2022屆北京北師特學校高考數(shù)學考前最后一卷預(yù)測卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的，則該幾何體的體積為( )ABC6D與點O的位置有關(guān)2已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前 項和，則（ ）ABCD3若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（ ）A

2、2BCD4為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計繪制如圖，其中各項統(tǒng)計不重復(fù)若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）A該市總有 15000 戶低收入家庭B在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶C在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶D在該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有 800 戶5已知集合，若，則（ ）A4B4C8D86高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域為（ ）ABCD7已知正項等比數(shù)列的前項和為

3、，且，則公比的值為（）AB或CD8已知為等腰直角三角形，為所在平面內(nèi)一點，且，則（ ）ABCD9已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關(guān)于直線對稱的點在的圖像上，則的取值范圍是( )ABCD10已知集合，則( )ABCD11若雙曲線：的一條漸近線方程為，則（ ）ABCD12在空間直角坐標系中，四面體各頂點坐標分別為：假設(shè)螞蟻窩在點，一只螞蟻從點出發(fā)，需要在，上分別任意選擇一點留下信息，然后再返回點那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知點是拋物線上動點，是拋物線的焦點，點的坐標為，則的最小值為_14已知，滿足約束條件，則的最小值

4、為_.15在的二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為1024，則展開式常數(shù)項的值等于_16已知關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解，則實數(shù)的取值范圍是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，直線y=2x-2與拋物線x2=2py(p0)交于M1,M2兩點，直線y=p2與y軸交于點F，且直線y=p2恰好平分M1FM2.（1）求p的值；（2）設(shè)A是直線y=p2上一點，直線AM2交拋物線于另一點M3，直線M1M3交直線y=p2于點B，求OAOB的值.18（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等

5、的長度單位，建立極坐標系.（1）設(shè)直線l的極坐標方程為，若直線l與曲線C交于兩點AB，求AB的長；（2）設(shè)M、N是曲線C上的兩點，若，求面積的最大值.19（12分）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程20（12分）已知點，直線與拋物線交于不同兩點、，直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、，連接，點關(guān)于直線的對稱點為點，連接、（1）證明：；（2）若的面積，求的取值范圍21（12分）在等比數(shù)列中，已知，.設(shè)數(shù)列的前n項和為，

6、且，（，）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）是否存在等差數(shù)列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.22（10分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且過點.求橢圓的方程；已知是橢圓的內(nèi)接三角形，若點為橢圓的上頂點，原點為的垂心，求線段的長；若原點為的重心，求原點到直線距離的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體，是

7、由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構(gòu)成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，頂點O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時也考查了等差數(shù)列求和，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3B【解析】由題中垂直關(guān)系，可得漸近線的方程，結(jié)合，構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直雙曲線的漸近線方程

8、為，得則離心率故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，考查了學生綜合分析，概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.4D【解析】根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.【詳解】解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%，則該市總有低收入家庭9006%15000（戶），A正確，該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1500012%1800（戶），B正確，該市無業(yè)人員中，低收入家庭有1500029%4350（戶），C正確，該市大于18 歲在讀學生中，低收入家庭有150004%600（戶），D錯誤故選：D.【點睛】本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認識和分析，這類題要認真分析

9、圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5B【解析】根據(jù)交集的定義，可知，代入計算即可求出.【詳解】由，可知，又因為，所以時，解得.故選：B.【點睛】本題考查交集的概念，屬于基礎(chǔ)題.6B【解析】利用換元法化簡解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因為（），所以，令（），則（），函數(shù)的對稱軸方程為，所以，所以，所以的值域為.故選：B【點睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應(yīng)用意識.7C【解析】由可得，故可求的值.【詳解】因為，所以，故，因為正項

10、等比數(shù)列，故，所以，故選C.【點睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3） 為等比數(shù)列（ ）且公比為.8D【解析】以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結(jié)合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.9D【解析】根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個不同的交點；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利

11、用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當時，與有且僅有四個不同的交點設(shè)，則，解得：設(shè)，則，解得：，則本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點個數(shù)的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合的方式來進行求解.10C【解析】解不等式得出集合A，根據(jù)交集的定義寫出AB【詳

12、解】集合Ax|x22x30 x|1x3，故選C【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎(chǔ)題11A【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為，可化為，則，解得.故選：A【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.12C【解析】將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊易求得，由，知，由余弦定理知其中，故選：C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【

13、解析】過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當和拋物線相切時，的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點的坐標，從而求得的最小值.【詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為，過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當最小時，的值最小.設(shè)切點，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為，求得，可得，.故答案為：.【點睛】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.14【解析】作出約束條件所表示的可行域，利用直線截距的幾何意義，即可得答案.【詳解】畫出可行域易知在點處取最小值為.故答案為：【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃

14、的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】利用展開式所有項系數(shù)的和得n=5,再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】因為的二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為4n=1024, n=5,故的展開式的通項公式為Tr+1=C35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項為T5=C3=15,故填15.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用、二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于中檔題.16【解析】先換元，令，將原方程轉(zhuǎn)化為，利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像交點，觀察圖像，即可求出【詳解】因為關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解，令，所以方程在 上只有一解，即有 ，直

15、線與 在的圖像有一個交點，由圖可知，實數(shù)的取值范圍是，但是當時，還有一個根，所以此時共有3個根.綜上實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查學生運用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點問題，是常見的轉(zhuǎn)化方式三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）p=4；（2）OAOB=20.【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程y=2x-2x2=2py，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由于直線y=p2平分M1FM2，所以kM1F+kM2F=0，代入點的坐標化簡得4-(2+p2)x1+x2x1x2=0，結(jié)合跟魚系數(shù)關(guān)系，可求得p=4；（2）設(shè)M3(x3,x

16、328)，A(t,2)，B(a,2)，由A,M2,M3,三點共線得kM2M3=kAM2，再次代入點的坐標并化簡得x2x3-t(x2+x3)=-16，同理由B,M3,M1三點共線，可得x1x3-a(x1+x3)=-16，化簡得at=16，故OAOB=at+4=16+4=20.試題解析：（1）由y=2x-2x2=2py，整理得x2-4px+4p=0，設(shè)M1(x1,y1)，M2(x2,y2)，則=16p2-16p0 x1+x2=4px1x2=4p，因為直線y=p2平分M1FM2，kM1F+kM2F=0，所以y1-p2x1+y2-p2x2=0，即2x1-2-p2x1+2x2-2-p2x2=0，所以4-

17、(2+p2)x1+x2x1x2=0，得p=4，滿足0，所以p=4.（2）由（1）知拋物線方程為x2=8y，且x1+x2=16x1x2=16，M1(x1,x128)，M2(x2,x228)，設(shè)M3(x3,x328)，A(t,2)，B(a,2)，由A,M2,M3,三點共線得kM2M3=kAM2，所以x2+x38=x228-2x2-t，即，整理得：x2x3-t(x2+x3)=-16，由B,M3,M1三點共線，可得x1x3-a(x1+x3)=-16，式兩邊同乘x2得：x1x2x3-a(x1x2+x2x3)=-16x2，即：16x3-a(16+x2x3)=-16x2，由得：x2x3=t(x2+x3)-1

18、6，代入得：16x3-16a-ta(x2+x3)+16a=-16x2，即：16(x2+x3)=at(x2+x3)，所以at=16.所以O(shè)AOB=at+4=16+4=20.考點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.【方法點晴】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.閱讀題目后明顯發(fā)現(xiàn)，所有的點都是由直線和拋物線相交或者直線與直線相交所得.故第一步先聯(lián)立y=2x-2x2=2py，相當于得到M1,M2的坐標，但是設(shè)而不求.根據(jù)直線y=p2平分M1FM2，有kM1F+kM2F=0，這樣我們根據(jù)斜率的計算公式k=y2-y1x2-x1，代入點的坐標，就可以計算出p的值.第二問主要利用三點共線來求解.18（1）；（2）1.【

19、解析】（1）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；（2），由（1）通過計算得到，即最大值為1.【詳解】（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為，即；再將，代入上式，得，故曲線C的極坐標方程為，顯然直線l與曲線C相交的兩點中，必有一個為原點O，不妨設(shè)O與A重合，即.（2）不妨設(shè)，則面積為當，即取時，.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化，三角形面積的最值問題，是一道容易題.19（1）點M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓（2）【解析】（1）設(shè)，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓；（2）設(shè)，與

20、橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標運算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進而得到最終結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則由知：點在圓上 點的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓（2）設(shè)，由題意知的斜率存在設(shè)，代入得：則，解得：設(shè)，則四邊形為平行四邊形又 ，消去得： 頂點的軌跡方程為【點睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動點橫縱坐標滿足的關(guān)系式，進而通過化簡整理得到結(jié)果；易錯點是求得軌跡方程后，忽略的取值范圍.20（1）見解析；（2）【解析】（1）設(shè)點、，求出直線、的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出

21、點、的坐標，利用直線、的斜率相等證明出；（2）設(shè)點到直線、的距離分別為、，求出，利用相似得出，可得出的邊上的高，并利用弦長公式計算出，即可得出關(guān)于的表達式，結(jié)合不等式可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)點、，則，直線的方程為：，由，消去并整理得，由韋達定理可知，代入直線的方程，得，解得，同理，可得，,代入得，因此，；（2）設(shè)點到直線、的距離分別為、，則，由（1）知，同理，得，由，整理得，由韋達定理得，得，設(shè)點到直線的高為，則，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查直線與直線平行的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理、弦長公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題21（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數(shù)列，其通項公式為，滿足題設(shè)【解析】（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數(shù)列的遞推公式，即可知結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）