離散數(shù)學(xué):6-2 群的定義_第1頁
離散數(shù)學(xué):6-2 群的定義_第2頁
離散數(shù)學(xué):6-2 群的定義_第3頁
離散數(shù)學(xué):6-2 群的定義_第4頁
離散數(shù)學(xué):6-2 群的定義_第5頁
已閱讀5頁,還剩31頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

1、第六章 群 、環(huán)、域123代數(shù)系統(tǒng)群的定義子群及其陪集567群的同態(tài)及同構(gòu)環(huán)域的特征 素域4多項(xiàng)式有限域86.2.1 半群定義6.2.1 設(shè)G是一個(gè)非空集合,若為G上的二元代數(shù)運(yùn)算,且滿足結(jié)合律,則稱該代數(shù)系統(tǒng)(G, )為半群。 6.2.2 群定義6.2.2 設(shè)(G, )為半群,如果滿足下面條件: (1) G中有一個(gè)元素1,適合對于G中任意元素a,都 有1a = a1 = a; (2) 對于G中任意a,都可找到G中一個(gè)元素a-1,滿足aa-1 = a-1a = 1, 則稱(G, )為群。 元素1稱為G的單位元素,a-1稱為a的逆元素。6.2.3 群 的 性 質(zhì)定理6.2.1 設(shè)(G, )是一個(gè)

2、群,則G中恰有一個(gè)元素1適合1a=a1=a, 而且對于任意a恰有一個(gè)元素a-1適合aa-1=a-1a=1。證明:(反證法)若1和1都是單位元素,則 1=11=1,故1=1。若b和c都是a的逆元素,則 b=b1=b(ac)=(ba)c = 1c = c故b = c. 群的單位元素是唯一的。任意元素的逆也是唯一的。有(a-1)-1=a。定理6.2.2群定義中的條件(1)和(2)可以減弱如下:(1) G中有一個(gè)元素左壹適合1a=a;(2) 對于任意a,有一個(gè)元素左逆a-1適合a-1a=1。 證明:先證aa-1=1。 因?yàn)閍-1=1a-1 = (a-1a)a-1,故a-1= (a-1a)a-1。 由(

3、2), a-1也應(yīng)該有一個(gè)左逆適合ba-1=1。 于是: ba-1=b(a-1a)a-1) =(ba-1)(aa-1) =1(aa-1) = aa-1因此,aa-1=1。再證a1=a。 a1 = a(a-1a) =(aa-1)a = 1a = a證畢。定理6.2.3群定義中的條件(1)和(2)等于下列可除條件:對于任意a,b,有x使x a=b,又有 y使 ay=b。定理6.2.3證明:首先證明在任一群中可除條件成立。取x =ba-1,y=a-1b,即得x a=b,ay=b,故由(1)和(2)可以推出可除條件成立。再證明由可除條件也可以推出(1)、(2),因而可以推出(1),(2)。任取c G,

4、令1為適合x c=c的x ,則1c=c。對于任意aG,有y使cy=a,故1a=1(cy)=(1c)y=cy=a,即(1)成立。關(guān)于(2),令a-1為適合x a=1的x ,則a-1a=1。即(2)成立。 定理6.2.4設(shè)G是一個(gè)群,在一個(gè)乘積a1an中可以任意加括號而求其值。證明: 只要證明任意加括號而得的積等于按次序由左而右加括號所得的積(a1a2)a3)an-1)an (1)(1)式對于n=1,2不成問題;對于n=3,由結(jié)合律也不成問題?,F(xiàn)在對n用歸納法,假定對少于n個(gè)因子的乘積(1)式成立.試證對n個(gè)因子的乘積(1)式也成立。a1an任意加括號而得到的乘積A,求證A等于(1)式。設(shè)在A中最

5、后一次計(jì)算是前后兩部分B與C相乘: A = (B)(C)定理6.2.4設(shè)G是一個(gè)群,在一個(gè)乘積a1an中可以任意加括號而求其值。證明:今C的因子個(gè)數(shù)小于n,故由歸納假設(shè),C等于按次序自左而右加括號所得的乘積(D)an。由結(jié)合律,A=(B)(C)=(B)(D)an)=(B)(D)an。但(B)(D)的因子個(gè)數(shù)小于n,故由歸納假設(shè),(B)(D)等于按次序由左而右加括號所得的乘積(B)(D)=(a1a2)a3)an-2)an-1因而A =(B)(D)an=(a1a2)a3)an-2)an-1)an即A等于(1)式。注意:當(dāng)給出二元運(yùn)算后,若無結(jié)合律,則三個(gè)以上元素的運(yùn)算不一定有意義,本定理對有結(jié)合律

6、的一切代數(shù)系統(tǒng)成立?,F(xiàn)在a1an有意義,當(dāng)它們都相同時(shí),稱n個(gè)a連乘積為a的n次方,記為an。我們規(guī)定a0=1,a-n=(an)-1= (a-1)n對于任意整數(shù)m、n,第一指數(shù)律 aman=am+n第二指數(shù)律 (am)n=amn。定義6.2.3若群(G, )的運(yùn)算適合交換律,則稱(G, )為Abel群或交換群。在一個(gè)Abel群(G,)中,一個(gè)乘積可以任意顛倒因子的次序而求其值。證明:考慮一個(gè)乘積a1an。設(shè)是1,n上的一個(gè)一對一變換,欲證a(1) a(n)=a1an對n用歸納法,n=1時(shí)只有一個(gè)a1,顯然成立,n=2時(shí)a1a2 =a2a1定理顯然成立,假定n-1時(shí)定理成立,試證n時(shí)定理亦成立。

7、設(shè)將a1an中各因子任意顛倒次序而得一式 P = a(1) a(n) 因子an必在P中某處出現(xiàn),因而P可以寫成 P =(P)an(P)定理6.2.5在一個(gè)Abel群(G,)中,一個(gè)乘積可以任意顛倒因子的次序而求其值。證明: P =(P)an(P) P或P中可能沒有元素,但照樣適用以下的論證,由交換律, P=P(anP)=P(Pan)=(PP)an, 現(xiàn)在PP中只有n-1個(gè)元素a1,an-1,只不過次序有顛倒,故由歸納法假定, PP= a1an-1。 因此,P =(PP)an = a1an-1an,從而歸納法完成,定理得證。 定理6.2.5在Abel群中,有第三指數(shù)律:(ab)m=ambm,m為

8、任意整數(shù)。加法群如果群G的運(yùn)算不寫作乘而寫作加+,則G叫做一個(gè)加法群,我們永遠(yuǎn)假定一個(gè)加法群是一個(gè)Abel群: a+b=b+a在乘法群中寫做1的現(xiàn)在寫做0: a+0=a在乘法群中寫做a-1而稱為a的逆的,現(xiàn)在寫做-a而稱為a的負(fù): a+(-a)= 0n為任意整數(shù)時(shí),在乘法群中寫作an而稱為a的n次方的,現(xiàn)在寫做na而稱為a的n倍。三個(gè)指數(shù)律現(xiàn)在成為下面的形式: ma+na= (m+n)a m(na)=(mn)a m(a+b)= ma+mb, 群的其它結(jié)論:(ab)-1= b-1a-1消去律成立其運(yùn)算表中每一行或每一列中的元素互不相同。存在唯一的冪等元1。一元群、二元群、三元群是唯一的,且都是交

9、換群有限半群中必存在冪等元。含有單位元的半群成為獨(dú)異點(diǎn)。6.2.4 置 換 群6.2.4 置換的定義集合A到A上的映射稱為變換。設(shè)M是一個(gè)非空的有限集合,M的一個(gè)一 對一變換稱為一個(gè)置換。設(shè)M=a1,a2,an,則M的置換可以簡記為 bi=(ai), i=1, 2, , n設(shè) ,則稱為n元恒等置換。例 設(shè)M=1,2,3,寫出M的所有置換置換的乘法對M中任意元素a及M的任意兩個(gè)置換、,(a)=(a)。例6.3.2 設(shè) ,求= ?, =?滿足結(jié)合律: ()=(), ,Sn。n元恒等置換是Sn中的單位元素,設(shè)為0,有:0=0 ,Sn。 置換乘法性質(zhì)每個(gè)n元置換在Sn 中都有逆元素。注意!由于一般情況

10、下置換相乘不滿足交換律, 因此,當(dāng)n3時(shí),Sn不是交換群。定理6.2.6n元置換的全體作成的集合Sn對置換的乘法作成一個(gè)群,稱為n 次對稱群。定義6.3.2 設(shè)是M的置換,若可取到M的元素a1, , ar使 (a1)a2, (a2)=a3, , (ar-1)= ar,(ar)= a1,而不變M的其余的元素,則稱為一個(gè)輪換, 記為(a1 a2 ar )當(dāng)然,也可以把a(bǔ)1, , ar中的任意元素ai排在頭一位而改寫成 (ai ai+1 ar a1 ai-1)6.2.5 置換的輪換表法例6.3.3 將輪換 寫成輪換表示 定義6.2.6M的兩個(gè)輪換 =( a1 ar)和=( b1 bs)說是不相雜或不

11、相交,如果 a1, , ar和b1, , bs都不相同。結(jié)論:若和是兩個(gè)不相雜的輪換,則其乘法適合交換律: =證明:設(shè) =( a1 ar) ,=( b1 bs),和不相雜。令x為M的任意元素, (1)若x在a1 ar之內(nèi),不妨設(shè)x =ai, 則(x)=(ai)=(ai)=ai+1, (x)=(ai)=(ai+1)= ai+1 ,若i=r,則ai+1應(yīng)為a1,總之,(x)=(x)。 (2)同樣可以說明,若x在b1 bs之內(nèi),也有(x)=(x)。 (3)設(shè)x不在a1 ar , b1 bs之內(nèi)。于是, (x)=(x)=x,(x)=(x)=x。因此, 在所有情況下,(x)=(x), 故=。 定理6.2

12、.7任意置換恰有一法寫成不相雜的輪換乘積。證明:先證可以寫成不相雜的輪換的乘積,任取a1M。(1)若(a1)= a1,則a1自己就作成一個(gè)輪換。(2)設(shè)(a1)= a2,(a2)= a3,這樣下去,由于M有限,故到某一個(gè)元素ar, 其(ar)必然不再是新元素,即這(ar)必在a1, , ar之內(nèi)。由于是一對一的,我們已有(ai)= ai+1,i=1,2, , r-1,所以(ar)只能是a1。于是我們得到一個(gè)輪換(a1 ar)。 若M已經(jīng)沒有另外的元素,則就等于這個(gè)輪換,否則設(shè)b1不在a1, , ar之內(nèi),則同樣作法又可得到一個(gè)輪換(b1bs)。因?yàn)閍1, , ar各自已有變到它的元素,所以b1

13、, , bs中不會有a1, , ar出現(xiàn),即這兩個(gè)輪換不相雜。若M的元素已盡,則就等于這兩個(gè)輪換的乘積,否則如上又可得到一個(gè)輪換。如此類推,由于M有限,最后必得=(a1 ar)(b1bs)(c1ct) (1)即表成了不相雜的輪換的乘積。今證表法唯一,設(shè)又可表為不相雜的輪換的乘積如下: =(a1ar)(b1bs)(c1ct) (2)試看(1)式中的任意輪換,例如(a1ar)。 a1必出現(xiàn)在(2)式中的某個(gè)輪換之內(nèi),例如(a1ar)。由于一個(gè)輪換中任意元素都可排在頭一位,不妨假定a1a。于是,a2=(a1)=(a1)=a2 ,a3=(a2)=(a2)=a3,如此類推,可見(a1ar)必和(a1ar

14、)完全相同,這就是說,(1)中的任意輪換必出現(xiàn)在(2)中,同樣(2)中的任意輪換必出現(xiàn)在(1)中,因之, (1)和(2)一樣,最多在排列方法不同,但不相雜的輪換相乘適合交換律,所以排列的次序本來是可以任意顛倒的。例6.2.7設(shè)M的元數(shù)為4,于是M的24個(gè)置換可以寫成下面的形式:I(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4);(1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2),(1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3);(1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4),(1 3 4 2), (1 4 2

15、 3), (1 4 3 2);(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)。設(shè)(a1a2ar)為一輪換,我們稱r為該輪換的長度,一輪換的長度也就是其中所含的元素個(gè)數(shù)。長度為的輪換稱為對換。任意輪換可以寫成對換的乘積,:(a1a2ar)(a1ar)(a1ar-1)(a1 a3)(a1a2) (3)推論對任意n元置換(n1),有一法(但未必只有一法)可將其寫成一些對換的乘積。這里,諸對換已非不相雜。而且,表法也不唯一。(1 2)=(1 2)(1 3)(1 3)=(2 3)(1 3)(2 3)。置換的奇偶性設(shè)表為k個(gè)不相雜的輪換的乘積,這些輪換的長度分別為r1,r2,rk。視 (計(jì)k時(shí)包括長度為1的輪換在內(nèi))為奇或?yàn)榕?我們說是一個(gè)奇置換或偶置換。由前面的定理6.2.7及公式(3),我們知道這樣的可表為個(gè)對換的乘積,于是,奇置換可表為奇數(shù)個(gè)對換之積,偶置換可表為偶數(shù)個(gè)對換之積.定理每個(gè)置換都能分解為對換的乘積, 但偶置換只能分解為偶數(shù)個(gè)對換的乘積, 奇置換只能分解為奇數(shù)個(gè)對換的乘積。偶偶=偶 奇奇=偶偶奇=偶 奇偶=偶例寫出S3中所有的置換,并指出奇、偶置換寫出S4中所有的置換,并指出奇、偶置換M的元數(shù)為4,S4包含如下的元素:I(1 2

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論