第六章第六節(jié)直接證明與間接證明

1、第第六六章章不不等等式、式、推推理理與與證證明明第第六六節(jié)節(jié)直直接接證證明明與與間間接接證證明明抓抓 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)明明 考考 向向提提 能能 力力教教 你你 一一 招招我我 來(lái)來(lái) 演演 練練返回返回 備考方向要明了備考方向要明了考考 什什 么么1.了解直接證明的兩種基本方法了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法分析法和綜合法 了解分析法和綜合法的思考過(guò)程及特點(diǎn)了解分析法和綜合法的思考過(guò)程及特點(diǎn)2.了解間接證明的一種基本方法了解間接證明的一種基本方法反證法了解反證反證法了解反證 法的思想過(guò)程及特點(diǎn)法的思想過(guò)程及特點(diǎn).返回怎怎 么么 考考1.綜合法、反證法證明問(wèn)題是命題的熱點(diǎn)注重考查等綜合法、反證

2、法證明問(wèn)題是命題的熱點(diǎn)注重考查等 價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論思想以及學(xué)生的邏輯推理能力價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論思想以及學(xué)生的邏輯推理能力2.題型以解答為主，難度中、高檔題型以解答為主，難度中、高檔.返回返回內(nèi)容內(nèi)容綜合法綜合法分析法分析法定定義義利用已知條件和某些利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列理等，經(jīng)過(guò)一系列的的 ，最后，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論論從要從要 出發(fā)，逐步出發(fā)，逐步尋求使它成立的尋求使它成立的 ，直到最后，把要證明的結(jié)論歸直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件，定理，定義，公理已知條件，定理，

3、定義，公理等等)為止為止一、直接證明一、直接證明推理論證推理論證成立成立證明的結(jié)論證明的結(jié)論充分條件充分條件返回內(nèi)容內(nèi)容綜合法綜合法分析法分析法實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?順推證法順推證法)執(zhí)果索因執(zhí)果索因框圖框圖表示表示文字文字語(yǔ)言語(yǔ)言因?yàn)橐驗(yàn)樗运曰蛴苫蛴傻玫靡C要證只需證只需證即證即證返回二、間接證明二、間接證明 反證法：假設(shè)原命題反證法：假設(shè)原命題 (即在原命題的條件下，即在原命題的條件下，結(jié)論不成立結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出 ，因此說(shuō)，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法

4、反證法不成立不成立矛盾矛盾返回返回1(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)用反證法證明命題用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，應(yīng)假設(shè)時(shí)，應(yīng)假設(shè) ()A三個(gè)內(nèi)角都不大于三個(gè)內(nèi)角都不大于60B三個(gè)內(nèi)角都大于三個(gè)內(nèi)角都大于60C三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60D三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60答案：答案： B 解析：解析：假設(shè)為：假設(shè)為：“三個(gè)內(nèi)角都大于三個(gè)內(nèi)角都大于60”返回答案：答案： D2若函數(shù)若函數(shù)F(x)f(x)f(x)與與G(x)f(x)f(x)，其中，其中f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，且f(x)不恒為零，則

5、不恒為零，則 ()AF(x)、G(x)均為偶函數(shù)均為偶函數(shù)BF(x)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，G(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù)CF(x)與與G(x)均為奇函數(shù)均為奇函數(shù)DF(x)為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，G(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù)解析：解析：由由F(x)f(x)f(x)，G(x)f(x)f(x)知知F(x)F(x)，G(x)G(x)0.返回3命題命題“對(duì)于任意角對(duì)于任意角，cos4sin4cos 2”的證明：的證明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”過(guò)程應(yīng)用了過(guò)程應(yīng)用了 ()A分析法分析法 B綜合法綜合法C綜合法、分析法綜合使用綜合法、分析法綜合使用 D間接證明法

6、間接證明法返回答案：答案： B解析：解析：因?yàn)樽C明過(guò)程是因?yàn)樽C明過(guò)程是“從左往右從左往右”，即由條件，即由條件結(jié)論結(jié)論返回返回答案：答案： a0，b0且且ab返回1證明方法的合理選擇證明方法的合理選擇(1)當(dāng)題目條件較多，且都很明確時(shí)，由因?qū)Ч^容易，當(dāng)題目條件較多，且都很明確時(shí)，由因?qū)Ч^容易， 一般用綜合法一般用綜合法(2)當(dāng)題目條件較少當(dāng)題目條件較少 ，可逆向思考時(shí)，執(zhí)果索因，使用，可逆向思考時(shí)，執(zhí)果索因，使用 分析法解決但在證明過(guò)程中，注意文字語(yǔ)言的準(zhǔn)確分析法解決但在證明過(guò)程中，注意文字語(yǔ)言的準(zhǔn)確 表述表述返回2使用反證法的注意點(diǎn)使用反證法的注意點(diǎn)(1)用反證法證明問(wèn)題的第一步是用反證

7、法證明問(wèn)題的第一步是“反設(shè)反設(shè)”，這一步一定要，這一步一定要 準(zhǔn)確，否則后面的部分毫無(wú)意義；準(zhǔn)確，否則后面的部分毫無(wú)意義；(2)反證法的反證法的“歸謬歸謬”要合理要合理返回返回返回返回巧練模擬巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！課堂突破保分題，分分必保！)1(2012紹興模擬紹興模擬)設(shè)設(shè)alg 2lg 5，bex(x0)，則，則a與與b大小關(guān)系為大小關(guān)系為 ()Aab BabCab Dab返回答案：答案： A解析：解析：alg 2lg 5lg 101，而而bexe01，故，故ab.返回答案：答案： B返回沖關(guān)錦囊沖關(guān)錦囊 綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析法的逆過(guò)綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分

8、析法的逆過(guò)程但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件程但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明返回精析考題精析考題例例2已知已知ABC三邊三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，證的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：明：B為銳角為銳角返回返回返回返回返回沖關(guān)錦囊沖關(guān)錦囊 分析法是逆向思維，當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系分析法是逆向思維，當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過(guò)程中所需要用的知識(shí)不太明不夠明顯、直接，或證明過(guò)程中所需要用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)

9、值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)時(shí)，?？紤]用分析值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)時(shí)，?？紤]用分析法注意用分析法證題時(shí)，一定要嚴(yán)格按照格式書寫法注意用分析法證題時(shí)，一定要嚴(yán)格按照格式書寫.返回精析考題精析考題例例3(2011安徽高考安徽高考)設(shè)直線設(shè)直線l1：yk1x1，l2：yk2x1， 其中實(shí)數(shù)其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足滿足k1k220.(1)證明證明l1與與l2相交；相交；(2)證明證明l1與與l2的交點(diǎn)在橢圓的交點(diǎn)在橢圓2x2y21上上返回自主解答自主解答(1)反證法假設(shè)反證法假設(shè)l1與與l2不相交，則不相交，則l1與與l2平行，平行，有有k1k2.代入代入k1k220，得，得k20，此與此

10、與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾從而為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾從而k1k2，即，即l1與與l2相交相交返回返回返回巧練模擬巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！課堂突破保分題，分分必保！)4(2012山師大附中模擬山師大附中模擬)用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：論：“自然數(shù)自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為正確的反設(shè)為()Aa，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)中至少有兩個(gè)偶數(shù)Ba，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)Ca，b，c都是奇數(shù)都是奇數(shù)Da，b，c都是偶數(shù)都是偶數(shù)返回答案：答案： B解析：解析：“恰有一個(gè)偶數(shù)恰有一個(gè)偶數(shù)”的對(duì)立面是的對(duì)立面是“

11、沒(méi)有偶數(shù)或至少有沒(méi)有偶數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)兩個(gè)偶數(shù)”返回返回答案：答案： C返回沖關(guān)錦囊沖關(guān)錦囊 用反證法證明問(wèn)題時(shí)要注意以下三點(diǎn)用反證法證明問(wèn)題時(shí)要注意以下三點(diǎn)(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn) 多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能， 反證都是不完全的；反證都是不完全的；(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為 條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推

12、證，否則，僅否定結(jié)論， 不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法；不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假 設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的返回返回解題樣板解題樣板 分析法與綜合法的綜合分析法與綜合法的綜合應(yīng)用應(yīng)用返回返回返回(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1) (6分分)x1，y1，(xy1)(x1)(y1)0.從而所證不等式成立從而所證不等式成立 (8分分)返回返回高手點(diǎn)撥高手點(diǎn)撥1綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點(diǎn)分析法有利于思考，綜綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點(diǎn)分析法有利于思考，綜合法宜于表達(dá)因此在解題時(shí)常常把分析法和綜合法結(jié)合法宜于表達(dá)因此在解題時(shí)常常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合合起來(lái)運(yùn)用先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法表述解答或證明過(guò)程，有時(shí)兩者交替使用才能成功法表述解答或證明過(guò)程，