高中數(shù)學(xué)競賽幾何專題1資料從調(diào)和點列到Apollonius圓到極線

1、. .PAGE11 / NUMPAGES11從交比到調(diào)和點列到Apollonius圓到極線極點2010年10月17日結(jié)束的2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題目為：如圖1，銳角三角形 ABC 的外心為 O，K 是邊 BC 上一點（不是邊 BC 的中點），D 是線段AK延長線上一點，直線BD與AC交于點N，直線CD與AB交于點M求證：若OKMN，則ABDC 四點共圓圖 SEQ 圖 * ARABIC1本題頗有難度，參考答案的反證法讓有些人“匪夷所思”，其實這是一系列射影幾何中常見而深刻結(jié)論的自然“結(jié)晶”，此類問題在國家隊選拔考試等大賽中屢見不鮮。本文擬系統(tǒng)的介紹交比、調(diào)和點列、完全四邊形、Apol

2、lonius圓、極線等射影幾何的重要概念與應(yīng)用，抽絲剝繭、溯本求源，揭示此類問題的來龍去脈，并在文中給出上題的一種簡潔明了的直接證明。知識介紹定義1 線束和點列的交比：如圖2，共點于O的四條直線被任意直線所截的有向線段比稱為線束OA、OC、OB、OD或點列ACBD的交比。1定理1 線束的交比與所截直線無關(guān)。圖 SEQ 圖 * ARABIC2證明：本文用ABC表示ABC面積，則從而可知線束交比與所截直線無關(guān)。定義2調(diào)和線束與調(diào)和點列：交比為-1，即的線束稱為調(diào)和線束，點列稱為調(diào)和點列。顯然調(diào)和線束與調(diào)和點列是等價的，即調(diào)和線束被任意直線截得的四點均為調(diào)和點列，反之，調(diào)和點列對任意一點的線束為調(diào)和

3、線束。定理2 調(diào)和點列常見形式：（O為CD中點）（1）、（2）、(3)、 AC*AD=AB*AO(4)、 AB*OD=AC*BD證明：由基本關(guān)系式變形即得，從略。定理3 一直線被調(diào)和線束中的三條平分當且僅當它與第四邊平行（由定義即得，證略）定義3完全四邊形：如圖3，凸四邊形ABCD各邊延長交成的圖形稱為完全四邊形ABCDEF，AC、BD、EF稱為其對角線（一般的四條直線即交成完全四邊形）2。定理4 完全四邊形對角線互相調(diào)和分割。即AGCH、BGDI、EHFI分別構(gòu)成調(diào)和點列。圖 SEQ 圖 * ARABIC3分析：只需證EHFI為調(diào)和點列，其余可類似證得，也可由線束的交比不變性得到。證法一：面

4、積法，即。證法二：由Ceva定理，由Menelaus定理得到，故，即EHFI為調(diào)和點列。定理5 完全四邊形ABCDEF中，四個三角形AED、ABF、EBC、FDC的外接圓共點，稱為完全四邊形的密克（Miquel）點。證明：設(shè)出兩圓交點，證它在其余圓上即可。圖 SEQ 圖 * ARABIC4定義4 阿波羅尼斯（Apollonius）圓：到兩定點A、B距離之比為定值k（）的點的軌跡為圓，稱為Apollonius圓，為古希臘數(shù)學(xué)家Apollonius最先提出并解決2（注：當k=1時軌跡為AB中垂線也可看成半徑為無窮大的圓）。證明：如圖4由AP=kPB，則在AB直線上有兩點C、D滿足故PC、PD分別為

5、APB的外角平分線，則CPDP，即P點的軌跡為以CD為直徑的圓O(O為CD中點)。（注：解析法亦可證得）顯然圖4中ACBD為調(diào)和點列。定理6 在圖4中，當且僅當PBAB時，AP為圓O的切線。證明：當PBAB時APC=BPC=CDP故AP為圓O的切線，反之亦然。定理7 Apollonius圓與調(diào)和點列的互推如下三個條件由其中兩個可推得第三個：1.PC（或PD）為APB（外）角平分線2. CPPD3.ACBD構(gòu)成調(diào)和點列（證略）定義5 反演：設(shè)A為O（r）平面上點，B在射線OA上，且滿足OA*OB=r*r，則稱A、B以O(shè)為基圓互為反演點。定理8 圖4中，以Apollonius圓為基圓，AB互為反演

6、點。（由定理2（2）即得。）定義6 極線與極點：設(shè)A、 B關(guān)于O（r）互為反演點，過B做OA的垂線l稱為A點對圓O的極線；A點稱為l的極點。3定理9 當A點在O外時，A的極線為A的切點弦。（由定理6即得。）圖 SEQ 圖 * ARABIC5定理10 若A的極線為l，過A的圓的割線ACD交l于B點，則ACBD為調(diào)和點列。證明：如圖5，設(shè)A的切點弦為 PQ，則即ACBD為調(diào)和點列。定理11 配極定理：如圖6，若A點的極線通過另一點D，則D點的極線也通過A。一般的稱A、D互為共軛點。證法一：幾何法，作AFOD于F，則DFGA 共圓，得OF*OD= OG*OA =，由定義6知AF即為D的極線。圖 SE

7、Q 圖 * ARABIC6證法二：解析法，設(shè)圓O為單位圓，A（）, D（），A的極線方程為，由D在其上，得，則A在上，即A在D的極線上。定理12 在圖6中，若A、D共軛，則定義7 調(diào)和四邊形：對邊積相等的圓接四邊形稱為調(diào)和四邊形。（因圓上任意一點對此四點的線束為調(diào)和線束，故以此命名）定理13 圖5中PDQC為調(diào)和四邊形。證明：由定理9的證明過程即得。例題選講例1 如圖7，過圓O外一點P作其切線PA、PB，OP與圓和AB分別交于I、M，DE為過M的任意弦。求證：I為PDE心。（2001年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：其本質(zhì)顯然為Apollonius圓。證明：由定理6知圓O為P、M的Apolloni

8、us 圓，則DI、EI分別為PDE的角平分線，即I為PDE心。圖 SEQ 圖 * ARABIC7例2 如圖8，ABC中，ADBC，H為AD上任一點，則ADF=ADE（1994年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）圖 SEQ 圖 * ARABIC8證明：對完全四邊形AFHEBC，由定理4知FLEK為調(diào)和點列。又ADBC，由定理7得ADF=ADE。圖 9例3 如圖9，完全四邊形ABCDEF中，GJEF與J，則BJA=DJC（2002年中國國家集訓(xùn)隊選拔考試題）證明：由定理4與定理7有BJG=DJG且AJG=CJG，則BJA=DJC。圖 10例4 已知：如圖10，ABC角平分線BE、CF交于I，過I做IQEF交

9、BC于P，且IP=2IQ。求證：BAC=60證明：做AXEF交BC于Y，由定理4知ADID為調(diào)和點列，故，又IP=2IQ，則AX=XY，即EF為AY中垂線，由正弦定理，則AFYC共圓，同理AEYB共圓，故BYF=BAC=CYE=EYF，故BAC=60。圖 SEQ 圖 * ARABIC11例5 如圖11，P為圓O外一點，PA、PB為圓O的兩條切線。PCD為任意一條割線，CF平行PA且交AB于E。求證：CE=EF（2006國家集訓(xùn)隊培訓(xùn)題）證明：由定理10與定理3即得。例6 如圖12，PAB、PCD為圓O割線，AD交BC于E，AC交BD于F，則EF為P的極線。（1997年CMO試題等價表述）證法一

10、：作AEB外接圓交PE于M，則PE*PM=PA*PB=PC*PD，故CDME共圓（其實P為三圓根心且M為PAECBD密克點），從而BMD=BAE+BCD=BOD， BOMD共圓。OMT=OMB+BMT=ODB+BAE=90故M為ST中點，PS*PT= PA*PB=PE*PM，由定理2（3）知E在P極線上，同理F亦然，故EF為P的極線。圖 SEQ 圖 * ARABIC12圖 SEQ 圖 * ARABIC13證法二：如圖13，設(shè)PS、PT為圓O切線。在ABT中，可以得到由塞瓦定理逆定理知ST、AD、BC三線共點于E，同理F亦然，故EF為P的極線。至此，點P在圓O外時，我們得到了P點極線的四種常見的

11、等價定義：1、過P反演點做的OP的垂線。2、過P任意作割線PAB，AB上與PAB構(gòu)成調(diào)和點列的點的軌跡所在的直線。3、P對圓O的切點弦。4、過P任意做兩條割線PAB、PCD，AD、BC交點與AC、BD交點的連線。(注：切線為割線特殊情形，故 3、4是統(tǒng)一的)例7ABC切圓I分別切BC、AB于D、F，AD、CF分別交I于G、H。求證：(2010年東南數(shù)學(xué)奧林匹克)圖 SEQ 圖 * ARABIC14證明：如圖14，由定理13知GFDE為調(diào)和四邊形，據(jù)托勒密定理有GD*EF=2FG*DE，同理HF*DE=2DH*EF相乘得 GD*FH= 4DH*FG又由托勒密定理GD*FH= DH*FG+FD*G

12、H，代入即得圖 SEQ 圖 * ARABIC15例8 已知：如圖15，ABC切圓切BC于D，AD交圓于E，作CF=CD，CF交BE于G。求證：GF=FC（2008年國家隊選拔）證明：設(shè)另兩切點為H、I，HI交BD于J，連JE。由定理10知AEKD為調(diào)和點列，由定理11知AD的極點在HI上，又AD極點在BD上，故J為AD極點；則JE為切線，BDCJ為調(diào)和點列，由CF=CD且JD=JE知CF/JE，由定理3知GF=FC。（注：例8中BDCJ為一組常見調(diào)和點列）例9 如圖16，圓接完全四邊形ABCDEF中AC交BD于G，則EFGO構(gòu)成垂心組（即任意一點是其余三點的垂心）。證明：據(jù)例6知EG，F(xiàn)G共軛

13、，由定理12則OGEF，其余垂直同理可證。圖 SEQ 圖 * ARABIC16注：EFG稱為極線三角形。本題結(jié)論優(yōu)美深刻，初版于1929年的4已有介紹，它涉與到調(diào)和點列、完全四邊形、密克點、極線、Apollonius圓、垂心組等幾何中的核心容。本文開頭提到的2010年聯(lián)賽題為本題的逆命題，熟悉上述容的情況下，采用參考答案的反證法在情理之中：如圖1，設(shè)D不在圓O上，令A(yù)D交圓O于E，CE交AB于P，BE交AC于Q。由例9得PQ/MN；由定理4得MN、AD調(diào)和分割BC，同理PQ亦然，則PQ/MN/BC，從而K為BC中點，矛盾！故ABCD共圓。其實本題也可直接證明，如下：如圖17，由例3得1=2；又

14、K不是BC中點，類似例4證明可得OBJC共圓；M=NJC=BAC，由定理5得J為ABDCMN密克點，則BDM=BJM=BAN故ABDC共圓。圖 SEQ 圖 * ARABIC17以例9為背景的賽題層出不窮，再舉幾例，以饗讀者。例10ADE中，過AD的圓O與AE、DE分別交于B、C，BD交AC于G，直線OG與ADE外接圓交于P。求證：PBD、PAC共心（2004年泰國數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：本題顯然為密克點、Apollonius圓、極線與例9等深刻結(jié)論的簡單組合。證明：如圖16，由定理5與例9知PG互為反演點，據(jù)定理8知圓O為PG的Apollonius圓，由例1知PBD與PAC共心。例11ABC中，D

15、在邊BC上且使得DAC=ABC，圓O通過BD且分別交AB、AD于E、F，DE交BF于G， M為AG中點，求證：CMAO（2009年國家隊選拔）圖 SEQ 圖 * ARABIC18證明：如圖18，設(shè)EF交BC于J。由定理3得AKGL為調(diào)和點列，由定理2（4）有LK*GM=LG*KA，又CAD=ABD=JFD故EJ/CA，則即JG/CM而由例9有JGOA，故CMAO。例9中OGEF對圓外切四邊形亦然。例12 如圖19，設(shè)圓O的外切四邊形AB CD對邊交于 EF，AC交BD交于G，則OGEF。（2009年土耳其國家隊選拔）圖 SEQ 圖 * ARABIC19證明：設(shè)四邊切點為ABCD，AC交BD于G

16、，AB交CD于E，AD交BC于F，由例6知BD、AC極點E、F在EF上，則G與G重合，由例9，即得OGEF。圖 SEQ 圖 * ARABIC20例13 如圖20，ABCD為圓O的外切四邊形，OEAC于E，則BEC=DEC(2006年協(xié)作題夏令營測試題)分析：由定理7知垂直證等角必為調(diào)和點列。證明：如圖20，做出輔助線，由例12知FI、GH、BD共點于M，且為AC的極點，從而OE也過M，且BLDM構(gòu)成調(diào)和點列，由定理7得BEC=DEC。最后我們看一道伊朗題與其推廣例14ABC切圓I切BC于D，AD交I于K。BK、CK交I于E、F，求證：BF、AD、CE三線共點。（2002年伊朗國家隊選拔考試題）分析：本題一般思路為Ceva定理計算，計算量較大。而且有人將其推廣為對AD上任意一點K，都有本結(jié)論成立（如圖21）。推廣題難度極大，網(wǎng)絡(luò)上有人用軟件大量計算獲證，也有高手通過復(fù)雜的計算得證5。其實從調(diào)和點列、極線角度看本題結(jié)論顯然，對推廣題證明如下：圖 SEQ 圖 * ARABIC21證明：如圖21，設(shè)另兩個切點MN交BC于J，由例8得BDCJ為調(diào)和點列，故對AD上K點，由定理1知EF必過J點；由定理4 對完全四邊形BEFCJK必有 CE、BF、AK共點。練習(xí)：1 H是銳角ABC的垂心，以BC為直徑作圓，自A作切線AS、AT。求證：S、H、T三點共線。（1996CMO試題）提示：本題為例