6示范教案（132球的體積和表面積）

1、1.3.2 球的體積和表面積整體設(shè)計教學分析 本節(jié)教材直接給出了球的表面積和體積公式，并用兩個例題來說明其應用.值得注意的是教學的重點放在球與其他幾何體的組合體的有關(guān)計算上，這是高考的重點.三維目標 掌握球的表面積和體積公式，并能應用其解決有關(guān)問題，提高學生解決問題的能力，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法.重點難點 教學重點：球的表面積和體積公式的應用. 教學難點：關(guān)于球的組合體的計算.課時安排 約1課時教學過程導入新課思路1.位于香港棧橋回瀾閣西部、西陵峽路東端海濱，有一座新異奇秀的半球形建筑.由香港好世界飲食服務（中國）有限公司等三方合資興建，1996年9月正式開業(yè)，既是島城飲食服務業(yè)的“特一

2、級”店，又是新增加的一處景點.酒店的總建筑面積11 380平方米，現(xiàn)酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學材料以更好地保護酒店，那么，需要多少面積的這種化學材料呢？思路2.球既沒有底面，也無法像柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢？球的大小與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來表示球的體積和面積？教師引出課題：球的體積和表面積.推進新課新知探究 球的半徑為R，它的體積和表面積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù).事實上，如果球的半徑為R，那么S=4R2,V=.注意：球的體積和表面積公式的證明以后證明.應用示例思路1例1 如圖1所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求

3、證：圖1（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.活動：學生思考圓柱和球的結(jié)構(gòu)特征，并展開空間想象.教師可以使用信息技術(shù)幫助學生讀懂圖形.證明：（1）設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.則有V球=，V圓柱=R22R=2R3，所以V球=.（2）因為S球=4R2，S圓柱側(cè)=2R2R=4R2，所以S球=S圓柱側(cè).點評：本題主要考查有關(guān)球的組合體的表面積和體積的計算.解決此類問題的關(guān)鍵是明確組合體的結(jié)構(gòu)特征.變式訓練1.如圖2(1)所示，表面積為324的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積.圖2解：設(shè)球的半徑為R，正四棱柱底面邊長為a,則軸截面如圖2（

4、2），所以AA=14,AC=,又4R2=324,R=9.AC=.a=8.S表=642+3214=576,即這個正四棱柱的表面積為576.2有一種空心鋼球，質(zhì)量為142 g,測得外徑（直徑）等于5 cm，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為7.9 g/cm3，精確到0.1 cm）.解：設(shè)空心球內(nèi)徑（直徑）為2x cm,則鋼球質(zhì)量為7.9=142,x3=11.3,x2.24,直徑2x4.5.答：空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5 cm.例2 如圖3所示，表示一個用鮮花做成的花柱，它的下面是一個直徑為1 m、高為3 m的圓柱形物體，上面是一個半球形體.如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個花柱大約需要多少朵鮮花（取

5、3.1）?圖3活動：學生思考和討論如何計算鮮花的朵數(shù).鮮花的朵數(shù)等于此幾何體的表面積（不含下底面）與每朵鮮花占用的面積.幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積再加上半球的表面積.解：圓柱形物體的側(cè)面面積S13.113=9.3(m2),半球形物體的表面積為S223.1()21.6(m2),所以S1+S29.3+1.6=10.9(m2).10.91501 635(朵).答：裝飾這個花柱大約需要1 635朵鮮花.點評：本題主要考查球和圓柱的組合體的應用，以及解決實際問題的能力.變式訓練 有一個軸截面為正三角形的圓錐容器，內(nèi)放一個半徑為R的內(nèi)切球，然后將容器注滿水，現(xiàn)把球從容器中取出，水不損耗，且取出球后水面

6、與圓錐底面平行形成一圓臺體，問容器中水的高度為多少？分析：轉(zhuǎn)化為求水的體積.畫出軸截面，充分利用軸截面中的直角三角形來解決.解：作出圓錐和球的軸截面圖如圖4所示，圖4圓錐底面半徑r=,圓錐母線l=2r=，圓錐高為h=3R，V水=3R23R，球取出后，水形成一個圓臺，下底面半徑r=,設(shè)上底面半徑為r，則高h=(r-r)tan60=,(r2+r2+rr),5R3=,5R3=，解得r=,h=()R.答：容器中水的高度為()R.思路2例1 （2006廣東高考，12）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_.活動：學生思考長方體和球的結(jié)構(gòu)特征.教師可以借助于信息技術(shù)畫出圖形.分析：畫出

7、球的軸截面可得，球的直徑是正方體的對角線，所以球的半徑R=，則該球的表面積為S=4R2=27.答案：27點評：本題主要考查簡單的組合體和球的表面積.球的表面積和體積都是半徑R的函數(shù).對于和球有關(guān)的問題，通常可以在軸截面中建立關(guān)系.畫出軸截面是正確解題的關(guān)鍵.變式訓練1.（2006全國高考卷，理7）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（ ）A.16 B.20 C.24 D.32分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面邊長為2.畫出球的軸截面可得，該正四棱柱的對角線即為球的直徑，所以，球的半徑為R=，所以球的表面積為S=4R2=24.答案：C2.（2005湖南

8、數(shù)學競賽，13）一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積為_.分析：把正四面體補成正方體的內(nèi)接正四面體，此時正方體的棱長為，于是球的半徑為，V=.答案：3.（2007天津高考，理12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為_.分析：長方體的對角線為，則球的半徑為,則球的表面積為4()2=14.答案：14例2 圖5是一個底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6 cm，高為20 cm的一個圓錐形鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？圖5活動：學生思考杯里的水將下降的原因

9、，通過交流和討論得出解題思路.因為玻璃杯是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20 cm的圓，它的體積正好等于圓錐形鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度.解：因為圓錐形鉛錘的體積為20=60（cm3），設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為=100 x（ cm3）.所以有60=100 x，解此方程得x=0.6（ cm）.答：杯里的水下降了0.6 cm.點評：本題主要考查幾何體的體積問題，以及應用體積解決實際問題的能力.明確幾何體的形狀及相應的體積公式是解決這類問題的關(guān)鍵.解實際應用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型.本題的數(shù)學模型是下

10、降的水的體積等于取出的圓錐形鉛錘的體積.明確其體積公式中的相關(guān)量是列出方程的關(guān)鍵.變式訓練1.一個空心鋼球，外直徑為12 cm，壁厚0.2 cm，問它在水中能浮起來嗎？（鋼的密度為7.9 g/cm3）和它一樣尺寸的空心鉛球呢？（鉛的密度為11.4 g/cm3）分析：本題的關(guān)鍵在于如何判斷球浮起和沉沒，因此很自然要先算出空心鋼球的體積，而空心鋼球的體積相當于是里、外球的體積之差，根據(jù)球的體積公式很容易得到空心鋼球的體積，從而算出空心鋼球的質(zhì)量，然后把它與水的質(zhì)量相比較即可得出結(jié)論，同理可以判斷鉛球會沉沒.解：空心鋼球的體積為V鋼=20.88887.45(cm3)，鋼的質(zhì)量為m鋼=87.457.9

11、=690.86(g).水的體積為V水=63=904.32(cm3)，水的質(zhì)量為m水=904.321=904.32(g)m鋼.鋼球能浮起來，而鉛球的質(zhì)量為m鉛=87.4511.4=996.93(g)m水.同樣大小的鉛球會沉沒.答：鋼球能浮起來，同樣大小的鉛球會沉沒.2.（2006全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第一試，10）底面半徑為1 cm的圓柱形容器里放有四個半徑為cm的實心鐵球，四個球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水_cm3.分析：設(shè)四個實心鐵球的球心為O1、O2、O3、O4，其中O1、O2為下層兩球的球心，A、B、C、D分別為四個球心在底面的射影

12、，則ABCD是一個邊長為 cm的正方形，所以注水高為(1+) cm.故應注水(1+)-4 cm3.答案：（+）知能訓練1.三個球的半徑之比為123，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的（ ）A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍分析：根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的4倍，可設(shè)最小的一個半徑為r，則另兩個為2r、3r，所以各球的表面積分別為4r2、16r2、36r2，（倍）.答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為（ ）A. B. C. D.分析：此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由8知，a=1，則此球的直徑為.答案：A3.

13、（2007北京西城抽樣，文11）若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9，則球的表面積是_.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，則球的半徑為=5，所以球的表面積是452=100.答案：1004.某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9 g/cm3）,每個鋼球重145 kg,并且外徑等于50 cm,試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心的.如果是空心的，請你計算出它的內(nèi)徑（取3.14,結(jié)果精確到1 cm）.解：由于外徑為50 cm的鋼球的質(zhì)量為7.9516 792(g),街心花園中鋼球的質(zhì)量為145 000 g,而

14、145 000516 792,所以鋼球是空心的.設(shè)球的內(nèi)徑是2x cm，那么球的質(zhì)量為7.9=145 000,解得x311 240.98,x22.4,2x45(cm).答：鋼球是空心的，其內(nèi)徑約為45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱錐SABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=,則球的體積與三棱錐體積之比是（ ）A. B.2 C.3 D.4分析：由題意得SO=r為三棱錐的高，ABC是等腰直角三角形，所以其面積是2rr=r2,所以三棱錐體積是，又球的體積為，則球的體積與三棱錐體積之比是4.答案：D點評：面積和體積往往涉及空間距離，而新課標對空間

15、距離不作要求，因此在高考試題中其難度很低，屬于容易題，2007年新課標高考試題就體現(xiàn)了這一點.高考試題中通?？疾榍颉⑷忮F、四棱錐、長方體、正方體等這些簡單幾何體或它們的組合體的面積或體積的計算.我們應高度重視這方面的應用.拓展提升問題：如圖6，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）圖6A.S1S2 B.S1S2 C.S1=S2 D.S1,S2的大小關(guān)系不能確定探究：如圖7，連OA、OB、OC、OD，則VABEFD=

16、VOABDVOABEVOBEFD+VOADF，VAEFC=VOAFCVOAECVOEFC，又VABEFD=VAEFC，而每個小三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABDSABESBEFD+SADF=SAFCSAECSEFC，又面AEF是公共面，故選C.圖7答案：C課堂小結(jié)本節(jié)課學習了：1.球的表面積和體積.2.計算組合體的體積時，通常將其轉(zhuǎn)化為計算柱、錐、臺、球等常見的幾何體的體積.3.空間幾何體的表面積與體積的規(guī)律總結(jié)：（1）表面積是各個面的面積之和，求多面體表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積.求旋轉(zhuǎn)體的表面積時，可從回憶旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應的側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系，注意球面不可展開.（2）在體積公式中出現(xiàn)了幾何體的高，其含義是：柱體的高：從柱體的一個底面上任一點向另一個底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為柱體的高；錐體的高：從錐體的頂點向底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為錐體的高；臺體的高：從臺體的一個底面上任一點向另一個底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為臺體的高.注意球沒有高的結(jié)構(gòu)特征.（3）利用側(cè)面展開圖或截面把空