現(xiàn)代電子理論120216

1、電子理論電子理論自由電子理論自由電子理論能帶理論能帶理論恒定勢(shì)場(chǎng)恒定勢(shì)場(chǎng)周期性勢(shì)周期性勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)經(jīng)典電子理論經(jīng)典電子理論量子電子理論量子電子理論（索末菲（索末菲（Sommerfeld）模型）模型）(德魯?shù)碌卖數(shù)拢―rude）模型）模型)半導(dǎo)體理論半導(dǎo)體理論2322mmBmEk T032BUN Zk T032eBVUCN ZkT00333322VelBBCCCN kN kRR自由電子：金屬晶體中處于自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的電子。德魯特-勞倫茲建立的金屬的自由電子理論（模型）認(rèn)為：金屬的原子不是靠化學(xué)鍵，而是靠金屬中運(yùn)動(dòng)的自由電子的靜電吸引結(jié)合在一起的。這一理論成功地解釋了魏德曼-弗朗茲定律，即金屬的高電導(dǎo)（）

2、和熱導(dǎo)（K）特性：TekK2)/(3/ (1-1)K：玻爾茲曼常數(shù)；e:電子電荷；T: 溫度索末菲等假定自由電子在金屬中受一個(gè)均勻勢(shì)場(chǎng)作用，電子處于完全自由的情況下，標(biāo)志力場(chǎng)的勢(shì)能函數(shù)V(x) = 0，自由電子的波函數(shù)為：tiextx2)(),(（1-2）波函數(shù)波函數(shù) （wave function）：量子力學(xué)中描述粒子：量子力學(xué)中描述粒子的德布羅意波的函數(shù)，也是量子力學(xué)中描寫微觀系的德布羅意波的函數(shù)，也是量子力學(xué)中描寫微觀系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。n 在經(jīng)典力學(xué)中，用質(zhì)點(diǎn)的在經(jīng)典力學(xué)中，用質(zhì)點(diǎn)的位置和動(dòng)量位置和動(dòng)量（或速度）（或速度）來描寫宏觀質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)，這是質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的經(jīng)典描述來描寫宏觀質(zhì)

3、點(diǎn)的狀態(tài)，這是質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的經(jīng)典描述方式，它突出了質(zhì)點(diǎn)的粒子性。由于微觀粒子具有方式，它突出了質(zhì)點(diǎn)的粒子性。由于微觀粒子具有波粒二象性，粒子的位置和動(dòng)量不能同時(shí)有確定值波粒二象性，粒子的位置和動(dòng)量不能同時(shí)有確定值（測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系），因而質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的經(jīng)典描述方式不（測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系），因而質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的經(jīng)典描述方式不適用于對(duì)微觀粒子狀態(tài)的描述。適用于對(duì)微觀粒子狀態(tài)的描述。（1-2） 為了定量地描述微觀粒子的狀態(tài)，量子力學(xué)中引為了定量地描述微觀粒子的狀態(tài)，量子力學(xué)中引入了波函數(shù)，并用入了波函數(shù)，并用表示。一般來講，波函數(shù)是表示。一般來講，波函數(shù)是空空間和時(shí)間間和時(shí)間的函數(shù)，并且是復(fù)函數(shù)，即的函數(shù)，并且是復(fù)函數(shù)，即=(

4、x，y，z，t)。 玻恩假定波函數(shù)就是粒子的概率密度，即在時(shí)刻玻恩假定波函數(shù)就是粒子的概率密度，即在時(shí)刻t，在點(diǎn)，在點(diǎn)(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率。波附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率。波函數(shù)函數(shù)因此就稱為因此就稱為概率幅概率幅。（1-2）u波函數(shù)波函數(shù)： 概率波的數(shù)學(xué)表達(dá)形式概率波的數(shù)學(xué)表達(dá)形式, ,描述微觀客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。描述微觀客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 描述微觀粒子的函數(shù)一般用描述微觀粒子的函數(shù)一般用 表示，按照玻恩的統(tǒng)計(jì)解釋：表示，按照玻恩的統(tǒng)計(jì)解釋： 表示時(shí)刻表示時(shí)刻 t 在位置在位置 r 出現(xiàn)的概率密度。若出現(xiàn)的概率密度。若知道了體系的波知道了體系的波函數(shù)，就可以知道體系的全部性質(zhì)

5、函數(shù)，就可以知道體系的全部性質(zhì)。 本身則表示概率幅。本身則表示概率幅。注意：注意：波函數(shù)的數(shù)學(xué)形式一般說來是復(fù)數(shù)域中的函數(shù)，即復(fù)數(shù)波函數(shù)的數(shù)學(xué)形式一般說來是復(fù)數(shù)域中的函數(shù)，即復(fù)數(shù)函數(shù)。函數(shù)。),( tr2),( tr),( tru概率密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率概率密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率 在非相對(duì)論情況下，實(shí)物粒子沒有產(chǎn)生和甄滅，在非相對(duì)論情況下，實(shí)物粒子沒有產(chǎn)生和甄滅，所以，在隨時(shí)間的演化過程中，粒子數(shù)目保持不變。所以，在隨時(shí)間的演化過程中，粒子數(shù)目保持不變。對(duì)一個(gè)粒子來說，在全空間中找到粒子的概率之總對(duì)一個(gè)粒子來說，在全空間中找到粒子的概率之總和應(yīng)不隨時(shí)間變化和應(yīng)不隨時(shí)間變化,

6、, 即即: :此式被稱為波函數(shù)的此式被稱為波函數(shù)的歸一化條件歸一化條件。注意注意這里的積分體積微元的具體形式會(huì)這里的積分體積微元的具體形式會(huì)因坐標(biāo)系的不同而不同，常用的三因坐標(biāo)系的不同而不同，常用的三維空間坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、柱坐維空間坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。標(biāo)系和球坐標(biāo)系。*2（二）波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（二）波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋玻恩詮釋玻恩詮釋1d),(2全trd波函數(shù)波函數(shù) 與與 描述同一粒子的相描述同一粒子的相對(duì)概率密度相等，即對(duì)概率密度相等，即 ),( tr),( tCr221221),(),(),(),(tCtCttrrrr 因此，描述同一粒子之間的波函數(shù)之間允因此，描述同一

7、粒子之間的波函數(shù)之間允許相差一個(gè)許相差一個(gè)常數(shù)因子。常數(shù)因子。 一般地說，任一波函數(shù)的模方在全空間的一般地說，任一波函數(shù)的模方在全空間的積分值并非等于積分值并非等于1，而是一個(gè)有限的數(shù)值，而是一個(gè)有限的數(shù)值A(chǔ)，即，即At全d),(2r顯然顯然: :u波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件：波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)，單值，有限連續(xù)，單值，有限。單值：任意時(shí)刻和任一確定位置粒子出現(xiàn)的概率是確定單值：任意時(shí)刻和任一確定位置粒子出現(xiàn)的概率是確定的。的。有限有限: : 全空間找到粒子的概率為全空間找到粒子的概率為1 1，則任意時(shí)刻和任一位，則任意時(shí)刻和任一位置的波函數(shù)（或概率幅）的數(shù)值為有限值，而且其模方置的波函數(shù)（或概率幅）的數(shù)

8、值為有限值，而且其模方可積。可積。連續(xù)：連續(xù)：由粒子概率的連續(xù)方程（稍后給出）所決定，即由粒子概率的連續(xù)方程（稍后給出）所決定，即描述粒子的波描述粒子的波 函數(shù)處處連續(xù)。函數(shù)處處連續(xù)。 另外，粒子處于另外，粒子處于連續(xù)變化或有限階躍勢(shì)場(chǎng)連續(xù)變化或有限階躍勢(shì)場(chǎng)中的波函中的波函數(shù)，其一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。數(shù)，其一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。1d),(12全tAr這樣，波函數(shù)這樣，波函數(shù) 就是歸一化的波函數(shù)。但它與就是歸一化的波函數(shù)。但它與 只只差一個(gè)常數(shù)因子，它們描述同一個(gè)粒子的概率波。差一個(gè)常數(shù)因子，它們描述同一個(gè)粒子的概率波。 ),(1tAr),( tr0)2(04)(222222222dxdvvdxdAexvt

9、i（1-3）經(jīng)以下過程變換，可得出不隨時(shí)間而變的經(jīng)以下過程變換，可得出不隨時(shí)間而變的定態(tài)定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程（1-3）：）：20LdxA L1( )xeiL必須使波函數(shù)滿足邊界條件，導(dǎo)出允許波長(zhǎng)。先看一維的情況，假設(shè)將一維晶體彎成一個(gè)金屬環(huán)（如下圖），環(huán)的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則x和x + L處的波函數(shù)相等(玻恩-卡曼條件，或稱周期性邊界條件）：)()(Lxx（1-6）左圖為玻恩-卡曼邊界條件圖，a為原子間距。公式（1-5）可以寫成實(shí)部為：xLx2cos1)(因此)2sin2sin2cos2(cos1)(LxLxLLx要滿足玻恩-卡曼邊界條件，必須有02sin; 12cosLL故nL22)2, 3,

10、2, 1(NnnL（1-7）公式中N是金屬環(huán)中的原子數(shù)，n只能取整數(shù)值。式（1-7）表明，N個(gè)原子組成晶體，簡(jiǎn)并化的能級(jí)發(fā)生分裂，分裂成N個(gè)允許波長(zhǎng)，這些波長(zhǎng)不能連續(xù)變化，只允許取分立的值。最大波長(zhǎng)是L，最小波長(zhǎng)是2L/N = 2Na/N = 2 a，a是原子間距。由此可以求出晶體中的能級(jí)。由于電子具有波粒二象性，據(jù)德布羅意關(guān)系式：hPhvE經(jīng)典力學(xué)中的動(dòng)能可以寫成如下：222mhE2222 mLhnE)2, 3, 2, 1(Nn式中m為電子質(zhì)量，以N 個(gè)允許波長(zhǎng)代入，得該式表明，當(dāng)N 個(gè)原子組成一維晶體，簡(jiǎn)并化的能級(jí)分裂成分立的能級(jí)，這些能級(jí)分別對(duì)應(yīng)N 個(gè)允許波長(zhǎng)值（稱為波長(zhǎng)本征值）和N 個(gè)

11、允許能量值（能量本征值）。分裂后的能級(jí)也確定N 個(gè)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)（本征波函數(shù))。（1-8）下圖表示這些分立能級(jí)構(gòu)成的能帶（r0：原子距離，E：能帶寬度）。Fig.分立能級(jí)構(gòu)成能帶因晶體中的N 值很大，相鄰能級(jí)間的波長(zhǎng)差很小，能量差也就很小，構(gòu)成 “準(zhǔn)連續(xù)”的能譜。能譜中每個(gè)能級(jí)可容納自旋反平行的2個(gè)電子，公有化電子分布在這些能級(jí)中，使系統(tǒng)的能量最低。對(duì)于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)x、Ly、Lz的具有三維空間的金屬晶體，電子在所有方向運(yùn)動(dòng)，式（1-8）變?yōu)椋?22222222)(2mLhnnnnmLhEzyx（1-9）式中nx、ny、nz分別是在X，Y，Z方向上的量子數(shù)，取整數(shù)值。由于此時(shí)三者的平方之和的開方值n不

12、一定是整數(shù)，引入一個(gè)波矢量k參量，解決了量子數(shù)不為整數(shù)帶來的問題。 在波矢量k空間中，mkhkkkLmLhEzyx2)(222222222（1-10）2222zyxEH（1-20）（拉普拉斯算符）得到描述晶體中單個(gè)電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的薛定諤單電子波動(dòng)方程（式1-20）：但是，對(duì)晶體中電子態(tài)的準(zhǔn)確描述，需要解大量粒子（離子和自由電子）的薛定諤方程，解這樣一個(gè)多體問題的量子力學(xué)解的方程很困難，需對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化的假定。即假定：晶體點(diǎn)陣完整無缺陷；晶體無窮大；不考慮表面效應(yīng)；離子靜止在晶格點(diǎn)上，沒有熱振動(dòng)。這樣就將多體問題簡(jiǎn)化成多電子問題，即系統(tǒng)含有大量相互作用的電子，在電子勢(shì)場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的總能量為：Nji

13、ijNiiirVmH1,12221)(2(（1-21）式（1-21）仍然非常復(fù)雜，需進(jìn)一步簡(jiǎn)化，忽略其最后一項(xiàng)，假定每個(gè)電子獨(dú)立地在離子勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，即晶體中電子是一個(gè)獨(dú)立粒子系統(tǒng)，這就將多電子問題簡(jiǎn)化成單電子問題，系統(tǒng)的總能量就為能帶理論中V(r) 0的“近自由電子”近似：)(222rVmH(1-22)再將近自由電子近似假定為自由電子近似，即V(r) = 常數(shù)，把坐標(biāo)的零點(diǎn)移到點(diǎn)陣平均勢(shì)場(chǎng)V(r)處, 則V(r) = 0，系統(tǒng)的總能量為222mH（1-23）這就將單電子問題變成了只討論電子在平均勢(shì)場(chǎng)中的動(dòng)能問題（自由電子近似問題）。CONCLUSION自由電子理論的兩大思路：1）在假設(shè)自由電子

14、在金屬晶體中的恒定勢(shì)場(chǎng)下運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上建立了薛定諤方程，并將電子從能量空間轉(zhuǎn)向波數(shù)空間（K K空間）考慮，建立了K K空間理論空間理論（在K K空間中， K K 等價(jià)于動(dòng)量，因此一個(gè)電子的動(dòng)能，以及取V V0 0 = 0為這個(gè)電子能帶底時(shí)的總能量隨K K 2 2而增加，到最大費(fèi)米能3/22222)3(22nmmKEFF（1-24）其中容納了所有的自由電子，在每個(gè)狀態(tài)中包含2個(gè)自旋相反的電子。式中KF 是費(fèi)米波數(shù)，n為單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)。2）通過將單電子的性質(zhì)假設(shè)為是原子和其他價(jià)電子在均勻勢(shì)場(chǎng)中的處理，得到有著固定V分布（勢(shì)分布）的單電子薛定諤方程，將電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從一個(gè)多體問題轉(zhuǎn)化成單體來處理

15、，把每個(gè)電子視為獨(dú)立粒子，整個(gè)晶體構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立粒子系統(tǒng)。從而，將一個(gè)不可能求解的多電子的薛定諤真實(shí)方程簡(jiǎn)化，得到了求解。 晶體點(diǎn)陣具有平移對(duì)稱性，點(diǎn)陣勢(shì)場(chǎng)V(x) 0是個(gè)周期性函數(shù)，在這種周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子是一些近自由電子。 l近自由電子近似近自由電子近似：依據(jù)能帶理論，可以認(rèn)為固體：依據(jù)能帶理論，可以認(rèn)為固體內(nèi)部電子不再束縛在單個(gè)原子周圍，而是在整個(gè)內(nèi)部電子不再束縛在單個(gè)原子周圍，而是在整個(gè)固體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，僅僅受到離子實(shí)勢(shì)場(chǎng)的微擾。近固體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，僅僅受到離子實(shí)勢(shì)場(chǎng)的微擾。近自由電子近似應(yīng)用范圍有限，只對(duì)堿金屬適用，自由電子近似應(yīng)用范圍有限，只對(duì)堿金屬適用，這一類晶體的費(fèi)米面近似為球形。這

16、一類晶體的費(fèi)米面近似為球形。l費(fèi)米面費(fèi)米面 ：金屬中的自由電子滿足泡利不相容原理，金屬中的自由電子滿足泡利不相容原理，其在單粒子能級(jí)上分布幾率遵循費(fèi)米統(tǒng)計(jì)分布。其在單粒子能級(jí)上分布幾率遵循費(fèi)米統(tǒng)計(jì)分布。絕對(duì)零度下，電子在波矢空間（絕對(duì)零度下，電子在波矢空間（k空間）中分布空間）中分布（填充）而形成的體積的表面。由于在絕對(duì)零度（填充）而形成的體積的表面。由于在絕對(duì)零度時(shí)電子都按照泡利不相容原理填滿于費(fèi)米面以下時(shí)電子都按照泡利不相容原理填滿于費(fèi)米面以下的量子化狀態(tài)中，所以費(fèi)米面也就是的量子化狀態(tài)中，所以費(fèi)米面也就是k空間中費(fèi)米空間中費(fèi)米能量所構(gòu)成的表面。實(shí)際晶體的能帶結(jié)構(gòu)十分復(fù)能量所構(gòu)成的表面。實(shí)

17、際晶體的能帶結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，相應(yīng)的費(fèi)米面形狀也很復(fù)雜，最簡(jiǎn)單的情況雜，相應(yīng)的費(fèi)米面形狀也很復(fù)雜，最簡(jiǎn)單的情況是理想費(fèi)米球的費(fèi)米面，它是一個(gè)以是理想費(fèi)米球的費(fèi)米面，它是一個(gè)以kf為半徑的球?yàn)榘霃降那蛎妫怀蔀槊?；成為“費(fèi)米球費(fèi)米球”，測(cè)量金屬費(fèi)米面的實(shí)驗(yàn)技，測(cè)量金屬費(fèi)米面的實(shí)驗(yàn)技術(shù)有磁阻效應(yīng)、回旋共振、反常集賻效應(yīng)等。術(shù)有磁阻效應(yīng)、回旋共振、反常集賻效應(yīng)等。 l近自由電子理論就是設(shè)法解釋電子如何近自由電子理論就是設(shè)法解釋電子如何能在陽離子強(qiáng)電場(chǎng)中自由運(yùn)動(dòng)，用以解能在陽離子強(qiáng)電場(chǎng)中自由運(yùn)動(dòng)，用以解釋低溫時(shí)無缺陷純金屬晶體的電子高輸釋低溫時(shí)無缺陷純金屬晶體的電子高輸運(yùn)性質(zhì)。布洛赫用周期晶體場(chǎng)來代替自運(yùn)性

18、質(zhì)。布洛赫用周期晶體場(chǎng)來代替自由電子近似理論的常數(shù)由電子近似理論的常數(shù)V0，在三維晶體在三維晶體勢(shì)場(chǎng)中求出了被稱之為勢(shì)場(chǎng)中求出了被稱之為布洛赫函數(shù)的薛布洛赫函數(shù)的薛定諤通解定諤通解，為解決此問題作出了巨大貢，為解決此問題作出了巨大貢獻(xiàn)。獻(xiàn)。ExVdxdmh)(2222（1-25）將（1-25）式中V(x)展開成級(jí)數(shù)nnanxineVVxV1/20)(（1-26）式中右側(cè)第二項(xiàng)隨x的坐標(biāo)變化而周期變化，變化周期為a，即V(x) = V(x+a)。這一項(xiàng)比V0小，可以當(dāng)作微擾項(xiàng)。一維能帶理論可導(dǎo)出當(dāng)K = n/2a時(shí)，電子總能量公式：nnVEVVanmhE002)2(2（1-27） 式（1-27）

19、表示當(dāng)K = n/2a時(shí)，由于周期場(chǎng)的影響，當(dāng)總能為E - | Vn | 的能級(jí)被占有以后，再增加一個(gè)電子，這個(gè)額外的電子只能占據(jù)總能為E0 - | V |的能級(jí)，在兩個(gè)能級(jí)（允許帶）之間的能態(tài)是禁止的（禁帶）。禁帶寬度為2 | Vn |， Vn 是周期場(chǎng)微擾項(xiàng)級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)；禁帶出現(xiàn)的位置在K = n/2a，a是點(diǎn)陣常數(shù)，n是正整數(shù)。一維能帶理論導(dǎo)出的E-K曲線圖如下圖（b）。Fig. 晶體中電子的 E-K 曲線圖（a）自由電子近似曲線；圖（b）在K = n/2a 附近不同于圖（a），其他部分與自由電子模型完全相同。由由K = n/2a = 1/ 可知，可知，n = 2a滿足布拉格反滿足布

20、拉格反射條件射條件n = 2d sin 。下圖為入射波在晶體中。下圖為入射波在晶體中全反射的情況：全反射的情況：離子離子1和離子和離子2的反射波方向相同，波長(zhǎng)也相的反射波方向相同，波長(zhǎng)也相同，當(dāng)同，當(dāng)K = n/2a 時(shí)，時(shí)， 2a = n ，這些弱反射，這些弱反射波系列相干而加強(qiáng)，可以在布里淵區(qū)邊界上波系列相干而加強(qiáng)，可以在布里淵區(qū)邊界上發(fā)生全反射，具有相同強(qiáng)度的入射波和反射發(fā)生全反射，具有相同強(qiáng)度的入射波和反射波疊加形成駐波：波疊加形成駐波：)2cos()2cos(2)(2cos)(2costkxAkxtAkxtA(1-28)式（1-28）可以寫成以下組合的波函數(shù)：vtikxivtikxi

21、eAeeAe22222（1-29）2是一駐波，當(dāng)x = ma時(shí)，振幅為零；當(dāng)x = (2m + 1) a/2時(shí)，振幅為2A。Fig. 晶體中電子的 E-K 曲線Fig. 一維晶體勢(shì)場(chǎng)中電子幾率的周期性規(guī)律 1的波腹在的波腹在 x = ma處，處， 1的電子密度最大，勢(shì)能的電子密度最大，勢(shì)能最低，波函數(shù)為最低，波函數(shù)為 1的電子總能低于自由電子（圖中的電子總能低于自由電子（圖中A點(diǎn)）；點(diǎn)）； 2的波腹在的波腹在 x = (2m + 1) a/2處，處， 2的電子的電子密度最大，勢(shì)能最高，波函數(shù)為密度最大，勢(shì)能最高，波函數(shù)為 2的電子總能高于的電子總能高于自由電子（圖中自由電子（圖中B點(diǎn)點(diǎn))。而得

22、到2個(gè)結(jié)果：與其平面波一樣，布洛赫波在理想晶體內(nèi)無限地精確重復(fù)，盡管有周期性晶體場(chǎng)對(duì)應(yīng)的u( r )存在，一個(gè)布洛赫電子還是像自由電子一樣在晶體中自由運(yùn)動(dòng)以下駐波公式kxikxeeikxikxsincos)(21或（1-34）余弦代表對(duì)應(yīng)自由電子能量低的狀態(tài)，正弦代表高能量狀態(tài)。這樣費(fèi)米分布的能帶被余弦解與正弦解之間的能量間隔分開，由一些不存在布洛赫狀態(tài)的禁止的能帶分割成一些允許的能帶。布里淵區(qū)理論布里淵區(qū)理論是描述能帶結(jié)構(gòu)的模型。是描述能帶結(jié)構(gòu)的模型。布里淵區(qū)布里淵區(qū)：當(dāng)：當(dāng)K = n/2a 時(shí)，電子產(chǎn)生布拉時(shí)，電子產(chǎn)生布拉格反射，從而出現(xiàn)能隙，導(dǎo)致將格反射，從而出現(xiàn)能隙，導(dǎo)致將K空間分為空

23、間分為區(qū)的概念，這些區(qū)稱為布里淵區(qū)。區(qū)的概念，這些區(qū)稱為布里淵區(qū)。一維晶體中，在一維晶體中，在K = n/2a 處出現(xiàn)第一個(gè)能處出現(xiàn)第一個(gè)能隙，布里淵區(qū)的劃分方法是作倒空間中倒格隙，布里淵區(qū)的劃分方法是作倒空間中倒格矢的垂直中分面，由矢的垂直中分面，由K = - n/2a 至至K = + n/2a 的區(qū)域是第一布里淵區(qū)；的區(qū)域是第一布里淵區(qū)； K = - n/2a 至至K = + n/2a 決定第二布里淵區(qū)的邊界，并依次類推。決定第二布里淵區(qū)的邊界，并依次類推。Fig. 晶體中電子的 E-K 曲線三維晶體的布里淵區(qū)比較復(fù)雜。三維晶體的布里淵區(qū)比較復(fù)雜。對(duì)于簡(jiǎn)單立方，第一布里淵區(qū)邊界圍城一個(gè)立方

24、對(duì)于簡(jiǎn)單立方，第一布里淵區(qū)邊界圍城一個(gè)立方體；體；對(duì)對(duì)fccfcc，第一布里淵區(qū)邊界圍城一個(gè)，第一布里淵區(qū)邊界圍城一個(gè)1414面體；對(duì)面體；對(duì)bccbcc，第一布里淵區(qū)邊界圍城一個(gè)，第一布里淵區(qū)邊界圍城一個(gè)1212面體。面體。第二布里淵區(qū)則更為復(fù)雜，但第二布里淵區(qū)與其第二布里淵區(qū)則更為復(fù)雜，但第二布里淵區(qū)與其它布里淵區(qū)都有相同的體積。布里淵區(qū)的能級(jí)數(shù)它布里淵區(qū)都有相同的體積。布里淵區(qū)的能級(jí)數(shù)可由下式計(jì)算：可由下式計(jì)算：NN33)2 ()2 (（1-35）上式左端分子項(xiàng)為布里淵區(qū)的體積，分母項(xiàng)為每個(gè)能上式左端分子項(xiàng)為布里淵區(qū)的體積，分母項(xiàng)為每個(gè)能級(jí)代表點(diǎn)的體積。在考慮實(shí)際晶體電子占有能帶時(shí)此級(jí)代

25、表點(diǎn)的體積。在考慮實(shí)際晶體電子占有能帶時(shí)此關(guān)系很重要。如下圖所示，對(duì)于一定的關(guān)系很重要。如下圖所示，對(duì)于一定的K，可以畫出，可以畫出K空間的等能面（二維情況為等能線）。能量低的等能空間的等能面（二維情況為等能線）。能量低的等能線線1，2是以是以K空間原點(diǎn)為中心的圓（三維為一球面），空間原點(diǎn)為中心的圓（三維為一球面），在這個(gè)范圍內(nèi)，波矢離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)，這些電子在這個(gè)范圍內(nèi)，波矢離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)，這些電子與自由電子的行為相同，不受點(diǎn)陣周期場(chǎng)的影響，所與自由電子的行為相同，不受點(diǎn)陣周期場(chǎng)的影響，所以各方向上的以各方向上的E-K關(guān)系相同。關(guān)系相同。當(dāng)當(dāng)K值繼續(xù)增值繼續(xù)增加，等能線加，等能線3開始

26、偏離圓形，開始偏離圓形，并在接近邊界并在接近邊界部分向外突出，部分向外突出，受點(diǎn)陣周受點(diǎn)陣周期場(chǎng)的影期場(chǎng)的影響逐漸顯響逐漸顯著，著，dE/dK比自由電比自由電子小，因子小，因而在這個(gè)而在這個(gè)方向上，方向上，2個(gè)等能線之間個(gè)等能線之間K的增量比自由電子大。等能線的增量比自由電子大。等能線4，5表表示與布里淵區(qū)的邊界相交，處于布里淵區(qū)角頂?shù)哪芗?jí)示與布里淵區(qū)的邊界相交，處于布里淵區(qū)角頂?shù)哪芗?jí)在這個(gè)布里淵區(qū)中能量最高（圖中在這個(gè)布里淵區(qū)中能量最高（圖中Q點(diǎn)）。在邊界上，點(diǎn)）。在邊界上，能量是不連續(xù)的，等能面不能穿過布里淵區(qū)邊界。能量是不連續(xù)的，等能面不能穿過布里淵區(qū)邊界。在布里淵區(qū)邊界，有能隙在布里淵區(qū)邊界，有能隙2（Vn）的禁帶寬度，但三維）的禁帶寬度，但三維晶體不一定晶體不一定有禁帶。如有禁帶。如果圖中第一果圖中第一區(qū)區(qū)01方