第三章 概率分布（章節(jié)課程）

1、第三章概率分布1陽山書屋c第一節(jié)事件與概率一、事件（一）必然事件在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件（certain event），用U表示。例如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100必然沸騰；步行條件下必然不可能到達(dá)月球等。（二）不可能事件在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件（impossible event），用V表示。例如，在滿足一定孵化條件下，從石頭孵化出雛雞；種子發(fā)芽率不可能超過100%，（三）隨機(jī)事件在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，稱為隨機(jī)事件（random event），簡(jiǎn)稱事件（event），通常用A、B、C等來表示。二、概率在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事件A

2、發(fā)生的次數(shù)為m，那么m/n稱為隨機(jī)事件A的頻率（frequency）；當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)數(shù)n逐漸增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率越來越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值p，那么就把p稱為隨機(jī)事件A的概率。在一般情況下，隨機(jī)事件的概率p是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)隨機(jī)事件A的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值。即 P（A）=pm/n （n充分大）概率有如下基本性質(zhì)： 1、對(duì)于任何事件A，有0P（A）1；2、必然事件的概率為1，即P（U）=1；3、不可能事件的概率為0，即P（V）=0。三、概率計(jì)算（一）事件的相互關(guān)系1、和事件事件A和事件B至少有一件發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱為事件A和事件B的和事件，以AB表示。2、積事件

3、事件A和事件B同時(shí)發(fā)生，以AB表示3、互斥事件事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，AB=V如新生兒男為A，女為B4、對(duì)立事件A和B必有一個(gè)發(fā)生，但二者不能同時(shí)發(fā)生，即ABU, AB=V 。B為A對(duì)立事件，可表示為A5、獨(dú)立事件A的發(fā)生與B沒有關(guān)系如播種玉米時(shí)，一穴中播種2粒，第一粒發(fā)芽與否與第2位無關(guān)系6、完全事件系如果多個(gè)事件A1、A2An兩兩排斥，每次必然發(fā)生其一， A1、A2An稱為完全事件。如隨機(jī)抽取一位阿拉伯?dāng)?shù)字，數(shù)字09構(gòu)成完全事件。（二）概率計(jì)算法則1、加法定理互斥事件A和B的和事件的概率等于事件A和B的概率之和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)例：調(diào)查某玉米田，一穗占67.2%，雙

4、穗占30.7%，空穗占2.1%，計(jì)算一穗株和雙穗株的概率P(A+B)=P(A)+P(B)=0.672+0.307=0.979推理1： A1、A2An為n個(gè)互斥事件，其和事件的概率為：P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)推理2：對(duì)立事件的A的概率為： P(A)=1P(A)推理3：完全事件系的和事件的概率12、乘法定理A和B為獨(dú)立事件，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為： P(AB)=P(A) P(B)播種玉米時(shí)，每穴2粒，種子的發(fā)芽率為90%，求兩粒種子均發(fā)芽和一粒種子發(fā)芽的概率。兩粒種均發(fā)芽： P(AB)=P(A) P(B)=0.90.9=0.81一粒種子發(fā)芽的概率：P(AB)+P

5、(AB)=P(A) P(B)+ P(A) P(B) = 0.90.1 + 0.10.9=0.18推理：如果A1、A2An為彼此獨(dú)立，則：P(A1A2An)=P(A1) P(A2) P(An)四、概率分布（一）離散型變量的概率分布離散型隨機(jī)變量x的一切可能取值xi (i=1,2,)，及其對(duì)應(yīng)的概率pi，記作P(x=xi)=pi i=1,2, （二）連續(xù)型變量的概率分布連續(xù)型變量，可通過分組整理成頻率分布表。如果從總體中抽取樣本n相當(dāng)大，則頻率分布就趨于穩(wěn)定，我們將它近似地看成總體概率分布。圖4-1 表2-7資料的分布曲線若概率分布密度函數(shù)為f(x)，則x取值于區(qū)間a,b的概率為圖中陰影部分的面積

6、，即： P(axb)= 連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布性質(zhì)：分布密度函數(shù)總是大于或等于0，即f(x)0； 當(dāng)隨機(jī)變量x取某一特定值時(shí)，其概率等于0；即 (c為任意實(shí)數(shù)) 在一次試驗(yàn)中隨機(jī)變量x之取值必在-x+范圍內(nèi)，為一必然事件。所以表示分布密度曲線下、橫軸上的全部面積為1。 第二節(jié)幾種常見的理論分布一、二項(xiàng)分布在生物學(xué)研究中，我們經(jīng)常碰到的一類離散型隨機(jī)變量，如動(dòng)物雄性還是雌性、種子發(fā)芽與不發(fā)芽、后代的成活與死亡等。這樣的結(jié)果只能是非此即彼兩種情況，構(gòu)成對(duì)立事件。我們把這種非此即彼事件所構(gòu)成的總體，稱為二項(xiàng)總體，其分布稱為二項(xiàng)分布。（一）二項(xiàng)分布的概率函數(shù)二項(xiàng)總體，具有的共同特征：（1）每次試驗(yàn)只有

7、兩個(gè)對(duì)立結(jié)果，記作A與A，它們出現(xiàn)的概率分別為p與q(q=1-p）（2）試驗(yàn)具有重復(fù)性和獨(dú)立性。重復(fù)性是指每次試驗(yàn)條件不變，A出現(xiàn)的概率為p。獨(dú)立性是指任何一次試驗(yàn)中事件A的出現(xiàn)與其余各次試驗(yàn)中出現(xiàn)的何種結(jié)果無關(guān)。以x表示在n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)。x取的值為零和正整數(shù)：0,1,2,，n，其概率分布函數(shù)為：P(X)為x的二項(xiàng)分布，記作B(n, p)。二項(xiàng)分布是因?yàn)镃nxpxqn-x恰好等于二項(xiàng)式（p+q)n按牛頓二項(xiàng)式展開含有px的相應(yīng)各項(xiàng)：Excel二項(xiàng)分布計(jì)算方法：=BINOMDIST(x,n,p,false)說明：x為試驗(yàn)成功數(shù)；n為觀察數(shù)或試驗(yàn)次數(shù)；p為概率；由于(p+q)n=1，上

8、式可寫為：理論次數(shù)則以單位總數(shù)N乘以各項(xiàng)概率：理論次數(shù)NP（x）二項(xiàng)分布的概率累積函數(shù)可用下式表示：Excel二項(xiàng)分布的概率累積函數(shù)計(jì)算方法：=BINOMDIST(x,n,p,true)說明：x為試驗(yàn)成功數(shù)；n為觀察數(shù)或試驗(yàn)次數(shù)；p為概率；相當(dāng)于小于x的累積概率（二）二項(xiàng)分布概率計(jì)算例1豌豆的紅花純合基因型和白花純合基因型雜交后，在F2代紅花與白花植株的比率為3：1，若每次隨機(jī)觀察4株，共觀察100次，問得紅花為0株、1株、2株、3株和4株的概率各為多少？解：紅花概率0.75，白花概率0.25，觀察數(shù)n=4代入公式例2：某批雞種蛋的孵化率是0.90，今從該批種蛋中每次任選5個(gè)進(jìn)行孵化，試求孵出

9、小雞的各種可能概率。解：n=5，p=0.9，q=0.1，每次孵化5個(gè)種蛋服從二項(xiàng)分布B（5，0.90）。0只小雞：P(0)=C50p0q5=10.9000.1051只小雞：P(1)=C51p1q4=50.9010.1042只小雞：P(2)=C52p2q3=100.9020.1033只小雞：P(3)=C53p3q2=100.9030.1024只小雞：P(4)=C54p4q1=50.9040.1015只小雞：P(5)=C55p5q0=10.9050.100例3某小麥品種在田間出現(xiàn)自然變異植株的概率為0.0045，試計(jì)算:(1)調(diào)查100株，獲得2株或以上變異的概率是多少？(2)期望有0.99的概率

10、獲得1株或1株以上的變異植株，至少應(yīng)調(diào)查多少株？解：(1)0株：P(0)=C1000p0q100=10.004500.99551000.63701株：P(1)=C1001p1q99=1000.004510.995599=0.28792株以上變異概率為：P(x2)=1-P(0)-P(1)=0.0751(2)應(yīng)調(diào)查的株數(shù)滿足P(0)=Cn0p0qn=0.01 0.9955n=0.01 nlg0.9955=lg0.01 n=lg0.01/lg0.9955=1021因此，期望有0.99概率得到1株或1株以上變異植株，應(yīng)至少調(diào)查1021株。（二）二項(xiàng)分布的形狀和參數(shù)1、二項(xiàng)分布的形狀由n和p兩個(gè)參數(shù)決定

11、（1）當(dāng)p值較小且n值不大時(shí)，圖形是偏倚的。隨著n值的增大，分布逐漸趨于對(duì)稱。（2）當(dāng)p值趨于0.5時(shí)，分布趨于對(duì)稱。圖49 n值不同的二項(xiàng)分布比較 圖410 p值不同的二項(xiàng)分布比較2、二項(xiàng)分布的參數(shù)總體平均數(shù)（次數(shù)）： x=np總體標(biāo)準(zhǔn)差（次數(shù)）： x=如例1，n=4, p=0.75，可求紅花出現(xiàn)的株數(shù)為40.75=3株，=(40.750.25)1/2=0.866株二項(xiàng)百分?jǐn)?shù)的平均數(shù)p=p二項(xiàng)百分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差x=(pq/n)1/2二、泊松分布在生物學(xué)研究中，有許多事件出現(xiàn)的概率很小，而樣本容量或試驗(yàn)次數(shù)卻很大，即有很小的p值和很大的n值。這時(shí)，二項(xiàng)分布變成泊松(poisson）分布。如顯微鏡視

12、野內(nèi)染色體有變異的細(xì)胞計(jì)數(shù)、由突變引起的遺傳病患的分布、田間小區(qū)內(nèi)出現(xiàn)變異植株數(shù)、作物種子內(nèi)雜草計(jì)數(shù)、單位容積中的細(xì)菌數(shù)目分布、家畜產(chǎn)怪胎數(shù)等都屬于泊松分布。 若隨機(jī)變量x(x=k)只取零和正整數(shù)值0，1，2，且其概率分布為：，k=0，1， 其中=np0；e=2.7182是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則稱x服從參數(shù)為的波松分布(Poissons distribution)，記為P()。泊松分布平均數(shù)=方差2=。利用這一特征， 可以初步判斷一個(gè)離散型隨機(jī)變量是否服從泊松分布。 泊松分布的形狀由參數(shù)確定。值愈小分布愈偏倚，隨著的增大，分布趨于對(duì)稱。當(dāng)=20時(shí)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)=50時(shí)，可以認(rèn)為波松分布呈正

13、態(tài)分布。所以在實(shí)際工作中，當(dāng)20時(shí)就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分布的問題。 不同的波松分布泊松分布應(yīng)用條件：小概率事件p0.1，np5。例1：為監(jiān)測(cè)飲用水的污染情況， 現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù)， 共得400個(gè)記錄如下 試分析飲用水中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從波松分布。若服從，按泊松分布計(jì)算每毫升水中細(xì)菌數(shù)的概率及理論次數(shù)并將次數(shù)分布與泊松分布作直觀比較。經(jīng)計(jì)算得每毫升水中平均細(xì)菌數(shù)x=0.500= ，方差S2=0.496。兩者很接近， 故可認(rèn)為每毫升水中細(xì)菌數(shù)服從波松分布。 Excel計(jì)算：0次：=poisson(0,0.5,false)1次：=poisson(1,0.5,false)3

14、次：1-poisson(2,0.5,true)False:符合條件的泊松概率密度函數(shù)True:符合條件的泊松累積分布概率理論數(shù)N各p例2：某小麥品種在田間出現(xiàn)自然變異植株的概率為0.0045，試計(jì)算:(1)調(diào)查100株，獲得2株或以上變異的概率是多少？(2)期望有0.99的概率獲得1株或1株以上的變異植株，至少應(yīng)調(diào)查多少株？解： =np=1000.0045=0.45P(2)=1-poisson(1,0.45,true)=0.0755調(diào)查株數(shù)：e-=e-np=0.01n=-ln0.01/p=-LN(0.01)/0.0045=1023株三、正態(tài)分布正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。生

15、物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的，如家畜的體長(zhǎng)、體重、產(chǎn)奶量、產(chǎn)毛量、血紅蛋白含量、血糖含量等。許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有不少隨機(jī)變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中，均占有重要的地位。(一) 正態(tài)分布的定義若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密度函數(shù)為其中為平均數(shù)，2為方差，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布(normal distribution)， 記為xN(,2)。相應(yīng)的概率累積函數(shù)為圖42 正態(tài)分布密度曲線(二) 正態(tài)分布的特征1、當(dāng)x=時(shí)，f(x)值最大，所以正態(tài)分布曲線是以平均數(shù)為中心的分布。

16、2、當(dāng)x-的絕對(duì)值相等時(shí)，f(x)值也相等，所以正態(tài)分布是為中心向左右兩側(cè)對(duì)稱分布3、(x-)/的絕對(duì)值越大，f(x)越小，但不會(huì)為04、正態(tài)分布曲線由和決定的。確定正態(tài)分布在x軸上的中心位置，確定正態(tài)分布的變異度。相同而不同的三個(gè)正態(tài)分布相同而不同的三個(gè)正態(tài)分布5、曲線在x=處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即曲線在(-,-)和(+,+) 區(qū)間上是下凸的，在-,+區(qū)間內(nèi)是上凸的； 6、分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1（三）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布由上述正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布是依賴于參數(shù)和2， 正態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨和2的不同而不同。這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難， 需將一般的N(，2)轉(zhuǎn)換為=0,2=1的正態(tài)分布

17、。我們稱=0,2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)，記作N(0，1) 。令u=(x-)，正態(tài)分布概率分布密度函數(shù)可標(biāo)準(zhǔn)化為：f(u)=相應(yīng)的概率累積函數(shù)為F(ui)=P(uui)i對(duì)于u在區(qū)間a，b的概率，有ab(三）正態(tài)分布的概率計(jì)算正態(tài)分布的概率累積函數(shù)具有廣泛應(yīng)用，所以統(tǒng)計(jì)學(xué)家已計(jì)算好實(shí)際需要的各個(gè)F(u)值，列于附表1。在計(jì)算一般正態(tài)分布的概率時(shí)，只需將服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量x取值區(qū)間的上、下限，按u=(x-)轉(zhuǎn)換，并查附表1即可。附表1，左側(cè)縱列表示a，上側(cè)橫行表示b如果手頭沒有附表1，可在Excel中輸入“=NORMSDIST(

18、數(shù)據(jù))”即可查出。注意p(u)是指-到u例1，設(shè)u服從正態(tài)分布N(0，1)，試求P(u1)， P(-2.02.58)。解： P(u1)=1- P(u1)=0.1587P(-2.02.58)=P(u2.58)+P(u-2.58) =1-F(2.58)+F(-2.58)=0.00988例2，試計(jì)算概率值(1)P(- x+)解：u1=(x-)/=-1 u2= =(x-)/ =1P(- x+)= P(-1x1)(2)P(- 2x+2)(3)P(- 3x+3)(4)P(- 1.96+1.96)(6)P(|x|+2.58)從上述計(jì)算可知，|u|2.58概率是0.01， |u|1.96是0.05，也就是說1

19、.96和2.58范圍內(nèi)已分別包含了95%和99%的變量。例3，隨機(jī)抽取20株小麥，其株高(cm)分別為8279858486848382838384818081828182828280計(jì)算（1）小麥株高的95%正常值范圍（2）株高85cm的概率第三節(jié)抽樣分布 研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心內(nèi)容。對(duì)這種關(guān)系的研究可從兩方面著手，一是從總體到樣本，這就是研究抽樣分布(sampling distribution)的問題； 二是從樣本到總體，這就是統(tǒng)計(jì)推斷(statistical inference)問題。 統(tǒng)計(jì)推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基礎(chǔ)的。為了能正確地利用樣本去推

20、斷總體，并能正確地理解統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論，須對(duì)樣本的抽樣分布有所了解。一、樣本平均數(shù)抽樣分布由總體隨機(jī)抽樣(random sampling)的方法可分為有返置抽樣和不返置抽樣兩種。 前者指每次抽出一個(gè)個(gè)體后，這個(gè)個(gè)體應(yīng)返置回原總體；后者指每次抽出的個(gè)體不返置回原總體。對(duì)于無限總體，返置與否都可保證各個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等。對(duì)于有限總體，就應(yīng)該采取返置抽樣，否則各個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)就不相等。（一）樣本平均數(shù)的分布設(shè)有一個(gè)總體，總體平均數(shù)為，方差為2，總體中各變數(shù)為x， 將此總體稱為原總體。現(xiàn)從這個(gè)總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為x?？梢栽O(shè)想,從原總體中可抽出很多甚至無窮多個(gè)含量為n的樣本。由

21、這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同，與原總體平均數(shù)相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機(jī)抽樣造成的， 稱為抽樣誤差(sampling error)。顯然，樣本平均數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布叫做樣本平均數(shù)的抽樣分布。由樣本平均數(shù)x構(gòu)成的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為x和x 。 x是樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)誤(standard error)，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小。 由抽樣試驗(yàn)及統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，樣本平均數(shù)有以下性質(zhì)：（1）樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)等于總體平均數(shù)，即x=（2）樣本平均數(shù)分布的方差等于總體方差除以樣本容量：樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差：（3）如

22、果從正態(tài)總體N(，2)進(jìn)行抽樣，其樣本平均數(shù)x是一具有平均數(shù)、方差2/n的正態(tài)分布，記作N(，2/n)（4）若被抽樣總體不是正態(tài)分布，但具有平均數(shù)、方差2，當(dāng)樣本容量n不斷增大，樣本平均數(shù)x的分布也越來越接近正態(tài)分布，且具有平均數(shù)、方差2/n，這叫做中心極限定理。這個(gè)性質(zhì)對(duì)連續(xù)型變量或非連續(xù)型變量都適用。不論總體為何分布，只要樣本容量n30，就可應(yīng)用中心極限定理，認(rèn)為樣本平均數(shù)x的分布是正態(tài)分布。在計(jì)算樣本平均數(shù)出現(xiàn)的概率時(shí)，樣品平均數(shù)x可按下式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：（二）樣本平均數(shù)差數(shù)的分布設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體，N1和N2，分別抽樣，樣本平均數(shù)差數(shù)分布的基本性質(zhì)有：(1)樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)的差數(shù)，即：x1-x2=1-2(2)樣本平均數(shù)差數(shù)的方差等于兩樣本平均數(shù)方差除以各自樣本容量之和，即樣本平均數(shù)差數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤：(3)從兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體中抽出的樣本平均數(shù)差數(shù)的分布，也是正態(tài)分布，并具有平均數(shù)1-2，方差，記作（1-2，）二、t分布前面在計(jì)算樣本平均數(shù)分布和樣本平均數(shù)差數(shù)分布的概率時(shí)，需要總體方差2為已知，或者2未知但樣本容量較大（n30），用樣本方差s2估計(jì)2 。但在實(shí)際研究中，經(jīng)常遇到總體方差2未知且樣本容量不大（n1)t分布的方差t=df/(df-2)(df2)t分布特征（1）t分布曲線是左右對(duì)稱