第九章電磁學(xué)壓軸大題增分策略三——突破“磁發(fā)散”和“磁聚焦”兩大難點

1、第九章“沖刺雙一流”深化內(nèi)容電磁學(xué)壓軸大題增分策略(三)突破“磁發(fā)散”和“磁聚焦”兩大難點帶電粒子在磁場中的運動形式很多，其中有一種是帶電粒子在圓形磁場中的運動。當(dāng)粒子做圓周運動的半徑與圓形磁場的半徑相等時，會出現(xiàn)磁發(fā)散或磁聚焦現(xiàn)象。帶電粒子在圓形磁場中的發(fā)散運動不同帶電粒子在圓形磁場中從同一點沿不同方向出發(fā)，做發(fā)散運動，離開磁場后速度方向都相同。例如：當(dāng)粒子由圓形勻強磁場的邊界上某點以不同速度射入磁場時，會平行射出磁場，如圖所示。例1真空中有一半徑為r的圓柱形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面向里，Ox為過邊界上O點的切線，如圖所示。從O點在紙面內(nèi)向各個方向發(fā)射速率相同的電子，設(shè)電子間相互作用

2、忽略，且電子在磁場中運動的圓周軌跡半徑也為r。所有從磁場邊界射出的電子，其速度方向有何特征？解析如圖所示，無論入射的速度方向與x軸的夾角為何值，入射點O、出射點A、磁場圓心O1和軌道圓心O2，一定組成邊長為r的菱形，因為OO1Ox，所以O(shè)2AOx。而O2A與電子射出的速度方向垂直，可知電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場時，速度方向均與Ox軸正向相同。答案見解析例2如圖所示，真空中有一個半徑r0.5 m的圓形磁場，與坐標(biāo)原點相切，磁場的磁感應(yīng)強度大小B2103 T，方向垂直于紙面向外，在x1 m和x2 m之間的區(qū)域內(nèi)有一個方向沿y軸正向的勻強電場區(qū)域，電場強度E1.510

3、3 N/C。在x3 m處有一垂直x軸方向的足夠長的熒光屏，從O點處向不同方向發(fā)射出速率相同的比荷eq f(q,m)1109 C/kg，且?guī)д姷牧Ｗ?，粒子的運動軌跡在紙面內(nèi)，一個速度方向沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能從磁場最右側(cè)的A點離開磁場，不計重力及阻力的作用，求：(1)沿y軸正方向射入的粒子進入電場時的速度和粒子在磁場中的運動時間；(2)速度方向與y軸正方向成30角(如圖中所示)射入磁場的粒子，離開磁場時的速度方向；(3)(2)中的粒子最后打到熒光屏上，該發(fā)光點的位置坐標(biāo)。解析(1)由題意可知，粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑Rr0.5 m，由Bqveq f(mv2,R)，可得粒子

4、進入電場時的速度為veq f(qBR,m)110921030.5 m/s1106 m/s。在磁場中運動的時間為t1eq f(1,4)Teq f(m,2Bq)eq f(3.14,21092103) s7.85107 s。(2)粒子的運動圓軌跡和磁場圓的交點O、C以及兩圓的圓心O1、O2組成菱形，CO2和y軸平行，所以v和x軸平行向右，如圖所示。(3)粒子在磁場中轉(zhuǎn)過120角后從C點離開磁場，速度方向和x軸平行，做直線運動，再垂直電場線進入電場，如圖所示：在電場中的加速度大小為：aeq f(Eq,m)1.51031109 m/s21.51012 m/s2。粒子穿出電場時有：vyat2aeq f(x

5、,v)1.5106 m/s，tan eq f(vy,vx)eq f(1.5106,1106)1.5。在磁場中y11.5r1.50.5 m0.75 m。在電場中側(cè)移為：y2eq f(1,2)at22eq f(1,2)1.51012eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,1106)2 m0.75 m。飛出電場后粒子做勻速直線運動y3x tan 11.5 m1.5 m，yy1y2y30.75 m0.75 m1.5 m3 m。則該發(fā)光點的坐標(biāo)為(3 m,3 m)。答案(1)1106 m/s7.85107 s(2)與x軸平行向右(3)(3 m,3 m)帶電粒子在圓形磁場中的匯聚運動速度相同的不

6、同帶電粒子進入圓形勻強磁場后，匯聚于同一點。例如：當(dāng)速度相同的粒子平行射入磁場中，會在圓形磁場中匯聚于圓上一點，如圖所示。例3真空中有一半徑為r的圓柱形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面向里，Ox為過邊界上O點的切線，如圖所示，速率相同，方向都沿Ox方向的不同電子，在磁場中運動的圓周軌跡半徑也為r。進入圓形勻強磁場后，所有從磁場邊界出射的電子，離開磁場的位置有何特征？解析由A點進入磁場的電子，其圓周軌道和圓形磁場的兩交點以及兩圓心組成邊長為r的菱形，v0和AO1垂直，所以AO1的對邊也和v0垂直，即AO1的對邊和Ox方向垂直，所以AO1的對邊即為O2O，電子從O點離開磁場，因此，所有從磁場邊界出

7、射的電子，離開磁場的位置都在O點。答案見解析例4如圖甲所示，平行金屬板A和B間的距離為d，現(xiàn)在A、B板上加上如圖乙所示的方波形電壓，t0時，A板比B板的電勢高，電壓的正向值為u0，反向值為u0，現(xiàn)有質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正粒子組成的粒子束，從AB的中點O1以平行于金屬板方向O1O2的速度v0eq f(r(3)qu0T,3dm)射入，所有粒子在AB間的飛行時間均為T，不計重力影響。求：(1)粒子射出電場時位置離O2點的距離范圍及對應(yīng)的速度；(2)若要使射出電場的粒子經(jīng)某一圓形區(qū)域的勻強磁場偏轉(zhuǎn)后都能通過圓形磁場邊界的一個點處，而便于再收集，則磁場區(qū)域的最小半徑和相應(yīng)的磁感應(yīng)強度是多大？解析(1

8、)當(dāng)粒子由tnT時刻進入電場，向下側(cè)移最大，則：s1eq f(qu0,2dm)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2T,3)2eq f(qu0,dm)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2T,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(T,3)eq f(qu0,2dm)eq blc(rc)(avs4alco1(f(T,3)2eq f(7qu0T2,18dm)。當(dāng)粒子由tnTeq f(2T,3)時刻進入電場，向上側(cè)移最大，則s2eq f(qu0,2dm)eq blc(rc)(avs4alco1(f(T,3)2eq f(qu0T2,18dm)，在距離O2中點下方eq f(

9、7qu0T2,18dm)至上方eq f(qu0T2,18dm)的范圍內(nèi)有粒子射出。打出粒子的速度都是相同的，在沿電場線方向速度大小為vyeq f(u0q,dm)eq f(T,3)eq f(u0qT,3dm)。所以射出速度大小為veq r(v02vy2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3)u0qT,3dm)2blc(rc)(avs4alco1(f(u0qT,3dm)2)eq f(2u0qT,3dm)。設(shè)速度方向與v0的夾角為，則tan eq f(vy,v0)eq f(1,r(3)，30。(2)要使平行粒子能夠交于圓形磁場區(qū)域邊界且有最小區(qū)域時，磁場直徑最小值與粒子寬度相等，

10、粒子寬度D(s1s2)cos 30，即Deq f(4qu0T2,9dm) cos 30eq f(2r(3)qu0T2,9dm)。故磁場區(qū)域的最小半徑為req f(D,2)eq f(r(3)qu0T2,9dm)。而粒子在磁場中做圓周運動有qvBmeq f(v2,r)。解得Beq f(2r(3)m,qT)。答案(1)見解析(2)eq f(r(3)qu0T2,9dm)eq f(2r(3)m,qT)提能增分集訓(xùn) 1電子質(zhì)量為m、電荷量為e，從坐標(biāo)原點O處沿xOy平面射入第一象限，射入時速度方向不同，速度大小均為v0，如圖所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，若這些

11、電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求：(1)熒光屏上光斑的長度；(2)所加磁場范圍的最小面積。解析：(1)如圖所示，初速度沿x軸正方向的電子，沿弧OB運動到P點，為熒光屏上光斑的最高點，初速度沿y軸正方向的電子，沿弧OC運動到Q點，為熒光屏上光斑的最低點，電子在磁場中，由ev0Bmeq f(v02,R)得Req f(mv0,eB)，光斑長度PQReq f(mv0,eB)。(2)所加磁場的最小面積是以O(shè)為圓心、R為半徑的斜線部分，其面積大小為Seq f(3,4)R2R2eq f(1,4)R2eq f(,2)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(mv0,eB)2。

12、答案：(1)eq f(mv0,eB)(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(mv0,eB)22.如圖所示，質(zhì)量m8.01025 kg、電荷量q1.61015 C的帶正電粒子從坐標(biāo)原點O處沿xOy平面射入第一象限內(nèi)，且在與x方向夾角大于等于30的范圍內(nèi)，粒子射入時的速度方向不同，但大小均為v02.0107 m/s?，F(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B0.1 T，若這些粒子穿過磁場后都能射到與y軸平行的熒光屏MN上，并且當(dāng)把熒光屏MN向左移動時，屏上光斑長度和位置保持不變。求：(3.14)(1)粒子從y

13、軸穿過的范圍；(2)熒光屏上光斑的長度；(3)從最高點和最低點打到熒光屏MN上的粒子運動的時間差；(4)畫出所加磁場的最小范圍(用陰影表示)。解析：設(shè)粒子在磁場中運動的半徑為R，由牛頓第二定律得qv0Bmeq f(v02,R)，即Req f(mv0,qB)解得R0.1 m當(dāng)把熒光屏MN向左移動時，屏上光斑長度和位置保持不變，說明粒子出射方向平行，且都沿x方向，所加磁場為圓形，半徑為R0.1 m。(1)如圖所示，初速度沿y軸正方向的粒子直接過y軸。速度方向與x軸正方向成30角的粒子，轉(zhuǎn)過的圓心角OO2B為150，則OO2A120粒子從y軸穿過的范圍為0eq r(3)R，即00.17 m。(2)初

14、速度沿y軸正方向的粒子，yCR由(1)知O2OA30yBRRcos 則熒光屏上光斑的長度lyByC0.09 m。(3)粒子運動的周期Teq f(2R,v0)eq f(2m,qB)108 s從B點和C點射出的粒子在磁場中運動的時間差t1eq f(5,12)Teq f(1,4)Teq f(1,6)T出磁場后，打到熒光屏上的時間差t2eq f(R,2v0)從最高點和最低點打到熒光屏MN上的粒子運動的時間差tt1t27.7109 s。(4)如圖陰影部分所示。答案：(1)00.17 m(2)0.09 m(3)7.7109 s(4)見解析3設(shè)在某一平面內(nèi)有P1、P2兩點，由P1點向平面內(nèi)各個方向發(fā)射速率均為v0的電子。請設(shè)計一種勻強磁場分布，使得由P1點發(fā)出的所有電子都能夠匯集到P2點。電子電量為e，質(zhì)量為m。解析：如圖所示，過P1點做2個圓，和直線P1P2相