比率估計(jì)與回歸估計(jì)概念、計(jì)算和條件

1、比率估計(jì)與回歸估計(jì)概念、計(jì)算和條件掌握總體比率、比率估計(jì)量及回歸估計(jì)量的概念了解比率估計(jì)量、回歸估計(jì)量的偏差、方差及方差的估計(jì)量掌握應(yīng)用比率估計(jì)量及回歸估計(jì)量的條件。第一節(jié) 問(wèn)題提出有時(shí)涉及兩個(gè)調(diào)查變量Y和X，除了估計(jì)兩個(gè)變量的總值和均值，還常常要估計(jì)兩個(gè)變量的總體均值或總體總值之比，稱為總體比率R?？傮w比率的內(nèi)涵可以有不同，有時(shí)是總體均值，有時(shí)是總體比例，有時(shí)是一般的相對(duì)數(shù)，但在形式上總是表現(xiàn)為兩個(gè)變量總值或均值之比。總體比率的含義例如Y,X分別表示調(diào)查單位產(chǎn)量和播種面積，則R為平均畝產(chǎn)，即總體均值。例如Y,X分別表示調(diào)查單位60歲以上老年人數(shù)和家庭人口數(shù)，則R表示全地區(qū)60歲以上老年人比例

2、，即總體比例。若Y,X分別表示家庭男女人口數(shù)，則R表示全地區(qū)性別比?？傮w比率和總體比例區(qū)別：是總體調(diào)查單位數(shù)N已知，只涉及一個(gè)調(diào)查變量，而R涉及兩個(gè)調(diào)查變量，均需調(diào)查。第二節(jié) 比率估計(jì)一、比率估計(jì)量二、比率估計(jì)量的偏差與均方誤差比率估計(jì)量是有偏的，但當(dāng)樣本量增大時(shí)其偏差將趨近于零。下表是容量為5的總體，列出了兩個(gè)變量的值，計(jì)算全部可能的n=3的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本指標(biāo)。 i12345yi6791013xi34689樣本號(hào)樣本包含的單位號(hào)1（1，2，3）7.334.331.692810.15702（1，2，4）7.675.001.53409.20403（1，2，5）8.675.331.62669.759

3、84（1，3，4）8.335.671.46918.81485（1，3，5）9.336.001.55509.33006（1，4，5）9.676.671.44988.69877（2，3，4）8.676.001.44508.67008（2，3，5）9.676.331.52769.16599（2，4，5）10.007.001.42868.571410（3，4，5）10.677.671.39118.3468合計(jì)90.0160.0015.119690.7184三、比率估計(jì)量方差的樣本估計(jì)與比率估計(jì)量的置信區(qū)間例2 在某地區(qū)抽取由33個(gè)住戶組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，對(duì)每戶調(diào)查兩個(gè)指標(biāo)：人口數(shù)xi和每天用于食品支出

4、的費(fèi)用yi,經(jīng)計(jì)算得試估計(jì)該地區(qū)平均每人每天用于食品的支出，并求其置信水平95%的置信區(qū)間。例3 某系統(tǒng)有56個(gè)企業(yè)，去年全系統(tǒng)總產(chǎn)值86436萬(wàn)元，為估計(jì)今年總產(chǎn)值，年底在所轄全部企業(yè)中隨機(jī)抽取12個(gè)企業(yè)進(jìn)行調(diào)查得以下資料，其中xi和yi分別為去年和今年產(chǎn)值。試估計(jì)今年總產(chǎn)值，并給出抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)。12個(gè)企業(yè)兩年產(chǎn)值（萬(wàn)元）企業(yè)123456xi7641642957132421311176yi85318351028151222861354企業(yè)789101112xi16181532834143217281214yi18261721958164819041534四、比率估計(jì)量?jī)?yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)量的條件

5、在對(duì)調(diào)查變量總體均值、總體總值進(jìn)行估計(jì)時(shí)，只有當(dāng)調(diào)查變量與輔助變量有大致的正比例關(guān)系時(shí)比率估計(jì)量才能使估計(jì)精度有較大提高，以總體均值為例，定量的分析在什么條件下比率估計(jì)量?jī)?yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)量。五、多元比率估計(jì)例4 為精確地估計(jì)某地區(qū)皮棉總產(chǎn)量，在該地區(qū)301個(gè)村莊中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽取18個(gè)村莊，在調(diào)查皮棉產(chǎn)量yi的同時(shí)記錄了皮棉種植面積x1i良種比例x2i，該地區(qū)皮棉種植總面積為X1=7450平方公里，采用良種的平均比例為六、乘積估計(jì)第三節(jié) 回歸估計(jì)一、定義二、回歸系數(shù)為常數(shù)的情形在為相同目的進(jìn)行的大量反復(fù)調(diào)查中，若多次使用回歸估計(jì)量且回歸系數(shù)的值比較穩(wěn)定，則有理由取此穩(wěn)定值作為回歸系數(shù)設(shè)定值。三、回歸系

6、數(shù)取樣本回歸系數(shù)的情形四、回歸估計(jì)與比率估計(jì)及簡(jiǎn)單估計(jì)的大樣本比較例5 某地區(qū)有規(guī)模以下工業(yè)企業(yè)127個(gè)，共有固定資產(chǎn)價(jià)值萬(wàn)元，從中隨機(jī)抽取20個(gè)企業(yè)調(diào)查工業(yè)產(chǎn)值及固定資產(chǎn)價(jià)值，試估計(jì)該地區(qū)規(guī)模以下工業(yè)總產(chǎn)值及其抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤。企業(yè)固定資產(chǎn)總值與工業(yè)產(chǎn)值（萬(wàn)元）固定資產(chǎn)總值工業(yè)產(chǎn)值固定資產(chǎn)總值工業(yè)產(chǎn)值35325045.54340.270655047.562564041.55855555152575853.46354.23833.86456.54542.85348.24745.65449.84240.85649.2第四節(jié) 分層比率估計(jì)與分層回歸估計(jì)一、分別比率估計(jì)與聯(lián)合比率估計(jì)構(gòu)造分層比率估計(jì)時(shí)兩種

7、做法：一種是對(duì)每層樣本構(gòu)造比率估計(jì)，然后通過(guò)加權(quán)或求和給出總體均值或總值的估計(jì)量，稱為分別比率估計(jì)量。另一種是對(duì)兩個(gè)指標(biāo)的總體均值分別求出分層估計(jì)，然后用它們構(gòu)造比率估計(jì)，稱為聯(lián)合比率估計(jì)量。（一）分別比率估計(jì)（二）聯(lián)合比率估計(jì)二、分別回歸估計(jì)和聯(lián)合回歸估計(jì)（一）分別回歸估計(jì)在分層隨機(jī)抽樣中，總體均值和總值的分別線性回歸估計(jì)量為（二）聯(lián)合回歸估計(jì)三、各種估計(jì)量的比較當(dāng)各層樣本量較小時(shí)，分別比率估計(jì)、分別回歸估計(jì)將有較大偏差，從而均方誤差比較大，此時(shí)如果總樣本量比較大，則采用聯(lián)合比率估計(jì)、聯(lián)合回歸估計(jì)更好一些。例6 某縣有300個(gè)村，小麥播種面積為23434畝，全部村子按地勢(shì)分為平原、丘陵和山區(qū)

8、三種類型，各按10%的抽樣比抽樣，調(diào)查畝產(chǎn)量如表。其中 思考與練習(xí)1某縣有200個(gè)村，共播種小麥77000畝，采用抽樣調(diào)查估計(jì)全縣小麥總產(chǎn)量，隨機(jī)抽取10個(gè)村對(duì)其小麥產(chǎn)量及播種面積進(jìn)行調(diào)查。試以播種面積為輔助變量用比率估計(jì)量估計(jì)全縣小麥總產(chǎn)量，并與簡(jiǎn)單估計(jì)量就效果進(jìn)行比較。產(chǎn)量（萬(wàn)斤）面積（畝）產(chǎn)量（萬(wàn)斤）面積（畝）12.522024.64171223018.233610.52109.317618.137712.62475.512318.93702某鎮(zhèn)在2000戶家庭中隨機(jī)抽取36戶調(diào)查生活費(fèi)用，以y表示樣本的食品支出費(fèi)用，x表示總支出費(fèi)用，得恩格爾系數(shù)3從總體中抽取一簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，對(duì)每個(gè)調(diào)查

9、單位都測(cè)量了調(diào)查變量y和輔助變量x的值，如果輔助變量的總體均值已知，那么對(duì)總體比率進(jìn)行估計(jì)時(shí)有下述兩種做法：4將麥田分割成小塊，以此作為調(diào)查單位，調(diào)查目的是估計(jì)小麥總產(chǎn)量，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到一樣本，稱量了各單元麥粒凈重yi及麥粒麥稈毛重xi，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到 若以麥粒麥稈毛重為輔助變量構(gòu)造比率估計(jì)量，而不是采用簡(jiǎn)單估計(jì)量估計(jì)總產(chǎn)量，試求在精度上的得益。56某地調(diào)查農(nóng)作物總產(chǎn)量，該地有大小不等的土地140塊，總面積460畝，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣調(diào)查10塊土地，數(shù)據(jù)如下表所示。試分別用簡(jiǎn)單估計(jì)量，比率估計(jì)量，回歸估計(jì)量估計(jì)總產(chǎn)量，估計(jì)各估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，并對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行比較分析。面積（畝）32.54.23.61.8產(chǎn)量（斤）1400112017101500720面積（畝）5.23.22.42.61.2產(chǎn)量（斤）19801310108013004808某縣調(diào)查某種農(nóng)作物總產(chǎn)量，由于平原和山區(qū)條件差別比較大，所以單位面積產(chǎn)量差別也較大，于是決定將全縣分為平原和山區(qū)兩層實(shí)施分層隨機(jī)