第2章--復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)

1、第二章 復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)2.1 復(fù)變函數(shù)一. 復(fù)變函數(shù)的概念1.定義: 復(fù)變函數(shù): 設(shè)G是復(fù)平面一點(diǎn)集,若對于G中任一點(diǎn) z按照某種對應(yīng)法則,有確定的(一個(gè)或 多個(gè))復(fù)數(shù)w與之對應(yīng),則稱w是定義在 G上的復(fù)變函數(shù),簡稱復(fù)變函數(shù), 記作w=f(z). 其中z稱為自變量,w稱為因變量. (定義域與值域可從高等數(shù)中移植過來)2.分類:單值函數(shù):若對每一zG,有惟一w同其對應(yīng) 則稱w=f(z)為單值函數(shù); 多值函數(shù):不是單值函數(shù)的函數(shù).3.注: 設(shè)z=x+iy,w=u+iv,則w=f(z)可寫成 W=f(z)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y) 其中U(x,y)與v(x,y)為實(shí)值函數(shù). 分開上

2、式的實(shí)部與虛部,得 u=u(x,y), v=v(x,y) (1)w=f(z)相當(dāng)于一對二元實(shí)函數(shù) (2)其性質(zhì)取決于u=u(x,y)與v=v(x,y)的性質(zhì). 例1 將定義在復(fù)平面上的復(fù)變函數(shù) 化為一對二元實(shí)變函數(shù). 解 設(shè) ， ,代入 得 比較實(shí)部與虛部得 ， 例2 將定義在復(fù)平面除原點(diǎn)區(qū)域上的一對二 元實(shí)變函數(shù) ， （ ） 化為一個(gè)復(fù)變函數(shù). 解 設(shè) ， ， 則將 ， 以及得 二.復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性1.極限:1)定義 設(shè)函數(shù)f(z) 在 的去心鄰域內(nèi)有定義，若對任意給定的正數(shù) （無論它多么?。┛偞嬖谡龜?shù) ，使得適合不等式 的所有z，對應(yīng)的函數(shù)值f(z)都滿足不等式則稱復(fù)常數(shù)A為函數(shù)f(

3、z)當(dāng) 時(shí)的極限，記作 或 2) 注 1) z可以任意方式趨近于 . 2)與在 處有無定義無關(guān)3)運(yùn)算法則:類似于實(shí)函數(shù)極限的運(yùn)算法則. 例 4)計(jì)算方法:可歸結(jié)為求二元實(shí)函數(shù)對的極限.定理 設(shè) ， 則 的充分必要條件為: 注:求極限方法種類：1、轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)的極限問題.2、按一元函數(shù)f(z)求極限方法計(jì)算。 例1 試求下列函數(shù)的極限.（1） 解: 法1 設(shè) ，則 ，且 得 法2 (2) 解 2.連續(xù) 1)定義: 設(shè)f(z)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義,若 ,則稱函數(shù)f(z)在點(diǎn) 處連續(xù). 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù),則稱函數(shù)f(z) 在區(qū)域D內(nèi)連

4、續(xù). 注:連續(xù)的條件: (1) 在 處有定義; (2) 處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值. 2)連續(xù)充要條件: 定理 函數(shù) ,在 處連續(xù)的充要條件是 和 都 在點(diǎn) 處連續(xù). 3)連續(xù)函數(shù)性質(zhì): 在 連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)f(z)與g(z)的和,差,積,商(分母在 不為0)在 處連續(xù); 若函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，函數(shù) 在 連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在 處連續(xù)（證略）.例3 求解: 因?yàn)?在點(diǎn) 處連續(xù)，故 2.2 解析函數(shù)一. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.定義1 設(shè)函數(shù)f(z)在包含 的某區(qū)域 D內(nèi)有定義,當(dāng)變量z在點(diǎn) 處取得增量 時(shí),相應(yīng)地，函數(shù)f(z)取得增量若極限 存在有限的極限值A(chǔ),則稱 f(z)在點(diǎn) 處可導(dǎo),A記作 或 即

5、: 如果函數(shù)f(z),區(qū)域每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱f(z)在D內(nèi)可導(dǎo). 定義2: 也稱 為f(z)在 處的微分,故也稱f(z)在 處可微.2. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 若函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，則 在點(diǎn) 處必連續(xù).反之不一定.3.用定義求導(dǎo)的步驟 1)求增量比; 2)求增量比的極限.例1 求 的導(dǎo)數(shù). 二.解析函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則1. 解析函數(shù)的定義1) 點(diǎn)處解析: 如果f(z)不僅在點(diǎn) 處可導(dǎo),且在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)的處處可導(dǎo),則稱f(z)在點(diǎn) 處解析;2)解析點(diǎn):稱點(diǎn) 是f(z)的解析點(diǎn)；3)解析函數(shù):如果f(z)在D內(nèi)每一點(diǎn)都解析,則稱f(z)在D內(nèi)解析或稱f(z)為D內(nèi)的解析函數(shù).4)奇點(diǎn):如果f(z)在

6、點(diǎn) 處不解析,則稱 為f(z)的奇點(diǎn).4)注: 1)凡說到函數(shù)解析總指函數(shù)在某個(gè)區(qū)域上處處有導(dǎo)數(shù); 2)可導(dǎo)與解析關(guān)系: 函數(shù)在一點(diǎn)處解析,則一定在該點(diǎn)可導(dǎo),反之不一定. 例2 討論函數(shù) 的解析性. 解 由例1知， 在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)處處 可導(dǎo)且 ，則由函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)解析 的定義可知，函數(shù) 在整個(gè)復(fù)平面上 解析. 例3 討論函數(shù) 的解析性. 2.求導(dǎo)法則(同實(shí)變函數(shù))1)四則運(yùn)算法則:（以下出現(xiàn)的函數(shù)均假設(shè)可導(dǎo)）： （1） 其中 為復(fù)常數(shù)； （2） 其中 為正整數(shù)； （3） ； (4) (5) ；2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則: 3)反函數(shù)求導(dǎo)法則: 是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且 .例4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

7、.（1） （2） 解(1) （2） 例5 設(shè) .解 因?yàn)?所以 3. 解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（1）若函數(shù)f(z)和g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則 、 、 在 D內(nèi)也解析；（2）若函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)解析，而 在區(qū)域 內(nèi)解析，且 ，則復(fù)合函數(shù) 在 內(nèi)也解析，且.三.函數(shù)解析的充要條件1.f(z)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件 1) 定理函數(shù) 在z=x+iy處可導(dǎo) 的充要條件是 （1）可微； （2）滿足柯西黎曼方程(簡稱CR方程): 證: (略)2)求導(dǎo)公式 由證明過程知,當(dāng)定理?xiàng)l件滿足時(shí),f(z)的導(dǎo)數(shù)為:3)注: C-R條件僅是可導(dǎo)的必要條件而非充分條件.2.f(z)在D內(nèi)解析的充要條件1)定理 函數(shù) 在D內(nèi)解析

8、的充要條件為,u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)處處可微,且滿足C-R方程.2)推論 設(shè)f(z)在D內(nèi)有定義,若在D內(nèi)u(x,)和v(x,y)的 四個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 存在且連續(xù),并且滿足 C-R方程,則在內(nèi)解析.3)結(jié)論: (1)f(z)在D內(nèi)不滿足C-R方程,則f(z)不解析; (2)滿足C-R方程且有一階連續(xù)偏導(dǎo),則f(z)解析; 例2 討論函數(shù) 的可導(dǎo)性，并求其導(dǎo)數(shù).解 由 得 則 顯然，在復(fù)平面內(nèi) 和 的偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，且即和處處滿足CR條件且處處可微，所以，在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)且 .例3 討論函數(shù) 的可導(dǎo)性.解 因?yàn)?得 顯然， 、 處處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，但僅當(dāng) 時(shí)， 、 滿足CR條件.因此，

9、 僅在點(diǎn) 處可導(dǎo).例4 證明 在復(fù)平面上不可微.證 由于 ，于是，從而 顯然，對復(fù)平面上任意一點(diǎn) ， 都不滿足CR條件，所以 在整個(gè)復(fù)平面上不可微.例5 討論下列函數(shù)的解析性. （1） ； （2） ；（3） .解 （1）設(shè)因?yàn)?且這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，故在復(fù)平面上處處解析.（2）因?yàn)?，設(shè) ，而 所以 在復(fù)平面上處處不解析(3)因?yàn)?設(shè) 這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)雖然處處連續(xù)，但CR條件僅在原點(diǎn)處成立，因而函數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)處可導(dǎo)，其它點(diǎn)不可導(dǎo)，可知該函數(shù)在復(fù)平面上處處不解析. 2.3 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一.調(diào)和函數(shù)的概念1.定義: 若二元函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足二維拉普拉斯方程

10、則稱 為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).例: 是調(diào)和函數(shù)2.解析函數(shù)實(shí)部,虛部特點(diǎn): 設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析,則f(z)的實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).注:定理反之不成立.二.共軛調(diào)和函數(shù)1.定義: 設(shè)函數(shù) 及 均為在區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù),且滿足C-R方程 則稱 是 的共軛調(diào)和函數(shù).2.注: 1) 是 的共軛調(diào)和函數(shù),反之不一定; 2)只有當(dāng)且僅當(dāng)該二函數(shù)為常數(shù)時(shí),才互為共軛. 1.函數(shù)在D內(nèi)解析的充要條件(定理): f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是:在D內(nèi),f(z)的虛部v(x,y)是實(shí)部u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).2

11、.定理作用: 可利用一個(gè)調(diào)和函數(shù)和其共軛調(diào)和函數(shù)作出一解析函數(shù).四.由調(diào)和函數(shù)構(gòu)造解析函數(shù)方法1.偏積分法:(求共軛調(diào)和函數(shù)方法)步驟(1)由已知調(diào)和函數(shù)u(x,y)求其偏導(dǎo); (2)利用C-R方程求出其共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)的偏導(dǎo); (3)利用積分求v(x,y); (4)利用已知條件求常數(shù).例1:驗(yàn)證 是調(diào)和函數(shù),并求以u(x,y)為實(shí)部的解析函數(shù)f(z),使之適合f(0)=i.2.不定積分法:步驟 (1)由已知調(diào)和函數(shù)u(x,y),利用求導(dǎo)公式 求出 (2)利用 將 化為復(fù)數(shù)表示形式;(3)由 利用不定積分公式求出f(z).例2:利用不定積分法求出例1的解析函數(shù).例3:求一解析函數(shù)f(z

12、),使其虛部為 且滿足條件f(0)=1.2.3 初等函數(shù)一. 指數(shù)函數(shù)1.定義: 復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)定義為 注:2.歐拉公式: 3.性質(zhì)：總有 0 指數(shù)函數(shù)在整個(gè)有限平面內(nèi)都有定義,且處處不為零(2) (3) 指數(shù)函數(shù)是以 為周期的周期函數(shù)(4)在整個(gè)復(fù)平面上解析,且有 (5) 當(dāng)z趨于無窮時(shí)沒有極限. 例1:計(jì)算例2:解方程二 對數(shù)函數(shù)1.定義: 若 ,則稱 是 的對數(shù)函數(shù), 記作 2.特點(diǎn): 對數(shù)函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù),每一個(gè) 對應(yīng)著多個(gè) 的值.3.主值:若令 ,則上式中的多值函數(shù)便成為了單值函數(shù),則稱這個(gè)單值函數(shù)為多值函數(shù) 的主值，記作 ，即 例3 求 .解 -1的模為1，其輻角的主值為 ，

13、而 又i的模為1,而其輻角的主值為 ， 4.性質(zhì)： 1)運(yùn)算性質(zhì) (1) (2) 理解:對于左端的多值函數(shù)的任取定的一值,一定有 右端的兩多值函數(shù)的各一值,其和與該值對應(yīng).注: 不再成立,其中n1的正整數(shù). 2)解析性質(zhì) (1) 在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)解析,且 (2) 的各個(gè)分支也在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)解析.三. 冪函數(shù)1.定義 設(shè) 為任意復(fù)常數(shù)，定義一般冪函數(shù)為2.規(guī)定 當(dāng) 為正實(shí)數(shù),且z=0時(shí),3.特點(diǎn) 它是指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù),是多值函 數(shù),(因 是多值的). ）；4.幾種特殊情形：(1)當(dāng) 為正整數(shù)時(shí)， 是一單值函數(shù);(2)當(dāng) 為零時(shí),(3)當(dāng) (n為正整數(shù))時(shí),是一n值函數(shù);）；(4)當(dāng) 為有理數(shù) 時(shí)(p,q為互質(zhì)的整,q0)時(shí), 是q值函數(shù),有q個(gè)不同的分支.(5)當(dāng) 為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)， 有無窮多個(gè)值. 例:.5.解析性： 由于Lnz的各分支在除原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)是解析的,故 的相應(yīng)分支在除原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸平面內(nèi)也是解析的, ；例2 求 .解 例3 求 .解 例4 求 .解 所以 的三個(gè)值分別為.四. 三角函數(shù)1.定義: 設(shè) 為任一復(fù)變量，稱 與 分別為復(fù)變量 的正弦函 數(shù)與余弦函數(shù)，分別記為 與 ，即 =， 2.cosz, sinz的性質(zhì): (1) cosz及sin