高等數(shù)學講義--無窮級數(shù)數(shù)學一和數(shù)學三

1、-PAGE . z第八章 無窮級數(shù)數(shù)學一和數(shù)學三引言：所謂無窮級數(shù)就是無窮多項相加，它與有限項相加有本質(zhì)不同，歷史上曾經(jīng)對一個無窮級數(shù)問題引起爭論。例如：歷史上曾有三種不同看法，得出三種不同的和第一種第二種第三種設則這種爭論說明對無窮多項相加，缺乏一種正確的認識。什么是無窮多項相加？如何考慮？無窮多項相加，是否一定有和？無窮多項相加，什么情形有結合律，什么情形有交換律等性質(zhì)。因此對無窮級數(shù)的根本概念和性質(zhì)需要作詳細的討論。 8.1常數(shù)項級數(shù)容要點一、根本概念與性質(zhì)1. 根本概念無窮多個數(shù)依次相加所得到的表達式稱為數(shù)項級數(shù)簡稱級數(shù)。稱為級數(shù)的前n項的局部和，稱為局部和數(shù)列。不存在，則稱級數(shù)是發(fā)散

2、的，發(fā)散級數(shù)沒有和的概念。注：在*些特殊含義下可以考慮發(fā)散級數(shù)的和，但在根底課和考研的考試大綱中不作這種要求。2 根本性質(zhì)1 如果2 在級數(shù)中增加或減少或變更有限項則級數(shù)的收斂性不變。3 收斂級數(shù)具有結合律，也即對級數(shù)的項任意加括號所得到的新級數(shù)仍收斂，而且其和不變。發(fā)散級數(shù)不具有結合律，引言中的級數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號后得到級數(shù)的情形就不同。4 級數(shù)注：引言中提到的級數(shù)，因此收斂級數(shù)的必要條件不滿足，發(fā)散。調(diào)和級數(shù)滿足卻是發(fā)散的，所以滿足收斂級數(shù)的必要條件，而收斂性尚不能確定。3兩類重要的級數(shù)1等比級數(shù)幾何級數(shù)當時，收斂當時，發(fā)散2p一級數(shù)當p1時，收斂，當p1時發(fā)散注：p1時，的和

3、一般不作要求，但后面用特殊的方法可知二、正項級數(shù)斂散性的判別法則稱為正項級數(shù)，這時是單調(diào)加數(shù)列，它是否收斂就只取決于是否有上界，因此有上界，這是正項級數(shù)比擬判別法的根底，從而也是正項級數(shù)其它判別法的根底。1. 比擬判別法收斂，則收斂；如果發(fā)散，則發(fā)散。2. 比擬判別法的極限形式設假設當0A0，而當1時(包括=+)，則發(fā)散當=1時，此判別法無效注：如果不存在時，此判別法也無法用4根值判別法柯西設0，而當1時(包括=+)，則發(fā)散當=1時，此判別法無效事實上，比值判別法和根值判別法都是與等比級數(shù)比擬得出相應的結論，應用時，根據(jù)所給級數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們在=1情形下都無能為力。數(shù)學上有更精細一

4、些的判別法，但較復雜，對考研來說不作要求。三、交織級數(shù)及其萊布尼茲判別法1交織級數(shù)概念假設0,稱為交織級數(shù)。2萊布尼茲判別法設交織級數(shù)滿足：12) =0，則收斂，且01時，是絕對收斂的當01時，是條件收斂的當0時，是發(fā)散的典型例題主要用局部和數(shù)列的極限討論級數(shù)的斂散性判定以下級數(shù)斂散性，假設收斂并求級數(shù)的和。1 21解：的=1，收斂2解：= 1 * GB3= 2 * GB3= 1 * GB3-= 2 * GB3得=3=3，收斂設數(shù)列收斂證：由題意可知而=因此，于是級數(shù)=是收斂的主要用判別法討論級數(shù)的斂散性設級數(shù)收斂，則收斂解：幾何平均值算術平均值再用比擬判別法，可知收斂正項數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散

5、，問是否收斂？并說明理由。解：，由等比級數(shù)收斂和比擬判別法可知收斂。設1求的值。2證明：對任意正常數(shù)收斂。證明：1=121時，級數(shù)收斂。所以當1時，級數(shù)收斂。 8.2 冪級數(shù)甲容要點一、函數(shù)項級數(shù)及其收斂域與和函數(shù)數(shù)學一1 函數(shù)項級數(shù)的概念設皆定義在區(qū)間= 1 * ROMANI上，則稱為區(qū)間= 1 * ROMANI上的函數(shù)項級數(shù)。2 收斂域設，如果常數(shù)項級數(shù)收斂，則稱是函數(shù)項級數(shù)的收斂點，如果發(fā)散，則稱是的發(fā)散點。函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點構成的集合就稱為收斂域。所有發(fā)散點構成的集合你為發(fā)散域。3 和函數(shù)在的收斂域的每一點都有和，它與有關，因此，收斂域稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，它的定義域就是函數(shù)項級

6、數(shù)的收斂域。二、冪級數(shù)及其收斂域1 冪級數(shù)概念稱為的冪級數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)，當時，稱為的冪級數(shù)。一般討論有關問題，作平移替換就可以得出有關的有關結論。2冪級數(shù)的收斂域冪級數(shù)的收斂域分三種情形：收斂域為，亦即對每一個皆收斂，我們稱它的收斂半徑收斂域僅為原點，除原點外冪級數(shù)皆發(fā)散，我們稱它的收斂半徑。收斂域為所以求冪級數(shù)的收斂半徑非常重要，12兩種情形的收斂域就確定的。而3的情形，還需討論兩點上的斂散性。冪級數(shù)的性質(zhì)四則運算設2. 分析性質(zhì)設冪級數(shù)的收斂半徑 0，S() = 為和函數(shù)，則有以下重要性質(zhì)。1求導后冪級數(shù)的收斂半徑不變，因此得出2冪級數(shù)的收斂半徑也不變。3假設(= 1 * romani)(= 2 * romanii)(= 3 * romaniii)四、冪級數(shù)求和函數(shù)的根本方法1把函數(shù)的冪級數(shù)展開式 8.3將討論反過來用。以下根本公式應熟背：2、用逐項求導和逐項積分方法以及等比級數(shù)求和公式3、用逐項求導和逐項積分方法化為和函數(shù)的微分方程從而求出微分方程的解。五、利用冪級數(shù)求和函數(shù)得出有關常數(shù)項級數(shù)的和乙典型例題例1 求以下冪級數(shù)的和函數(shù)。12解：1可求出收斂半徑R=1, 收斂域為-1，12可以從求出和函數(shù)后，看出其收斂域 8.3將函數(shù)展開成冪級數(shù)甲容要點一、泰勒級數(shù)與麥克