數(shù)理方程第 3 章 3.3 積分變換法

1、13.3 積分變換法3.3.1 積分變換及其性質(zhì)若函數(shù)在上連續(xù)可導，且絕對可積，則有傅里葉變換及其傅里葉逆變換若函數(shù)在上不超過指數(shù)增長，則定義它的拉普拉斯變換為2可用留數(shù)定理求得：設除在半平面內(nèi)只有限孤立奇點拉普拉斯逆變換記為外是解析的，且當時，則有3積分變換有下述基本性質(zhì)：(1)線性性質(zhì)(2)微分定理1其中是任意常數(shù)。若都可進行傅里葉變換(拉普拉斯變換)，且在無窮遠處為0，4(3)微分定理2(4)卷積定理若則有傅里葉變換拉普拉斯變換如果的卷積可作傅里葉變換，則從而對于拉普拉斯變換也有同樣的卷積定理。5(5)頻移定理(位移定理)(6)延遲定理傅里葉變換拉普拉斯變換傅里葉變換拉普拉斯變換若則有若

2、則有對變換的參變量而言對變換的自變量而言其中可簡化為6證明拉普拉斯變換的延遲定理若則有其中證明由拉氏變換的定義知令則上式變?yōu)樽筮?右邊7補充函數(shù)的定義及性質(zhì)(一)函數(shù)的定義：函數(shù)是從某些物理現(xiàn)象中抽象出來的數(shù)學模型，例如：力學中瞬間作用的沖擊力，原子彈、氫彈的爆炸等，這些物理現(xiàn)象有個共同特點，即作用時間極短，但作用強度極大。滿足以下兩個條件的函數(shù)(沖激函數(shù))(1)(2)若沖激作用不是發(fā)生在處，而是發(fā)生在處，則函數(shù)記為且滿足8(二)函數(shù)的性質(zhì)：補充函數(shù)的定義及性質(zhì)(1)抽樣性質(zhì)：(2)對稱性：特別的，為偶函數(shù)，則有特別的，自然也有9例1求函數(shù)的傅里葉變換，其中是與自變量無關(guān)的數(shù)。解由定義知利用函

3、數(shù)的性質(zhì)則有同理可得10利用和傅里葉變換的線性性可得從而有公式11例2求的傅里葉變換，其中解由定義知由例2結(jié)論可得12例3求的傅里葉逆變換，其中解由定義知對求導，并利用一次分部積分得13例3求的傅里葉逆變換，其中解利用歐拉(Euler)積分公式知由例3結(jié)論可得14例4求的傅里葉逆變換，其中解由定義知由例4結(jié)論可得15幾類常見的傅里葉變換或逆變換1.2.3.4.5.16幾類常見的拉普拉斯變換或逆變換1.3.4.特別的，2.5.6.延遲定理的逆變換形式17幾類常見的拉普拉斯變換或逆變換8.7.余誤差函數(shù)事實上，拉氏變換微分定理118例5用拉普拉斯變換求解記對方程兩邊作解拉普拉斯變換得因此對上式作拉

4、普拉斯逆變換得193.3.2 積分變換法舉例積分變換法的優(yōu)點在于把原方程化為較簡單的形式，便于求解。在應用上，對于初值問題通常采用傅氏變換(針對空間變量)，而對于帶有邊界條件的定解問題，則采用拉氏變換(針對時間變量的)。例1求解下列問題的解(37)(38)解首先對進行傅氏變換，記20例1求解下列問題的解(37)(38)解首先對進行傅氏變換，記對方程(37)兩端關(guān)于取傅氏變換，得(39)它滿足初值條件(40)為了求解常微分方程初值問題(39)(40)，記21例1求解下列問題的解(37)(38)解(39)(40)為了求解常微分方程初值問題(39)(40)，記對方程(39)兩端關(guān)于取拉氏變換，并結(jié)合

5、條件(40)得22例1求解下列問題的解(37)(38)對方程(39)兩端關(guān)于取拉氏變換，并結(jié)合條件(40)得(41)對式(41)兩邊取拉氏逆變換，得23例1求解下列問題的解(37)(38)對式(41)兩邊取拉氏逆變換，得(42)為了求出問題(37)(38)的解，還需要對取傅氏逆變換。24例1求解下列問題的解(37)(38)(42)對(42)式兩端取傅氏逆變換，得利用卷積定理得25例1求解下列問題的解(37)(38)利用結(jié)論可知則可得26例1求解下列問題的解(37)(38)則可得即得原定解問題的解。27例2試用傅氏變換求解下列問題的解(43)解將(43)各式的兩端關(guān)于進行傅氏變換，記假定則得(4

6、4)問題(44)式帶參數(shù)的常微分方程的初值問題，其解為28例2試用傅氏變換求解下列問題的解(43)(45)對式(45)取傅氏逆變換(46)利用結(jié)論29例2試用傅氏變換求解下列問題的解(43)利用結(jié)論因此可得(46)30例2試用傅氏變換求解下列問題的解(43)利用結(jié)論因此可得(46)將所得結(jié)果代入(46)式，得原問題(43)的解為31例3求解下列問題的解(47)解將(47)各式的兩端關(guān)于分別作傅氏變換，記則(47)化為解問題(48)得(48)32例3求解下列問題的解(47)對上式取傅氏逆變換得利用結(jié)論(49)即得原問題(47)的解為33例4求解下列問題的解(50)解將(50)(52)(53)的兩

7、端對分別作拉氏變換，記則問題(50)-(53)化為(51)(52)(53)(54)(55)(56)34是一個充分大的正數(shù)。(54)(55)(56)其中方程(54)的通解為則問題(50)-(53)化為(57)由條件(56)知再由條件(55)知于是有對式(57)作拉氏逆變換，得(58)35(50)(51)(52)(53)(58)首先利用結(jié)論則有36(50)(51)(52)(53)(58)再利用拉氏變換的微分定理1則有37(50)(51)(52)(53)(58)于是，原問題(50)-(53)的解為38例5求解半無界弦的自由振動問題(59)解將(59)(61)的兩端對分別作拉氏變換，記則問題(59)-

8、(61)化為(60)(61)(62)(63)其中為已知函數(shù)(滿足拉氏變換條件)，且39方程(62)的通解為(62)(63)由條件(63)知于是有對上式取拉氏逆變換，得(64)利用拉氏變換的延遲定理的逆變換形式40(64)利用拉氏變換的延遲定理的逆變換形式可知則(64)式可化為即得半無界弦的自由振動問題(59)-(61)的解。41例6求解解顯然，對作拉氏變換，記則問題(65)可化為(65)(66)(67)方程(66)的通解為42由條件(67)知于是有(66)(67)方程(66)的通解為對上式取拉氏逆變換，則得問題(65)的解此解與用分離變量法求得的解是完全一樣的。43(3)(4)(18)1無限長弦自由振動問題的達朗貝爾解為公式(13)其中方程(3)的通解形式為行波法或達朗貝爾解法本章小結(jié)4