數(shù)學(xué)幾何動(dòng)點(diǎn)問題

1、. 數(shù)學(xué)幾何動(dòng)點(diǎn)問題課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解幾何動(dòng)態(tài)問題的特點(diǎn)，學(xué)會(huì)分析變量與其他量之間的在聯(lián)系，探索圖形運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和規(guī)律，掌握動(dòng)態(tài)問題的解題方法二、考點(diǎn)分析：近幾年在中考數(shù)學(xué)試卷中動(dòng)態(tài)類題目成了壓軸題中的常選容，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、圖形運(yùn)動(dòng)等類型，呈現(xiàn)方式豐富多彩，強(qiáng)化各種知識(shí)的綜合與聯(lián)系，有較強(qiáng)的區(qū)分度，且所占分值較高，具有一定的挑戰(zhàn)性知識(shí)梳理幾何動(dòng)態(tài)問題是指：在圖形中，當(dāng)*一個(gè)元素，如點(diǎn)、線或圖形等運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，問題的結(jié)論隨之改變或保持不變的幾何問題它是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)一個(gè)由靜止的定態(tài)到按*一規(guī)則運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)情景，通過觀察、分析、歸納、推理，動(dòng)中窺定，變中求靜，以靜制動(dòng)，從中探求本質(zhì)、規(guī)律

2、和方法，明確圖形之間的在聯(lián)系幾何動(dòng)態(tài)問題關(guān)心“不變量，所表達(dá)的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合思想，這里常把函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式聯(lián)系起來，實(shí)際上是一般化與特殊化的方法當(dāng)求變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解；當(dāng)求特殊位置關(guān)系或數(shù)值時(shí)，常建立方程模型求解必要時(shí)，多作出幾個(gè)符合條件的草圖也是解決問題的好方法典型例題知識(shí)點(diǎn)一：動(dòng)點(diǎn)問題例1.如下圖，在直角梯形ABCD中，CDAB，A90，AB28cm，DC24cm，AD4cm，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)停頓運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停頓運(yùn)動(dòng)則四邊形ANM

3、D的面積ycm2與兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間ts的函數(shù)圖象大致是思路分析：1題意分析：此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)主要有直角梯形、函數(shù)及其圖象等解答過程：D解題后的思考：此題中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在允許的圍*一時(shí)刻四邊形ANMD是固定不動(dòng)的，可用含t的式子表示出面積y，再根據(jù)y與t之間的關(guān)系式確定函數(shù)圖象直線FE交AB的延長(zhǎng)線于G過線段FG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)H作HMAG，HNAD，垂足分別為M、N設(shè)HM*，矩形AMHN的面積為y1求y與*之間的函數(shù)關(guān)系式；2當(dāng)*為何值時(shí)，矩形AMHN的面積最大，最大面積是多少？思路分析：1題意分析：此題通過點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)變化，綜合考察四邊形、線段的比、二次函數(shù)等知識(shí)2解題思路：解答此題的關(guān)鍵是用含

4、*的式子表示出AM，而AMABBM4BMBM又可看作是BG與MG的差，運(yùn)用CEF和BEG的關(guān)系可求出BE和BG的長(zhǎng)，運(yùn)用MHG和BEG的關(guān)系可表示出MG1求SABC；2證明不管a取任何實(shí)數(shù)，BOP的面積是一個(gè)常數(shù)；3要使得ABC和ABP的面積相等，數(shù)a的值思路分析：1題意分析：此題中動(dòng)點(diǎn)P的位置沒有給出來，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)特征，它應(yīng)該在一條直線上，這條直線與y軸平行，在y軸的右側(cè)，到y(tǒng)軸的距離是1點(diǎn)P的位置隨a的變化而在直線*1上運(yùn)動(dòng)2解題思路：1因?yàn)锳BC為等腰直角三角形，所以只要求出AB即可又因?yàn)锳、B兩點(diǎn)是直線與*軸、y軸的交點(diǎn)，所以兩點(diǎn)坐標(biāo)可求，這樣OA、OB的長(zhǎng)可求，在RtOAB中，利

5、用勾股定理可求得AB2求BOP的面積可以以O(shè)B為底，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為高底邊OB不變，高為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)1，所以SBOP為常數(shù)3注意滿足條件的點(diǎn)P可能在第四象限，也可能在第一象限解題后的思考：求ABC的面積實(shí)質(zhì)是求它的兩條直角邊長(zhǎng)，此題的1和2問比擬容易，3問難度稍微大一些，應(yīng)注意分情況討論小結(jié)：解答動(dòng)點(diǎn)問題要“以靜制動(dòng)，即把動(dòng)態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解一般方法是抓住變化中的“不變量，首先根據(jù)題意理清題目中變量的變化情況并找出相關(guān)常量，第二，按照?qǐng)D形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出一個(gè)根本關(guān)系式，把相關(guān)的量用一個(gè)自變量的表達(dá)式表示出來，然后再根據(jù)題目的要求，依據(jù)幾何、代數(shù)知識(shí)求解知識(shí)點(diǎn)二：動(dòng)線問題例4.

6、小明在研究垂直于直徑的弦的性質(zhì)的過程中如下圖，直徑AB弦CD于E，設(shè)AE*，BEy，他用含*、y的式子表示圖中的弦CD的長(zhǎng)度，通過比擬運(yùn)動(dòng)的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于正數(shù)*、y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的不等式_思路分析：1題意分析：關(guān)于*、y的不等式是通過比擬運(yùn)動(dòng)的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系得出的，解此題的關(guān)鍵是找出AB與CD的*種數(shù)量關(guān)系解題后的思考：在這個(gè)問題中，弦CD是變化的，直徑AB即*y是不變的，弦CD無論怎樣變化都不會(huì)超過直徑，正是根據(jù)這一點(diǎn)確定了此題的不等關(guān)系式例5.如圖，平行四邊形ABCD及四邊形外一直線l，四個(gè)頂點(diǎn)A、B

7、、C、D到直線l的距離分別為a、b、c、d1觀察圖形，猜測(cè)得出a、b、c、d滿足怎樣的關(guān)系式？證明你的結(jié)論2現(xiàn)將l向上平移，你得到的結(jié)論還一定成立嗎？請(qǐng)分情況寫出你的結(jié)論思路分析：1題意分析：此題是線動(dòng)平移問題，問題的結(jié)論具有開放性，需要學(xué)生有一定的類比能力和繪圖能力2解題思路：解答此題時(shí)可以從特殊位置開場(chǎng)，比方當(dāng)直線l過點(diǎn)A時(shí)，找出a、b、c、d之間的關(guān)系式，再把它進(jìn)展推廣解答過程：1acbd證明：如圖所示，連結(jié)AC、BD，且AC、BD相交于點(diǎn)O，OO1為點(diǎn)O到l的距離，OO1為直角梯形BB1D1D的中位線，2OO1DD1BB1bd；同理：2OO1AA1CC1acacbd2不一定成立分別有以

8、下情況：直線l過A點(diǎn)時(shí)，cbd；如圖所示，直線l過A點(diǎn)與B點(diǎn)之間時(shí)，cabd；直線l過B點(diǎn)時(shí)，cad；直線l過B點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)，acbd；直線l過D點(diǎn)時(shí)，acb；直線l過C點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)，acbd；直線l過C點(diǎn)時(shí)，abd；直線l過C點(diǎn)上方時(shí)，acbd解題后的思考：在此題中，直線l做上下平移運(yùn)動(dòng)，直線l的位置變化引起a、b、c、d的變化，不變的是它們所在圖形的中位線重疊，通過這一不變性找出a、b、c、d之間的關(guān)系式小結(jié)：線動(dòng)問題的根本特征是：在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中，*些直線或線段保持一種位置關(guān)系不變，如垂直、平行，而一些線段的長(zhǎng)度發(fā)生變化這類問題通常用直角三角形、四邊形、全等形、相似形等知識(shí)建立線

9、段之間的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題知識(shí)點(diǎn)三：圖形運(yùn)動(dòng)問題例6.如下圖，A、B的圓心A、B在直線l上，兩圓半徑都為1cm，開場(chǎng)時(shí)圓心距AB4cm，現(xiàn)A、B同時(shí)沿直線l以每秒2cm的速度相向移動(dòng)，則當(dāng)兩圓相切時(shí)，A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為_秒思路分析：1題意分析：這兩個(gè)圓是等圓，只能形成外切，但應(yīng)注意外切有兩種狀態(tài)2解題思路：相切的兩種情況是：點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊時(shí)，這兩個(gè)圓各移動(dòng)了1cm，解題后的思考：此題有兩種解題策略：確定兩圓相切時(shí)A和B的移動(dòng)距離，再求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；設(shè)A運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，兩圓相切點(diǎn)A和點(diǎn)B重合以前，A和B相切一次，此時(shí)AB42t2t44t；點(diǎn)A和點(diǎn)B重合以后，A和B相切一次，此時(shí)AB2t2t44t4兩圓相

10、切時(shí)AB2，即44t2例7.如圖所示，矩形ABCD中，AB3，BC4，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC平移，平移后的矩形為EFGHA、E、C、G始終在同一條直線上，當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)停頓移動(dòng)平移中EF與BC交于點(diǎn)N，GH與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，EH與DC交于點(diǎn)P，F(xiàn)G與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q設(shè)S表示矩形PCMH的面積，S表示矩形NFQC的面積1S與S相等嗎？請(qǐng)說明理由2設(shè)AE*，寫出S和*之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出*取何值時(shí)S有最大值，最大值是多少？3如圖所示，連結(jié)BE，當(dāng)AE為何值時(shí)，ABE是等腰三角形思路分析：1題意分析：此題的運(yùn)動(dòng)過程比擬簡(jiǎn)單，矩形EFGH沿AC平移，考察的知識(shí)點(diǎn)有：矩形、平移、函數(shù)

11、、等腰三角形等2解題思路：1S與S的關(guān)系可通過矩形EFGH中各三角形面積的和差關(guān)系確定；2在EPC和CGM中用含*的式子表示出PC和CM，SPCCM，注意AECG可由平移的性質(zhì)得出；3注意ABE是等腰三角形可能有多種情況解答過程：1相等理由是：四邊形ABCD、EFGH是矩形，SEGHSEGF，SESECP，SCGQSCGM，SEGHSECPSCGMSEGFSESCGQ，即：SS解題后的思考：函數(shù)是刻畫圖形運(yùn)動(dòng)問題的最正確數(shù)學(xué)模型，解決這類問題時(shí)，要從觀察入手，抓住圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)各量之間的關(guān)系，防止找不準(zhǔn)圖形運(yùn)動(dòng)過程中的關(guān)鍵圖形而導(dǎo)致出錯(cuò)小結(jié)：圖形運(yùn)動(dòng)問題一般與圖形變換結(jié)合，圖形在運(yùn)動(dòng)過程中只是位置

12、發(fā)生變化，大小、形狀一般不變所以解答這類問題往往可運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、平行、全等、等腰三角形等知識(shí)提分技巧解答幾何動(dòng)態(tài)問題大致可分為三步：1審清題意，明確研究對(duì)象2明確運(yùn)動(dòng)過程，抓住關(guān)鍵時(shí)刻的動(dòng)點(diǎn)，如起點(diǎn)，終點(diǎn)3將運(yùn)動(dòng)元素看作靜止元素，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題同步練習(xí)答題時(shí)間：60分鐘一、選擇題1. 如下圖，在ABC中，ABAC2，BAC20動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在直線BC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持PAQ100，設(shè)BP*，CQy，則y與*之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為 2. 如圖，ABC和DEF是等腰直角三角形，CF90，AB2、DE4點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A，BD，E在同一條直線上，將ABC沿AE方向平移，至

13、點(diǎn)A與點(diǎn)E重合時(shí)停頓設(shè)點(diǎn)B、D之間的距離為*，ABC與DEF重疊局部的面積為y，則以下能準(zhǔn)確反映y與*之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖象是二、填空題3. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在邊DC上，且DM1，N為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，則DNMN的最小值為_*4. 銳角ABC中，BC6，SABC12，兩動(dòng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上滑動(dòng)，且MNBC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長(zhǎng)為*，正方形MPQN與ABC公共局部的面積為yy0，當(dāng)*_時(shí)，公共局部面積y最大，y最大值_三、解答題*5. 如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE12cm，形如三角板的ABC中，ACB90，ABC30，BC12cm半圓O以2

14、cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D、E始終在直線BC上設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t0s時(shí)，半圓O在ABC的左側(cè)，OC8cm1當(dāng)t為何值時(shí)，ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？2當(dāng)ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時(shí)，如果半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊局部，求重疊局部的面積*6、如圖1，在矩形ABCD中，AB20cm，BC4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開場(chǎng)沿折線ABCD以4cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開場(chǎng)沿CD邊以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停頓運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts1t為何值時(shí)，四邊形APQD為矩

15、形？2如圖2，如果P和Q的半徑都是2 cm，則t為何值時(shí)，P和Q外切？*7、如圖所示，矩形ABCD中，AB12cm，BC24cm，直線PQ從AB出發(fā)，以1cm/s的速度向CD做勻速運(yùn)動(dòng)，PQ與AD、BC分別交于P、Q；點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，沿CDABC方向逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M與P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到D后改變速度；當(dāng)點(diǎn)M與Q相遇后，點(diǎn)M與直線PQ都停頓運(yùn)動(dòng)圖是點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)ycm與運(yùn)動(dòng)時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系圖象1點(diǎn)M在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為_cm/s；點(diǎn)M改變速度后的速度為_cm/s；2求y關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式及P、M相遇的時(shí)間，M、Q相遇的時(shí)間；3求當(dāng)0t8時(shí)，PQM的面積S關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式及當(dāng)S60cm2時(shí)，t的值；4當(dāng)PMQM時(shí)，此時(shí)的時(shí)間為_s試題答案一、選擇題：1. A 解析：BAC20，ABAC，ABCACB80，PABP80，ABPACQ100PAQ100，6. 解