慮分子體積：考慮分子體積：考慮分子引力：考慮分子引力：2intmVapintp