小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理3

1、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（三）課程教材研究所 王永春三、模型思想1. 模型思想的概念。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過數(shù)學(xué)在經(jīng)濟、物理、農(nóng)業(yè)、生物、社會學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的各種數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)

2、模型與數(shù)學(xué)知識或是符號思想明顯地區(qū)分開來，本文主要從俠義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。2. 模型思想的重要意義。數(shù)學(xué)模型是運用數(shù)學(xué)的語言和工具，對現(xiàn)實世界的一些信息進行適當(dāng)?shù)暮喕?，?jīng)過推理和運算，對相應(yīng)的數(shù)據(jù)進行分析、預(yù)測、決策和控制，并且要經(jīng)過實踐的檢驗。如果檢驗的結(jié)果是正確的，便可以指導(dǎo)我們的實踐。如上所述，數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今市場經(jīng)濟和信息化社會已經(jīng)有比較廣泛的應(yīng)用；因而，模型思想在數(shù)學(xué)思想方法中有非常重要的地位，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也應(yīng)該有它的一席之地。如果說符號化思想更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達，那么模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實中的各

3、種問題；當(dāng)然，把現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象的過程。現(xiàn)行的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對符號化思想有明確的要求，如要求學(xué)生“能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示”這實際上就包含了模型思想。但是，課程標(biāo)準(zhǔn)對第一、二學(xué)段并沒有明確提出模型思想的要求，只是在第三學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)建議中明確提出了模型思想，要求在教學(xué)中“注重使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型”，教學(xué)過程以“問題情境建立模型解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開。如果說小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者中有人關(guān)注了模型思想，多數(shù)人基本上只是套用第三學(xué)段對模型思想的要求進行研究，也很難做到要求的具體化和課堂教學(xué)的貫徹落實。據(jù)了解，即將頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)修改

4、稿與現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識”。并在教材編寫建議中提出了“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動。這樣的活動應(yīng)體現(xiàn)問題情境建立模型求解驗證的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗；要有

5、利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”。這是否可以理解為：在小學(xué)階段，從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時明確了建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問題的核心。3. 模型思想的具體應(yīng)用。數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程，也是一個應(yīng)用的過程。從這個角度而言，伴隨著數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)模型實際上也隨后產(chǎn)生和發(fā)展了。如自然數(shù)系統(tǒng)1，2，3，是描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。2000多年前的古人用公式計算土地面積，用方程解決實際問題等，實際上都是用各種數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型來解決問題的。就小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用來說，大多數(shù)是

6、古老的初等數(shù)學(xué)的簡單應(yīng)用，也許在數(shù)學(xué)家的眼里，這根本就不是真正的數(shù)學(xué)模型；不過，小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用雖然簡單，但仍然是現(xiàn)實生活和進一步學(xué)習(xí)所不可或缺的。小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型如下表。知識領(lǐng)域知識點應(yīng)用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示自然數(shù)列：0,1,2,用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運算a+b=cca =b, cbaabc(a0,b0)ca=b, cba運算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac方程ax+b=c數(shù)量關(guān)系時間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價和總價：a=np正比例關(guān)系：y/x=k反比例關(guān)系：xy=k

7、用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖象表示數(shù)量間的關(guān)系空間與圖形用字母表示公式三角形面積：S ab平行四邊形面積：Sah梯形面積：S (a+b)h圓周長：C2r圓面積：Sr長方體體積：v=abc正方體體積：v=a圓柱體積：v=sh圓錐體積：v= sh空間形式用圖表表示空間和平面結(jié)構(gòu)統(tǒng)計與概率統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表用統(tǒng)計圖表描述和分析各種信息可能性用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小4模型思想的教學(xué)。從表格中可以看出：模型思想與符號化思想都是經(jīng)過抽象后用符號和圖表表達數(shù)量關(guān)系和空間形式，這是它們的共同之處；但是模型思想更加重視如何經(jīng)過分析抽象建立模型，更加重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活和科學(xué)研究中的各種問題。正是因為數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域的

8、廣泛應(yīng)用，不但促進了科學(xué)和人類的進步，也使得人們對數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識：數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)家的樂園，它也不應(yīng)是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學(xué)生的朋友。廣大教師在教學(xué)中結(jié)合數(shù)學(xué)的應(yīng)用和解決問題的教學(xué)，要注意貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)的理念：一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會學(xué)生如何建立模型，并喜歡數(shù)學(xué)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)教材中以例題為代表的新知識，這個學(xué)習(xí)過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學(xué)習(xí)的理解過程；第二種是利用基本模型去解決各種問題，即利用學(xué)習(xí)的基本知識解決教材中豐富多彩的習(xí)題以及各種課外問題。數(shù)學(xué)建模是一個比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)性的

9、過程，這個過程大致有以下幾個步驟：(1) 理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng)。(2) 把復(fù)雜的情境經(jīng)過分析和簡化，確定必要的數(shù)據(jù)。(3) 建立模型，可以是數(shù)量關(guān)系式，也可以是圖表形式。(4) 解答問題。下面結(jié)合案例做簡要解析。第一，學(xué)習(xí)的過程可以經(jīng)歷類似于數(shù)學(xué)家建模的再創(chuàng)造過程?，F(xiàn)實生活中已有的數(shù)學(xué)模型基本上是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家等科學(xué)家們把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各個科學(xué)領(lǐng)域經(jīng)過艱辛的研究創(chuàng)造出來的，使得我們能夠享受現(xiàn)有的成果。如阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿定律：平衡的杠桿，物體到杠桿支點的距離之比，等于兩個物體重量的反比，即1：22：L1。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有時是一個探索的過程，

10、也是一個再創(chuàng)造的過程；也就是說有些模型是可以由學(xué)生進行再創(chuàng)造的，可以把科學(xué)家發(fā)明的成果再創(chuàng)造一次。如在學(xué)習(xí)了反比例關(guān)系以后，可以利用簡單的學(xué)具進行操作實驗，探索杠桿定律。再如利用若干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有小正方體的個數(shù)與長方體的長、寬、高的關(guān)系，進而歸納出長方體的體積公式，建立模型Vabc，這是一個模型化的過程，也是一個再創(chuàng)造的過程。第二，對于大多數(shù)人來說，在現(xiàn)實生活和工作中利用數(shù)學(xué)解決各種問題，基本上都是根據(jù)對現(xiàn)實情境的分析，利用已有的數(shù)學(xué)知識構(gòu)建模型。這樣的模型是已經(jīng)存在并且是科學(xué)的，并不是新發(fā)明的，由學(xué)生進行再創(chuàng)造也幾乎是不可行的；換句話說，有些模型由于難度較

11、大或不便于探索，不必讓學(xué)生再創(chuàng)造。如兩個變量成反比例關(guān)系，如果給出兩個量數(shù)據(jù)變化的表格，學(xué)生通過觀察和計算有可能發(fā)現(xiàn)這兩個量的關(guān)系。但是如果讓學(xué)生動手實踐操作去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還是有一定難度的。再如物體運動的路程、時間和速度的關(guān)系為s=vt，利用這個基本模型可以解決各種有關(guān)勻速運動的簡單的實際問題。但是由于這個模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學(xué)生進行再創(chuàng)造。教師只需要通過現(xiàn)實模擬或者動畫模擬，使學(xué)生能夠理解模型的意義便可。第三，應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識分析數(shù)量關(guān)系和空間形式，經(jīng)過抽象建立模型，進而解決各種問題。學(xué)生學(xué)習(xí)了教材上的基礎(chǔ)知識以后，利用已有知識解決新的更加復(fù)雜的各種問題，是一個富有挑戰(zhàn)的

12、過程，也可以是一個合作探究的過程。如小學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽中有很多應(yīng)用數(shù)學(xué)解決的問題，就是一個建立模型的過程；再如中學(xué)生和大學(xué)生組隊參加數(shù)學(xué)建模大賽，就是一個團隊合作探究的過程。案例1：小明的家距離學(xué)校600米，每天上學(xué)從家步行10分鐘到學(xué)校。今天早晨出門2分鐘后發(fā)現(xiàn)忘記帶學(xué)具了，立即回家去取。他如果想按原來的時間趕到學(xué)校，他從回家再到學(xué)校，步行的速度應(yīng)是多少？（取東西的時間忽略不計）解答過程如下：(1) 本題是日常生活中常見的行程問題，問題是要求小明步行的速度，是關(guān)于時間、速度和路程的問題。(2) 這里需要明確所求的速度相對應(yīng)的路程和時間是什么，因為取東西等時間忽略不計，因此剩余的時間就可以

13、確定為步行的時間；路程是從家出來2分鐘后開始算，再回家的路程加上從家到學(xué)校的路程的和；時間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘的時間了。(3) 根據(jù)基本的關(guān)系式s=vt，可先求出s600+（60010）2720(米),t1028(分鐘)。列式為：7208v。(4)v90，即小明步行的速度為90米分鐘。從上面的解答過程來看，小學(xué)數(shù)學(xué)的情境還是比較容易理解的，模型系統(tǒng)也容易確定。如果說此題比教材中的一般習(xí)題有難度的話，就是路程和時間沒有直接給出,拐了個彎。也就是說難點在于第二步中知道模型系統(tǒng)后相應(yīng)的數(shù)量怎么準(zhǔn)確地找出來，一定要注意題中對每一個量是怎樣敘述的，有什么特殊的要求，在認(rèn)真讀題的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確地找

14、出來或計算出來。案例2 ：有一根20米長的繩子，要剪成2米和5米長兩種規(guī)格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無剩余，并且每種規(guī)格的跳繩至少要有一根。）分析：此題從表面上看，是小學(xué)數(shù)學(xué)整數(shù)乘除法的一般問題，但是由于題目中有特殊要求，無法直接列式解答。如果用方程，題目中涉及了兩個未知數(shù)，屬于二元一次方程，超出了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍。那么，面對這樣的問題如何解決呢？在小學(xué)數(shù)學(xué)中面對一些非常規(guī)的問題時，有時運用列表枚舉或者猜測的方式是一種可行的策略，只不過會繁瑣一些。5米跳繩的根數(shù)12342米跳繩的根數(shù)7520剩余米數(shù)1010由上表可知符合要求的答案為：5米和2米的跳繩分別剪2根和5根。此題如果用方程解決，可設(shè)5米和2米的跳繩分別剪x根和y根，可列方程：5x2y20?？煞抡照壤P(guān)系ykx圖像的畫法，在有方格紙的坐標(biāo)系里，通過兩點(0，10)和(4，0)畫出一條直線，就是方程5x2y20的圖像。再找出圖像與方格的交叉點重合的點，就是方程的解。案例3：一瓶礦泉水滿瓶水為500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圓柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過來，無水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水？分析：此題是求水的容積，有一個在建模過程中需要的假設(shè)，就是礦泉水瓶圓柱部分并不是一個嚴(yán)格的圓柱形狀，要假設(shè)它是圓柱形狀，這樣才便于建立模型。由于不知道圓柱的底面積，