5常用本構(gòu)模型

1、非線性第5章 本構(gòu)模型 2022年7月6日1如何學(xué)好這門課？帶著科研問題！這門課得到什么？力學(xué)思維方法！增加互動機(jī)制，請同學(xué)講問題！ 2通過“有限元離散”這條主線把連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、固體本構(gòu)、板殼理論等眾多固體力學(xué)課程貫穿起來，對多年來學(xué)習(xí)的力學(xué)知識進(jìn)行有效的梳理。教材是科研中不可缺少的“百科全書”。通過數(shù)值語言描述一些抽象、艱深的力學(xué)概念，比如從結(jié)構(gòu)體內(nèi)力更新的角度闡述連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中Cauchy應(yīng)力與轉(zhuǎn)動Jaumann率的關(guān)系，使貌似復(fù)雜的力學(xué)定義原來是如此形象和自然。課程涉及到很多固體力學(xué)中的前沿問題，如材料的穩(wěn)定性、任意歐拉-拉格朗日網(wǎng)格描述等，拓寬了視野，對博士生選題有很大啟發(fā)。課程提高了

2、解決實(shí)際力學(xué)問題的能力，使得在科研中通過數(shù)值模擬迅速實(shí)現(xiàn)一些新想法，若到國外留學(xué)，從事博士后研究，更能體會到該課程帶來的好處。3第5章 本構(gòu)模型 引言應(yīng)力-應(yīng)變曲線 一維彈性 非線性彈性一維塑性 多軸塑性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與本構(gòu)模型41 引言 金屬塑料生物材料工程材料本構(gòu)關(guān)系是有限元模擬關(guān)鍵一環(huán)！52 應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料應(yīng)力應(yīng)變行為的許多基本特征可以從一維應(yīng)力狀態(tài)(單軸應(yīng)力或者剪切)的一組應(yīng)力-應(yīng)變曲線中獲得，多軸狀態(tài)的本構(gòu)方程常?；谠谠囼?yàn)中觀察到的一維行為而簡單生成。 載荷位移曲線 名義應(yīng)力（工程應(yīng)力）給出為 定義伸長 工程應(yīng)變定義為 62 應(yīng)力-應(yīng)變曲線 Cauchy（或者真實(shí)）應(yīng)力表示為

3、以每單位當(dāng)前長度應(yīng)變的增量隨長度的變化得到另一種應(yīng)變度量 對數(shù)應(yīng)變（也稱為真實(shí)應(yīng)變） 對材料時間求導(dǎo)，表達(dá)式為當(dāng)一維情況，上式為變形率。 當(dāng)前面積的表達(dá)式給出為真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線 工程應(yīng)力應(yīng)變曲線72 應(yīng)力-應(yīng)變曲線 考慮一種不可壓縮材料(J1)，名義應(yīng)力和工程應(yīng)變的關(guān)系為真實(shí)應(yīng)力(對于不可壓縮材料)說明了對于本構(gòu)行為應(yīng)用不同泛函表達(dá)式的區(qū)別，對于同樣材料取決于采用何種應(yīng)力和變形的度量。 應(yīng)力應(yīng)變曲線的顯著特征之一是非線性的度。材料線彈性行為的范圍小于應(yīng)變的百分之幾，就可以采用小應(yīng)變理論描述。82 應(yīng)力-應(yīng)變曲線 應(yīng)力應(yīng)變反應(yīng)與變形率無關(guān)的材料稱為率無關(guān)；否則，稱為率相關(guān)。名義應(yīng)變率定義為 率無

4、關(guān)和率相關(guān)材料的一維反應(yīng)因?yàn)?和即名義應(yīng)變率等于伸長率，例如 可以看出，對于率無關(guān)材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線是應(yīng)變率獨(dú)立的，而對于率相關(guān)材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線，當(dāng)應(yīng)變率提高時是上升的；而當(dāng)溫度升高時是下降的。92 應(yīng)力-應(yīng)變曲線 對于彈性材料，應(yīng)力應(yīng)變的卸載曲線簡單地沿加載曲線返回，直到完全卸載，材料返回到了它的初始未伸長狀態(tài)。然而，對于彈塑性材料，卸載曲線區(qū)別于加載曲線，卸載曲線的斜率是典型的應(yīng)力應(yīng)變彈性（初始）段的斜率，卸載后產(chǎn)生永久應(yīng)變。其它材料的行為介于這兩種極端之間。由于在加載過程中微裂紋的形成材料已經(jīng)損傷，脆性材料的卸載行為，當(dāng)荷載移去后微裂紋閉合，彈性應(yīng)變得到恢復(fù)。卸載曲線的初始斜率給出形成

5、微裂紋損傷程度的信息。(a)彈性,(b)彈-塑性,(c)彈性含損傷 1011Fleck, 1994, (a) torsion; (b) tensionQ- torsion, k-torsion angle per unit length When diameter of copper wire reduced to d=12m, torsion strength increased 3 times than it d=170m. During thin beams bending test, Stolken and Evans found when the thickness from h=1

6、00m reduced to h=12.5m, the bending strength was also increased significantly. Size effect：對經(jīng)典本構(gòu)理論的挑戰(zhàn)，誕生了微米尺度的應(yīng)變梯度塑性理論，如MSG12Since the strain is non-local, which could not be obtained at a single integration Gauss point. The ABAQUS User Element is developed to calculate the non-local strain gradient

7、 plasticity.Strain gradient theories(Uchic et al., Science, 2004)Compression for micro-pillarsBy performing uniaxial compression tests for micro-pillars of Ni having diameters from 150 nm to 40m, the size dependent and dislocations escape from free surfaces are found. The thinner is harder, although

8、 there is no strain gradient.13Dislocation source starvation14Movie 1Movie 2ZW. Shan et al, Nature Materials,2008Microstructure and sample geometry:Defects free pillar, Diminishing of the taper angle without apparent shearing and bucklingMechanical data: Test 1: Fluctuation force increase following

9、by dominant elastic responseTest 2: dominant elastic response followed by fluctuation force increaseDislocation nucleation/annihilate rate!Compression of micro-pillar15(a) The initial annealed dislocation network in the single crystal copper got by an energy minimization process. (b) FE mesh, the co

10、nstant stress rate is applied on the top surface along 001 direction.Volume averaged compression stress-strain curve of Cu single-crystal micro-pillar; A, B, C is a typical microstructure corresponding to three different stages.3 一維彈性 彈性材料的基本性能是應(yīng)力僅依賴于應(yīng)變的當(dāng)前水平。這意味著加載和卸載的應(yīng)力-應(yīng)變曲線是一致的，當(dāng)卸載結(jié)束時材料恢復(fù)到初始狀態(tài)。稱這種

11、應(yīng)變是可逆的。而且，彈性材料是率無關(guān)的(與應(yīng)變率無關(guān))。彈性材料的應(yīng)力和應(yīng)變是一一對應(yīng)的。小應(yīng)變 可逆和路徑無關(guān)默認(rèn)在變形中沒有能量耗散，在彈性材料中，儲存在物體中的能量全部消耗在變形中，卸載后材料恢復(fù)。 對于一維彈性材料，可逆、路徑無關(guān)、無能量耗散是等價的特征。對于二維和三維彈性，以及超彈性材料，也類似。對于任意應(yīng)變，不管如何達(dá)到應(yīng)變值，上式給出唯一應(yīng)力值。 163 一維彈性 應(yīng)變能一般是應(yīng)變的凸函數(shù)，例如， (a)凸應(yīng)變能函數(shù) (b)應(yīng)力應(yīng)變曲線 當(dāng) 公式的等號成立。 凸應(yīng)變能函數(shù)的一個例子如圖所示。在這種情況下，函數(shù)是單調(diào)遞增的，如果w 是非凸函數(shù)，則 s 先增后減，材料應(yīng)變軟化，這是非

12、穩(wěn)定的材料反應(yīng)， 如右下圖。(a)非凸應(yīng)變能函數(shù)(b)相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變曲線 17大應(yīng)變 從彈性推廣到大應(yīng)變，只要選擇應(yīng)變度量和定義應(yīng)力（功共軛）的彈性勢能。勢能的存在是默認(rèn)了可逆、路徑無關(guān)和無能量耗散。如 3 一維彈性 在彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中，從應(yīng)變的勢函數(shù)可以獲得應(yīng)力為超彈性。如一維大應(yīng)變問題，以Green應(yīng)變的二次函數(shù)表示 對于小應(yīng)變問題，即為胡克定律。18大應(yīng)變 一種材料的Cauchy應(yīng)力率與變形率相關(guān)，稱為次彈性。這種關(guān)系一般是非線性的，給出為 3 一維彈性 一個特殊的線性次彈性關(guān)系給出為對上式的關(guān)系積分，得到 這是與路徑無關(guān)的超彈性關(guān)系。對于多軸問題，一般次彈性關(guān)系不能轉(zhuǎn)換到超彈性，它

13、僅在一維情況下是嚴(yán)格路徑無關(guān)的。然而，如果是彈性小應(yīng)變，其行為足以接近路徑無關(guān)的彈性行為。因?yàn)榇螐椥缘暮唵涡?，公?的多軸一般形式常常應(yīng)用在有限元軟件中，以模擬大應(yīng)變彈塑性的彈性反應(yīng)。194 非線性彈性 Kirchhoff材料式中 C 為彈性模量(切線模量)的四階張量，對Kirchhoff材料是常數(shù)，代表了應(yīng)力和應(yīng)變的多軸狀態(tài)。它可以完全反映材料的各向異性。 許多工程應(yīng)用包括小應(yīng)變和大轉(zhuǎn)動。在這些問題中，大變形的效果主要來自于大轉(zhuǎn)動，如直升機(jī)旋翼、船上升降器或者釣魚桿的彎曲。 由線彈性定律的簡單擴(kuò)展即可以模擬材料的反應(yīng)，但要以PK2應(yīng)力代替其中的應(yīng)力和以Green應(yīng)變代替線性應(yīng)變，這稱為Sai

14、nt-Venant- Kirchhoff材料，或者簡稱為Kirchhoff材料。最一般的Kirchhoff模型為204 非線性彈性 式中C為彈性模量的四階張量，有81個常數(shù)。利用對稱性可以顯著地減少常數(shù)。 一般的四階張量有3481個獨(dú)立常數(shù)，與全應(yīng)力張量的9個分量和全應(yīng)變張量的9個分量有關(guān)。 如次彈性本構(gòu)方程214 非線性彈性 利用勢能表示的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和Green公式， 故有 應(yīng)力張量和應(yīng)變張量均為對稱張量（次對稱性: ），即 這樣C為對稱矩陣（主對稱性: )， 在81個常數(shù)中有45個是獨(dú)立的。成為上三角或下三角矩陣。 224 非線性彈性 應(yīng)力張量和應(yīng)變張量均為對稱張量（次對稱性），即 再利

15、用模量的主對稱性使獨(dú)立彈性常數(shù)的數(shù)目減少，由36個常數(shù)減少為21個，為各向異性材料。 應(yīng)力和應(yīng)變張量的對稱性要求應(yīng)力的6個獨(dú)立分量僅與應(yīng)變的6個獨(dú)立分量有關(guān)，由彈性模量的局部對稱結(jié)果，獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目減少到36個。 234 非線性彈性 寫成矩陣形式為（可以是上或下三角矩陣） 當(dāng)材料有一個對稱面時，假設(shè)為X1平面這樣由21個常數(shù)減少到13個。 24 對于一個由三個彼此正交的對稱平面組成的正交材料，僅有9個獨(dú)立彈性常數(shù)，Kirchhoff應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為材料對稱坐標(biāo)平面，為正交各向異性體4 非線性彈性 對于各向同性材料，僅有2個獨(dú)立常數(shù) 254 非線性彈性 橫觀各向同性正交各向異性264 非線性彈性

16、對于各向同性的Kirchhoff材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以寫成為式中Lam常數(shù)，體積模量K，楊氏模量 E和泊松比的關(guān)系為 材料對稱的一個重要的例子是各向同性。一個各向同性材料沒有方位或者方向的選擇，因此，以任何直角坐標(biāo)系表示的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是等同的。對于小應(yīng)變的許多材料(如金屬和陶瓷)可以作為各向同性進(jìn)行模擬。張量C是各向同性的。在任何坐標(biāo)系中，一個各向同性張量有相同的分量。Kirchhoff材料274 非線性彈性 Kirchhoff應(yīng)力 由Jacobian行列式放大，稱它為權(quán)重Cauchy應(yīng)力。對于等體積運(yùn)動，它等同于Cauchy應(yīng)力。 次彈性材料次彈性材料規(guī)律聯(lián)系應(yīng)力率和變形率。 上式是率無關(guān)

17、、線性增加和可逆的。對于有限變形狀態(tài)的微小增量，應(yīng)力和應(yīng)變的增量是線性關(guān)系，當(dāng)卸載后可以恢復(fù)。然而，對于大變形能量不一定必須守恒，并且在閉合變形軌跡上的作功不一定必須為零。次彈性規(guī)律主要用來代表在彈-塑性規(guī)律中的彈性反應(yīng)(彈性變形小)，且耗能效果也小。 Question: What is the difference between rate-form and rate dependence?284 非線性彈性 超彈性材料 平衡方程是以物體中應(yīng)力的形式建立的，應(yīng)力來源于變形，如應(yīng)變。如果本構(gòu)行為僅是變形的當(dāng)前狀態(tài)的函數(shù)，為與時間無關(guān)的彈性本構(gòu)。而對于接近不可壓縮的材料(泊松比0.495)，僅依

18、賴變形（應(yīng)變）不一定能夠得到應(yīng)力。 儲存在材料中的能量（功）僅取決于變形的初始和最終狀態(tài)，并且是獨(dú)立于變形（或荷載）路徑，稱這種彈性材料為超彈性（hyper-elastic）材料，或者為Green彈性，例如常用的工業(yè)橡膠。動物的肌肉、細(xì)胞也具有超彈性的力學(xué)性質(zhì)。這里主要討論橡膠材料的超彈性力學(xué)行為。294 非線性彈性 超彈性材料 對于功獨(dú)立于荷載路徑的彈性材料稱之為超彈性（Green彈性）材料。超彈性材料的特征是存在一個潛在（或應(yīng)變）能量函數(shù)，它是應(yīng)力的勢能： 通過適當(dāng)轉(zhuǎn)換獲得了對于不同應(yīng)力度量的表達(dá)式 由于變形梯度張量F是不對稱的，因此名義應(yīng)力張量P的9個分量是不對稱的。 在橡膠大變形中應(yīng)用

19、多項(xiàng)式模型和Ogden指數(shù)模型。304 非線性彈性 超彈性材料 世界半數(shù)以上的橡膠是合成橡膠。合成橡膠的種類很多，例如，制造輪胎使用的丁苯橡膠（苯乙烯和丁二烯的共聚物）或乙丙烯橡膠（ERP）；用于汽車配件的有氯丁橡膠及另一種具有天然橡膠各種性能的異戊橡膠。 在眾多的合成橡膠中，硅橡膠是其中的佼佼者。它具有無味無毒，不怕高溫和嚴(yán)寒的特點(diǎn)，在攝氏300度和零下90度時能夠“泰然自若”、“面不改色”，仍不失原有的強(qiáng)度和彈性。例如生物材料。 橡膠是提取橡膠樹、橡膠草等植物的膠乳，加工后制成的具有彈性、絕緣性、不透水和空氣的材料。在半個世紀(jì)前，“橡膠”一詞是專指生橡膠，它是從熱帶植物巴西三葉膠的膠乳提煉

20、出來的。314 非線性彈性 超彈性材料 1839年，Charle Goodyear發(fā)明了橡膠的硫化方法，其姓氏現(xiàn)在已經(jīng)成為國際上著名橡膠輪胎的商標(biāo)。 從19世紀(jì)中葉起橡膠就成為一種重要的工程材料。然而，橡膠材料的行為復(fù)雜，不同于金屬材料僅需要幾個參數(shù)就可以描述材料特性。橡膠受力以后，變形是伴隨著大位移和大應(yīng)變，其本構(gòu)關(guān)系是非線性的，并且在變形過程中體積幾乎保持不變。 現(xiàn)在，可以借助計算機(jī)對超彈性材料的工程應(yīng)用進(jìn)行深入研究以及優(yōu)化設(shè)計?？梢杂糜邢拊葦?shù)值方法來計算分析橡膠元件的力學(xué)性能，包括選取和擬合橡膠的本構(gòu)模型，以及用有限元建模和處理計算結(jié)果等。32固體橡膠材料的拉伸試驗(yàn)曲線與材料演化模型

21、固體橡膠是幾乎不可壓縮的，其泊松比接近于0.5?？赡?，大應(yīng)變。初始各向同性，應(yīng)變增加后分子定向排列。超彈性材料 常用的橡膠性態(tài)可分為固體橡膠和泡沫橡膠。33超彈性材料 一般將多孔橡膠或彈性泡沫材料統(tǒng)稱為泡沫材料。彈性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海綿、包裝材料等。 泡沫橡膠是由橡膠制成的彈性泡沫材料，能夠滿足非常大的應(yīng)變要求，拉伸時的應(yīng)變可以達(dá)到500或更大，壓縮時的應(yīng)變可以達(dá)到90或更小。與固體橡膠的幾乎不可壓縮性相比，泡沫材料的多孔性則允許非常大的體積縮小變形，因此具有良好的能量吸收性。泡沫橡膠材料的多面體微元模型 a) 開放腔室，b) 封閉腔室泡沫橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線 a)壓縮

22、b)拉伸34典型固體橡膠材料單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線 橡膠本構(gòu)模型 4 非線性彈性 35 常用的橡膠力學(xué)性能描述方法主要分為兩類，一類是基于熱力學(xué)統(tǒng)計的方法，另一類是基于橡膠為連續(xù)介質(zhì)的唯象學(xué)描述方法。 熱力學(xué)統(tǒng)計方法的基礎(chǔ)為觀察到橡膠中的彈性恢復(fù)力主要來自熵的減少。橡膠在承受荷載時分子結(jié)構(gòu)無序，熵的減少是由于橡膠伸長使得橡膠結(jié)構(gòu)由高度無序變得有序。由對橡膠中分子鏈的長度、方向以及結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計得到本構(gòu)關(guān)系。橡膠本構(gòu)模型 唯象學(xué)描述方法假設(shè)在未變形狀態(tài)下橡膠為各向同性材料，即長分子鏈方向在橡膠中是隨機(jī)分布的。這種各向同性的假設(shè)是用單位體積（彈性）應(yīng)變能函數(shù)（U）來描述橡膠特性的基礎(chǔ)，其本構(gòu)模型為多項(xiàng)

23、式形式模型和Ogden形式模型。36定義伸長 工程應(yīng)變定義為 二階張量基本不變量 小變形，有 小變形 橡膠本構(gòu)模型 4 非線性彈性 37小變形 以多項(xiàng)式形式本構(gòu)模型為例，其應(yīng)變能密度表達(dá)式為忽略二階及二階以上微量，變?yōu)閺椥猿?shù)為 當(dāng) 橡膠本構(gòu)模型 4 非線性彈性 38例題 在超彈性計算中，橡膠使用三次減縮多項(xiàng)式應(yīng)變能本構(gòu)模型，應(yīng)變能密度表達(dá)式為若取(單位為MPa)，求材料彈性常數(shù)。 利用公式解：解出橡膠的彈性常數(shù)為 ， E=2.768MPa，= 0.5 小變形 橡膠本構(gòu)模型 4 非線性彈性 39典型的本構(gòu)模型為多項(xiàng)式形式，其應(yīng)變能密度表達(dá)式為特殊形式可以由設(shè)定某些參數(shù)為0來得到。如果所有 則得

24、到減縮多項(xiàng)式模型 對于完全多項(xiàng)式，如果, 則只有線性部分的應(yīng)變能量，即Mooney-Rivlin形式橡膠本構(gòu)模型 40，則得到Neo-Hookean形式 對于減縮多項(xiàng)式，如果 Mooney-Rivlin形式和Neo-Hooken形式本構(gòu)模型（后者是將Hooke定律擴(kuò)展至大變形）橡膠本構(gòu)模型 41Yeoh形式本構(gòu)模型是 時減縮多項(xiàng)式的特殊形式 典型的S形橡膠應(yīng)力-應(yīng)變曲線 ，C10正值，在小變形時為切線模量；C20為負(fù)值，中等變形時軟化；C30正值，大變形時硬化。橡膠本構(gòu)模型 42Ogden形式本構(gòu)模型 Arruda-Boyce形式本構(gòu)模型 Van der Waals模型 橡膠本構(gòu)模型 其他形式

25、的本構(gòu)模型有：43試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù) 橡膠類材料的本構(gòu)關(guān)系除具有超彈性、大變形的特征外，其本構(gòu)關(guān)系與生產(chǎn)加工過程有直接關(guān)系，如橡膠配方和硫化工藝。確定每一批新加工出來的橡膠的本構(gòu)關(guān)系，都要依賴于精確和充分的橡膠試驗(yàn)。44 通常在試驗(yàn)中應(yīng)該測得在幾種不同荷載模式下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，這樣可以選擇出最合適的本構(gòu)模型以及描述這種模型的參數(shù)。 同一種橡膠材料的三種拉伸變形狀態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖，對比試驗(yàn)曲線，由最小二乘法擬合多項(xiàng)式本構(gòu)模型中的系數(shù)。試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)45試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù) 給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)力表達(dá)式的系數(shù)通過最小二乘法擬合確定，這樣可以使得誤差最小。即對于n 組應(yīng)力-應(yīng)變的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，

26、取相對誤差E 的最小值，擬合應(yīng)力表達(dá)式中的系數(shù)，得到理論本構(gòu)模型。按照本構(gòu)關(guān)系與伸長率對應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的應(yīng)力值 46確定材料常數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式 試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù) 對于已經(jīng)成型的橡膠元件，通常不容易通過上述試驗(yàn)來確定其材料常數(shù)。經(jīng)驗(yàn)公式是通過橡膠的IRHD硬度指標(biāo)來確定材料的彈性模量和切變模量，再由材料常數(shù)和彈性模量的關(guān)系來確定材料常數(shù)。基本公式為（小應(yīng)變條件）將得到的材料常數(shù)代入Mooney-Rivlin模型進(jìn)行計算。 例子 采用氫化丁腈橡膠H-NBR75，硬度為75MPa，解得 47Part1Part3部分解析解與FEA解徑向應(yīng)力的比較 Part3部分解析解與FEA解環(huán)向應(yīng)力的比

27、較 平面應(yīng)變問題發(fā)生體積自鎖過盈量1.9mm ，應(yīng)力非常大，原因是平面應(yīng)變模型Part3鋼P(yáng)art2橡膠 RsPart1鋼Rr b過盈面工程實(shí)例：橡膠減震軸過盈配合的解析解和有限元解平面應(yīng)變模型48Part3鋼P(yáng)art2橡膠 RsPart1鋼Rr b過盈面橡膠減震軸過盈配合的解析解和有限元解廣義平面應(yīng)變和平面應(yīng)力模型過盈量1.9mm ，應(yīng)力非常大，原因是平面應(yīng)變模型橡膠和鋼環(huán)的解析解與FE解的徑向應(yīng)力比較 廣義平面應(yīng)變平面應(yīng)力問題不發(fā)生體積自鎖平面應(yīng)變模型發(fā)生體積自鎖鄒雨、莊茁、黃克智，工程力學(xué)，2004，21(6): 72-7549 由于大型有限元軟件的迅速發(fā)展，使得復(fù)雜的超彈性模型計算過程

28、由計算機(jī)程序完成，在ABAQUS等商用軟件中給出了具體的計算。用戶要熟悉如何輸入數(shù)據(jù)文件，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合和選用合適的本構(gòu)模型，如何處理輸出結(jié)果并檢驗(yàn)其是否正確。對于初學(xué)者來說，商用軟件是一個“黑匣子”，因此，掌握超彈性材料模型理論和計算方法是取得仿真成功的關(guān)鍵。結(jié)論與討論-1 需要注意的是，對于不可壓縮材料的平面問題，無論是解析解還是數(shù)值解，均不能采用平面應(yīng)變解答。因?yàn)閷τ诓豢蓧嚎s材料，如果采用平面應(yīng)變模型，其體積不變，內(nèi)力為不確定量，在有限元中的節(jié)點(diǎn)位移不能反映單元內(nèi)力的變化。對于不可壓縮材料或者接近于不可壓縮材料的平面問題，務(wù)必應(yīng)用平面應(yīng)力（或者廣義平面應(yīng)變）解答。50Hypo: Cau

29、chy (Eulerian) Stress (objective) rate is linear homogeneous function of deformation rate.Elastic (Cauchy Elastic)Possesses a homogeneous stress free state, and has a finite neighborhood of this state wherein there is a one-to-one correspondence between Cauchy (Eulerian stress) and Almansi strain. N

30、o strain energy potential required.Hyperelastic (Green Elastic):Commonly presupposes adiabatic motion. Internal energy is an analytic function of the Green-Lagrange strain (formed with respect to a homogeneous natural state).Usually one-to-one correspondence of stress and strain required.結(jié)論與討論-2Hypo

31、 Elastic 0, ； ，給出應(yīng)變率的表達(dá)式為 率敏感指數(shù)685 一維塑性 應(yīng)變軟化 單調(diào)凸本構(gòu)曲線不再成立。應(yīng)變軟化如何加載？位移加載696 多軸塑性 從前面的一維塑性本構(gòu)關(guān)系生成到多軸情況。 給出一般處理大應(yīng)變的次彈性塑性本構(gòu)關(guān)系，這些公式典型的基于分解變形率張量成為彈性和塑性部分的和并取彈性反應(yīng)作為次彈性。 給出特殊形式如金屬塑性的J2流動理論、土壤塑性的Drucker-Prager模型、含孔隙固體塑性的Gurson本構(gòu)模型，作為一種特殊情況，給出了從一般的大應(yīng)變公式退化到小應(yīng)變的情況。 自學(xué)：描述了修正率無關(guān)的結(jié)果而獲得率相關(guān)塑性(粘塑性)的情況。討論了根據(jù)變形梯度的多項(xiàng)式分解使大

32、變形塑性公式成為彈性和塑性部分。彈-塑性行為是基于彈性反應(yīng)的超彈性表示。也考慮了單晶塑性的特殊情況，以及粘彈性本構(gòu)。 706 多軸塑性 當(dāng)彈性應(yīng)變小于塑性應(yīng)變時，一般應(yīng)用次彈性-塑性模型。對于次彈性材料在變形閉合回路中能量是非保守的。然而，對于彈性小應(yīng)變，能量誤差是不顯著的，并且彈性反應(yīng)的次彈性表述常常是合適的。在這些本構(gòu)模型中，假設(shè)分解變形率張量D為次彈性塑性材料 根據(jù)Cauchy應(yīng)力與彈性反應(yīng)特別是應(yīng)用Jaumann率的形式，一個模型的彈性反應(yīng)是對于變形率的彈性部分應(yīng)用次彈性定律塑性流動率給出為 標(biāo)量塑性流動率 塑性流動方向 716 多軸塑性 塑性流動方向取決于Cauchy應(yīng)力和內(nèi)部變量

33、q ，次彈性塑性材料 標(biāo)量內(nèi)部變量的例子是累積等效塑性應(yīng)變和孔洞體積分?jǐn)?shù)。運(yùn)動硬化模型的背應(yīng)力是一個二階張量內(nèi)部變量的例子。對于大多數(shù)塑性模型需要內(nèi)部變量的演化方程，可以特設(shè)為作為一維情況，加載卸載條件可以寫為一致性條件的率形式 通過下面的一致性條件獲得塑性參數(shù)的演化方程。屈服條件為對于塑性加載 其應(yīng)力狀態(tài)必須保持在屈服面上 對于彈性加載或者卸載 沒有塑性流動。 726 多軸塑性 通過鏈規(guī)則擴(kuò)展給出一致性條件 次彈性塑性材料 認(rèn)為塑性流動是關(guān)聯(lián)的，否則，認(rèn)為是非關(guān)聯(lián)的。 如果塑性流動方向是與屈服面的法線成比例， 對于膨脹材料和含孔隙塑性固體，如Gurson模型，大的膨脹伴隨著塑性變形，J1不再

34、有效，在這種情況下，最好將屈服函數(shù)表示成Cauchy應(yīng)力的形式，并且導(dǎo)致切線剛度不是對稱的。Kirchhoff應(yīng)力公式類似于Cauchy應(yīng)力公式，并且可以從框5.5中以Kirchhoff應(yīng)力處處代替Cauchy應(yīng)力獲得。 Kirchhoff應(yīng)力與Cauchy應(yīng)力的關(guān)系： 736 多軸塑性 次彈性塑性材料 UMAT?746 多軸塑性 Tresca屈服準(zhǔn)則Mises屈服準(zhǔn)則在有限元程序中一般應(yīng)用哪種屈服準(zhǔn)則？為什么？Tresca屈服準(zhǔn)則756 多軸塑性 基于von Mises屈服面的J2流動模型，特別適用于金屬塑性，而且也是為此發(fā)展的。該模型的關(guān)鍵假設(shè)是壓力對在金屬中的塑性流動沒有影響，這已被試驗(yàn)

35、證明。屈服條件和塑性流動方向是基于應(yīng)力張量的偏量部分。利用Mises等效應(yīng)力將觀察到單軸應(yīng)力行為生成到多軸應(yīng)力狀態(tài)(另可處理生成剪切行為)，見框5.6。 J2塑性流動理論 上面展示的各向同性硬化公式可以擴(kuò)展到運(yùn)動硬化結(jié)合各向同性硬化，即混合硬化。在多軸大應(yīng)變運(yùn)動硬化模型中，需要背應(yīng)力張量的客觀性。 對于材料如土壤和巖石，摩擦和膨脹效果是明顯的。流動模型J2不適合這些材料，為此而發(fā)展了代表材料摩擦行為的屈服函數(shù)。在這些材料中，塑性行為取決于壓力，相比之下的von Mises塑性獨(dú)立于壓力。因此，對于摩擦材料，關(guān)聯(lián)塑性律常常是不適當(dāng)?shù)摹?6摩擦滑移屈服表面 6 多軸塑性 Mohr-Coulomb本

36、構(gòu)模型 滑移方向（塑性流動）是水平的（沿Q的方向）而不是垂直屈服面。這是非關(guān)聯(lián)塑性流動的例子。對于連續(xù)體和多軸應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的行為，M-C準(zhǔn)則具有普適性。它應(yīng)用于模擬顆粒狀的土壤和巖石。 M-C準(zhǔn)則是基于這樣的概念，即當(dāng)任意面上的切應(yīng)力和平均法向應(yīng)力達(dá)到臨界組合時在材料中發(fā)生屈服 c是內(nèi)聚力，通過 定義材料內(nèi)摩擦角。 776 多軸塑性 Mohr-Coulomb屈服行為Mohr-Coulomb屈服表面Drucker-Prager屈服表面 在Mohr平面上的兩條直線(對稱)代表了方程式，它們是Mohr圓的包絡(luò)，并稱為Mohr破壞或者失效包絡(luò)。假設(shè)主應(yīng)力 應(yīng)力狀態(tài)屈服準(zhǔn)則Mohr-Coulomb本構(gòu)模

37、型786 多軸塑性 考慮 的特殊情況并讓 ，代表剪切屈服強(qiáng)度， 上式成為 即為Tresca準(zhǔn)則。 在Tresca和M-C屈服表面上的直線線段便于塑性問題的解析處理。然而，從計算的觀點(diǎn)看，夾角使得本構(gòu)方程難以建立(例如，計算屈服面的法線)。通過改進(jìn)von Mises屈服準(zhǔn)則結(jié)合壓力的影響，Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則避免了與夾角有關(guān)的問題： 這是一個光滑圓錐的方程， 為等效Cauchy應(yīng)力，選擇常數(shù)有 D-P屈服表面通過了M-C屈服表面上的內(nèi)部或者外部頂點(diǎn)（取加號對應(yīng)于內(nèi)部頂點(diǎn)，而取減號對應(yīng)于外部頂點(diǎn)）。Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則796 多軸塑性 Gurson本構(gòu)模型(1977

38、)的發(fā)展是為了模擬通過空穴形核和長大的累積微觀破裂，它被擴(kuò)展應(yīng)用于模擬金屬的延性破裂(例如，Tvergaard和Needleman，1984)。可以推導(dǎo)出模型的不同形式，例如，模型的小應(yīng)變率無關(guān)塑性形式，考慮了延性鋼材中的起始裂紋。這里展示大變形、次彈性、率無關(guān)塑性形式。Needleman(1983) 給出了率相關(guān)公式。含孔隙彈塑性固體：Gurson模型 材料包含基體和空穴，應(yīng)用體積分?jǐn)?shù)f(在本節(jié)中，用表示屈服函數(shù)，用f表示空穴體積分?jǐn)?shù))，空穴體積分?jǐn)?shù)和基體材料的累積塑性應(yīng)變是模型中的內(nèi)變量。本構(gòu)模型的起點(diǎn)是對變形率張量分解成為彈性和塑性部分后求和。在次彈性應(yīng)力率關(guān)系中采用Cauchy應(yīng)力的J

39、aumann率(模量一般取常數(shù)和各向同性)，并且塑性流動方程基于Cauchy應(yīng)力，應(yīng)用Mises屈服條件。806 多軸塑性 屈服函數(shù)作為塑性流動的勢，因此這一理論是關(guān)聯(lián)的。給出屈服條件為含孔隙彈塑性固體：Gurson模型 有效宏觀Cauchy應(yīng)力和偏量Cauchy應(yīng)力分別為：注意ff 是在材料完全喪失承載能力時的空穴體積分?jǐn)?shù)。f * 空穴體積分?jǐn)?shù)的函數(shù)， 是基體材料中的等效應(yīng)力，在TvergaardNeedleman方法中，當(dāng)空穴體積分?jǐn)?shù)達(dá)到臨界值fc 時，引入修正后并給出為 816 多軸塑性 在材料中空穴的增加是由于已存在空穴的長大和新空穴的形核，可以寫成含孔隙彈塑性固體：Gurson模型

40、在不可壓縮的基體中（忽略彈性應(yīng)變的微小貢獻(xiàn)），由空穴長大的運(yùn)動和應(yīng)用宏觀塑性流動法則，得到空穴長大的表達(dá)式為形核是要考慮到控制應(yīng)變和應(yīng)力，這里忽略了形核。 通過使宏觀和微觀的塑性功率相等，獲得累積等效塑性應(yīng)變的演化表達(dá)式， 82率無關(guān)塑性的圖形返回算法 應(yīng)力-應(yīng)變反應(yīng)與變形率無關(guān)的一種材料稱為率無關(guān)；否則為率相關(guān)。小應(yīng)變、率無關(guān)彈-塑性的本構(gòu)方程為 ， Kuhn-Tucker條件，上面第一個條件表明塑性率參數(shù)是非負(fù)的，第二個條件表明當(dāng)塑性加載時，應(yīng)力狀態(tài)必須位于或限制在塑性表面上 ，最后條件也可以作為由已知一致性條件的率形式。塑性流動方向經(jīng)常特指為，這里稱為塑性流動勢 屈服條件 標(biāo)量塑性流動率

41、塑性流動方向h 塑性模量 q 內(nèi)變量 6 多軸塑性 83）應(yīng)力狀態(tài)必須保持在屈服面因此。對于彈性加載或者卸載，沒有塑性流動。對于塑性加載（率無關(guān)塑性的圖形返回算法 上，在時刻n 給出一組 和應(yīng)變增量本構(gòu)積分算法的目的是計算n+1時刻的并滿足加-卸載的一致性條件。 在n+1時刻的應(yīng)力給出為求解的一致性條件給出 因此有一致性條件， 。84 設(shè)想應(yīng)用這個塑性參數(shù)值以提供更新的應(yīng)力率、塑性應(yīng)變率和內(nèi)變量率，寫出簡單的向前Euler積分公式算法率無關(guān)塑性的圖形返回算法 但在下一步，這些應(yīng)力和內(nèi)變量的更新值并不滿足屈服條件，有 由于解答從屈服表面漂移，常常導(dǎo)致不精確的結(jié)果，因此不受人青睞。公式也稱為切線模

42、量更新算法，它是計算率無關(guān)塑性早期工作的基礎(chǔ)。85率無關(guān)塑性的圖形返回算法(return mapping algorithms) 于是考慮另外一些方法進(jìn)行率本構(gòu)方程的積分，目的是強(qiáng)化在時間步結(jié)束時的一致性，使得 為避免離開屈服面的漂移。有許多不同的積分本構(gòu)算法，這里主要關(guān)注一類方法圖形返回算法，它是強(qiáng)健和精確的，被廣泛應(yīng)用。著名的von Mises塑性徑向返回方法是該算法的特例。 圖形返回算法包括： 一個初始彈性預(yù)測步，包含（在應(yīng)力空間）對屈服表面的偏離，和一個塑性調(diào)整步，使應(yīng)力返回到更新后的屈服表面。 方法的兩個組成部分是：一個積分算法，它將一組本構(gòu)方程轉(zhuǎn)換為一組非線性代數(shù)方程，一個對非線性

43、代數(shù)方程的求解算法，該方法可基于不同的積分算法，例如生成梯形法則，生成中點(diǎn)法則或者Runge-Kutta方法。基于向后Euler算法，考慮一個完全隱式方法和一個半隱式方法。86完全隱式的圖形返回算法 在完全隱式的向后Euler方法中，在步驟結(jié)束時計算塑性應(yīng)變和內(nèi)變量的增量，同時強(qiáng)化屈服條件，這樣積分算法為公式是一組關(guān)于求解的非線性代數(shù)方程。注意到更新變量來自前一個時間步結(jié)束時的收斂值，這就避免了非物理意義的效果，例如當(dāng)用不收斂的塑性應(yīng)變和內(nèi)變量值求解路徑相關(guān)塑性方程時可能發(fā)生的偽卸載。 在時刻n 給出一組 和應(yīng)變增量87通過方程系統(tǒng)的解答獲得了應(yīng)變在時刻n 1， 完全隱式的圖形返回算法 如果解

44、答過程是隱式的，可以理解應(yīng)變是在隱式解答算法的最后迭代后的總體應(yīng)變。 塑性應(yīng)變增量給出為 代入表達(dá)式 關(guān)聯(lián)塑性的最近點(diǎn)投射方法 88是彈性預(yù)測的試應(yīng)力是塑性修正量，它沿著一個方向，即規(guī)定為在結(jié)束點(diǎn)處塑性流動的方向，返回或者投射試應(yīng)力到適當(dāng)更新的屈服表面（考慮硬化）。 而數(shù)值完全隱式的圖形返回算法 由總體應(yīng)變的增量驅(qū)動彈性預(yù)測狀態(tài)，而由塑性參數(shù)的增量驅(qū)動塑性修正狀態(tài)。因此，在彈性預(yù)測階段，塑性應(yīng)變和內(nèi)變量保持固定；而當(dāng)塑性修正階段，總體應(yīng)變是不變的。在彈性預(yù)測階段，由公式得到的結(jié)果為關(guān)聯(lián)塑性的最近點(diǎn)投射方法 其中89完全隱式的圖形返回算法 非線性代數(shù)方程組解答一般由Newton過程求解?；诜诸?/p>

45、線性化方程組的Newton過程和根據(jù)最近投射點(diǎn)的概念引導(dǎo)塑性修正返回到屈服表面。在算法的塑性修正階段中，總體應(yīng)變是常數(shù)，線性化是相對于塑性參數(shù)增量在Newton過程中應(yīng)用下面的標(biāo)記：關(guān)于一個方程的線性化，并有在第k次迭代時記為 為適合Newton迭代，以上面形式寫出塑性更新和屈服條件，省略n+1腳標(biāo) 90完全隱式的圖形返回算法 這組方程的線性化給出 3個方程可以聯(lián)立求解 這樣，塑性應(yīng)變、內(nèi)變量和塑性參數(shù)更新是 Newton過程是連續(xù)計算直至收斂到足以滿足準(zhǔn)則的更新屈服表面。這個過程是隱式的，其復(fù)雜性在于需要塑性流動方向的梯度，不適合復(fù)雜的本構(gòu)模型。腳標(biāo)為偏導(dǎo)數(shù) 一致性條件：在加卸載過程中，材料的應(yīng)力點(diǎn)始終處于屈服面上91應(yīng)用于J2流動理論徑向返回算法 小應(yīng)變時的彈-塑性本構(gòu)關(guān)系和框5.6的J2 流動理論，注意到塑性流動方向是在偏應(yīng)力的方向，給出為 J2塑性流動理論基于Mises屈服面，它特別適用于金屬塑性，該模型的關(guān)鍵假設(shè)是壓力對在金屬中的塑性流動沒有影響；屈服條件和塑性流動方向是基于應(yīng)力張量的偏量部分。它也是屈服表面的法向，即 在偏應(yīng)力空間(平面)，Mises屈服表面是環(huán)狀，法向是徑向。在塑性流動方向(徑向)定義一個單位法向矢量為92應(yīng)用于J2流動理論徑向