千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題一：第12煉復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題Word版含解析

1、PAGE 第12煉 復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題一、基礎(chǔ)知識：1、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)，且函數(shù)的值域?yàn)槎x域的子集，那么通過的聯(lián)系而得到自變量的函數(shù)，稱是的復(fù)合函數(shù)，記為 2、復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計(jì)算的步驟：求函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的順序，一層層求出函數(shù)值。例如：已知，計(jì)算解： 3、已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求的解，則遵循“由外到內(nèi)”的順序，一層層拆解直到求出的值。例如：已知，若，求解：令，則解得當(dāng)，則當(dāng)，則綜上所述：由上例可得，要想求出的根，則需要先將視為整體，先求出的值，再求對應(yīng)的解，這種思路也用來解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題，先回顧零點(diǎn)的定義：4、函數(shù)的零點(diǎn)：設(shè)的定義域?yàn)椋舸嬖?，使得，則稱為的一個(gè)零點(diǎn)5

2、、復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的特點(diǎn)：考慮關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)，在解此類問題時(shí)，要分為兩層來分析，第一層是解關(guān)于的方程，觀察有幾個(gè)的值使得等式成立；第二層是結(jié)合著第一層的值求出每一個(gè)被幾個(gè)對應(yīng)，將的個(gè)數(shù)匯總后即為的根的個(gè)數(shù) 6、求解復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的技巧：（1）此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出的圖像（2）若已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計(jì)關(guān)于的方程中解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)個(gè)數(shù)與的圖像特點(diǎn)，分配每個(gè)函數(shù)值被幾個(gè)所對應(yīng)，從而確定的取值范圍，進(jìn)而決定參數(shù)的范圍復(fù)合函數(shù)：二、典型例題例1：設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù) ，若關(guān)于的方程由3個(gè)不同的解，則_思路：先作出的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對于任意的，滿足的的個(gè)數(shù)

3、分別為2個(gè)（）和3個(gè)（），已知有3個(gè)解，從而可得必為 的根，而另一根為或者是負(fù)數(shù)。所以，可解得：，所以答案：5 例2：關(guān)于的方程的不相同實(shí)根的個(gè)數(shù)是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 8思路：可將視為一個(gè)整體，即，則方程變?yōu)榭山獾茫夯颍瑒t只需作出的圖像，然后統(tǒng)計(jì)與與的交點(diǎn)總數(shù)即可，共有5個(gè)答案：C例3：已知函數(shù)，關(guān)于的方程（）恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是 思路：所解方程可視為，故考慮作出的圖像：， 則的圖像如圖，由圖像可知，若有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則必有，所以，解得 答案：例4：已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 思路：已知方程可解，得，

4、只需統(tǒng)計(jì)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。由奇函數(shù)可先做出的圖像，時(shí)，則的圖像只需將的圖像縱坐標(biāo)縮為一半即可。正半軸圖像完成后可再利用奇函數(shù)的性質(zhì)作出負(fù)半軸圖像。通過數(shù)形結(jié)合可得共有7個(gè)交點(diǎn)答案：B小煉有話說：在作圖的過程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點(diǎn)屬于哪一段區(qū)間。例5：若函數(shù)有極值點(diǎn)，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是（ ）A3 B4 C5 D6思路：由極值點(diǎn)可得：為 的兩根，觀察到方程與結(jié)構(gòu)完全相同，所以可得的兩根為，其中，若，可判斷出是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)。且，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)，而與有一個(gè)交點(diǎn)，共計(jì)3個(gè)；若，可判斷出是極小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)。且，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)，而與有一個(gè)交點(diǎn)，共計(jì)3個(gè)。綜上所述，共有3

5、個(gè)交點(diǎn)答案：A例6：已知函數(shù)，若方程恰有七個(gè)不相同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：考慮通過圖像變換作出的圖像（如圖），因?yàn)樽疃嘀荒芙獬?個(gè)，若要出七個(gè)根，則，所以，解得：答案：B例7：已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：，分析的圖像以便于作圖，時(shí)，從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且當(dāng)，所以正半軸為水平漸近線；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減。由此作圖，從圖像可得，若恰有4個(gè)不等實(shí)根，則關(guān)于的方程中，從而將問題轉(zhuǎn)化為根分布問題，設(shè)，則的兩根，設(shè)，則有，解得答案：C小煉有話說：本題是作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過

6、分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)來進(jìn)行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細(xì)節(jié)，從而保證圖像的準(zhǔn)確。例8：已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷正確的是（ ）A. 當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)B. 當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C. 無論為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)D. 無論為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)思路：所求函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的解的個(gè)數(shù)，先作出的圖像，直線為過定點(diǎn)的一條直線，但需要對的符號進(jìn)行分類討論。當(dāng)時(shí)，圖像如圖所示，先拆外層可得，而有兩個(gè)對應(yīng)的，也有兩個(gè)對應(yīng)的，共計(jì)4個(gè)；當(dāng)時(shí)，的圖像如圖所示，先拆外層可得，且只有一個(gè)滿足的，所以共一個(gè)零點(diǎn)。結(jié)合選項(xiàng)，可判斷出A正確答案：A例9：已知函數(shù)，則方程（為

7、正實(shí)數(shù)）的實(shí)數(shù)根最多有_個(gè)思路：先通過分析的性質(zhì)以便于作圖，從而在單增，在單減，且，為分段函數(shù)，作出每段圖像即可，如圖所示，若要實(shí)數(shù)根最多，則要優(yōu)先選取能對應(yīng)較多的情況，由圖像可得，當(dāng)時(shí)，每個(gè)可對應(yīng)3個(gè)。只需判斷中，能在取得的值的個(gè)數(shù)即可，觀察圖像可得，當(dāng)時(shí)，可以有2個(gè)，從而能夠找到6個(gè)根，即最多的根的個(gè)數(shù)答案：6個(gè)例10：已知函數(shù)和在的圖像如下，給出下列四個(gè)命題：（1）方程有且只有6個(gè)根（2）方程有且只有3個(gè)根（3）方程有且只有5個(gè)根（4）方程有且只有4個(gè)根則正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4思路：每個(gè)方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計(jì)出的總數(shù)。（1）中可得，進(jìn)而有2個(gè)對應(yīng)的 ，有3個(gè)，有2個(gè)，總計(jì)7個(gè)，（1）錯(cuò)誤；（2）中可得