數(shù)學(xué)物理方法：charpt-6 二階線性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法

1、第六章 二階線性常微分方程 的冪級(jí)數(shù)解法 數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中的二階線性常微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 方程的系數(shù)解的解析性級(jí)數(shù)解法得到的解總是指某一指定點(diǎn) z0 的鄰域內(nèi)收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)。p(z)、q(z) 在 z0 點(diǎn)的解析性 級(jí)數(shù)解在 z0 點(diǎn)的解析性。超幾何方程6.1 二階線性常微分方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn) 定義 若 p(z)、q(z) 在 z0 點(diǎn)解析，稱 z0 點(diǎn)為方程的常點(diǎn)。若 p(z)、q(z) 中至少有一個(gè)在 z0 點(diǎn)不解析，稱 z0 點(diǎn)為方程的奇點(diǎn)。 舉例有限遠(yuǎn)處 p(z)、q(z) 有兩個(gè)奇點(diǎn)， z = 0 和 z = 1 。所以，z = 0 和 z = 1 是超幾何方程的奇點(diǎn)，有限

2、遠(yuǎn)處的其它點(diǎn)為方程的常點(diǎn)。勒讓德方程 舉例有限遠(yuǎn)處 p(z)、q(z) 有兩個(gè)奇點(diǎn)， z = 1 和 z = -1 。所以，z = 0 和 z = 1 是勒讓德方程的奇點(diǎn)，有限遠(yuǎn)處的其它點(diǎn)為方程的常點(diǎn)。要判斷 z = 是否為方程的奇點(diǎn)，作自變量變換二階線性齊次常微分方程可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式為若 t = 0 是常點(diǎn)/奇點(diǎn)，則 z = 就是常點(diǎn)/奇點(diǎn)。和 不含 t 負(fù)冪項(xiàng) t = 0 ( z = )為方程常點(diǎn)的條件可見(jiàn)， z = 是勒讓德方程和超幾何方程的奇點(diǎn)。將 代入方程得 例題解求二階線性常微分方程，使其解為 和 。 設(shè)所求方程為即 (1)代入(2)得將 代入方程得即 即所求方程為 若 p(z)

3、和 q(z) 在圓 內(nèi)單值解析，則在此圓內(nèi)常微分方程初值問(wèn)題(c0，c1 為任意常數(shù))有唯一的一個(gè)解 w(z) ，且 w(z) 在這個(gè)圓內(nèi)單值解析。6.2 方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的解 定理 均可展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)：求解方法說(shuō)明 其中an，bn 已知，c0，c1 已知，確定出 cn 可求出方程的解。將展開(kāi)為級(jí)數(shù)的 p(z)，q(z) 和 w(z) 代入方程： p(z) 和 q(z) 在圓 內(nèi)單值解析，可知冪次項(xiàng) (z-z0)n 的系數(shù)全為0考察各冪次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為一次項(xiàng)系數(shù)為以此類(lèi)推 cn 均可用 c0 和 c1 表示 例題解求勒讓德方程在 z = 0 鄰域內(nèi)的解，l 為已知參數(shù)。統(tǒng)一求和指標(biāo)，k 均從

4、0 記z = 0 為常點(diǎn)，有代入方程得zk 同次冪合并后，得合并 ck 的系數(shù)，得即得遞推關(guān)系為偶次冪系數(shù)為同理，奇次冪系數(shù)為引進(jìn)記號(hào)則勒讓德方程在 內(nèi)的解就是任意給定初始條件 c0 和 c1，就可得到一個(gè)特解。尤其當(dāng) 和 時(shí)，即得特解二者的任意線性組合即為通解。求解過(guò)程中，ck+2 只與ck 有關(guān)，而與ck+1 無(wú)關(guān)，w1(z) 是偶函數(shù)，w2(z)是奇函數(shù)。對(duì)于 z -z 變換，勒讓德方程的形式不變，故 w(-z) 也是方程的解，且 w(z)+w(-z) 是偶函數(shù)，w(z)-w(-z) 是奇函數(shù)。在常點(diǎn)鄰域內(nèi)求級(jí)數(shù)解的一般步驟 1、將方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的解展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，代入方程； 2、比較系

5、數(shù)，獲得系數(shù)間的遞推關(guān)系； 3、反復(fù)利用遞推關(guān)系，求出系數(shù) ck 的普遍表達(dá)式（用 c0 和 c1 表示），最后得出級(jí)數(shù)解。線性方程線性遞推關(guān)系w1(z) 和 w2(z) 是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解 例題解求方程 在 z = 0 鄰域內(nèi)的兩個(gè)級(jí)數(shù)解。 代入方程得z = 0 是方程的常點(diǎn)，令 考察同次冪系數(shù)零次冪系數(shù)一次冪系數(shù)二次冪系數(shù)三次冪系數(shù)四次冪系數(shù)五次冪系數(shù)n 次冪系數(shù)同理所以對(duì)應(yīng) 和 有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解： 例題設(shè) 是方程 的解，在區(qū)域 G1 內(nèi)解析，若 是 在區(qū)域 G2 內(nèi)的解析延拓，即 試證明： 仍是方程的解。 設(shè)證明g(z) 在 G2 內(nèi)的解析是方程在 G1 內(nèi)的解，故在 內(nèi)仍滿足方程

6、而 時(shí)， 故 在 G2 內(nèi)滿足方程即 ，由解析函數(shù)的零點(diǎn)孤立性定理（推論三）可知 和 線性無(wú)關(guān) 朗斯基行列式 例題設(shè) 和 是 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，且均在區(qū)域 G1 內(nèi)解析，若 和 是 和 在 G2 內(nèi)的解析延拓，即 時(shí)，試證： 和 仍線性無(wú)關(guān) 上個(gè)例子已經(jīng)證得 和 仍是方程的解證明所以， 和 在 G2 內(nèi)仍線性無(wú)關(guān)。由解析函數(shù)的唯一性可知在 G2 內(nèi)解析設(shè) 由以上例題可知，方程在不同區(qū)域內(nèi)的解式互為解析延拓，因此，可以由方程在某一區(qū)域內(nèi)的解式出發(fā)，通過(guò)解析延拓推出方程在其它區(qū)域內(nèi)的解式。 若 z0 是方程 的奇點(diǎn)，則在 p(z) 和 q(z) 都解析的環(huán)域 內(nèi)，方程的線性無(wú)關(guān)解是6.3 方程正則

7、奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解 定理其中 為常數(shù)。 當(dāng) 或 不是整數(shù)，或 ，方程的解均為多值函數(shù)，z0 為其支點(diǎn)。將 和 代入方程，難以求出系數(shù)的普遍公式（無(wú)窮多正冪項(xiàng)與負(fù)冪項(xiàng)），當(dāng)級(jí)數(shù)解中只有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，總可以調(diào)整 值，使級(jí)數(shù)中沒(méi)有負(fù)冪項(xiàng)。說(shuō)明稱為正則解。方程在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)有兩個(gè)正則解的條件是什么？定理充分必要條件富克斯定理 方程 在其奇點(diǎn) z0 的鄰域內(nèi)有兩個(gè)正則解 和 在 z0 點(diǎn)解析z = 0 和 z = 1均為超幾何方程 的正則奇點(diǎn)。 舉例z0 = 0 時(shí)， 和在 z0 = 0 處解析。z0 = 1 時(shí)， 和在 z0 = 1 處解析。z = 1 和 z = -1均為勒讓德方程 的正則奇點(diǎn)。 舉例z0

8、 = 1 時(shí)， 和在 z0 = 0 處解析。z0 = 1 時(shí)， 和在 z0 = 1 處解析。要判斷 z = 是否為方程的奇點(diǎn)，作自變量變換（前面已推得）方程化為在 t = 0 處， 解析。則 z = 是方程 的正則奇點(diǎn)。判斷 z = 是否為超幾何方程和勒讓德方程的正則奇點(diǎn) 。 例題超幾何方程：在 t = 0 處解析，t = 0 為正則奇點(diǎn)。z = 為超幾何方程的正則奇點(diǎn)。勒讓德方程：在 t = 0 處解析，t = 0 為正則奇點(diǎn)。z = 為勒讓德方程的正則奇點(diǎn)。將 代入方程比較系數(shù)，求出指標(biāo) 和系數(shù)遞推關(guān)系在正則奇點(diǎn) z0 處將 代入方程正則奇點(diǎn)鄰域內(nèi)級(jí)數(shù)解的求解思路整數(shù)求得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解只求

9、得一個(gè)解求解過(guò)程設(shè) z = 0 是方程 的正則奇點(diǎn)，在 z = 0 的鄰域內(nèi)，方程的系數(shù)作洛朗展開(kāi)：設(shè)解為 代入方程，有由于 的存在，c0 不會(huì)因求導(dǎo)而消失，k 仍從 0 取起。約去 ，整理得 的系數(shù)為即指標(biāo)方程其中獲得指標(biāo)，其中 和 （規(guī)定 ） 的系數(shù)為系數(shù)遞推關(guān)系反復(fù)利用系數(shù)遞推關(guān)系，得到 若 整數(shù)，分別代入 和 可得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解 若 ，第二特解必含對(duì)數(shù)項(xiàng) 若 （整數(shù)），第二特解可能含有對(duì)數(shù)項(xiàng)補(bǔ)充討論： 當(dāng) （整數(shù)）時(shí)，若第二特解含有對(duì)數(shù)項(xiàng)，其系數(shù) 有因此， 時(shí)， 無(wú)解； 時(shí)， 任意。對(duì)于 ， 一定含有對(duì)數(shù)項(xiàng)；對(duì)于 ， 同時(shí)依賴于 和 ， 有兩項(xiàng)，一 項(xiàng)正比于 ，一項(xiàng)正比于 ，而此時(shí)

10、 可取任意值， 取 。因此， （整數(shù)），第二特解可能含有對(duì)數(shù)項(xiàng)補(bǔ)充證明：普遍理論 對(duì)二階常微分方程 ，若已求出 ，總可以通過(guò)積分 求出第二解的級(jí)數(shù)。得 證明即 可知兩端同除以 得 積分得 再積分，即 易知 在 z = 0 點(diǎn)解析 例題解求方程 在 z = 0 鄰域內(nèi)的兩個(gè)級(jí)數(shù)解。 又知z = 0 是方程的正則奇點(diǎn)。 方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為z = 0 是方程的奇點(diǎn) 指標(biāo)方程 為指標(biāo)為將 代入系數(shù)遞推公式可得即所以當(dāng) 時(shí)，由系數(shù)遞推公式可得所以 不是指標(biāo)。 n 不能取 1 ，意味著不存在 ，令 A = 1 ，代入 得方程在 z = 0 鄰域內(nèi)的兩個(gè)級(jí)數(shù)解為 可知 是方程的奇點(diǎn)。6.4 貝塞耳方程的解在柱

11、坐標(biāo)中對(duì)亥姆霍茲方程 或拉普拉斯方程 分離變量，可以得到貝塞耳方程（ g 階貝塞耳方程） g 是常數(shù)，均在 解析，所以 是方程的正則奇點(diǎn)。 討論：貝塞耳方程在 的鄰域 內(nèi)的解設(shè) 代入方程有約去 ，得 時(shí) 時(shí) 任意由級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性可知，作系數(shù)比較項(xiàng)的系數(shù)：可得指標(biāo)方程即項(xiàng)的系數(shù)：即項(xiàng)的系數(shù)：可知遞推關(guān)系：反復(fù)使用遞推關(guān)系： 時(shí) 時(shí) 任意用 代入系數(shù)通式，可得則取 就有解： g 階貝塞耳函數(shù)用 代入系數(shù)通式，可得則當(dāng) 整數(shù)時(shí)，取 就有解： -g 階貝塞耳函數(shù)當(dāng) 時(shí)，以上只給出同一解補(bǔ)充討論 的情形， 任意，若 ，則此時(shí) 即 ，則 只是又增加了一項(xiàng)當(dāng) 時(shí)，以上只給出同一個(gè)解因?yàn)?時(shí)，遞推關(guān)系無(wú)意義； ， 不合法，意味 ； 即使 ， 有意義與第一解線性相關(guān)所以第二解一定含有對(duì)數(shù)項(xiàng)分析知，線性無(wú)關(guān)，朗斯基行列式 即 (6