高數(shù)經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂筆記(自考2)

1、自考高數(shù)經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂筆記2兩個獨立連續(xù)型隨機變量X，Y的和函數(shù)Z=X+Y的概率密度的計算公式為：若X，Y獨立，XfX（X），YfY（Y）則有 （不證）上面公式叫獨立隨機變量和的卷積公式例3-24設(shè)X，Y獨立，且XN（0，1），YN（0，1），求Z=X+Y的概率密度。解：已知所以令 ZN（0，2）相似地，可以證明下面的結(jié)果：定理：若X，Y獨立，（不證）【答疑編號：10030403針對該知識點提問】例如在上例中，XN（0，1），YN（0，1），X，Y獨立，則 X+YN（0,2）X-YN（0,2）2X+3YN（0,13）又例如 XN（3,4）, YN（1,1）,X,Y獨立則 2X-YN

2、（23-1,44+（-1）21）=N（5,17）本章內(nèi)容小結(jié)（一）知道二維隨機變量的分布函數(shù)的概念和性質(zhì)。（1）（X，Y）F（X,Y）=P（XX,YY） =P（-XX, -YY）（2）F（X,Y）的性質(zhì)（）F（+，+）=1（）F（-，Y）=0，F(xiàn)（X，-）=0 F（-，-）=0（3）XFX（X）=F（X,+ ） YFY（Y）=F（+,Y）【答疑編號：10030404針對分布函數(shù)提問】（二）離散型二維隨機變量（1）（X，Y）的分布律性質(zhì)（2）X的邊緣分布證明P1=P11+P12+P1N， P2=P21+P22+P2N， pm=pm1+pm2+pmn（3）Y的分布律證P1=P11+P21+pm1，

3、 P2=P21+P22+pm2， PN= P1N+P2N+pmn【答疑編號：10030405針對邊緣分布提問】（4）X，Y獨立的充要條件是：X，Y獨立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj） （i=1,2,M；j=1,2,N）判斷離散性隨機變量X，Y是否獨立?！敬鹨删幪枺?0030406針對判斷變量是否獨立提問】（5）會求 Z=X+Y的分布律（三）二維連續(xù)型隨機變量（1）若已知 f（X,Y）時，會用上式求F（X,Y）性質(zhì)（2）已知F（X,Y）時，會用上式求f（X,Y）（3）會用公式求（X，Y）在區(qū)域D上取值的概率。（4）會用公式分別求X，Y的概率密度（邊緣密度）（5）會根據(jù)X，Y

4、獨立判斷連續(xù)型隨機變量X，Y的獨立性。（6）知道兩個重要的二維連續(xù)隨機變量（X，Y）在D上服從均勻分布 S是D的面積則X，Y獨立（7）若X，Y獨立，且本章作業(yè)教材72頁 習(xí)題3.11、2、3、4、5、6、7、8、10教材79頁 習(xí)題3.2 1、2、3 提示4教材83頁 習(xí)題3.31、2、3、484頁 自測題隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的概率分布完整地描述了隨機變量統(tǒng)計規(guī)律，但是在實際問題中求得隨機變量的概率分布并不容易，而且對某些問題來說，只需知道它的某些特征，我們把刻畫隨機變量某些方面特征的數(shù)值稱為隨機變量的數(shù)字特征。本章主要研究隨機變量的期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等數(shù)字特征。4.1 隨機變

5、量的期望4.1.1 離散型隨機變量的期望引例 10人參加考試，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分?！敬鹨删幪枺?0040101針對該題提問】解：平均分為：從本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。這是由于60分出現(xiàn)的機會多于100分，上面方法出現(xiàn)了60分出現(xiàn)的頻率多。100分的頻率小，能正確計算平均值。定義若X的分布律為 P（X=xi）=pi，i=1，2當(dāng)級數(shù)絕對收斂時（即收斂）就說是離散型隨機變量X的期望。記作EX，即說明：（1）若X取值為有限個x1，x2，xn則（2）若X取值為可列無限多個x1，x2，xn則這時才要求無窮級數(shù)絕對收斂。很明顯，X的

6、期望EX體現(xiàn)隨機變量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。【例4-1】設(shè)隨機變量X的分布律為求E（X）解 E（X）=（-1）0.3+00.2+10.5=0.2【例4-2】甲乙兩人進(jìn)行打靶，所得分?jǐn)?shù)分別記為X，Y，它們的分布律分別為試比較他們成績的好壞?！敬鹨删幪枺?0040102針對該題提問】解 我們分別計算X和Y的數(shù)學(xué)期望： EX=00+10.2+20.8=1.8（分）。 EY=00.1+10.8+20.1=1（分）。這意味著，如果進(jìn)行多次射擊，甲所得分?jǐn)?shù)的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明顯乙的成績遠(yuǎn)不如甲。4.1.2 下面介紹幾種重要離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望。1.兩點

7、分布隨機變量X的分布律為其中0p1，有EX=0（1-p）+1p=p。2.二項分布設(shè)XB（n,p），即可以證明它的期望EX=np二項分布的數(shù)學(xué)期望np，有著明顯的概率意義。比如擲硬幣試驗，設(shè)出現(xiàn)正面概率若進(jìn)行100次試驗，則可以“期望”出現(xiàn)次正面，這正是期望這一名稱的來由。3.泊松分布設(shè)其分布律為則X數(shù)學(xué)期望為EX=小結(jié)上面的結(jié)果，有下面公式分布EXX（0,1）XB（n,p）XP（）pnp今后在上面三種情形下，期望EX不必用定義計算，可以直接套用公式。例如 若 XB（10，0.8），則EX=100.8=8 若 XP（3），則EX=3。4.1.3下面介紹離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。定理4-1 設(shè)

8、離散型隨機變量X的分布律為PX=xk=pk，k=1，2，。令Y=g（X），若級數(shù)絕對收斂，則隨機變量Y的數(shù)學(xué)期望為特別情形【例4-5】設(shè)隨機變量X的分布律為令Y=2X+1，求E（Y）?！敬鹨删幪枺?0040103針對該題提問】解EY=（2（-1）+1）0.3+（20+1）0.2+（21+1）0.4+（22+1）0.1 =（-1）0.3+10.2+30.4+50.1=1.6。【例4-6】設(shè)隨機變量X的分布律為且Y=X2，求EY?！敬鹨删幪枺?0040104針對該題提問】解 =（-1）20.3+020.2+0.520.1+120.1+220.3=0.3+0.025+0.1+1.2=1.625。4.

9、1.4 連續(xù)型隨機變量的期望對于連續(xù)型隨機變量的期望，形式上可類似于離散型隨機變量的期望給予定義，只需將和式中的xi改變x,pi改變?yōu)閒（x）dx（其中f（x）為連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)）以及和號“”演變?yōu)榉e分號“”即可。定義4-2 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f（x），若廣義積分絕對收斂，則稱該積分為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望（簡稱期望或均值），記為EX，即【例4-7】設(shè)隨機變量X的概率密度為 求E（X）?！敬鹨删幪枺?0040105針對該題提問】解 【例4-8】設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為 求E（X）?！敬鹨删幪枺?0040106針對該題提問】解 因為f（x）只在有限區(qū)間上不為零，且在該區(qū)

10、間上為連續(xù)函數(shù)，所以E（X）存在，且根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)知道E（X）=0。下面介紹幾種重要連續(xù)型隨機變量的期望。1.均勻分布設(shè)隨機變量X在a,b上服從均勻分布，其概率密度為則 在區(qū)間a,b上服從均勻分布的隨機變量的期望是該區(qū)間中點。2.指數(shù)分布設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為0的指數(shù)分布，其概率密度為解：在微積分中有 即指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為參數(shù)的倒數(shù)。3.正態(tài)分布設(shè)其概率密度為則X的期望E（X）=。（不證）上面三種情況列表如下（可以作為公式使用）分布EXXU（a,b）XE（）XN（，2）例如 XU（0,10） 則 XE（2） 則下面介紹連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。定理4-2 設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其概率密

11、度為fX（x），又隨機變量Y=g（X），則當(dāng)收斂時，有證明略。這一公式的好處是不必求出隨機變量Y 的概率密度fY（x），而可由隨機變量X的概率密度fX（x）直接計算E（Y），應(yīng)用起來比較方便。特別情形例4-9 求EX2【答疑編號：10040107針對該題提問】解4.1.5二維隨機變量函數(shù)的期望定理4-3 （1）若（X，Y）為離散型隨機變量，若其分布律為pijPX=xi,Y=yi，邊緣分布律為則（2）其（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量，f（x,y）,fx（x）,fY（y）分別為（X，Y）的概率密度與邊緣概率密度，則證明略。定理4-4 設(shè)g（X，Y）為連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機變量（X，Y）的函數(shù)g（X

12、，Y），（1）若（X，Y）為離散型隨機變量，級數(shù)收斂，則（2）若（X，Y）為連續(xù)型隨機變量，且積分收斂，則證明略?！纠?-10】已知（X，Y）的分布律為求：（1）E（2X+3Y）；（2）E（XY）?！敬鹨删幪枺?0040108針對該題提問】解 （1）由數(shù)學(xué)期望定義知【例4-11】設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為求：（1）E（X+Y）；（2）E（XY）；（3）P X+Y1?！敬鹨删幪枺?0040109針對該題提問】解：4.1.6期望的性質(zhì)期望有許多重要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以進(jìn)行期望的運算。下面列舉的這些性質(zhì)對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量而言，都可以利用隨機變量函數(shù)的期望與二維隨機變量函數(shù)的

13、期望公式加以證明。性質(zhì)4-1 常數(shù)的期望等于這個常數(shù)，即E（C）=C，其中C為常數(shù)。證明 常數(shù)C作為隨機變量，它只可能取一個值C，即PX=C=1，所以E（C）=C1=C性質(zhì)4-2 常數(shù)與隨機變量X乘積的期望等于該常數(shù)與隨機變量X的期望的乘積，即E（CX）=CE（X）。證明 設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f（x），則有當(dāng)X為離散型隨機變量時，請讀者自證。有E（CX+b）=CEX+b性質(zhì)4-3隨機變量和的期望等于隨機變量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）。證明 不妨設(shè)（X，Y）為二維隨機變量，其概率密度為f（x,y）,Z=X+Y是（X，Y）的函數(shù)，有=E（X）+E（Y）。這一性質(zhì)可作

14、如下推廣：E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1，C2為常數(shù)。結(jié)合性質(zhì)4-2與性質(zhì)4-3可證此性質(zhì)。一般地，設(shè)X1，X2，,Xn為n個隨機變量，則有E（X1+X2+Xn）= EX1+ EX2+ EXnE（C1X1+C2X2+CnXn）=C1EX1+C2EX2+ CnEXn性質(zhì)4-4兩個相互獨立的隨機變量乘積的期望等于期望的乘積，即若X，Y是相互獨立的隨機變量，則E（XY）=E（X）E（Y）。證明 僅證連續(xù)型情況，因為X，Y相互獨立，所以f（x,y）=fX（x）fY（y），=E（X）E（Y）由數(shù)學(xué)歸納法可證得：當(dāng)X1，X2，Xn相互獨立時有E（X1X2Xn）=E（X1）E（X

15、2）E（Xn）?！纠?-12】設(shè)Xi（i=1,2,）服從0-1分布其中0p0，有: 或：例5-1設(shè)X是拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)，若給定=2,2.5，實際計算P|X-E（X）|，并驗證切比雪夫不等式成立。【答疑編號：10050101針對該題提問】解 X的分布律為所以當(dāng)=2時，當(dāng)=2.5時，可見，切比雪夫不等式成立。例5-2設(shè)電站供電網(wǎng)有10 000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定所有電燈開或關(guān)是彼此獨立的。試用切比雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6 8007 200的概率。【答疑編號：10050102針對該題提問】解：設(shè)X表示在夜晚同時開著的電燈的數(shù)目，它服從參數(shù)n=10 000

16、,p=0.7的二項分布。于是有E（X）=np=10 0000.7=7 000,D（X）=npq=10 0000.70.3=2100,P6 800X7 200=P|X-7000|1,X1,X2,Xn是相互獨立的。此時，若所有的Xi又具有相同的分布，則稱X1,X2,Xn,是獨立同分布隨機變量序列。定理5-3設(shè)X1,X2,Xn,是獨立同分布隨機變量序列E（Xi）=,D（Xi）=2（i=1,2）均存在，則對于任意0有（不證） 這一定理說明：經(jīng)過算術(shù)平均后得到的隨機變量在統(tǒng)計上具有一種穩(wěn)定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數(shù)定律的含義。在概率論中，大數(shù)定律是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計穩(wěn)定性的深刻描述

17、；同時，也是數(shù)理統(tǒng)計的重要理論基礎(chǔ)。5.3 中心極限定理 5.3.1獨立同分布序列的中心極限定理定理5-4 設(shè)X1,X2,Xn,是獨立同分布的隨機變量序列，且具有相同數(shù)學(xué)期望和方差E（Xi）=，D（Xi）=2（i=1,2,）。記隨機變量的分布函數(shù)為Fn（x），則對于任意實數(shù)x，有 （不證） 其中（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。由這一定理知道下列結(jié)論：（1）當(dāng)n充分大時，獨立同分布的隨機變量之和的分布近似于正態(tài)分布N（n，n2）。我們知道，n個獨立同分布的正態(tài)隨機變量之和服從正態(tài)分布。中心極限定理進(jìn)一步告訴我們。 不論X1,X2,Xn,獨立同服從什么分布，當(dāng)n充分大時，其和Zn近似服從正態(tài)分布。（2）

18、考慮X1,X2,Xn,的平均值，有它的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量為，即為上述Yn。因此的分布函數(shù)即是上述的Fn（x），因而有由此可見， 當(dāng)n充分大時，獨立同分布隨機變量的平均值的分布近似于正態(tài)分布 例5-3對敵人的防御地段進(jìn)行100次射擊，每次射擊時命中目標(biāo)的炮彈數(shù)是一個隨機變量，其數(shù)學(xué)期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率。【答疑編號：10050104針對該題提問】解 設(shè)Xi為第i次射擊時命中目標(biāo)的炮彈數(shù)（i=1,2,100），則為100次射擊中命中目標(biāo)的炮彈總數(shù)，而且X1，X2，X100同分布且相互獨立。由定理5-4可知，隨機變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故有例

19、5-4某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時）的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機抽出16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時的概率。【答疑編號：10050105針對該題提問】解 設(shè)第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,16）,E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則是這16只元件的壽命的總和。E（Y）=10016=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為： 5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理下面介紹另一個中心極限定理，它是定理5-4的特殊情況。定理5-5（棣莫弗拉普拉斯中心極限定理）設(shè)

20、隨機變量Zn是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對于任意實數(shù)x其中q=1-p,（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。 由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結(jié)論：（1）在貝努利試驗中，若事件A發(fā)生的概率為p。又設(shè)Zn為n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的頻數(shù)，則當(dāng)n充分大時，Zn近似服從正態(tài)分布N（np,npq）。（2）在貝努利試驗中，若事件中A發(fā)生的概率為p，為n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的頻率，則當(dāng)n充分大時，近似服從正態(tài)分布【例5-5】用中心極限定理得到求解5.1例5-2的概率。【答疑編號：10050106針對該題提問】解 設(shè)同時開著的燈數(shù)為X，則X-B（1000，0.7），np

21、=10000.7=7000,【例5-6】設(shè)某單位內(nèi)部有1000臺電話分機，每臺分機有5%的時間使用外線通話，假定各個分機是否使用外線是相互獨立的，該單位總機至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機需要使用外線時不被占用？【答疑編號：10050107針對該題提問】解：把觀察每一臺分機是否使用外線作為一次試驗，則各次試驗相互獨立，設(shè)X為1000臺分機中同時使用外線的分機數(shù)，則XB（1000，0.05），np=10000.05=50,根據(jù)題意，設(shè)N為滿足條件的最小正整數(shù)由于（-7.255）0，故有 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得（1.65）=0.9505，故有 由此 N61.37 即該單位總機

22、至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機在使用外線時不被占用。小結(jié)本章考核要求（一）知道切比雪夫不等式或 并且會用切比雪夫不等式估計事件|X-EX|或|X-EX|的概率。（二）知道貝努利大數(shù)定律其中n是試驗次數(shù)，m是A發(fā)生次數(shù)，p是A的概率，它說明試驗次數(shù)很多時，頻率近似于概率。（三）知道切比雪夫不等式大數(shù)定律它說明在大量試驗中，隨機變量取值穩(wěn)定在期望附近。（四）知道獨立同分布中心極限定理若記YnFn（x），則有它說明當(dāng)n很大時，獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)N（n,n2）所以，無論n個獨立同分布的X1,X2,Xn服從何種分布，n很大時，X1+X2+Xn卻近似正態(tài)N（n,n

23、2）.（五）知道棣莫弗拉普拉斯中心極限定理若Zn表示n次獨立重復(fù)事件發(fā)生次數(shù)，即ZnB（n,p）,則有即Zn近似正態(tài)N（np,np（1-p）2）。并會用中心極限定理計算簡單應(yīng)用問題。本章作業(yè)習(xí)題5.1：1，2，3，4習(xí)題5.3：1，2，3，4，5，7教材124頁，自測題5一、1，2，3二、填空題1，2，3，4，5統(tǒng)計量及其抽樣分布6.1總體與樣本6.1.1總體與個體在一個統(tǒng)計問題中，我們把研究對象的全體稱為總體，構(gòu)成總體的每個成員稱為個體。對多數(shù)實際問題。總體中的個體是一些實在的人或物。比如，我們要研究某大學(xué)的學(xué)生身高情況，則該大學(xué)的全體學(xué)生構(gòu)成問題的總體，而每一個學(xué)生即是一個個體。事實上，每

24、個學(xué)生有許多特征：性別、年齡、身高、體重、民族、籍貫等。而在該問題中，我們關(guān)心的只是該校學(xué)生的身高如何，對其他的特征暫不予以考慮。這樣，每個學(xué)生（個體）所具有的數(shù)量指標(biāo)值身高就是個體，而將所有身高全體看成總體。這樣一來，若拋開實際背景，總體就是一堆數(shù)，這堆數(shù)中有大有小，有的出現(xiàn)的機會多，有的出現(xiàn)的機會少，因此用一個概率分布去描述和歸納總體是恰當(dāng)?shù)摹倪@個意義上看，總體就是一個分布，而其數(shù)量指標(biāo)就是服從這個分布的隨機變量。以后說“從總體中抽樣”與“從某分布中抽樣”是同一個意思。例6-1考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，將其產(chǎn)品只分為合格品與不合格品，并以0記合格品，以1記不合格品，則總體該廠生產(chǎn)的全部合格品與

25、不合格品由0或1組成的一堆數(shù)。若以p表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個二點分布表示：不同的p反映了總體間的差異。例如，兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品總體分布為：我們可以看到，第一個工廠的產(chǎn)品質(zhì)量優(yōu)于第二個工廠。實際中，分布中的不合格品率是未知的，如何對之進(jìn)行估計是統(tǒng)計學(xué)要研究的問題。6.1.2樣本為了了解總體的分布，我們從總體中隨機地抽取n個個體，記其指標(biāo)值為x1，x2，xn，則x1，x2，xn稱為總體的一個樣本，n稱為樣本容量，或簡稱樣本量，樣本中的個體稱為樣品。我們首先指出，樣本具有所謂的二重性：一方面，由于樣本是從總體中隨機抽取的，抽取前無法預(yù)知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨

26、機變量，用大寫字母X1，X2，Xn表示；另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測就有確定的觀測值，因此，樣本又是一組數(shù)值。此時用小寫字母x1，x2，xn表示是恰當(dāng)?shù)?。簡單起見，無論是樣本還是其觀測值，本書中樣本一般均用x1，x2，xn表示，讀者應(yīng)能從上下文中加以區(qū)別。例6-2啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640g，由于隨機性，事實上不可能使得所有的啤酒凈含量均為640g ,現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機抽取10瓶測定其凈含量，得到如下結(jié)果： 641635640637642638645643639640這是一個容量為10的樣本的觀測值。對應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量?！敬鹨删幪枺?0060101針對該

27、題提問】從總體中抽取樣本時，為使樣本具有代表性，抽樣必須是隨機抽樣。通?？梢杂秒S機數(shù)表來實現(xiàn)隨機抽樣。還要求抽樣必須是獨立的，即每次的結(jié)果互不影響。在概率論中，在有限總體（只有有限個個體的總體）中進(jìn)行有放回抽樣，是獨立的隨機抽樣；然而，若為不放回抽樣，則是不獨立的抽樣。但 當(dāng)總體容量N很大但樣本容量n較小時，不放回抽樣可以近似地看做放回抽樣，即可近似看做獨立隨機抽樣。下面，我們假定抽樣方式總滿足獨立隨機抽樣的條件。從總體中抽取樣本可以有不同的抽法，為了能由樣本對總體做出較可靠的推斷，就希望樣本能很好地代表總體。這就需要對抽樣方法提出一些要求，最常用的 “簡單隨機抽樣”有如下兩個要求：（1）樣本

28、具有隨機性，即要求總體中每一個個體都有同等機會被選入樣本，這便意味著每一樣品xi與總體X有相同的分布。（2）樣本要有獨立性，即要求樣本中每一樣品的取值不影響其他樣品的取值，這意味著x1，x2，xn相互獨立。用簡單隨機抽樣方法得到的樣本稱為簡單隨機樣本，也簡稱樣本。除非特別指明，本書中的樣本皆為簡單隨機樣本。于是，樣本x1，x2，xn可以看成是相互獨立的具有同一分布的隨機變量，其共同分布即為總體分布。 設(shè)總體X具有分布函數(shù)F（x）, x1，x2，xn為取自該總體的容量為n的樣本，則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為：若總體具有密度函數(shù)f（x），則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為若總體X為離散型隨機變量，則樣本的（聯(lián)合）概率

29、函數(shù)為顯然，通常說的樣本分布是指多維隨機變量（x1，x2，xn）的聯(lián)合分布。例6-3為估計一物件的重量，用一架天平重復(fù)測量n次，得樣本x1，x2，xn，由于是獨立重復(fù)測量，x1，x2，xn是簡單隨機樣本?？傮w的分布即x1的分布（x1，x2，xn分布相同）。由于稱量誤差是均值（期望）為零的正態(tài)變量，所以x1可認(rèn)為服從正態(tài)分布N（，2）（X1等于物件重量）加上稱量誤差，即x1的概率密度為這樣，樣本分布密度為。 【答疑編號：10060102針對該題提問】例6-4設(shè)某種電燈泡的壽命X服從指數(shù)分布E（），其概率密度為：則來自這一總體的簡單隨機樣本x1，x2，xn的樣本分布密度為【答疑編號：1006010

30、3針對該題提問】例6-5考慮電話交換臺一小時內(nèi)的呼喚次數(shù)X。求來自這一總體的簡單隨機樣本x1，x2，xn的樣本分布。【答疑編號：10060104針對該題提問】解由概率論知識，X服從泊松分布P（），其概率函數(shù)，（其中x是非負(fù)整數(shù)0，1，2，k，中的一個）。從而，簡單隨機樣本x1，x2，xn的樣本分布為：6.2統(tǒng)計量及其分布6.2.1 統(tǒng)計量與抽樣分布樣本來自總體，樣本的觀測值中含有總體各方面的信息，但這些信息較為分散，有時顯得雜亂無章。為將這些分散在樣本中有關(guān)總體的信息集中起來以反映總體的各種特征，需要對樣本進(jìn)行加工。最常用的加工方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。 定義6-1

31、設(shè)x1，x2，xn為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)TT（x1，x2，xn）中不含有任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。按照這一定義，若x1，x2，xn為樣本，則，都是統(tǒng)計量，而當(dāng)，2未知時， 等均不是統(tǒng)計量。6.2.2樣本均值及其抽樣分布 定義6-2 設(shè)x1，x2，xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用表示，即。例6-6 某單位收集到20名青年人某月的娛樂支出費用數(shù)據(jù)：7984 8488 92 93 94 97 98 99100 101101102102 108110113118125 則該月這20名青年的平均娛樂支出為【答疑編號：10060105針對該題提

32、問】對于樣本均值的抽樣分布，我們有下面的定理。 定理6-1設(shè)x1，x2，xn是來自某個總體X的樣本， 為樣本均值。（1）若總體分布為N（2），則的精確分布為；（2）若總體X分布未知（或不是正態(tài)分布），且E（X）=，D（X）=2，則當(dāng)樣本容量n較大時，的漸近分布為，這里的漸近分布是指n較大時的近似分布。證明（1）由于為獨立正態(tài)變量線性組合，故仍服從正態(tài)分布。另外， 故 （2）易知為獨立、同分布的隨機變量之和，且 。由中心極限定理， ，其中（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這表明n較大時的漸近分布為。6.2.3樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差 定義6-3設(shè)x1，x2，xn為取自某總體的樣本，則它關(guān)于樣本均值的平均偏差平方

33、和 稱為樣本方差，其算術(shù)根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。相對樣本方差而言，樣本標(biāo)準(zhǔn)差通常更有實際意義，因為它與樣本均值具有相同的度量單位。在上面定義中，n為樣本容量，稱為偏差平方和，它有3個不同的表達(dá)式：事實上，偏差平方和的這3個表達(dá)式都可用來計算樣本方差。例6-7在例6-6中，我們已經(jīng)算得，其樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差為，。方法二s=11.57 31【答疑編號：10060201針對該題提問】通常用第二種方法計算s2方便許多。下面的定理給出樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望，它不依賴于總體的分布形式。這些結(jié)果在后面的討論中是有用的。 定理6-2設(shè)總體X具有二階矩，即E（x）=,D（X）=2+x1，x2

34、，xn為從該總體得到的樣本，和s2分別是樣本均值和樣本方差，則 此定理表明，樣本均值的均值與總體均值相同，而樣本均值的方差是總體方差的。證明由于（1）（2）故（6.3.3）式成立。下證（6.3.4），注意到 ，而 ，于是 ，兩邊各除以n-1，即得（6.3.4）式。值得讀者注意的是：本定理的結(jié)論與總體服從什么分布無關(guān)。6.2.4樣本矩及其函數(shù)樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計量。 定義6-4設(shè)x1，x2，xn是樣本，則統(tǒng)計量（6.3.5）稱為樣本k階原點矩，特別地，樣本一階原點矩就是樣本均值。統(tǒng)計量 （6.3.6） 稱為樣本k階中心矩。常見的是k=2的場合，此時稱為二階

35、樣本中心矩。本書中我們將其記為sn2，以區(qū)別樣本方差S2。 6.2.5極大順序統(tǒng)計量和極小順序統(tǒng)計量 定義6-5設(shè)總體X具有分布函數(shù)F（x），分布密度f（x）, x1，x2，xn為其樣本，我們分別稱X（1）=minx1,x2,xn,x（n）=maxx1,x2,xn為極小順序統(tǒng)計量和極大順序統(tǒng)計量。定理6-3若x(1),x(n)分別為極小、極大順序統(tǒng)計量，則（1）x(1)的分布函數(shù)F1(x)=1-(1-F（x)n,x（1）的分布密度f1(x)=n-(1-F(x)n-1f(x) （2）x（n）的分布函數(shù)Fn(x)=F(x)n,x(n)的分布密度fn(x)=nF(x)n-1f(x) 證明 先求出x（

36、1）及x（n）的分布函數(shù)F1（x）及Fn（x）：，分別對F1（x），F(xiàn)n（x）求導(dǎo)即得6.2.6正態(tài)總體的抽樣分布有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)總體的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量（其抽樣分布分別為x2分布，t分布和F分布）在實踐中有著廣泛的應(yīng)用。這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有“明確的表達(dá)式”，它們被稱為統(tǒng)計中的“三大抽樣分布”。1. x2分布（卡方分布） 定義6-6設(shè)X1，X2，Xn獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則x2=x12+xn2的分布稱為自由度為n的x2分布，記為x2 x2（n）。x2（n）分布的密度函數(shù)見圖6-4當(dāng)隨機變量x2 x

37、2（n）時，對給定的（0 x2（n）= 的x2（n）是自由度為n的開方分布的分位數(shù)。分位數(shù)x2（n）可以從附表4中查到。例如n=10，=0.05，那么從附表4中查得x2(10)=18.307p(x)2x20.05(10)=px218.307=0.05注：請讀者注意x2x2（n）時，n是自由度，不是容量。2.F分布 定義6-7 設(shè)x1x2(m)，x2x2(n)X1與X2獨立，則稱的分布是自由度為m與n的F分布，記為FF（m，n），其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度。自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)的圖像是一個只取非負(fù)值的偏態(tài)分布（見圖6-5）。當(dāng)隨機變量FF（m，n）時，對給定的（0F（m,

38、n）=的數(shù)F（m,n）是自由度為m與n的F分布的分位數(shù)。當(dāng)FF（m，n）時，有下面性質(zhì)（不證），這說明（6.3.8）對小的，分位為F（m,n）可以從附表5中查到，而分位數(shù)F1-（m,n）則可通過（6.3.8）式得到?！纠?-8】若取m=10,則n=5,=0.05，那么從附表5上（m=n1,n=n2）查得F0.05（10,5）=4.74利用（6.3.8 ）式可得到【答疑編號：10060202針對該題提問】3.t分布 定義6-8 設(shè)隨機變量與X1與X2獨立且X1N（0，1），X2X2（n），則稱的分布為自由度為n的t的分布，記為tt（n）.t分布密度函數(shù)的圖像是一個關(guān)于縱軸對稱的分布（圖6-6），

39、與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形態(tài)類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。圖6-6 t分布與N（0,1）的密度函數(shù)當(dāng)隨機變量tt（n）時，稱滿足Ptt（n）=的t（n）是自由度為n的t分布的分位數(shù)，分位數(shù)t（n）可以從附表3中查到，例如當(dāng)n=10, =0.05時，從附表3上查得t0.05（10）=1.8125由于t分布的密度函數(shù)關(guān)于0對稱，故其分位數(shù)有如下關(guān)系：t1-（n）=- t（n）例如，t0.95（10）=-t0.05（10）=-1.8125當(dāng)n很大時，（n30）,t分布可以用N（0，1）近似P（t-t）=1-,p（tt1-）=1-，t1-=-t4.一些重要結(jié)論來自

40、一般正態(tài)總體的樣本均值 和樣本方差S2的抽樣分布是應(yīng)用最廣的抽樣分布，下面我們加以介紹。 定理6-4 設(shè)X1,X2,Xn是來自正態(tài)總體N（,2）的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為：則有（1）與s2相互獨立；（2）特別，若（不證）推論：設(shè)，21=22=2并記則（不證）本章小結(jié)本章的基本要求是（一）知道總體、樣本、簡單樣本和統(tǒng)計量的概念（二）知道統(tǒng)計量和s2的下列性質(zhì)。E（s2）=2（三）若x的分布函數(shù)為F（x），分布函數(shù)為f（x），則樣本（x1,x2,xn）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x1）F（x2）F（xn）樣本（x1,x2,xn）的聯(lián)合分布密度為f（x1） f（x2）f（xn），樣本（x1,x2,x

41、n）的概率函數(shù)，p（x1,x 2 ,xn）=p（X=x1）p（X=x2）p（X=xn）因而順序統(tǒng)計量x（1），x （n）中X（1）的分布函數(shù)為1-（1-F（x）nX（n）的分布函數(shù)為F（x）n（四）掌握正態(tài)總體的抽樣分布若XN（，2）則有（1）（2）（3）（4）若=當(dāng)時，。（五）知道樣本原點矩與樣本中心矩的概念本章作業(yè)教材142頁，習(xí)題6.3自測題6參數(shù)估計從本章開始我們介紹統(tǒng)計推斷，所謂統(tǒng)計推斷就是由樣本推斷總體，統(tǒng)計推斷包括參數(shù)估計和假設(shè)檢驗兩部分，它們是統(tǒng)計推斷最基本而且是互相有聯(lián)系的兩部分，本章介紹統(tǒng)計推斷的第一部分參數(shù)估計。參數(shù)通常指總體分布中的特征值和和各種分布中的參數(shù)，例如二點分

42、布B（1，P）中的p，泊松分布P（）中的，正態(tài)分布N（、）的、等，習(xí)慣用表示參數(shù)，通常參數(shù)是未知的。參數(shù)估計的形式有兩類，設(shè)x1,x2,xn是來自總體的樣本。我們用一個統(tǒng)計量的取值作為參數(shù)的估計值，則稱為的點估計（量），就是參數(shù)的點估計，如果對參數(shù)的估計需要對估計作出可靠性判斷，就需要對這一可靠性給出可靠性區(qū)間或置信區(qū)間，叫區(qū)間估計。下面首先介紹點估計7.1點估計的幾種方法直接用來估計未知參數(shù)的統(tǒng)計量稱為參數(shù)的點估計量，簡稱為點估計，人們可以運用各種方法構(gòu)造出很多的估計，本節(jié)介紹兩種最常用的點估計方法。它們是：矩法和極大似然法。7.1.1替換原理和矩法估計用下面公式表示的方法叫矩法例71對某型

43、號的20輛汽車記錄每5L汽油的行駛里程（km），觀測數(shù)據(jù)如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9這是一個容量為20的樣本觀測值，對應(yīng)總體是該型號汽車每5L汽油的行駛里程，其分布形式尚不清楚，可用矩法估計其均值，方差，本例中經(jīng)計算有28.695，0.9185由此給出總體均值，方差的估計分別為即【答疑編號：10070101針對該題提問】矩法估計的統(tǒng)計思想（替換原理）十分簡單明確，眾人都能接受，使用場合甚廣。例72設(shè)總體為指數(shù)分布，其密度函數(shù)為x1,xn是樣本，由于，亦即，故

44、的矩法估計為例73設(shè)x1,xn是來自服從區(qū)間（0，）上的均勻分布的樣本，0為未知參數(shù)。求的矩估計。【答疑編號：10070102針對該題提問】解：易知總體X的均值為由矩法的矩估計為比如，若樣本值為0.1，0.7，0.2，1，1.9，1.3，1.8，則的估計值2（0.1+0.7+0.2+1+1.9+1.3+1.8）2例74在一批產(chǎn)品取樣n件，發(fā)現(xiàn)其中有m件次品，試用此樣本求該批產(chǎn)品的次品率p的矩估計?！敬鹨删幪枺?0070103針對該題提問】解：因為例如抽樣總數(shù)n=100，其中次品m=5.則例75電話總機在一分鐘間隔內(nèi)接到呼喚次數(shù)XP（）。觀察一分種接到呼喚次數(shù)共觀察40次，結(jié)果如下接到呼喚次數(shù)0

45、12345觀察次數(shù)51012832求未知參數(shù)的矩估計【答疑編號：10070104針對該題提問】解：（1）XP（）EX=由矩法（2）計算（05+110+212+38+43+52）227.1.2極大似然估計為了敘述極大似然原理的直觀想法，先看例76例76設(shè)有外表完全相同的兩個箱子，甲箱中有99個白球和1個黑球，乙箱中有99個黑球和1個白球，現(xiàn)隨機地抽取一箱，并從中隨機抽取一球，結(jié)果取得白球，問這球是從哪一個箱子中取出的？【答疑編號：10070105針對該題提問】解：不管是哪一個箱子，從箱子中任取一球都有兩個可能的結(jié)果：A表示取出白球，B表示取出黑球，如果我們?nèi)〕龅氖羌紫?，則A發(fā)生的概率為0.99，

46、而如果取出的是乙箱，則A發(fā)生的概率為0.01，現(xiàn)在一次試驗中結(jié)果A發(fā)生了，人們的第一印象就是：“此白球（A）最像從甲箱取出的”，或者是說，應(yīng)該認(rèn)為試驗條件對事件A出現(xiàn)有利，從而可以推斷這球是從甲箱中取出的，這個推斷很符合人們的經(jīng)驗事實，這里“最像”就是“極大似然”之意。本例中假設(shè)的數(shù)據(jù)很極端，一般地，我們可以這樣設(shè)想，在兩個箱子中各有100個球，甲箱中白球的比例是P1，乙箱中白球的比例是P2，已知P1 P2，現(xiàn)隨機地抽取一個箱子并從中抽取一球，假定取到的是白球，如果我們要在兩個箱子中進(jìn)行選擇，由于甲箱中白球的比例高于乙箱，根據(jù)極大似然原理，我們應(yīng)該推斷該球來自甲箱。下面分別給出離散型隨機變量和

47、連續(xù)型隨機變量的極大似然估計求未知參數(shù) 的估計 的步驟（一）離散型隨機變量第一步，從總體X取出樣本x1,x2,xn第二步，構(gòu)造似然函數(shù)L（x1,x2,xn，）P（Xx1）P（Xx2）P（Xxn）第三步，計算ln L（x1,x2,xn，）并化簡第四步，當(dāng)時ln L（x1,x2,xn，）取最大值則取常用方法是微積分求最值的方法。（二）連續(xù)型隨機變量若Xf（x,）第一步從總體X取出樣本x1,x2,xn第二步構(gòu)造似然函數(shù)L（x1,x2,xn，）f（x1，）f（x2，）f（xn，）第三步計算ln L（x1,x2,xn，）并化簡第四步當(dāng)時ln L（x1,x2,xn，）取最大值則取常用方法是微積分求最值的方

48、法例77設(shè)總體XB（1，P）即設(shè)P（A），從總體X中抽樣x1,x2,xn，問最大似然法求【答疑編號：10070106針對該題提問】解：當(dāng)XB（1，P）時，應(yīng)有P（X1）P，P（X0）=1P第一步構(gòu)造似然函數(shù)L（x1,x2,xn，P）P（Xx1）P（Xx2）P（Xxn）第二步計算ln L（x1,x2,xn，P）并化簡（x1+xn）lnp+（n-（x1+xn）ln（1-p）第三步求駐點為化簡為（x1+xn）（1-p）=pn-（x1+xn）（x1+xn）=np駐點因為只有一個駐點是最大點取例抽樣n次A發(fā)生m次，則在x1，x2xn中有m個1，其余為0，例78（1）設(shè)總體X服從泊松分布p（），求的極大似

49、然估計；（2）設(shè)總體X服從指數(shù)分布E（），求的極大似然估計【答疑編號：10070107針對該題提問】解：（1）XP（）p（X=k）=從總體X中取樣本x1 ，x2xn。駐點解得的極大似然估計易知的矩估計亦為（2）XE（）第一步，從中取樣本值x1 ，x2xn，應(yīng)有x10，x20 xn0似然函數(shù)L（x1 ，x2xn）f（x1）f（x2）f（xn）=第二步計算第三步求駐點是最大點取在例72中用矩法估計也是同樣結(jié)果。例79設(shè)，即從中取樣x1 ，x2xn，試用最大似然法求【答疑編號：10070108針對該題提問】解：因為樣本x1 ，x2xn已經(jīng)取出。所以應(yīng)有0 x1,0 x2,0 xn所以的取值范圍為第一

50、步構(gòu)造似然函數(shù)0，很明顯，似然函數(shù)是的單調(diào)減函數(shù)，因此當(dāng)最小時，似然函數(shù) 最大，由條件知的最小值為所以時最大。取這一結(jié)果與用矩法估計（例73）的結(jié)果不同。例710若,從中抽樣x1，x2xn，試用最大似然估計法求：，【答疑編號：10070109針對該題提問】解：X的似然函數(shù)將分別關(guān)于兩個分量求偏導(dǎo)并令其為0即得到似然方程組，（1），（2）解此方程組，由（1）可得駐點，的極大似然估計為，將之代入（2）給出的極大似然估計7.2點估計的評價標(biāo)準(zhǔn)我們已經(jīng)看到，點估計有各種不同的求法，為了在不同的點估計間進(jìn)行比較選擇，就必須對各種點估計的好壞給出評價標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)理統(tǒng)計中給出了眾多的估計量評價標(biāo)準(zhǔn)，對同一估計量

51、使用不同的評價標(biāo)準(zhǔn)可能會得到完全不同的結(jié)論，因此，在評價某一個估計好壞時首先要說明是在哪一個標(biāo)準(zhǔn)下，否則所論好壞毫無意義。但在諸多標(biāo)準(zhǔn)中，有一個基本標(biāo)準(zhǔn)是所有的估計都應(yīng)該滿足的，它是衡量一個估計是否可行的必要條件，這就是估計的相合性，我們就從相合性開始介紹。7.2.1相合性我們知道，點估計是一個統(tǒng)計量，因此它是一個隨機變量，在樣本量一定的條件下，我們不可能要求完全等同于參數(shù)的真實取值，但如果我們有足夠的觀測值，根據(jù)格里紋科定理，隨著樣本量的不斷增大，經(jīng)驗分布函數(shù)逼近真實分布函數(shù)，因此完全可以要求估計量隨著樣本量的不斷增大而逼近參數(shù)真值，這就是相合性，嚴(yán)格定義如下， 定義72設(shè)為未知參數(shù)，是的一

52、個估計量，n是樣本容量， 若對任何一個，有（7.2.1） 則稱為參數(shù)的相合估計相合性被認(rèn)為是對估計的一個最基本要求，如果一個估計量，在樣本量不斷增大時，它都不能把被估參數(shù)估計到任意指定的精度，那么這個估計是很值得懷疑的，通常，不滿足相合性要求的估計一般不予考慮，證明估計的相合性一般可應(yīng)用大數(shù)定律或直接由定義來證。例11用大數(shù)定律證明是的相合估計【答疑編號：10070110針對該題提問】證：由切比雪夫大數(shù)定律即是的相合估計為了避免用定義判斷相合性的困難，下面介紹一個判斷相合性很有用的定理： 定量：設(shè)是的估計量若（1）（2）則是的相合估計。例12證明是的相合估計【答疑編號：10070111針對該題

53、提問】證：在前面我們已經(jīng)證明（1）（2）是的相合估計7.2.2無偏性相合性是大樣本下估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)，對小樣本而言，需要一些其他的評價標(biāo)準(zhǔn)，無偏性便是一個常用的評價標(biāo)準(zhǔn)。 設(shè)是的一個估計，的參數(shù)空間為，若對任意的，有 則稱是的無偏估計，否則稱為有偏估計。例713對任一總體而言，樣本均值是總體均值的無偏估計，當(dāng)總體k階矩存在時，樣本k階原點矩是總體k階原點矩的無偏估計，但對k階中心矩則不一樣，例如，二階樣本中心矩就不是總體方差的無偏估計，事實上，【答疑編號：10070112針對該題提問】對此，有如下兩點說明 （1）當(dāng)樣本量趨于無究時，有，我們稱為的漸近無偏估計，這表明 當(dāng)樣本量較大時，可近似看作

54、的無偏估計 （2）若對作如下修正：（7.2.4） 則是總體方差的無偏估計，這種簡章的修正方法在一些場合常被采用，它比更常用，這是因為在n2時，因此用估計有偏小的傾向，特別在小樣本場合要使用估計。 無偏性不具有不變性。即若是的無偏估計，一般而言，g（）不是g（）的無 偏估計，除非g（）是的線性函數(shù)，例如，是的無偏估計，但s不是的無偏估計例14證明是的無偏估計。其中是X的樣本【答疑編號：10070113針對該題提問】證：特別情形是的無偏估計例15證明是的無偏估計【答疑編號：10070114針對該題提問】證7.2.3有效性參數(shù)的無偏估計可以有很多，那么如何在無偏估計中進(jìn)行選擇？直觀的想法是希望該估計

55、圍繞參數(shù)真值的波動越小越好，波動的大小可以用方差來衡量，因此人們常用無偏估計的方差的大小作為度量無偏估計優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，這就是有效性。 定義74設(shè)，是的兩個無偏估計，如果對任意的有則稱比 有效例16設(shè)x1,xn是取自某總體的樣本，記總體均值為，總體方差為，則都是的無偏估計，但顯然，只要n1，比有效，這表明，用全部數(shù)據(jù)的平均估計總體均值要比只使用部分?jǐn)?shù)據(jù)更有效?！敬鹨删幪枺?0070115針對該題提問】例17比較與誰有效【答疑編號：10070116針對該題提問】解：（1）與都是的無偏估計（2） 比有效例18設(shè)，從總體中取樣【答疑編號：10070117針對該題提問】證明是的無偏估計和相合估計解：（1）

56、是的無偏估計是的相合估計7.3參數(shù)的區(qū)間估計用點估計去估計總體的參數(shù)，即使是無偏且有效的，也會由于樣本的隨機性，使得從一個樣本x1，x2，x3，xn算得的估計值不一定是被估計的參數(shù)的真實值，而且估計值的可靠性并不知道，這是一個重大的問題，因此，必須解決根據(jù)估計量的分布，在一定可靠性的程度下指出被估計的總體參數(shù)的取值范圍，這正是本節(jié)要介紹的參數(shù)的區(qū)間估計問題。7.3.1置信區(qū)間概念為了引入置信區(qū)間的概念，請看下面的引例。引例設(shè)某種絕緣子抗扭強度X服從正態(tài)分布 ，其中 未知， 已知（=45公斤米），試對總體均值作區(qū)間估計?！敬鹨删幪枺?0070201針對該題提問】對于區(qū)間估計，要選擇一個合適的統(tǒng)計

57、量，若在該總體取一個容量為n的樣本x1，x2，x3，xn，樣本均值為的點估計即，然而我們要給出的一個區(qū)間估計，以體現(xiàn)出估計的誤差，我們知道。在區(qū)間估計問題中，要選取一個合適的估計函數(shù)。這時，可取，它是的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量，且具備下面兩個特點：（1）u中包含所要估計的未知參數(shù)（其中已知）；（2）u的分布為 N（0，1），它與未知參數(shù)無關(guān)。 因為uN（0，1），因而有，根據(jù)uN（0，1）的概率密度的對稱性（見下圖）可得。 當(dāng)=0.05時，1-=0.095，=1.96，將不等式轉(zhuǎn)化為，亦即，因此有。當(dāng)=0.05時，。 。說明未知參數(shù)包含在區(qū)間中的概率是95%，這里，不僅給出了的區(qū)間估計，還給出了這一區(qū)間

58、估計的置信度（或置信概率）。事實上，當(dāng)置信度為1-時，區(qū)間估計為在引例中，若=160，=40，n=16。則有 說明該絕緣子抗扭強度X的期望在（140.4，179.6）內(nèi)的可靠度為0.95。下面，引出置信區(qū)間的概念。定義7-5 設(shè)為總體的未知參數(shù)是由樣本定出的兩個統(tǒng)計量，若對于給定的概率1-（01），有，則隨機區(qū)間稱為參數(shù)的置信度為1-的置信區(qū)間，稱為置信下限，稱為置信上限。置信區(qū)間的意義可作如下解釋：包含在隨機區(qū)間中的概率為100（1-）%；或者說，隨機區(qū)間以100（1-）%的概率包含。粗略地說，當(dāng)=0.05時，在100次的抽樣中，大致有95次包含在中，而其余5次可能不在該區(qū)間中。常取的數(shù)值為

59、0.05，0.01，此時置信度1-分別為0.95，0.99。置信區(qū)間的長度可視為區(qū)間估計的精度，下面分析置信度與精度的關(guān)系。（1）當(dāng)置信度1-增大，又樣本容量n固定時，置信區(qū)間長度增大，即區(qū)間估計精度減低；當(dāng)置信度1-減小，又樣本容量n固定，置信區(qū)間長度減小，即區(qū)間估計精度提高。（2）設(shè)置信度1-固定。當(dāng)樣本容量n增大時，置信區(qū)間減?。ㄈ缫?，置信區(qū)間長度為），區(qū)間估計精度提高。7.3.2單個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間正態(tài)總體是最常見的分布，本小節(jié)中我們討論它的兩個參數(shù)的置信區(qū)間。1.已知時的置信區(qū)間設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其中已知，而未知，求的置信度1-的置信區(qū)間。這一問題實際上已在引例中的討論

60、中解決，得到。所以的置信度1-的置信區(qū)間為。當(dāng)=0.05，=1.96；當(dāng)=0.01，=2.576。 例1某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐知道，滾珠直徑X服從正態(tài)分布。從某天產(chǎn)品里隨機抽取6個，測得直徑為（單位：毫米）：14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1。若總體方差=0.06，求總體均值的置信區(qū)間（=0.05，=0.01）。【答疑編號：10070202針對該題提問】解，=0.05時，置信度為95%的置信區(qū)間為=0.01時，置信度為99%的置信區(qū)間為。從此例知，在樣本容量n固定時，當(dāng)置信度1-較大時，置信區(qū)間長度較大；當(dāng)置信度1-較小時，置信區(qū)間較小。例2 用天平稱量某物體的質(zhì)量