第二章邏輯代數(shù)

1、第二章第二章 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù) 2.1 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)2.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 教學(xué)基本要求教學(xué)基本要求1 1、熟悉邏輯代數(shù)常用基本定律、恒等式熟悉邏輯代數(shù)常用基本定律、恒等式和規(guī)則。和規(guī)則。2 2、掌握邏輯代數(shù)的變換和卡諾圖化簡法；、掌握邏輯代數(shù)的變換和卡諾圖化簡法；2.1 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù) 邏輯關(guān)系指的是事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系。邏輯關(guān)系指的是事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系。在數(shù)字電路中是輸入信號和輸出信號的關(guān)系。條件和結(jié)果的兩在數(shù)字電路中是輸入信號和輸出信號的關(guān)系。條件和結(jié)果的兩種對立狀態(tài)分別用邏輯種對立狀態(tài)分別用邏輯“1” 和和“0”表示。表

2、示。 1894年，英國數(shù)學(xué)家喬治年，英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾提出了描述客觀事物邏輯關(guān)布爾提出了描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法系的數(shù)學(xué)方法-布爾代數(shù)布爾代數(shù) 1938年，克勞德年，克勞德.香農(nóng)將香農(nóng)將布爾代數(shù)布爾代數(shù)用于繼電器開關(guān)電路的設(shè)用于繼電器開關(guān)電路的設(shè)計，又稱計，又稱開關(guān)代數(shù)開關(guān)代數(shù)。隨著數(shù)字電路的發(fā)展，布爾代數(shù)已成為數(shù)。隨著數(shù)字電路的發(fā)展，布爾代數(shù)已成為數(shù)字邏輯電路分析和設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又稱字邏輯電路分析和設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又稱邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)。在。在二值邏二值邏輯電路輯電路中廣泛應(yīng)用。中廣泛應(yīng)用。 邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)、兩值代數(shù)、開關(guān)代數(shù)）邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)、兩值代數(shù)、開關(guān)代數(shù)） 是用來是用

3、來研究數(shù)字電路中的輸入、輸出之間邏輯關(guān)系的工具。研究數(shù)字電路中的輸入、輸出之間邏輯關(guān)系的工具?；具\(yùn)算基本運(yùn)算2.2.1.11.1邏輯代數(shù)的基本定律和恒等邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式式運(yùn)算優(yōu)先順序：運(yùn)算優(yōu)先順序：先括號，然后乘，最后加。先括號，然后乘，最后加。1 1、基本公式基本公式例：例：BABADCBA則則由此反演律能推廣到由此反演律能推廣到n n個變量：個變量： n n AAAA A A2121DCBA n AAA 21n AAA 21有關(guān)異或邏輯的定律有關(guān)異或邏輯的定律0011010101110111?1.1112、基本公式的證明基本公式的證明例例 證明證明ABA BABA B，列出等式

4、、右邊的函數(shù)值的真值表列出等式、右邊的函數(shù)值的真值表( (真值表證明法真值表證明法) )011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A BABA B 2.1.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 1.1.代入規(guī)則代入規(guī)則 ： 在包含變量在包含變量A邏輯等式中，如果用另一邏輯等式中，如果用另一個函數(shù)式代入式中所有個函數(shù)式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。則稱為代入規(guī)則。例例：B (A + C) = BA+BC，

5、用用A + D代替代替A A，得得B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC代入規(guī)則可以擴(kuò)展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍代入規(guī)則可以擴(kuò)展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍 對于任意一個邏輯表達(dá)式對于任意一個邏輯表達(dá)式 L L，若將其中所有的與（，若將其中所有的與（ ）換成或）換成或（+ +），或（），或（+ +）換成與（）換成與（）；原變量換為反變量，反變量換為原）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將變量；將1 1換成換成0 0，0 0換成換成1 1；則得到的結(jié)果就是原函數(shù)的反函數(shù)。；則得到的結(jié)果就是原函數(shù)的反函數(shù)。2. 2. 反演規(guī)則：反演規(guī)則：)(1)

6、(DCBADCB)(AL 0 CDBAL例例2.1.1 試求試求 的非函數(shù)的非函數(shù)解：按照反演規(guī)則，得解：按照反演規(guī)則，得 EDCBAYEDCBAY 反演注意：長短非號不變注意：長短非號不變LABAC 任何邏輯函數(shù)式，若將其中的與（任何邏輯函數(shù)式，若將其中的與（ ）換成或（）換成或（+ +），或（），或（+ +）換成與（換成與（）；并將）；并將 1 1 換成換成0 0，0 0換成換成1 1；那么所得的新的函數(shù)式就；那么所得的新的函數(shù)式就是是 L L 的對偶式，記作的對偶式，記作 。 L()()LABAC例例: 邏輯函數(shù)邏輯函數(shù) 的對偶式為的對偶式為3. 3. 對偶規(guī)則：對偶規(guī)則：EDCBAYE

7、DCBAY 對偶注意：長短非號不變注意：長短非號不變反演規(guī)則、對偶規(guī)則的意義反演規(guī)則、對偶規(guī)則的意義：如果兩個函數(shù)相等，則它：如果兩個函數(shù)相等，則它們的反函數(shù)、對偶函數(shù)也相等。們的反函數(shù)、對偶函數(shù)也相等。：在運(yùn)用反演規(guī)則和對偶規(guī)則時，必須按照邏輯運(yùn)算：在運(yùn)用反演規(guī)則和對偶規(guī)則時，必須按照邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序進(jìn)行：的優(yōu)先順序進(jìn)行：先括號，然后與，最后或運(yùn)算先括號，然后與，最后或運(yùn)算，。多個，。多個變量上的變量上的非號非號應(yīng)保持不變。應(yīng)保持不變。 )()(CABABCAACABCBA 對偶A ）（）（對偶BABAABABA“或或-與與”表達(dá)式表達(dá)式“與非與非-與非與非”表達(dá)式表達(dá)式 “與與- -或或

8、- -非非”表達(dá)式表達(dá)式“或非或非或非或非” 表達(dá)式表達(dá)式“與與- -或或” 表達(dá)式表達(dá)式2.1.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡 DCACL DC A C = )DC)(CA( )C+D()CA( DCCA 1 1、邏輯函數(shù)的最簡與、邏輯函數(shù)的最簡與- -或表達(dá)式或表達(dá)式在若干個邏輯關(guān)系相同的與在若干個邏輯關(guān)系相同的與- -或表達(dá)式中，將其中包含的與項數(shù)或表達(dá)式中，將其中包含的與項數(shù)最少，且每個與項中變量數(shù)最少的表達(dá)式稱為最簡與最少，且每個與項中變量數(shù)最少的表達(dá)式稱為最簡與- -或表達(dá)式?；虮磉_(dá)式。同一函數(shù)不同形式的表達(dá)式同一函數(shù)不同形式的表達(dá)式與或式與或式與非與非式與非與非式

9、在原函數(shù)式上加兩個非號，在原函數(shù)式上加兩個非號，用摩根定理展開。用摩根定理展開。邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡1A2、邏輯函數(shù)的化簡方法、邏輯函數(shù)的化簡方法 (最簡與或式最簡與或式)化簡的主要方法：化簡的主要方法：公式法（代數(shù)法）公式法（代數(shù)法）圖解法（卡諾圖法）圖解法（卡諾圖法）代數(shù)化簡法：代數(shù)化簡法： 運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡的方法。運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡的方法。 1AA并項法并項法: : CBA CBAL BA)CC(BA (1)(1)乘積項的數(shù)目最少乘積項的數(shù)目最少(2)(2)每個乘積項中變量的個數(shù)也最少每個乘積項中變量的個數(shù)也最少1 AAABBA 吸收法：

10、吸收法： A + AB = A 消去法消去法： BABAA CABAB CAB 配項法配項法： CA=AB BAFEBCDABAL )(CBAAB)( CBCAABL A+AB=A+BCBCAABL CBAACAAB)( CBACABCA=AB )()(BCACACABAB 例：例：CDABFEDABCDAB)(被吸收被吸收DCBCADCBCAA 被吸收被吸收CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB配項配項吸收吸收常用恒等式常用恒等式CBBCBAABF )CBBC(BAAB ）（反演反演CB)AA(BC)CC(BAAB 配項配項CBBCAABCCBACBAAB 被吸收被吸收被吸收被

11、吸收CB)BB(CAAB CBCAAB )CC(DBADBA)DD(ABL DBADBA=AB )(DDBAAB BAAB BAAB BAAB CDBADCBAABDDBADABL 例例2.1.7 已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為（1）最簡的與）最簡的與-或邏輯函數(shù)表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的邏輯圖；或邏輯函數(shù)表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的邏輯圖；（2）僅用）僅用與非門與非門畫出最簡表達(dá)式的邏輯圖。畫出最簡表達(dá)式的邏輯圖。解：解： B A L AB BA & & & & & CBACBA CBACBA CBACBA B L CBA 1 1 1 A C CBA 1

12、1 1 CBACBAL 例例2.1.8 試對邏輯函數(shù)表達(dá)式試對邏輯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變換，僅用進(jìn)行變換，僅用或非門或非門畫出該表達(dá)式的邏輯圖。畫出該表達(dá)式的邏輯圖。解：解： CBACBAL 練習(xí)：練習(xí)：1. 練習(xí)：練習(xí)：2. 練習(xí)：1. ()()()A DDABACACEFBDBEFDEFGAACABACEFBDBEFACABACEFBDBEFACBDBEF()()()()()A BCBCBDBCADE FGABCBCBDBCADE FGABCBDBCADE FGABCBDBC練習(xí)：2. 1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所有公式熟練掌握

13、；對所有公式熟練掌握；2.代數(shù)法化簡無完善的方法可循，依賴于人的經(jīng)驗和代數(shù)法化簡無完善的方法可循，依賴于人的經(jīng)驗和靈活性；靈活性；3.化簡方法技巧強(qiáng)，較難掌握。特別是對代數(shù)化簡后化簡方法技巧強(qiáng)，較難掌握。特別是對代數(shù)化簡后得到的邏輯表達(dá)式是否是最簡式判斷有一定困難。得到的邏輯表達(dá)式是否是最簡式判斷有一定困難。卡諾圖法可以較簡便地得到最簡的邏輯表達(dá)式?？ㄖZ圖法可以較簡便地得到最簡的邏輯表達(dá)式。代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：n個變量個變量X1, X2, , Xn的最小項是的最小項是n個因子的乘積，每個因子的乘積，每個變量都個變量都以它的原變量以它的原變量或或非變量非變

14、量的形式在乘積項中出的形式在乘積項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。一般現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。一般n個變量的最小項應(yīng)有個變量的最小項應(yīng)有2n個。個。 BAACBA、 、A(B+C) 等則不是最小項。等則不是最小項。例如，例如，A、B、C三個邏輯變量的最小項有（三個邏輯變量的最小項有（23）8個，即個，即 CBACBACBABCACBACBACABABC、1. 最小項的意義最小項的意義2.2 .1 最小項的定義及其性質(zhì)最小項的定義及其性質(zhì)2、最小項的性質(zhì)與編號最小項的性質(zhì)與編號 三個變量的所有最小項的真值表三個變量的所有最小項的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7最小項：通常用最小項：通常用mi表示最小項，

15、表示最小項，m 表示最小項表示最小項, ,下標(biāo)下標(biāo)i為最小項號。為最小項號。 ABC0 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 01 10 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 01 11 10 00 00 01 10 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 01 10 00 01 11 10 00 00 00 00 00 00 01 10 01 11 11 10 00 00 00 00 00 0

16、0 01 1CBABCACBACBACBACABABCCBA對于變量的任一組取值，全體最小項之和為對于變量的任一組取值，全體最小項之和為1 1。對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得它的值為對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得它的值為1 1；對于變量的任一組取值，任意兩個最小項對于變量的任一組取值，任意兩個最小項m mi im mj j乘積為乘積為0 0；性質(zhì)性質(zhì)三變量最小項的編號表三變量最小項的編號表 2.2.2 邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式 ( ,)()()L A B CAB CCA BB Cl 為為“與或與或”邏輯表達(dá)式；邏輯表達(dá)式； l 在在“與或與或”式中的每個

17、乘積項都是最小項。式中的每個乘積項都是最小項。例例1 1 將將( , ,)L A B CABAC化成最小項表達(dá)式化成最小項表達(dá)式ABCABCABCABC= m7m6m3m1 (7, 6 3 1)m, ,()L ABCABCABCABCABC邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式：邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式：( , ,)()L A B CABABC AB 例例2 將將 化成最小項表達(dá)式化成最小項表達(dá)式 a.去掉非號去掉非號()()L A,B,CABABCAB()AB AB CAB()()AB AB CABb.去掉括號去掉括號ABCABCAB()ABCABCAB CCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)

18、mmmmmABCCBACBACBACBAF 邏輯相鄰邏輯相鄰CBCBACBA 邏輯相鄰的項可以邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子合并，消去一個因子2.2.3 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1、卡諾圖的引出卡諾圖的引出卡諾圖：卡諾圖：將將n變量的全部最小項都用小方塊表示，并使具有變量的全部最小項都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，這樣邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，這樣, ,所得到的圖形叫所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。變量的卡諾圖。邏輯相鄰的最小項：邏輯相鄰的最小項：如果兩個最小項只有一個變量互為反變?nèi)绻麅蓚€最小項只有一個變量互為反變量，

19、那么，就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。量，那么，就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。如最小項如最小項m6=ABC、與與m7 =ABC 在邏輯上相在邏輯上相鄰鄰m7m6AB10100100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCD三變量卡諾圖三變量卡諾圖四變量卡諾圖四變量卡諾圖BABABAAB兩變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCCBABCACBABCACBACBACBAABCCAB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB2、卡諾圖的特點(diǎn)卡諾圖的特點(diǎn):各小方格對應(yīng)

20、于各變量不同的組合，而且上下各小方格對應(yīng)于各變量不同的組合，而且上下左右在幾何上相鄰的方格內(nèi)左右在幾何上相鄰的方格內(nèi)只有一個因子有差別只有一個因子有差別，這個重要特，這個重要特點(diǎn)成為卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的主要依據(jù)點(diǎn)成為卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的主要依據(jù)。 3. 已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖 當(dāng)邏輯函數(shù)為最小項表達(dá)式時，在卡諾圖中找出和表達(dá)式當(dāng)邏輯函數(shù)為最小項表達(dá)式時，在卡諾圖中找出和表達(dá)式中最小項對應(yīng)的小方格填上中最小項對應(yīng)的小方格填上1，其余的小方格填上，其余的小方格填上0（有時也可（有時也可用空格表示），就可以得到相應(yīng)的卡諾圖。用空格表示），就可以得到相應(yīng)的卡諾圖。任何邏輯函數(shù)都等任何

21、邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖中為于其卡諾圖中為1的方格所對應(yīng)的最小項之和的方格所對應(yīng)的最小項之和。例例1：畫出邏輯函數(shù)：畫出邏輯函數(shù)L(A, B, C, D)= m(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 14, 15)的卡諾圖的卡諾圖 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 方法：找到邏輯函數(shù)所包含的最小項，然后方法：找到邏輯函數(shù)所包含的最小項，然后 在卡諾圖在卡諾圖上將這些最小項對應(yīng)的位置處填上將這些最小項對應(yīng)的位置處填1 1，其余部分填，其余部分填0 0

22、。 例：將邏輯函數(shù)例：將邏輯函數(shù) DCABDBACBAY用卡諾圖表示。用卡諾圖表示。 解：首先將函數(shù)化成最小項之和的形式解：首先將函數(shù)化成最小項之和的形式 ( ,)()()()L A B C DABCD ABCD ABCD()()ABCDABCDLABCDABCDABCDABCDABCD例例2 畫出下式的卡諾圖畫出下式的卡諾圖 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L 0 00 00 00 00 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解解1. 1. 將邏輯函數(shù)化為最小項表達(dá)式將邏輯函數(shù)化為最小項表達(dá)式2. 2. 填寫卡諾圖填寫卡諾圖 ),(m15131060(

23、,)()()L A B CAB CCA BB CABCABCABCABC= m7m6m3m1 (7, 6 3 1)m, ,例例1 1 將將( , ,)L A B CABAC化成最小項表達(dá)式化成最小項表達(dá)式0100011110三變量卡諾圖三變量卡諾圖BCAAB1111 2.2.4 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) 1、化簡的依據(jù)、化簡的依據(jù)DABDADBA DBACDBADCBA BDABCDADCBA m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 ADABDDBA

24、DADDA （1）任何）任何2個（個（2 1個）標(biāo)個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。（消去互為反變量的因子，保留公因子）。（2）任何）任何4個（個（22個）標(biāo)個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。個變量。（3）任何）任何8個（個（23個）標(biāo)個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。個變量。邏輯邏輯相鄰相鄰可以可以化簡化簡3.3.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) ABC00011110010

25、010001 11ABCBCABCBCAABC AB卡諾圖法化簡的步驟卡諾圖法化簡的步驟邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式或真值表或真值表卡諾圖卡諾圖)15,13,12,11, 8 ,7 , 5 , 3(),(mDCBAY 1 1 合并最小項合并最小項圈圈最大最大，每個圈，每個圈中的方格數(shù)必須中的方格數(shù)必須為為2n個。個。一個方一個方格可同時畫在幾個格可同時畫在幾個圈內(nèi)，但每個圈都圈內(nèi)，但每個圈都要有要有新的新的方格，否方格，否則就是多余圈。則就是多余圈。不能漏掉任何一個不能漏掉任何一個的方格。的方格。最簡與或表達(dá)式最簡與或表達(dá)式DCACDBDDCBAY ),(冗余項冗余項 2 2 3 3 將代表每將代表每

26、個圈的乘個圈的乘積項相加積項相加CBD相鄰的相鄰的8 8個方格為個方格為1 1，可以消去三個變量，可以消去三個變量A2、化簡的步驟化簡的步驟用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：(4) 將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項相加。將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項相加。(1) 將邏輯函數(shù)寫成最小項表達(dá)式將邏輯函數(shù)寫成最小項表達(dá)式(2) 按最小項表達(dá)式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，按最小項表達(dá)式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，其對應(yīng)方格填其對應(yīng)方格填1，其余方格填，其余方格填0。(3) 合并最小項，即將相鄰的合并最小項，即將相鄰的1方格圈成一組方格圈成一組(包圍圈包圍圈)，每一組含每一組含2

27、n個方格，對應(yīng)每個包圍圈寫成一個新的乘積個方格，對應(yīng)每個包圍圈寫成一個新的乘積項。本書中包圍圈用虛線框表示。項。本書中包圍圈用虛線框表示。畫包圍圈時應(yīng)遵循的原則：畫包圍圈時應(yīng)遵循的原則： （1 1）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2n個，且包圍圈必須呈矩形。個，且包圍圈必須呈矩形。（2）一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多）一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多,包圍圈的數(shù)目要可能少。包圍圈的數(shù)目要可能少。（3）同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增的包同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。（4）循

28、環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。）循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 少少卡諾圈的個數(shù)最少，卡諾圈的個數(shù)最少，大大圈最大，圈最大，方方圈包圍圈包圍2N個最小項，方形個最小項，方形新新至少有一個最小項未被其他圈包圍。至少有一個最小項未

29、被其他圈包圍。兩點(diǎn)說明：兩點(diǎn)說明： 在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。的與或表達(dá)式各不相同，哪個是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。不是最簡不是最簡最簡最簡BCDCABDACBABCDCADBA 在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達(dá)式不是唯一的。形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達(dá)式不是唯一的。ACDBDADCBCAACDBCDDCBCADBBDL BD 例例 :用卡諾圖法化簡

30、下列邏輯函數(shù)用卡諾圖法化簡下列邏輯函數(shù)（2）畫包圍圈合并最小項，得最簡與）畫包圍圈合并最小項，得最簡與-或表達(dá)式或表達(dá)式 解：解：(1) 由由L 畫出卡諾圖畫出卡諾圖 m)D,C,B,A(L(0，2，5，7，8，10，13，15) L C 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 D A B DB 四角相鄰四角相鄰 1 1 1 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 0111111111111110( , , ,)(03,5 7,811,1315)L A B C DmLDCBB例例: : 用卡諾圖化簡用卡諾圖化簡 1 1 1 00 AB L

31、01 10 11 CD 11 00 00 01 10 0111111111111110CD圈圈0LBCDLDCB圈圈1例：化簡例：化簡 F(A,B,C,D)= m(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011011010 0111 11 11111 111110ADCCBDBDCBDCBDBCBDCAF 例例 化簡邏輯函數(shù)：化簡邏輯函數(shù)：F（A,B,C,D）=m（0,1, 7,8,9,10,11,12,13,14,15）解解：a. 由表達(dá)式畫出卡諾圖。由表達(dá)式畫出卡諾圖。b. 畫圈，畫圈， 合并最小項，合并最小項， 得簡化的得簡化的

32、與與或表達(dá)式或表達(dá)式:BCDCBAL 1111111111100000ABCDCB CD 00 01 1110 AB 00 01 11 10為什么把AB和CD的位置換了？解解：由表達(dá)式畫出卡諾圖。由表達(dá)式畫出卡諾圖。注意：圖中的綠色圈是多余的，應(yīng)去掉注意：圖中的綠色圈是多余的，應(yīng)去掉 。例例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：DCBADCBADBABCF DBBCF 合并最小項，得簡化合并最小項，得簡化的的“與與或或”表達(dá)式表達(dá)式: CD 00 01 1110 AB 00 01 11 10DBDCBC11111111例例 已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖化簡該函數(shù)。已知某邏輯函數(shù)的真

33、值表，用卡諾圖化簡該函數(shù)。解：解：由真值表畫出卡諾圖由真值表畫出卡諾圖; 畫合并最小項。有兩種畫圈的方法畫合并最小項。有兩種畫圈的方法 由此可見，由此可見，一個邏輯函數(shù)的真值表是一個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結(jié)唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結(jié)果有時不是唯一的。果有時不是唯一的。 （a）：）：寫出寫出表達(dá)式：表達(dá)式： CABACBL （b）：）：寫出表達(dá)式：寫出表達(dá)式：CACBBAL 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C01111110 L 真真 值值 表表ABC00001111101011011110110111A

34、BC0000111110例：化簡例：化簡Tips：1不一定要化成最小項表達(dá)式不一定要化成最小項表達(dá)式 2化簡結(jié)果可以不同化簡結(jié)果可以不同2.2.5 含無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡含無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡1 1、什么叫無關(guān)項：、什么叫無關(guān)項：在真值表內(nèi)對應(yīng)于變量的某些取值下，函數(shù)的值可以是任意的，在真值表內(nèi)對應(yīng)于變量的某些取值下，函數(shù)的值可以是任意的，或者這些變量的取值根本不會出現(xiàn)，這些變量取值所對應(yīng)的最或者這些變量的取值根本不會出現(xiàn)，這些變量取值所對應(yīng)的最小項稱為無關(guān)項或任意項。小項稱為無關(guān)項或任意項。在含有無關(guān)項邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡中，它的值可以取在含有無關(guān)項邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡中，它的值可以

35、取0 0或取或取1 1，具體取什么值，可以根據(jù)使函數(shù)盡量得到簡化而定。具體取什么值，可以根據(jù)使函數(shù)盡量得到簡化而定。 用約束條件可以表示其約束性，如：用約束條件可以表示其約束性，如： 稱為約束項。稱為約束項。 0)7 ,2, 1(mABCCBACBA無關(guān)項無關(guān)項: 在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意合不會出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應(yīng)的最小項稱為的。這樣的取值組合所對應(yīng)的最小項稱為無關(guān)項、無關(guān)項、任意項任意項或或約束項約束項。 解：解：設(shè)控制旋轉(zhuǎn)方向開關(guān)分別用設(shè)控制旋轉(zhuǎn)方向開關(guān)分別

36、用A、B 表示，右表示，右 左旋轉(zhuǎn)用左旋轉(zhuǎn)用 L 、R 表示表示 列出該函數(shù)的真值表。列出該函數(shù)的真值表。帶有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式為：帶有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式為： F=m（ ）+d（ ）如本例函數(shù)可寫成如本例函數(shù)可寫成 L=m（1）+d（3）；）； R=m（2）+d（3） 0 0 0 1 1 0 1 1 A B 0 00 11 0 R L 真真 值值 表表 顯然，在函數(shù)中，有一個最小項為無關(guān)項。顯然，在函數(shù)中，有一個最小項為無關(guān)項。例：例：設(shè)計電動機(jī)旋轉(zhuǎn)的控制電路。設(shè)計電動機(jī)旋轉(zhuǎn)的控制電路。2具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡 化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)時，

37、要充分利用無關(guān)項可以當(dāng)化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)時，要充分利用無關(guān)項可以當(dāng) 0 也可以當(dāng)也可以當(dāng)1 的特點(diǎn)，盡量擴(kuò)大卡諾圈，使邏輯函數(shù)更簡。的特點(diǎn)，盡量擴(kuò)大卡諾圈，使邏輯函數(shù)更簡。 考慮無關(guān)項時，考慮無關(guān)項時，表達(dá)式為表達(dá)式為: F = B例例010ABC0000111110010ABC0000111110CBAF 不考慮無關(guān)項時，不考慮無關(guān)項時，表達(dá)式為：表達(dá)式為：例：例：某邏輯函數(shù)輸入是某邏輯函數(shù)輸入是84218421BCD碼，其邏輯表達(dá)式為：碼，其邏輯表達(dá)式為：L（A A, ,B B, ,C, ,D）=m（1,4,5,6,7,91,4,5,6,7,9）+d（10,11,12,13,14,1

38、510,11,12,13,14,15） 用卡諾圖法化簡該邏輯函數(shù)。用卡諾圖法化簡該邏輯函數(shù)。解解：a.a. 畫出畫出4 4變量卡諾圖。將變量卡諾圖。將1 1、4 4、5 5、6 6、7 7、9 9號小方格填入號小方格填入1 1； 將將1010、1111、1212、1313、1414、1515號小方格填入號小方格填入。如果不考慮無關(guān)項，寫出表達(dá)式為：如果不考慮無關(guān)項，寫出表達(dá)式為：DCBBAL DCBL c.c. 寫出邏輯函數(shù)的最簡與寫出邏輯函數(shù)的最簡與或表達(dá)式或表達(dá)式: :b.b. 合并最小項。注意，合并最小項。注意，1 1方格不能漏。方格不能漏。方格根據(jù)需要，可以方格根據(jù)需要，可以圈入，也可以放棄。圈入，也可以放棄。1111110000 AB 00 01 1110