高等數(shù)學(xué)講義--無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三

1、-PAGE . z第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三引言：所謂無(wú)窮級(jí)數(shù)就是無(wú)窮多項(xiàng)相加，它與有限項(xiàng)相加有本質(zhì)不同，歷史上曾經(jīng)對(duì)一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)問題引起爭(zhēng)論。例如：歷史上曾有三種不同看法，得出三種不同的和第一種第二種第三種設(shè)則這種爭(zhēng)論說(shuō)明對(duì)無(wú)窮多項(xiàng)相加，缺乏一種正確的認(rèn)識(shí)。什么是無(wú)窮多項(xiàng)相加？如何考慮？無(wú)窮多項(xiàng)相加，是否一定有和？無(wú)窮多項(xiàng)相加，什么情形有結(jié)合律，什么情形有交換律等性質(zhì)。因此對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的根本概念和性質(zhì)需要作詳細(xì)的討論。 8.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)容要點(diǎn)一、根本概念與性質(zhì)1. 根本概念無(wú)窮多個(gè)數(shù)依次相加所得到的表達(dá)式稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。稱為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的局部和，稱為局部和數(shù)列。不存在，則稱級(jí)數(shù)是發(fā)散

2、的，發(fā)散級(jí)數(shù)沒有和的概念。注：在*些特殊含義下可以考慮發(fā)散級(jí)數(shù)的和，但在根底課和考研的考試大綱中不作這種要求。2 根本性質(zhì)1 如果2 在級(jí)數(shù)中增加或減少或變更有限項(xiàng)則級(jí)數(shù)的收斂性不變。3 收斂級(jí)數(shù)具有結(jié)合律，也即對(duì)級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，而且其和不變。發(fā)散級(jí)數(shù)不具有結(jié)合律，引言中的級(jí)數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號(hào)后得到級(jí)數(shù)的情形就不同。4 級(jí)數(shù)注：引言中提到的級(jí)數(shù)，因此收斂級(jí)數(shù)的必要條件不滿足，發(fā)散。調(diào)和級(jí)數(shù)滿足卻是發(fā)散的，所以滿足收斂級(jí)數(shù)的必要條件，而收斂性尚不能確定。3兩類重要的級(jí)數(shù)1等比級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，收斂當(dāng)時(shí)，發(fā)散2p一級(jí)數(shù)當(dāng)p1時(shí)，收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散注：p1時(shí)，的和

3、一般不作要求，但后面用特殊的方法可知二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這時(shí)是單調(diào)加數(shù)列，它是否收斂就只取決于是否有上界，因此有上界，這是正項(xiàng)級(jí)數(shù)比擬判別法的根底，從而也是正項(xiàng)級(jí)數(shù)其它判別法的根底。1. 比擬判別法收斂，則收斂；如果發(fā)散，則發(fā)散。2. 比擬判別法的極限形式設(shè)假設(shè)當(dāng)0A0，而當(dāng)1時(shí)(包括=+)，則發(fā)散當(dāng)=1時(shí)，此判別法無(wú)效注：如果不存在時(shí)，此判別法也無(wú)法用4根值判別法柯西設(shè)0，而當(dāng)1時(shí)(包括=+)，則發(fā)散當(dāng)=1時(shí)，此判別法無(wú)效事實(shí)上，比值判別法和根值判別法都是與等比級(jí)數(shù)比擬得出相應(yīng)的結(jié)論，應(yīng)用時(shí)，根據(jù)所給級(jí)數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們?cè)?1情形下都無(wú)能為力。數(shù)學(xué)上有更精細(xì)一

4、些的判別法，但較復(fù)雜，對(duì)考研來(lái)說(shuō)不作要求。三、交織級(jí)數(shù)及其萊布尼茲判別法1交織級(jí)數(shù)概念假設(shè)0,稱為交織級(jí)數(shù)。2萊布尼茲判別法設(shè)交織級(jí)數(shù)滿足：12) =0，則收斂，且01時(shí)，是絕對(duì)收斂的當(dāng)01時(shí)，是條件收斂的當(dāng)0時(shí)，是發(fā)散的典型例題主要用局部和數(shù)列的極限討論級(jí)數(shù)的斂散性判定以下級(jí)數(shù)斂散性，假設(shè)收斂并求級(jí)數(shù)的和。1 21解：的=1，收斂2解：= 1 * GB3= 2 * GB3= 1 * GB3-= 2 * GB3得=3=3，收斂設(shè)數(shù)列收斂證：由題意可知而=因此，于是級(jí)數(shù)=是收斂的主要用判別法討論級(jí)數(shù)的斂散性設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則收斂解：幾何平均值算術(shù)平均值再用比擬判別法，可知收斂正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散

5、，問是否收斂？并說(shuō)明理由。解：，由等比級(jí)數(shù)收斂和比擬判別法可知收斂。設(shè)1求的值。2證明：對(duì)任意正常數(shù)收斂。證明：1=121時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。所以當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。 8.2 冪級(jí)數(shù)甲容要點(diǎn)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂域與和函數(shù)數(shù)學(xué)一1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)皆定義在區(qū)間= 1 * ROMANI上，則稱為區(qū)間= 1 * ROMANI上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。2 收斂域設(shè)，如果常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，如果發(fā)散，則稱是的發(fā)散點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合就稱為收斂域。所有發(fā)散點(diǎn)構(gòu)成的集合你為發(fā)散域。3 和函數(shù)在的收斂域的每一點(diǎn)都有和，它與有關(guān)，因此，收斂域稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，它的定義域就是函數(shù)項(xiàng)級(jí)

6、數(shù)的收斂域。二、冪級(jí)數(shù)及其收斂域1 冪級(jí)數(shù)概念稱為的冪級(jí)數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，稱為的冪級(jí)數(shù)。一般討論有關(guān)問題，作平移替換就可以得出有關(guān)的有關(guān)結(jié)論。2冪級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)的收斂域分三種情形：收斂域?yàn)?，亦即?duì)每一個(gè)皆收斂，我們稱它的收斂半徑收斂域僅為原點(diǎn)，除原點(diǎn)外冪級(jí)數(shù)皆發(fā)散，我們稱它的收斂半徑。收斂域?yàn)樗郧髢缂?jí)數(shù)的收斂半徑非常重要，12兩種情形的收斂域就確定的。而3的情形，還需討論兩點(diǎn)上的斂散性。冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)四則運(yùn)算設(shè)2. 分析性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 0，S() = 為和函數(shù)，則有以下重要性質(zhì)。1求導(dǎo)后冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變，因此得出2冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也不變。3假設(shè)(= 1 * romani)(= 2 * romanii)(= 3 * romaniii)四、冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的根本方法1把函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 8.3將討論反過(guò)來(lái)用。以下根本公式應(yīng)熟背：2、用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法以及等比級(jí)數(shù)求和公式3、用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法化為和函數(shù)的微分方程從而求出微分方程的解。五、利用冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)得出有關(guān)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和乙典型例題例1 求以下冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。12解：1可求出收斂半徑R=1, 收斂域?yàn)?1，12可以從求出和函數(shù)后，看出其收斂域 8.3將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)甲容要點(diǎn)一、泰勒級(jí)數(shù)與麥克