ch8時(shí)間序列模型

1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) EconometricsChapter8時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型Time Series Econometrics Models8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn) Stationary Time Series8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型 Stochastic Time Series Model8.3 協(xié)整與誤差修正模型 Cointegration and Error Correction Model7/12/20228.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time SeriesChapter8時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型Time Series Econometrics Model

2、s7/12/20228.1.1時(shí)間序列模型8.1.2非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型8.1.3時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性8.1.4平穩(wěn)性的圖示判斷8.1.5平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)8.1.6單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/20228.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series時(shí)間序列：就是各種社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、自然現(xiàn)象的數(shù)量指標(biāo)按照時(shí)間序列排列起來(lái)的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)時(shí)間序列模型：就是揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。時(shí)間序列模型分確定性模型和隨機(jī)模型兩大類(lèi)8.1.1時(shí)間序列模型時(shí)間序列分析方法由B

3、ox-Jenkins (1976) 年提出。它適用于各種領(lǐng)域的時(shí)間序列分析。 這種建模方法不以經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù),而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律,利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化。 明確考慮時(shí)間序列的非平穩(wěn)性。如果時(shí)間序列非平穩(wěn),建立模型之前應(yīng)先通過(guò)差分把它變換成平穩(wěn)的時(shí)間序列,再考慮建模問(wèn)題 7/12/20228.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time SeriesXt=Xt-1+ t 這里, t特指一白噪聲,(3)自回歸移動(dòng)平均模型ARMA(p,q) Autoregressive moving-average model（1）k階自回歸模型（Autoregressive Mode

4、l AR(p)（2） q階移動(dòng)平均模型 （Moving Average Model MA(q) ）p=1時(shí)：7/12/20228.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series8.1.2非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型常見(jiàn)的數(shù)據(jù)類(lèi)型到目前為止,經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-series data)；截面數(shù)據(jù)(cross-sectional data)平行/面板數(shù)據(jù)（panel data/time-series cross-section data) 時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見(jiàn),也是最常用到的數(shù)據(jù)。7/12/2022經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)

5、的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn),大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷根底“一致性要求被破壞。經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變量放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量,則需進(jìn)一步要求：(1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 不相關(guān)Cov(X,)=0依概率收斂：(2)第（1）條是OLS估計(jì)的需要第（2）條是為了滿(mǎn)足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一致性特性：經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)）,則（2）不成立,回歸估計(jì)量不滿(mǎn)足“一致性,基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。因此：注意：在雙變量模型中：8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stati

6、onary Time Series7/12/2022 表現(xiàn)在:兩個(gè)本來(lái)沒(méi)有任何因果關(guān)系的變量,卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)： 例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢(shì)（非平穩(wěn)的）,即使它們沒(méi)有任何有意義的關(guān)系,但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中： 情況往往是實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的,而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣,仍然通過(guò)經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析,一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn),往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸問(wèn)題8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 時(shí)間序列分析

7、模型方法就是在這樣的情況下,以通過(guò)揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而開(kāi)展起來(lái)的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。 時(shí)間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容,并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測(cè)當(dāng)中。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/20228.1.3時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 時(shí)間序列分析中首先遇到的問(wèn)題是關(guān)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問(wèn)題。假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過(guò)程（stochastic process）生成的,即假定時(shí)間序列Xt（t=1, 2, ）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到,如果滿(mǎn)足以下條件： (1)均值E(Xt)=是與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù) (2)方

8、差Var(Xt)=2是與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù) (3)協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只與時(shí)期間隔k有關(guān),與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù) 則稱(chēng)該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的（stationary),而該隨機(jī)過(guò)程是一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（stationary stochastic process）8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 例8.1.1一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列： Xt=t , tN(0,2) 例8.1.2另一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱(chēng)為隨機(jī)游走（random walk）,該序列由如下隨機(jī)過(guò)程生成： Xt=Xt-1+t這里

9、, t是一個(gè)白噪聲。該序列常被稱(chēng)為是一個(gè)白噪聲（white noise）。 由于Xt具有相同的均值與方差,且協(xié)方差為零,由定義,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差,可假設(shè)Xt的初值為X0,則易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 Xt=X0+1+2+t 由于X0為常數(shù),t是一個(gè)白噪聲,因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差與時(shí)間t有關(guān)而非常數(shù),它是一非平穩(wěn)序列。容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary

10、Time Series7/12/2022 后面將會(huì)看到:如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的,它常常可通過(guò)取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。事實(shí)上,隨機(jī)游走過(guò)程是下面我們稱(chēng)之為1階自回歸AR(1)過(guò)程的特例 Xt=Xt-1+t 不難驗(yàn)證:1)|1時(shí),該隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的,表現(xiàn)為持續(xù)上升(1)或持續(xù)下降(-1),因此是非平穩(wěn)的；然而,對(duì)X取一階差分（first difference）: Xt=XtXt-1=t由于t是一個(gè)白噪聲,則序列Xt是平穩(wěn)的。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 8.2中將證明:只有當(dāng)-10,樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0

11、為均值,1/n 為方差的正態(tài)分布,其中n為樣本數(shù)。 也可檢驗(yàn)對(duì)所有k0,自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè),這可通過(guò)如下QLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長(zhǎng)度）。 因此:如果計(jì)算的Q值大于顯著性水平為的臨界值,則有1-的把握拒絕所有k(k0)同時(shí)為0的假設(shè)。 例8.1.3: 表8.1.1序列Random1是通過(guò)一隨機(jī)過(guò)程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有19個(gè)樣本的隨機(jī)時(shí)間序列。 8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/20227/12/2022

12、從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動(dòng),且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0,隨后在0附近波動(dòng)且逐漸收斂于0。容易驗(yàn)證：該樣本序列的均值為0,方差為0.0789。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 可以看出:k0時(shí),rk的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi),因此可以接受k(k0)為0的假設(shè)。 同樣地,從QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看,滯后17期的計(jì)算值為26.38,未超過(guò)5%顯著性水平的臨界值27.58,因此,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)k(k0)都為0的假設(shè)。 因此,該隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。 根據(jù)Bartlett的理論：kN(0,1/19) 因此任一rk(k0)的

13、95%的置信區(qū)間都將是由于該序列由一隨機(jī)過(guò)程生成,可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性,因此該序列為一白噪聲。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022序列Random2是由一隨機(jī)游走過(guò)程 Xt=Xt-1+t 生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本。其中,第0項(xiàng)取值為0, t是由Random1表示的白噪聲8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 圖形表示出：該序列具有相同的均值,但從樣本自相關(guān)圖看,雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0,但隨著時(shí)間的推移,則在0附近波動(dòng)且呈發(fā)散趨勢(shì)。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stat

14、ionary Time Series樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r1=0.48,落在了區(qū)間-0.4497, 0.4497之外,因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。 該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。7/12/20228.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/20228.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series圖形：表現(xiàn)出了一個(gè)持續(xù)上升的過(guò)程,可初步判斷是非平穩(wěn)的。 樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降,再次說(shuō)明它的非平穩(wěn)性。7/12/2022從滯后18期的QLB統(tǒng)計(jì)量看： QLB(18)=57.1828.86=20.05拒絕：該時(shí)間序

15、列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。 結(jié)論:19782000年間中國(guó)GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022例8.1.5 檢驗(yàn)2.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。 原圖 樣本自相關(guān)圖 8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022從圖形上看：人均居民消費(fèi)（CPC）與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。 從滯后14期的QLB統(tǒng)計(jì)量看： CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值均為57.18,超過(guò)了顯著性水平為5%時(shí)的臨界值2

16、3.68。再次說(shuō)明它們的非平穩(wěn)性。 就此來(lái)說(shuō),運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無(wú)實(shí)際意義的。 不過(guò),8.3中將看到,如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列是協(xié)整的,則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的,而這兩時(shí)間序列恰是協(xié)整的。 8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/20228.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性除了通過(guò)圖形直觀判斷外,運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)則是更為準(zhǔn)確與重要的。 單位根檢驗(yàn)（u

17、nit root test）是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法。1、DF( 迪基Dicky、福勒Fuller)檢驗(yàn)我們已知道,隨機(jī)游走序列 Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的,其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型 Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時(shí)的情形。7/12/2022也就是說(shuō),我們對(duì)式 Xt=Xt-1+t （*） 做回歸,如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1,就說(shuō)隨機(jī)變量Xt有一個(gè)單位根。（*）式可變形式成差分形式： Xt=(-1)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根=1,也可通過(guò)（*）式判斷是否有 =0。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7

18、/12/2022 一般地: 檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Xt的平穩(wěn)性,可通過(guò)檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型 Xt=+Xt-1+t （*）中的參數(shù)是否小于1。 或者：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式 Xt=+Xt-1+t （*）中的參數(shù)是否小于0 。 在第二節(jié)中將證明,（*）式中的參數(shù)1或=1時(shí),時(shí)間序列是非平穩(wěn)的; 對(duì)應(yīng)于（*）式,則是0或 =0。 8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022因此,針對(duì)式 Xt=+Xt-1+t 我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè) H0：=0。 備擇假設(shè) H1：0 上述檢驗(yàn)可通過(guò)OLS法下的t檢驗(yàn)完成。 然而,在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下,即使在大樣本下

19、t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚）,通常的t 檢驗(yàn)無(wú)法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量）,即DF分布（見(jiàn)表8.1.3）。由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性,它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 因此,可通過(guò)OLS法估計(jì) Xt=+Xt-1+t 并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值,與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較： 如果：t臨界值,則拒絕零假設(shè)H0： =0,認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根,是平穩(wěn)的。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time S

20、eries表8.1.3 DF分布臨界值表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 t分布臨界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 7/12/20228.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series注意：在不同的教科書(shū)上有不同的描述,但是結(jié)果是相同的。例如：“如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值,則拒絕=0的假設(shè),原序列不

21、存在單位根,為平穩(wěn)序列。7/12/2022 進(jìn)一步的問(wèn)題：在上述使用 Xt=+Xt-1+t對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中,實(shí)際上假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過(guò)程AR(1)生成的。 但在實(shí)際檢驗(yàn)中,時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過(guò)程生成的,或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲,這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation）,導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無(wú)效。 另外,如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如上升或下降）,則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問(wèn)題。 為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性,Dicky和Fuller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充,形成了

22、ADF（Augment Dickey-Fuller ）檢驗(yàn)。 2、ADF檢驗(yàn)8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022ADF檢驗(yàn)是通過(guò)下面三個(gè)模型完成的：8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series模型3 中的t是時(shí)間變量,代表了時(shí)間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如果有的話）。 檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)H1: 500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.

23、88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57dt500-3.43-3.12-2.86-2.57253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.832.522.162at5003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13dt500-3.96-3.66-3

24、.41-3.12254.053.593.202.77503.873.473.142.751003.783.423.112.732503.743.393.092.735003.723.383.082.72at5003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.603.182.812.381003.533.142.792.382503.493.122.792.385003.483.112.782.383bt5003.463.112.782.387/12/2022同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式,然后通過(guò)ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)

25、果拒絕了零假設(shè),就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí),則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€(gè)模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng),以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。一個(gè)簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)過(guò)程：8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 例8.1.6 檢驗(yàn)19782000年間中國(guó)支出法GDP時(shí)間序列的平穩(wěn)性。 1）經(jīng)過(guò)償試,模型3取了2階滯后： 通過(guò)拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)（Lagrange multiplier test）對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)： LM（1）=0.92, LM（2）=4.

26、16,小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值,可見(jiàn)不存在自相關(guān)性,因此該模型的設(shè)定是正確的。從的系數(shù)看,t臨界值,不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。時(shí)間T的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF分布表中的臨界值,因此不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? 。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/20222）經(jīng)試驗(yàn),模型2中滯后項(xiàng)取2階： LM檢驗(yàn)說(shuō)明模型殘差不存在自相關(guān)性,因此該模型的設(shè)定是正確的。 從GDPt-1的參數(shù)值看,其t統(tǒng)計(jì)量為正值,大于臨界值,不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于AFD分布表中的臨界值,不能拒絕不存常數(shù)項(xiàng)

27、的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/20223)經(jīng)試驗(yàn),模型1中滯后項(xiàng)取2階： LM檢驗(yàn)說(shuō)明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性,因此模型的設(shè)定是正確的。 從GDPt-1的參數(shù)值看,其t統(tǒng)計(jì)量為正值,大于臨界值,不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 可斷定中國(guó)支出法GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022例8.1.7 檢驗(yàn)2.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。 1)對(duì)中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC來(lái)說(shuō),經(jīng)過(guò)償試,三個(gè)模型的適當(dāng)形

28、式分別為8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 三個(gè)模型中參數(shù)的估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)量均大于各自的臨界值,因此不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 結(jié)論：人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/20222）對(duì)于人均居民消費(fèi)CPC時(shí)間序列來(lái)說(shuō),三個(gè)模型的適當(dāng)形式為 8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 三個(gè)模型中參數(shù)CPCt-1的t統(tǒng)計(jì)量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大,不能拒絕該時(shí)間序列存在單位根的假設(shè)

29、,因此,可判斷人均居民消費(fèi)序列CPC是非平穩(wěn)的。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022五、單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022隨機(jī)游走序列 Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價(jià)地變形為 Xt=t 由于t是一個(gè)白噪聲,因此差分后的序列Xt是平穩(wěn)的。單整8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 一般地,如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)d次差分后變成平穩(wěn)序列,則稱(chēng)原序列是d 階單整（integrated of d）序列,

30、記為I(d)。 顯然,I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列。現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的,如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的,如一些價(jià)格指數(shù)常常是2階單整的,以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過(guò)一次或?qū)掖尾罘值男问阶優(yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時(shí)間序列,無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次差分,都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱(chēng)為非單整的（non-integrated）。 如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次差分變成平穩(wěn)的,就稱(chēng)原序列是一階單整（integrated of 1）序列,記為I(1)。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Ser

31、ies7/12/2022例8.1.8 中國(guó)支出法GDP的單整性。經(jīng)過(guò)試算,發(fā)現(xiàn)中國(guó)支出法GDP是1階單整的,適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022例8.1.9 中國(guó)人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性。經(jīng)過(guò)試算,發(fā)現(xiàn)中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是2階單整的,適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?同樣地,CPC也是2階單整的,適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 前文已指出,一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢(shì),而這些序列間本身

32、不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系,這時(shí)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸,盡管有較高的R2,但其結(jié)果是沒(méi)有任何實(shí)際意義的。這種現(xiàn)象我們稱(chēng)之為虛假回歸或偽回歸（spurious regression）。 如：用中國(guó)的勞動(dòng)力時(shí)間序列數(shù)據(jù)與美國(guó)GDP時(shí)間序列作回歸,會(huì)得到較高的R2 ,但不能認(rèn)為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系,而只不過(guò)它們有共同的趨勢(shì)罷了,這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022為了防止這種虛假回歸的產(chǎn)生,通常的做法是引入作為趨勢(shì)變量的時(shí)間,這樣包含有時(shí)間趨勢(shì)變量的回歸,可以消除這種趨勢(shì)性的影響。然而這種做法,只有當(dāng)趨勢(shì)性變量是確定性的

33、（deterministic）而非隨機(jī)性的（stochastic）,才會(huì)是有效的。換言之,如果一個(gè)包含有某種確定性趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列,可以通過(guò)引入表示這一確定性趨勢(shì)的趨勢(shì)變量,而將確定性趨勢(shì)別離出來(lái)。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/20221)如果=1,=0,則（*）式成為一帶位移的隨機(jī)游走過(guò)程： Xt=+Xt-1+t （*） 根據(jù)的正負(fù),Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱(chēng)為隨機(jī)性趨勢(shì)（stochastic trend）。 2)如果=0,0,則（*）式成為一帶時(shí)間趨勢(shì)的隨機(jī)變化過(guò)程： Xt=+t+t （*） 根據(jù)的正負(fù),Xt表現(xiàn)出

34、明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱(chēng)為確定性趨勢(shì)（deterministic trend）。 考慮如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過(guò)程： Xt=+t+Xt-1+t （*） 其中:t是一白噪聲,t為一時(shí)間趨勢(shì)。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 3) 如果=1,0,則Xt包含有確定性與隨機(jī)性?xún)煞N趨勢(shì)。 判斷一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列,它的趨勢(shì)是隨機(jī)性的還是確定性的,可通過(guò)ADF檢驗(yàn)中所用的第3個(gè)模型進(jìn)行。 該模型中已引入了表示確定性趨勢(shì)的時(shí)間變量t,即別離出了確定性趨勢(shì)的影響。因此,(1)如果檢驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明所給時(shí)間序列有單位根,且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著為零

35、,則該序列顯示出隨機(jī)性趨勢(shì); (2)如果沒(méi)有單位根,且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著地異于零,則該序列顯示出確定性趨勢(shì)。8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022 隨機(jī)性趨勢(shì)可通過(guò)差分的方法消除 如：對(duì)式Xt=+Xt-1+t 可通過(guò)差分變換為 Xt= +t 該時(shí)間序列稱(chēng)為差分平穩(wěn)過(guò)程（difference stationary process）；8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/2022確定性趨勢(shì)無(wú)法通過(guò)差分的方法消除,而只能通過(guò)除去趨勢(shì)項(xiàng)消除,如：對(duì)式Xt=+t+t可通過(guò)除去t變換為Xt - t =

36、+t該時(shí)間序列是平穩(wěn)的,因此稱(chēng)為趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程（trend stationary process）。最后需要說(shuō)明的是,趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程代表了一個(gè)時(shí)間序列長(zhǎng)期穩(wěn)定的變化過(guò)程,因而用于進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)則是更為可靠的。 8.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)Stationary Time Series7/12/20228.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型一、時(shí)間序列模型的根本概念及其適用性二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)7/12/2022經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)間序列模型確定性時(shí)間序列模型與隨機(jī)性時(shí)間序列模型8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stocha

37、stic Time Series Model7/12/2022一、時(shí)間序列模型的根本概念及其適用性8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/20221、時(shí)間序列模型的根本概念 隨機(jī)時(shí)間序列模型（time series modeling）是指僅用它的過(guò)去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來(lái)的模型,其一般形式為 Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立具體的時(shí)間序列模型,需解決如下三個(gè)問(wèn)題： (1)模型的具體形式 (2)時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu) 例如,取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（ t =t）,模型將是一個(gè)1階自回歸過(guò)程A

38、R(1)： Xt=Xt-1+ t這里, t特指一白噪聲。 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 一般的p階自回歸過(guò)程AR(p)是 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t (*) (1)如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲(t=t),則稱(chēng)(*)式為一純AR(p)過(guò)程（pure AR(p) process）,記為 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (2)如果t不是一個(gè)白噪聲,通常認(rèn)為它是一個(gè)q階的移動(dòng)平均（moving average）過(guò)程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - q

39、t-q 該式給出了一個(gè)純MA(q)過(guò)程（pure MA(p) process）。 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合,得到一個(gè)一般的自回歸移動(dòng)平均（autoregressive moving average）過(guò)程ARMA（p,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式說(shuō)明：（1）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過(guò)一個(gè)自回歸移動(dòng)平均過(guò)程生成,即該序列可以由其自身的過(guò)去或滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來(lái)解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的,即它的行

40、為并不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化,那么我們就可以通過(guò)該序列過(guò)去的行為來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)所在。8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 經(jīng)典回歸模型的問(wèn)題： 迄今為止,對(duì)一個(gè)時(shí)間序列Xt的變動(dòng)進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè),是通過(guò)某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的,由于它們以因果關(guān)系為根底,且具有一定的模型結(jié)構(gòu),因此也常稱(chēng)為結(jié)構(gòu)式模型（structural model）。 然而,如果Xt波動(dòng)的主要原因可能是我們無(wú)法解釋的因素,如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等,則利用結(jié)構(gòu)式模型來(lái)解釋Xt的變動(dòng)就比較困難或不可能,因?yàn)橐〉孟?/p>

41、應(yīng)的量化數(shù)據(jù),并建立令人滿(mǎn)意的回歸模型是很困難的。 有時(shí),即使能估計(jì)出一個(gè)較為滿(mǎn)意的因果關(guān)系回歸方程,但由于對(duì)某些解釋變量未來(lái)值的預(yù)測(cè)本身就非常困難,甚至比預(yù)測(cè)被解釋變量的未來(lái)值更困難,這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測(cè)技術(shù)就不適用了。2、時(shí)間序列分析模型的適用性8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 例如,時(shí)間序列過(guò)去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì),如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過(guò)去的行為中占主導(dǎo)地位,能否認(rèn)為它也會(huì)在未來(lái)的行為里占主導(dǎo)地位呢？ 或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為,我們能否利用過(guò)去的這種行為來(lái)外推它的未來(lái)走向？ 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型,就是要通過(guò)

42、序列過(guò)去的變化特征來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的變化趨勢(shì)。 使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于： 如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu),則這一結(jié)構(gòu)可以寫(xiě)成類(lèi)似于ARMA(p,q)式的時(shí)間序列分析模型的形式。 在這些情況下,我們采用另一條預(yù)測(cè)途徑：通過(guò)時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù),得出關(guān)于其過(guò)去行為的有關(guān)結(jié)論,進(jìn)而對(duì)時(shí)間序列未來(lái)行為進(jìn)行推斷。8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 例如,對(duì)于如下最簡(jiǎn)單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型： 這里,Ct、It、Yt分別表示消費(fèi)、投資與國(guó)民收入。 Ct與Yt作為內(nèi)生變量,它們的運(yùn)動(dòng)是由作為外生變量的投資It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)t的變化決

43、定的。8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022上述模型可作變形如下： 兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余局部可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng),其特征依賴(lài)于投資項(xiàng)It的行為。 如果It是一個(gè)白噪聲,則消費(fèi)序列Ct就成為一個(gè)1階自回歸過(guò)程AR(1),而收入序列Yt就成為一個(gè)(1,1)階的自回歸移動(dòng)平均過(guò)程ARMA(1,1)。8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件7/12/2022 自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式,自

44、回歸模型（AR）和移動(dòng)平均模型（MA）是它的特殊情況。 關(guān)于這幾類(lèi)模型的研究,是時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析、模型的識(shí)別和模型的估計(jì)。 1、AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性,可通過(guò)它所生成的隨機(jī)時(shí)間序列的平穩(wěn)性來(lái)判斷。 如果一個(gè)p階自回歸模型AR(p)生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的,就說(shuō)該AR(p)模型是平穩(wěn)的, 否則,就說(shuō)該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。7/12/2022考慮p階自回歸模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (*)引入滯后算子（lag operator ）L： LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt

45、=Xt-p(*)式變換為 (1-1L- 2L2-pLp)Xt=t 記(L)= (1-1L- 2L2-pLp),則稱(chēng)多項(xiàng)式方程 (z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0為AR(p)的特征方程(characteristic equation)。 可以證明,如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1）,則AR(p)模型是平穩(wěn)的。 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 例8.2.1 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。對(duì)1階自回歸模型AR(1)方程兩邊平方再求數(shù)學(xué)期望,得到Xt的方差由于Xt僅與t相關(guān),因此,E(Xt-1t)=0。如果該

46、模型穩(wěn)定,則有E(Xt2)=E(Xt-12),從而上式可變換為：在穩(wěn)定條件下,該方差是一非負(fù)的常數(shù),從而有 |1。 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 而AR(1)的特征方程的根為 z=1/ AR(1)穩(wěn)定,即 | 1,意味著特征根大于1。例8.2.2 AR(2)模型的平穩(wěn)性。 對(duì)AR(2)模型 方程兩邊同乘以Xt,再取期望得： 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022又由于于是 同樣地,由原式還可得到于是方差為 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic T

47、ime Series Model7/12/2022由平穩(wěn)性的定義,該方差必須是一不變的正數(shù),于是有 1+21, 2-11, |2|1這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件,或稱(chēng)為平穩(wěn)域。它是一頂點(diǎn)分別為（-2,-1）,（2,-1）,（0,1）的三角形。 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022對(duì)應(yīng)的特征方程1-1z-2z2=0 的兩個(gè)根z1、z2滿(mǎn)足： z1z2=-1/2 , z1+z2 =-1/2 AR(2)模型解出1,2由AR(2)的平穩(wěn)性,|2|=1/|z1|z2|1,有于是| z2 |1。由 2 - 1 1可推出同樣的結(jié)果。8.2 隨

48、機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 對(duì)高階自回模型AR(p)來(lái)說(shuō),多數(shù)情況下沒(méi)有必要直接計(jì)算其特征方程的特征根,但有一些有用的規(guī)則可用來(lái)檢驗(yàn)高階自回歸模型的穩(wěn)定性： (1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是： 1+2+p1 (2)由于i(i=1,2,p)可正可負(fù),AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是： |1|+|2|+|p|1 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 對(duì)于移動(dòng)平均模型MA(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一個(gè)白噪聲,于是 2、M

49、A(q)模型的平穩(wěn)性 當(dāng)滯后期大于q時(shí),Xt的自協(xié)方差系數(shù)為0。因此:有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的。 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合：Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性 而MA(q)模型總是平穩(wěn)的,因此ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于AR(p)局部的平穩(wěn)性。 當(dāng)AR(p)局部平穩(wěn)時(shí),則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的,否則,不是平穩(wěn)的。8.2 隨

50、機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 最后 （1）一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程或模型； （2）一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通?？梢酝ㄟ^(guò)差分的方法將它變換為平穩(wěn)的,對(duì)差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或模型。 因此,如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過(guò)d次差分,將它變?yōu)槠椒€(wěn)的,然后用一個(gè)平穩(wěn)的ARMA(p,q)模型作為它的生成模型,則我們就說(shuō)該原始時(shí)間序列是一個(gè)自回歸單整移動(dòng)平均（autoregressive integrated moving average）時(shí)間序列,記為ARIMA(p,d,q)。 例如,一個(gè)A

51、RIMA(2,1,2)時(shí)間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次,然后用一個(gè)ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。 當(dāng)然,一個(gè)ARIMA(p,0,0)過(guò)程表示了一個(gè)純AR(p)平穩(wěn)過(guò)程；一個(gè)ARIMA(0,0,q)表示一個(gè)純MA(q)平穩(wěn)過(guò)程。8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別,就是對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列,找出生成它的適宜的隨機(jī)過(guò)程或模型,即判斷該時(shí)間序列是遵循一純A

52、R過(guò)程、還是遵循一純MA過(guò)程或ARMA過(guò)程。 所使用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelation function,ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)（partial autocorrelation function, PACF ）。8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 1、AR(p)過(guò)程 (1)自相關(guān)函數(shù)ACF 1階自回歸模型AR(1) Xt=Xt-1+ t 的k階滯后自協(xié)方差為：=1,2,因此,AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)為 =1,2, 由AR(1)的穩(wěn)定性知|1,因此,k時(shí),呈指數(shù)形衰減,直到零。這種現(xiàn)象稱(chēng)為拖尾或稱(chēng)

53、AR(1)有無(wú)窮記憶（infinite memory）。 注意, 0時(shí),呈振蕩衰減狀。 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 階自回歸模型AR(2) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + t該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差1, 2分別為類(lèi)似地,可寫(xiě)出一般的k期滯后自協(xié)方差： (K=2,3,)于是,AR(2)的k 階自相關(guān)函數(shù)為： (K=2,3,)其中 :1=1/(1-2), 0=1如果AR(2)穩(wěn)定,則由1+21知|k|衰減趨于零,呈拖尾狀。至于衰減的形式,要看AR(2)特征根的實(shí)虛性,假設(shè)為實(shí)根,則呈單調(diào)或振蕩型衰減,

54、假設(shè)為虛根,則呈正弦波型衰減。 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022一般地,p階自回歸模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + pXt-p + tk期滯后協(xié)方差為: 從而有自相關(guān)函數(shù) : 可見(jiàn),無(wú)論k有多大, k的計(jì)算均與其到p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān),因此呈拖尾狀。 如果AR(p)是穩(wěn)定的,則|k|遞減且趨于零。 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根,由AR(p)平穩(wěn)的條件知,|zi|p,Xt與Xt-

55、k間的偏自相關(guān)系數(shù)為零。 AR(p)的一個(gè)主要特征是:kp時(shí),k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原則：假設(shè)Xt的偏自相關(guān)函數(shù)在p以后截尾,即kp時(shí),k*=0,而它的自相關(guān)函數(shù)k是拖尾的,則此序列是自回歸AR(p)序列。8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 在實(shí)際識(shí)別時(shí),由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)rk*是總體偏自相關(guān)函數(shù)k*的一個(gè)估計(jì),由于樣本的隨機(jī)性,當(dāng)kp時(shí),rk*不會(huì)全為0,而是在0的上下波動(dòng)。但可以證明,當(dāng)kp時(shí),rk*服從如下漸近正態(tài)分布: rk*N(0,1/n)式中n表示樣本容

56、量。 因此,如果計(jì)算的rk*滿(mǎn)足 需指出的是,我們就有95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在p之后截尾。8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 對(duì)MA(1)過(guò)程 2、MA(q)過(guò)程 可容易地寫(xiě)出它的自協(xié)方差系數(shù)： 于是,MA(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為：可見(jiàn),當(dāng)k1時(shí),k0,即Xt與Xt-k不相關(guān),MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。 8.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型Stochastic Time Series Model7/12/2022 MA(1)過(guò)程可以等價(jià)地寫(xiě)成t關(guān)于無(wú)窮序列Xt,Xt-1,的線性組合的形式：或（*） (*)是一個(gè)AR()過(guò)程

57、,它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但卻趨于零,因此MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。 注意: (*)式只有當(dāng)|1時(shí)才有意義,否則意味著距Xt越遠(yuǎn)的X值,對(duì)Xt的影響越大,顯然不符合常理。 因此,我們把|q時(shí), Xt與Xt-k不相關(guān),即存在截尾現(xiàn)象,因此,當(dāng)kq時(shí), k=0是MA(q)的一個(gè)特征。 于是：可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開(kāi)始一直為0來(lái)判斷MA(q)模型的階。7/12/2022 與MA(1)相仿,可以驗(yàn)證MA(q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。 MA(q)模型的識(shí)別規(guī)則：假設(shè)隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾,即自q以后,k=0（ kq）；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的,則此序列是滑動(dòng)平

58、均MA(q)序列。 同樣需要注意的是：在實(shí)際識(shí)別時(shí),由于樣本自相關(guān)函數(shù)rk是總體自相關(guān)函數(shù)k的一個(gè)估計(jì),由于樣本的隨機(jī)性,當(dāng)kq時(shí),rk不會(huì)全為0,而是在0的上下波動(dòng)。但可以證明,當(dāng)kq時(shí),rk服從如下漸近正態(tài)分布: rkN(0,1/n)式中n表示樣本容量。 因此,如果計(jì)算的rk滿(mǎn)足：我們就有95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在q之后截尾。7/12/2022 ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù),可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。 當(dāng)p=0時(shí),它具有截尾性質(zhì)； 當(dāng)q=0時(shí),它具有拖尾性質(zhì)； 當(dāng)p、q都不為0時(shí),它具有拖尾性質(zhì) 從識(shí)別上看,通常： ARMA(p,q)過(guò)程的偏自

59、相關(guān)函數(shù)（PACF）可能在p階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱（spikes）,但從p階滯后項(xiàng)開(kāi)始逐漸趨向于零； 而它的自相關(guān)函數(shù)（ACF）則是在q階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱,從q階滯后項(xiàng)開(kāi)始逐漸趨向于零。 3、ARMA(p, q)過(guò)程 7/12/20227/12/2022 圖8.2.2 ARMA(p,q)模型的ACF與PACF理論模式 ACF PACF 模型1： tttXXe+=-17.00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF17/12/20227/12/20227/12/2022四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)7/12/2022 AR(p

60、)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計(jì)方法較多,大體上分為3類(lèi)： （1）最小二乘估計(jì)； （2）矩估計(jì)； （3）利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計(jì)。 下面有選擇地加以介紹。結(jié)構(gòu)階數(shù)模型識(shí)別確定估計(jì)參數(shù)7/12/2022 AR(p)模型的Yule Walker方程估計(jì) 在AR(p)模型的識(shí)別中,曾得到 利用k=-k,得到如下方程組： 此方程組被稱(chēng)為Yule Walker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)1,2,p與自相關(guān)函數(shù)1,2,p的關(guān)系, 7/12/2022 利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息,首先求得自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值 然后利用Yule Walker方程組,求解模型參數(shù)的估計(jì)值由于 于是 從