拉普拉斯變換及其性質(zhì)PPT通用課件

1、拉普拉斯變換及其性質(zhì)一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一個信號f(t)滿足狄里赫利條件時，便可構成一對傅里葉變換式，即 當函數(shù) f (t)不滿足絕對可積條件時，則其傅里葉變換不一定存在。此時，可采取給f(t)乘以因子et(為任意實常數(shù))的辦法，這樣即得到一個新的時間函數(shù) f (t)et，使其滿足條件則函數(shù) f (t)et 即滿足絕對可積條件了，因而它的傅里葉變換一定存在?？梢娨蜃觘t 起著使函數(shù) f (t)收斂的作用辦法，故稱et為收斂因子。1它是 +j的函數(shù)，可以寫為 設函數(shù) f (t)et 滿足狄里赫利條件且絕對可積(這可通過選取恰當?shù)闹祦磉_到)，根據(jù)傅里葉變換的定義，則有F( +j)的傅里葉

2、反變換為即5.1 拉普拉斯變換2二拉普拉斯變換的定義s= +j，s為一復數(shù)變量，稱為復頻率。以上兩式分別稱為雙邊拉普拉斯變換和雙邊拉普拉斯反變換。5.1 拉普拉斯變換3正變換反變換記作 ， 稱為原函數(shù)， 稱為象函數(shù)采用 系統(tǒng)，相應的單邊拉氏變換為考慮到實際信號都是有起因信號所以5.1 拉普拉斯變換4三拉氏變換的收斂域 收斂域：使F(s)存在的s 的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(region of convergence)實際上就是拉氏變換存在的條件；5.1 拉普拉斯變換5例 信號拉普拉斯變換的收斂域(即收斂坐標0)解: 要使該式成立，必須有 ， 故其收斂域為全s平面， 0= 。 0時該式成立，

3、 故其收斂域為s平面的右半開平面， 0= 0。 0時上式成立， 故其收斂域為s平面的右半開平面， 0= 0。要使該式成立，必須有a+ 0， 即 a。故其收斂域為 a以右的開平面， 0= a。6四一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全 s 域平面收斂 3.單位沖激信號74冪函數(shù) t nu(t)四一些常用函數(shù)的拉氏變換85正余弦信號收斂域收斂域四一些常用函數(shù)的拉氏變換96衰減的正余弦信號收斂域收斂域四一些常用函數(shù)的拉氏變換105.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性性質(zhì)延時特性尺度變換特性復頻移特性時域微分定理時域積分定理頻域微積分定理初值定理和終值定理卷積定理11一線性性質(zhì)解：例：已知求 的

4、拉普拉斯變換若 為常數(shù)則12二延時特性（時域平移）若則注意：(1)一定是 的形式的信號才能用時移性質(zhì)(2)信號一定是右移(3)表達式 等 所表示的信號不能用時移性質(zhì)13例：已知求因為所以解：二延時性質(zhì)（時域平移）14解：4種信號的波形如圖例：已知單位斜變信號 的拉普拉斯變換為求的拉普拉斯變換二延時性質(zhì)（時域平移）15只有信號 可以用延時性質(zhì) 二延時性質(zhì)（時域平移）16時移性質(zhì)的一個重要應用是求單邊周期信號的拉普拉斯變換。 結論：單邊周期信號的拉普拉斯變換 等于第一周期波形的拉普拉斯變換乘以 例：周期沖擊序列 的拉氏變換為二延時性質(zhì)（時域平移）17例解：已知s)F(tt u(t) f求,1) -

5、=解：例二延時性質(zhì)（時域平移）18三尺度變換時移和尺度變換都有:若則19四復頻移特性（s 域平移）若則例：求 的拉氏變換解：20五時域微分定理推廣：若則21六時域積分定理若則因為第一項與 t 無關，是一個常數(shù)22例：求圖示信號的拉普拉斯變換 求導得 所以 解：六時域積分定理23七s 域微積分定理若 則 取正整數(shù)證明：對拉普拉斯正變換定義式 求導得 若則24七s 域微積分定理例解：因為所以25八初值定理和終值定理若 和 拉氏變換存在，且則為真分式終值存在的條件:若 的拉氏變換存在，且則初值定理 的所有極點有負實部終值定理初值存在的條件: 當 t 0時，f (t)=0，且 f (t)不包含沖激信號及其各階導數(shù)項26由時域微分定理可知所以初值定理證明：所以八初值定理和終值定理27終值定理證明根據(jù)初值定理證明時得到的公式八初值定理和終值定理28F(s)為真分式 的所有極點有負實部八初值定理和終值定理29例：確定下列拉普拉斯變換所對應的時域因果信號的初值和終值初值 終值 初值 終值 注意應用終值定理的條件是滿足的