自回歸過程性質(zhì)PPT課件

1、1一、時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性（Stationarity） 平穩(wěn)性的定義：如果一個(gè)時(shí)間序列模型可以寫成如下形式：2211ttttaaax其中，xt為零均值平穩(wěn)序列，at為白噪聲，且滿足條件 就稱該模型是平穩(wěn)的。（上式又稱Wold展開式）002)1(,jj返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)第1頁(yè)/共70頁(yè)2.,)(000)()(0)(,0222022這是過程平穩(wěn)的條件因此必須有在由于平穩(wěn)過程的方差存且可以證明如下結(jié)論對(duì)于上式j(luò)joikiiakttkajttjjattxxEjjxaExVarxE第2頁(yè)/共70頁(yè)3時(shí)間序列模型的可逆性 (ivertibility) 如果一個(gè)時(shí)間序列（未必平穩(wěn)）的模型可以寫成如下形

2、式：tttttaxxxx332211其中：at為白噪聲，且有那么，就稱這個(gè)模型是可逆的。 11jj返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)第3頁(yè)/共70頁(yè)4對(duì)于一個(gè)有限階的自回歸模型AR(P)tptptttaxxxx2211總有：pjjjj1111所以，一個(gè)有限階的AR(p)模型總是可逆的。第4頁(yè)/共70頁(yè)5自回歸表示有助于理解預(yù)測(cè)機(jī)制，Box和Jenkins證明在預(yù)測(cè)時(shí)，一個(gè)非可逆過程是毫無意義的。第5頁(yè)/共70頁(yè)6一、一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì) 一階自回歸模型的形式為：tttaxx11或ttaxB11返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)第6頁(yè)/共70頁(yè)71、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性： 一個(gè)有限階的自回歸模型總是可

3、逆的，所以，AR(1)模型總是可逆的。B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外，于是有：011B1, 1111即第7頁(yè)/共70頁(yè)812233111123111213221200111,(1),(1)11:1:(1)1tttttttjjjjARMAaxBBBaBaaaaAR 當(dāng)時(shí)可表示為一個(gè)無限階的過程 即此時(shí)有注 下面我們對(duì)的討論都假定第8頁(yè)/共70頁(yè)923111213tttttxaaaau上式說明系統(tǒng)是怎樣記憶擾動(dòng)atu上式中的系數(shù)客觀的描述了該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性，故這個(gè)系數(shù)稱為記憶函數(shù)（格林函數(shù)），uAR(1)模型的格林函數(shù)可表示為u平穩(wěn)序列的這種表示形式，稱為“傳遞形式”，（用無窮階MA

4、模型來逼近有限階AR模型）1jjG第9頁(yè)/共70頁(yè)10格林函數(shù)的意義 是前j個(gè)時(shí)間單位以前進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)現(xiàn)在的影響； 客觀的刻劃了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)衰減的快慢程度； 是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)真實(shí)描述； 格林函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)性完全取決于系統(tǒng)參數(shù)第10頁(yè)/共70頁(yè)11對(duì)于AR(1)來說：若系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，該擾動(dòng)的作用逐漸減小，直至趨于零，即系統(tǒng)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)回到均衡位置，那么該系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的，也就是平穩(wěn)的。系統(tǒng)平穩(wěn)對(duì)于格林函數(shù)來說，就是隨著j的增加，趨近于零；若格林函數(shù)趨于無窮大，那么任意小的擾動(dòng)，只要給定足夠的時(shí)間，就會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)正負(fù)趨于無窮，永遠(yuǎn)不會(huì)回到其均衡位置，這時(shí)系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的，當(dāng)然是非平穩(wěn)的。

5、1jjG第11頁(yè)/共70頁(yè)122.AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)kkkktkttkttktkaatttttkaxExxExxEaxaxExEAR10111121202021211212120:)1()()()(1)2()(:)1(解此差分方程有所以所以過程的自協(xié)方差如下第12頁(yè)/共70頁(yè)131,0)1()1(:0110110有時(shí)當(dāng)解此差分方程有因此它的自相關(guān)函數(shù)為kkkkkkkkk第13頁(yè)/共70頁(yè)142121261412111224121212221111221112122614121224121212222111201)1 ()()()(1)1 ()()()(:akakkktktktktktk

6、tktktttkttkaatttttttaaaEaaaaaaaExxEaaaEaaaExE方法證明上述結(jié)論還可通過如下第14頁(yè)/共70頁(yè)151010且于是有kkk第15頁(yè)/共70頁(yè)16通過上述推導(dǎo)可看出，當(dāng)過程平穩(wěn)即 時(shí)，AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈指數(shù)衰減。101如果 ，那么所有的自相關(guān)系數(shù)都為正，并逐漸衰減。如果 ,自相關(guān)系數(shù)的符號(hào)以負(fù)號(hào)開始，并呈正、負(fù)交替逐漸衰減。01111第16頁(yè)/共70頁(yè)17例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(1)過程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖白噪聲為正態(tài)其中或) 1 , 0(,85. 085. 0)85. 01 (11NaaxxaxBtttttt

7、第17頁(yè)/共70頁(yè)18-6-4-202482848688909294969800例1，模擬生成的AR(1)過程趨勢(shì)圖第18頁(yè)/共70頁(yè)19例1：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖:85. 085. 0)85. 01 (11其中或tttttaxxaxB呈指數(shù)衰減第19頁(yè)/共70頁(yè)20例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(1)過程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖白噪聲為正態(tài)其中或) 1 , 0(,85. 0)85. 0()85. 01 (11NaaxxaxBtttttt第20頁(yè)/共70頁(yè)21-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模擬生成的AR(1)過程趨勢(shì)圖第21頁(yè)/共

8、70頁(yè)22例2：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖:85. 0)85. 0()85. 01 (11其中或tttttaxxaxB呈正負(fù)交替指數(shù)衰減第22頁(yè)/共70頁(yè)233.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）A.偏自相關(guān)函數(shù)的一般公式.) 1(0),cov(,:, 0)(.,112211121121間的偏自相關(guān)系數(shù)和也就是上式中的且為正態(tài)誤差項(xiàng)個(gè)回歸系數(shù)為第上式中則有間存在線性關(guān)系與且假設(shè)來表示它一般用的相關(guān)性之間和的影響之后之間的隨機(jī)變量和偏自相關(guān)函數(shù)指剔除掉在第二章我們已經(jīng)知道kttkkjtttkitktkkktkktktktktktttttkkkttktttkttxxjxeeiexxxx

9、xxxxxxxExxxxxxx第23頁(yè)/共70頁(yè)24kjkkjkjkjkjkkjkjkjjtktkkjttkjttkjttjtxxExxExxExxEjx221122112211:)()()()(,) 1(:所以于是有并求期望得乘上式兩端將式可推導(dǎo)如下偏自相關(guān)函數(shù)的一般公第24頁(yè)/共70頁(yè)25110211211202112201,2,r,kekkkkkkkkkkkkkkkkkkkYulejkWol 對(duì)于我們有如下方程組此方程稱為即為方程偏自相關(guān)函數(shù)第25頁(yè)/共70頁(yè)2601210121031220111033112110110211022111111, 2 , 1法則可得由對(duì)于Gramerkk

10、第26頁(yè)/共70頁(yè)27122111321231122111321231,11111()kkkkkkkkkkkkkkk類推下去可得上式即為偏自相關(guān)函數(shù)的一般公式偏自相關(guān)函數(shù)公式的另一種推導(dǎo)方法可見課本第27頁(yè)/共70頁(yè)28B.AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)0011,0121012102112110101100121012103122011103311111010011021102211111公式得及偏自相關(guān)函數(shù)的一般由kk第28頁(yè)/共70頁(yè)29)2(0:1111kkk于是有如下結(jié)論上述結(jié)論說明：AR (1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號(hào)取決于 。滯后一階以后PACF截尾。

11、1第29頁(yè)/共70頁(yè)30例1：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖:85. 085. 0)85. 01 (11其中或tttttaxxaxB滯后一階以后截尾第30頁(yè)/共70頁(yè)3185. 0)85. 0()85. 01 (11其中或tttttaxxaxB例2：模擬生成的AR(1)過程自相關(guān)圖:滯后一階以后截尾第31頁(yè)/共70頁(yè)32二、二階自回歸AR(2)過程的性質(zhì) 二階自回歸模型的形式為：ttttaxxx2111或ttaxBB2211返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)第32頁(yè)/共70頁(yè)33B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：AR(2)模型總是可逆的。01221BB第33

12、頁(yè)/共70頁(yè)34)1(1,011, 111, 1:01,)2(21212212122121BBBBBBBBBAR因?yàn)榭梢宰C明有的絕對(duì)值都小于的兩個(gè)特征根程其實(shí)也就是要求特征方即那么必須有的兩個(gè)根是假定以用其參數(shù)值形式表示模型的平穩(wěn)性條件可第34頁(yè)/共70頁(yè)3521212(2)1111AR通過證明，模型的平穩(wěn)性條件如下注：我們下面對(duì)AR(2)性質(zhì)的討論中都假定平穩(wěn)性條件滿足.第35頁(yè)/共70頁(yè)36-202-101實(shí)根復(fù)根12AR(2)過程的平穩(wěn)性區(qū)域如下圖三角域所示04221第36頁(yè)/共70頁(yè)372.AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)) 1(,) 1()()()()()2(221122112211kka

13、xExxExxExxEARkkkkkktkttkttkttktk自相關(guān)函數(shù)為因而所以下過程的自協(xié)方差求得如第37頁(yè)/共70頁(yè)38呈混合指數(shù)衰減的顯然此時(shí)可由如下初始條件求出其中常數(shù)于是解之得特征根為異實(shí)根即上述特征方程有兩相如果程為上述差分方程的特征方ACFARbbbbkkk)2(,)24()24(24, 04) 1 (02112121121221122211122112, 1221212第38頁(yè)/共70頁(yè)39呈指數(shù)衰減的顯然此時(shí)可由如下初始條件求出其中常數(shù)于是解之得特征征根為實(shí)根即上述特征方程有兩重如果ACFARbbkbbkk)2(,)2)(2, 04)2(211212112112112,

14、1221第39頁(yè)/共70頁(yè)40呈阻尼正弦波衰減的顯然此時(shí)可由如下初始條件求出常數(shù)為復(fù)角為復(fù)根的模其中于是解之得特征根為共軛復(fù)根即上述特征方程有一對(duì)如果ACFARbbrtrbtrbiidckkk)2(,coscos2)4(, 04) 3(211212112122122112, 1221第40頁(yè)/共70頁(yè)41通過上述推導(dǎo)可以如下結(jié)論，在AR(2)過程的平穩(wěn)性條件滿足時(shí)，如果特征方程的根為實(shí)根，即 時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減。如果特征方程的根為復(fù)根，即 時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈阻尼正弦波衰減。0422104221第41頁(yè)/共70頁(yè)423.AR(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)2121201102

15、1102221111221111,)2(公式得由偏自相關(guān)函數(shù)的一般因?yàn)檫^程對(duì)于kkkAR第42頁(yè)/共70頁(yè)43001210121012211202110112011001210121031220111033第43頁(yè)/共70頁(yè)44通過上述證明可以得出如下結(jié)論：.)2(,0,3,)2(過程是滯后二階截尾的因此時(shí)當(dāng)過程對(duì)于ARkARkk第44頁(yè)/共70頁(yè)45例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖白噪聲為正態(tài)其中或) 1 , 0(, 5 . 0, 3 . 05 . 03 . 0)5 . 03 . 01 (21212NaaxxxaxBBttttttt第45頁(yè)/共7

16、0頁(yè)46-4-202482848688909294969800例1.模擬生成的AR(2)過程趨勢(shì)圖第46頁(yè)/共70頁(yè)47例1.模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖05 . 003 . 021呈混合指數(shù)衰滯后二階以后截尾第47頁(yè)/共70頁(yè)48例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖白噪聲為正態(tài)其中或) 1 , 0(, 3 . 0, 5 . 03 . 05 . 0)3 . 05 . 01 (21212NaaxxxaxBBttttttt第48頁(yè)/共70頁(yè)49-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過程趨勢(shì)圖第49頁(yè)/共7

17、0頁(yè)50例2.模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖03 . 005 . 021呈混合指數(shù)衰減滯后二階以后截尾第50頁(yè)/共70頁(yè)51白噪聲為正態(tài)其中或) 1 , 0(5 . 0, 15 . 0)5 . 01 (21212NaaxxxaxBBttttttt例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個(gè)數(shù)據(jù)如下AR(2)過程趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖第51頁(yè)/共70頁(yè)52-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢(shì)圖第52頁(yè)/共70頁(yè)53模擬生成的AR(2)過程自相關(guān)圖05 . 00121呈阻尼正弦波衰減滯后二階以后截尾第53頁(yè)/共70頁(yè)54三、p階自回歸過程AR(p)的性質(zhì) 二階

18、自回歸模型的形式為：tptptttaxxxx2111或ttppaxBBB2211返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)第54頁(yè)/共70頁(yè)55B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：AR(p)模型總是可逆的。01)(221ppBBBB即如果1，2，p是 的根，那么它們的絕對(duì)值|i|1 0B第55頁(yè)/共70頁(yè)56其實(shí)也就是要求特征方程的特征根都在單位圓內(nèi)。02211pppp即如果1，2p是上述特征方程的p個(gè)特征根，那么為滿足平穩(wěn)性條件，必須有|i|1注：下面對(duì)AR(p)性質(zhì)的討論，都假定平穩(wěn)性條件滿足。第56頁(yè)/共70頁(yè)57對(duì)于高階的自回歸過程，其平穩(wěn)性條件用其模型參數(shù)表示

19、雖比較復(fù)雜，但都有最基本的一點(diǎn)：121q這是自回歸過程平穩(wěn)的必要條件之一。第57頁(yè)/共70頁(yè)58一個(gè)可逆過程不一定是平穩(wěn)的，對(duì)于一個(gè)有限階的AR(P)模型：為推移算子其中BBBBBpp2211 ttaxB自回歸過程的平穩(wěn)性條件(stationarity condition)它是平穩(wěn)過程的必要條件是 : 的根都在單位圓外，即如果1，2，p是 的根，那么它們的絕對(duì)值必須大于1 0B 0B返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)第58頁(yè)/共70頁(yè)59后同這時(shí)即為復(fù)數(shù)時(shí)當(dāng)22,baiba注第59頁(yè)/共70頁(yè)60 ttaBx1移項(xiàng)得推導(dǎo)過程如下由 ttaxB 根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，上式可以展開為冪級(jí)數(shù)，即 3322101:)(1BBBBaaBaBxj