2021-2022學(xué)年河南省豫北名校聯(lián)盟高二下學(xué)期聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（理）試題解析

1、試卷第 =page 2 2頁(yè)，共 =sectionpages 2 2頁(yè)第 Page * MergeFormat 17 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁(yè)2021-2022學(xué)年河南省豫北名校聯(lián)盟高二下學(xué)期聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知復(fù)數(shù)，則A1BCD13【答案】A【分析】將代入，利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再求復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意

2、多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.2設(shè)，“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，如果b=0，此時(shí)是實(shí)數(shù)，不是純虛數(shù)，因此不是充分條件；而如果已經(jīng)是純虛數(shù)，由定義實(shí)部為零，虛部不為零可以得到a=0，因此是必要條件，故選B【考點(diǎn)定位】本小題主要考查的是充分必要條件，但問(wèn)題中又涉及到了復(fù)數(shù)問(wèn)題，復(fù)數(shù)部分本題所考查的是純虛數(shù)的定義3甲、乙、丙、丁、戊5個(gè)文藝節(jié)目在三家電視臺(tái)播放，要求每個(gè)文藝節(jié)目只能獨(dú)家播放，每家電視臺(tái)至少播放其中的一個(gè)，則不同的播放方案的種數(shù)為（）A150B210C240D28

3、0【答案】A【解析】先根據(jù)巳知條件將5個(gè)節(jié)目分成3組，再計(jì)算出每組分到三家電視臺(tái)的排列數(shù)，最后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出正確答案【詳解】解：第一步：分組，將5個(gè)節(jié)目在三家電視臺(tái)獨(dú)家播放，每家電視臺(tái)至少播放一個(gè)節(jié)目的分組方案有1,1,3和2,2,1這兩種，當(dāng)分組1,1,3時(shí)，共有種分組方法，當(dāng)分組為2,2,1時(shí)，共有種分組方法，所以總的分組情況共有（種）第二步；排列，將分好的組分配到三家電視臺(tái)每一個(gè)組有種分法故不同的播放方案共有（種），故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查排列數(shù)、組合數(shù)及兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查考生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力4淮南市正在創(chuàng)建全國(guó)文明城市，某校數(shù)學(xué)組辦公室為了美化環(huán)境，購(gòu)

4、買(mǎi)了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一樣，將其中4盆擺成一排，則至多有一盆菊花的擺法種數(shù)為（）A960B1080C1560D3024【答案】B【解析】分兩類(lèi)：第一類(lèi)一盆菊花都沒(méi)有，第二類(lèi)只有一盆菊花，將兩類(lèi)種數(shù)分別算出相加即可.【詳解】解：一盆菊花都沒(méi)有的擺法種數(shù)為，只有一盆菊花的擺法種數(shù)為，則至多有一盆菊花的擺法種數(shù)為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分類(lèi)加法原理，考查排列組合數(shù)的計(jì)算，是基礎(chǔ)題.5二項(xiàng)式（為虛數(shù)單位）的展開(kāi)式中第8項(xiàng)是（）.ABCD【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式直接求解即可.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第8項(xiàng)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了求二項(xiàng)式展開(kāi)式中某項(xiàng)問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)

5、運(yùn)算能力.6函數(shù)的圖象大致是ABCD【答案】A【分析】利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出為奇函數(shù)，排除C和D，由于，當(dāng)，求得，得出原函數(shù)圖象逼近時(shí)，圖象單調(diào)遞減，故A正確.【詳解】解：由于函數(shù)，則，所以為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C和D，由于，當(dāng)時(shí)，即，即原函數(shù)圖象逼近時(shí)，切線的斜率小于0，所以原函數(shù)圖象逼近時(shí)，圖象單調(diào)遞減，故A正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象，利用定義法判斷奇偶性和利用導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性進(jìn)行排除.7已知函數(shù)，那么（）A有極小值，也有大極值B有極小值，沒(méi)有極大值C有極大值，沒(méi)有極小值D沒(méi)有極值【答案】C【分析】求導(dǎo)得到，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)

6、遞減，得到答案.【詳解】，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)有極大值，沒(méi)有極小值.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.8設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與曲線交于點(diǎn)，為原點(diǎn)，記線段，及曲線圍成的區(qū)域?yàn)樵趦?nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，已知點(diǎn)取在內(nèi)的概率等于，則圖中陰影部分的面積為（）ABCD【答案】B【分析】利用定積分求出曲邊梯形的面積，利用點(diǎn)取在內(nèi)的概率等于，求得點(diǎn)P取在陰影部分的概率等于，從而求出陰影部分面積.【詳解】聯(lián)立，解得則曲邊梯形的面積為，在內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)取在內(nèi)的概率等于，點(diǎn)P取在陰影部分的概率等于，圖中陰影部分的面積為故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求曲邊梯形面積的

7、步驟：（1）畫(huà)出曲線的草圖；（2）借助圖形，確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限（3）將“曲邊梯形”的面積表示成若干個(gè)定積分的和或差（4）計(jì)算定積分，寫(xiě)出答案9已知直線分別與函數(shù)和交于、兩點(diǎn)，則、之間的最短距離是（）ABCD【答案】B【解析】直線與兩曲線分別聯(lián)解求出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得到函數(shù)表達(dá)式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究單調(diào)性，求出最小值【詳解】聯(lián)立求解得，得到 ，設(shè)，則令， 所以在在上單增，在上單減，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值.求函數(shù)最值的五種常用方法：?jiǎn)握{(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值基本不等式法：先對(duì)解析式變

8、形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值10假設(shè)每架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1-p,且各引擎是否有故障是獨(dú)立的,如有至少50%的引擎能正常運(yùn)行,飛機(jī)就可以成功飛行.若使4引擎飛機(jī)比雙引擎飛機(jī)更為安全,則p的取值范圍是()ABCD【答案】C【分析】分別計(jì)算引擎和引擎飛機(jī)正常運(yùn)行的概率，根據(jù)引擎正常運(yùn)行的概率大于引擎飛機(jī)正常運(yùn)行的概率來(lái)列出不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】首先計(jì)算引擎飛機(jī)正常運(yùn)行的概率，包括個(gè)引擎、個(gè)引擎、個(gè)

9、引擎正常工作種情況，故概率為.然后計(jì)算引擎飛機(jī)正常運(yùn)行的概率，包括個(gè)引擎和個(gè)引擎正常工作種情況，故概率為.由于“引擎正常運(yùn)行的概率大于引擎飛機(jī)正常運(yùn)行的概率”，故，由于，故上式解得，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查在實(shí)際問(wèn)題中識(shí)別二項(xiàng)分布，考查利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式計(jì)算概率，屬于中檔題.11已知，隨機(jī)變量的分布列如下：0當(dāng)取最大值時(shí)，（）A1BC3D【答案】A【分析】解法一：由分布列的性質(zhì)得，進(jìn)而得，再根據(jù)基本不等式即可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，再根據(jù)方程公式計(jì)算即可得答案.解法二：由分布列的性質(zhì)得，進(jìn)而得，令，根據(jù)三角換元得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，再求隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而根據(jù)公式計(jì)算即可.【

10、詳解】解法一:根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)隨機(jī)變量的分布列為0所以.故選:A解法二：根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得，所以，所以令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)隨機(jī)變量的分布列為028故，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列，期望，方程的求解，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.值得指出的是：在求解與離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，考生若能熟練掌握公式，能大大降低運(yùn)算量，起到事半功倍的效果12已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).函數(shù)滿足，且對(duì)任意的都有，則下列一定判斷正確的是（）ABCD【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在

11、上單調(diào)遞增，根據(jù)得到函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，得出，以及，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，對(duì)任意的都有，則在上單調(diào)遞增，關(guān)于對(duì)稱，則，在上單調(diào)遞增，即，；即成立，故D錯(cuò)誤；，即，故A，C 均錯(cuò)誤；，故B正確；故選：B.【點(diǎn)睛】破解抽象函數(shù)不等問(wèn)題需要構(gòu)建新函數(shù)，常見(jiàn)構(gòu)造形式如下：1.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)；2.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)；3.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)；4. 對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)；5. 對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)；二、填空題13已知函數(shù)，則_【答案】12【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】故答案為：1214將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_.【答案】【分析】分別求出

12、基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個(gè).點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有，共4個(gè).出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題15某公司招聘員工，甲、乙、丙、丁四人去應(yīng)聘，最后只有一人被錄用關(guān)于應(yīng)聘結(jié)果四人說(shuō)法如下：甲說(shuō)“我沒(méi)有被錄用”；乙說(shuō)“丙被錄用”；丙說(shuō)“丁被錄用”；丁說(shuō)“我沒(méi)有被錄用”，現(xiàn)知道他們只有一人說(shuō)的是真話根據(jù)以上條件，可以判斷被錄用的人是_【答案】甲【分析】運(yùn)用假設(shè)法，結(jié)合題意進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：假設(shè)被錄用的人是甲，則丁說(shuō)的是真話與他們只有一人說(shuō)

13、的是真話相符，故假設(shè)成立，假設(shè)被錄用的人是乙，則甲、丁說(shuō)的是真話與他們只有一人說(shuō)的是真話矛盾，故假設(shè)成立，假設(shè)被錄用的人是丙，則甲、乙、丁說(shuō)的是真話與他們只有一人說(shuō)的是真話矛盾，故假設(shè)不成立，假設(shè)被錄用的人是丁，則甲、丙說(shuō)的是真話與他們只有一人說(shuō)的是真話矛盾，故假設(shè)不成立，即被錄用的人是甲，故答案為：甲16若對(duì)任意，不等式恒成立，則a的范圍_【答案】【分析】由已知條件可得，首先將原不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，可得，判斷在上的單調(diào)性，可得，分離轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題即可求解.【詳解】由題意可得：，由可得，即，令，可得由可得，由可得，如圖可得在單調(diào)遞增，若則，可得，令，只需要，對(duì)于恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以

14、，所以，實(shí)數(shù)a的范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是將原不等式變形，構(gòu)造函數(shù)，可得利用單調(diào)性脫掉，再分離參數(shù)求最值.三、解答題17求由曲線和所圍成的平面圖形的面積.【答案】.【分析】利用定積分求平面圖形的面積.【詳解】曲線和所圍成的平面圖形的面積為：.18觀察如圖所示的“三角數(shù)陣”記第行的第個(gè)數(shù)為，請(qǐng)仔細(xì)觀察上述“三角數(shù)陣”的特征，完成下列各題：（1）第行的個(gè)數(shù)依次為_(kāi)、_、_、_、_、_；（2）依次寫(xiě)出、；（3）歸納出與的關(guān)系式【答案】（1）、；（2），；（3）.【分析】（1）根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律可寫(xiě)出第行的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)陣可寫(xiě)出、的值；（3）由（2）結(jié)合數(shù)陣中的規(guī)律可得

15、出與的關(guān)系式.【詳解】由數(shù)陣可看出，除首末的兩數(shù)外，每行中的數(shù)都等于它上一行的“肩膀”上的兩數(shù)之和，且每一行的首末兩數(shù)之和都等于行數(shù).（1）由數(shù)陣的規(guī)律可知，第行的個(gè)數(shù)依次為、；（2），；（3）由（2）可知，且等于它上一行的“肩膀”上的兩數(shù)和之和，由此可歸納得出.192020年寒假是特殊的寒假，因?yàn)橐咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)，為了研究學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，某學(xué)校在網(wǎng)上隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)線上教育進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為，其中男生30人對(duì)于線上教育滿意，女生中有15名表示對(duì)線上教育不滿意滿意不滿意總計(jì)男生女生合計(jì)120（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上

16、教育是否滿意與性別有關(guān)”；（2）從被調(diào)查中對(duì)線上教育滿意的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取8名學(xué)生，再在8名學(xué)生中抽取3名學(xué)生，作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹，其中抽取男生的個(gè)數(shù)為，求出的分布列及期望值附公式及表：，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有的把握認(rèn)為對(duì)“線上教育是否滿意與性別有關(guān)”；（2）分布列見(jiàn)解析，期望為；【分析】（1）根據(jù)分層抽樣方法求出男生、女生人數(shù)，填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算，對(duì)照附表得出結(jié)論；（2）由題意知的可能取值，計(jì)算所求的概率值，寫(xiě)出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值【詳解】解：（1）120

17、名學(xué)生中男生有（人，女生有65人，結(jié)合題意填寫(xiě)列聯(lián)表如下：滿意不滿意總計(jì)男生302555女生501565合計(jì)8040120計(jì)算，且，所以有的把握認(rèn)為對(duì)“線上教育是否滿意與性別有關(guān)”；（2）利用分層抽樣抽取8名學(xué)生，男生有3人，女生5人，從這8名學(xué)生中抽取3名，抽取男生的個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3；計(jì)算，；所以的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望值為20已知函數(shù)（I）若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（II）求a的范圍，使得恒成立【答案】（I）的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（II）【分析】（I）根據(jù)題意得出，求出a，進(jìn)而由求得增區(qū)間，由求得減區(qū)間；（II）根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)恒成立，設(shè)，求出，分類(lèi)討論參數(shù)

18、a，得到，即可得到a的范圍.【詳解】（I）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得a=3，當(dāng)a=3時(shí)，令，得或；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.（II）要使得恒成立，即時(shí)恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由得單調(diào)減區(qū)間為，由得單調(diào)增區(qū)間為，故，得；當(dāng)時(shí)，由得單調(diào)減區(qū)間為，由得單調(diào)增區(qū)間為，；此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由得單調(diào)減區(qū)間為，由得單調(diào)增區(qū)間為，此時(shí)，不合題意；綜上所述：時(shí)，恒成立.21年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)，全國(guó)人民團(tuán)結(jié)一心抗擊疫情.某社區(qū)組織了名社區(qū)居民參加防疫知識(shí)競(jìng)賽，

19、他們的成績(jī)?nèi)吭诜种练种g，現(xiàn)將成績(jī)按如下方式分成組：第一組，成績(jī)大于等于分且小于分；第二組，成績(jī)大于等于分且小于分；第六組，成績(jī)大于等于分且小于等于分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求社區(qū)居民成績(jī)的眾數(shù)及的值；（2）我們將成績(jī)大于等于分稱為優(yōu)秀，成績(jī)小于分稱為不合格.用分層抽樣的方法從這個(gè)成績(jī)中抽取個(gè)成績(jī)繼續(xù)分析，成績(jī)不合格和優(yōu)秀各抽了多少個(gè)？再?gòu)某槿〉牟缓细癯煽?jī)和優(yōu)秀成績(jī)中任選個(gè)成績(jī)，記優(yōu)秀成績(jī)的個(gè)數(shù)為個(gè)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）眾數(shù)為，；（2）成績(jī)不合格的個(gè)數(shù)為，成績(jī)優(yōu)秀的個(gè)數(shù)為，分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）利用最高矩形底邊的中點(diǎn)值為樣本的眾數(shù)可得出社區(qū)居民成績(jī)的眾數(shù)，利用直方圖的面積之和為可求得的值；（2）分析可知，隨機(jī)變量的可能取值有、，計(jì)算出隨機(jī)變量在