§111任意角（1）

1、 三角函數(shù)4-1.1.1任意角（1）教學(xué)目標(biāo)：要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學(xué)會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論角；并進(jìn)而理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。教學(xué)重點(diǎn)：理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義教學(xué)難點(diǎn)：“旋轉(zhuǎn)”定義角課標(biāo)要求：了解任意角的概念教學(xué)過程：一、引入 同學(xué)們在初中時，曾初步接觸過三角函數(shù)，那時的運(yùn)用僅限于計算一些特殊的三角函數(shù)值、研究一些三角形中簡單的邊角關(guān)系等。三角函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，在今后的學(xué)習(xí)中大家會發(fā)現(xiàn)三角學(xué)有著極其豐富的內(nèi)容，它能夠簡單地解決許多數(shù)學(xué)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用。二、新課

2、1回憶：初中是任何定義角的？（從一個點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形）這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”師：初中時，我們已學(xué)習(xí)了0360角的概念，它是如何定義的呢？B O A 圖1生：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。師：如圖1，一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點(diǎn)O叫做叫的頂點(diǎn)。 師：在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體720o” （即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080o”（即轉(zhuǎn)體3周）；再如時鐘快了5分鐘，現(xiàn)要校正，需將分針怎樣

3、旋轉(zhuǎn)？如果慢了5分鐘，又該如何校正？生：逆時針旋轉(zhuǎn)300；順時針旋轉(zhuǎn)300.師：（1）用扳手?jǐn)Q螺母；（2）跳水運(yùn)動員身體旋轉(zhuǎn)說明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周，則形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超出了我們已有的認(rèn)識范圍。本節(jié)課將在已掌握 角的范圍基礎(chǔ)上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法2.角的概念的推廣：(1)定義：一條射線OA由原來的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角。其中射線OA叫角的始邊，射線OB叫角的終邊，O叫角的頂點(diǎn)。3正角、負(fù)角、零角概念師：為了區(qū)別起見，我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，如圖2中的角為正角，它等于300與7500；我們把按逆時針方

4、向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，那么同學(xué)們猜猜看，負(fù)角怎么規(guī)定呢？零角呢？生：按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。師：如圖3，以O(shè)A為始邊的角=-1500，=-6600。特別地，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認(rèn)為這是形成了一個角，并把這個角稱為零角。師：好，角的概念經(jīng)過這樣的推廣之后，就應(yīng)該包括正角、負(fù)角、零角。這里還有一點(diǎn)要說明：為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為. 4.象限角師：在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念。同學(xué)們已經(jīng)經(jīng)過預(yù)習(xí)，請一位同學(xué)回答什么叫：象限角？ 生：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)

5、重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。師：很好，從剛才這位同學(xué)的回答可以知道，她已經(jīng)基本理解了“象限角”的概念了。下面請大家將書上象限角的定義劃好，同時思考這么三個問題：1.定義中說：角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，如果改為與x軸的正半軸重合行不行，為什么？2.定義中有個小括號，內(nèi)容是：除端點(diǎn)外，請問課本為什么要加這四個字？3.是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？處理：學(xué)生思考片刻后回答，教師適時予以糾正。答：1.不行，始邊包括端點(diǎn)（原點(diǎn)）；2端點(diǎn)在原點(diǎn)上；3不是，一些特殊角終邊可能落在坐標(biāo)軸上；如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)

6、為這個角不屬于任一象限。師：同學(xué)們一定要學(xué)會看數(shù)學(xué)書，特別是一些重要的概念、定理、性質(zhì)要斟字酌句，每個字都要弄清楚，這樣的預(yù)習(xí)才是有效果的。師生討論：好，按照象限角定義，圖中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。師：很好，不過老師還有幾事不明，要請教大家：（1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什么？生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；師：（2）銳角就是小于900的角嗎？生：小于900的角可能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角；師：（3）銳角就是00900的角嗎？ 生：銳角：|00900；00900的角：|

7、00900.學(xué)生練習(xí)（口答）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.終邊相同的角的表示法師：觀察下列角你有什么發(fā)現(xiàn)? 390 330 30 1470 1770生:終邊重合.師:請同學(xué)們思考為什么？能否再舉三個與300角同終邊的角？生：圖中發(fā)現(xiàn)3900，-3300與300相差3600的整數(shù)倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；與300角同終邊的角還有7500，-69

8、00等。師：好！這位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了兩個同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差3600的整數(shù)倍。例如：7500=23600+300；-6900=-23600+300。那么除了這些角之外，與300角終邊相同的角還有：33600+300-33600+30043600+300-43600+300，由此，我們可以用S=|=k3600+300，kZ來表示所有與300角終邊相同的角的集合。師：那好，對于任意一個角，與它終邊相同的角的集合應(yīng)如何表示？生：S=|=+k3600，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和。6.例題講評例1 設(shè)， ，那么有（D ）ABC（ ）D 例2用集合表示：（1）各

9、象限的角組成的集合（2）終邊落在 軸右側(cè)的角的集合解：(1) 第一象限角：|k360ok360o+90o,kZ第二象限角：|k360o+90ok360o+180o,kZ第三象限角：|k360o+180ok360o+270o,kZ第四象限角：|k360o+270ok360o+360o ,kZ（2）在 中， 軸右側(cè)的角可記為 ，同樣把該范圍“旋轉(zhuǎn)” 后，得 ， ，故 軸右側(cè)角的集合為 說明：一個角按順、逆時針旋轉(zhuǎn) （ ）后與原來角終邊重合，同樣一個“區(qū)間”內(nèi)的角，按順逆時針旋轉(zhuǎn) （ ）角后，所得“區(qū)間”仍與原區(qū)間重疊例3 （1）如圖，終邊落在 位置時的角的集合是_|k360o+120o ,kZ ；

10、終邊落在 位置，且在 內(nèi)的角的集合是_45o,225o_ ；終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合是_|k360o45ok360o+120o ,kZ練習(xí)： （1）請用集合表示下列各角 間的角 第一象限角 銳角 小于 角解答（1） ； ； ； （2）分別寫出：終邊落在 軸負(fù)半軸上的角的集合；終邊落在 軸上的角的集合；終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合；終邊落在四象限角平分線上的角的集合解答（2） ； ； ； 說明：第一象限角未必是銳角，小于 的角不一定是銳角， 間的角，根據(jù)課本約定它包括 ，但不包含 例4在 間，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角（1） ；（2） ；（3） 解

11、：（1） 與 角終邊相同的角是 角，它是第三象限的角；（2） 與 終邊相同的角是 ，它是第四象限的角；（3） 所以與 角終邊相同的角是 ，它是第二象限角 總結(jié)：草式寫在草稿紙上，正的角度除以 ，按通常除去進(jìn)行；負(fù)的角度除以 ，商是負(fù)數(shù)，它的絕對值應(yīng)比被除數(shù)為其相反數(shù)時相應(yīng)的商大1，以使余數(shù)為正值練習(xí)： （1）一角為 ，其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為_（2）集合M=k，kZ中，各角的終邊都在（C ）A軸正半軸上，B軸正半軸上，C 軸或 軸上，D 軸正半軸或 軸正半軸上（3）設(shè) ， C|= k180o+45o ,kZ ， 則相等的角集合為_BD，CE_三.本課小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何象限，本節(jié)課的重點(diǎn)是學(xué)習(xí)終邊相同的角的表示法。判斷一個角 是